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分课时学案
课题 数学活动：探索图形变化中的不变量 单元 18 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.在观察菱形顶点移动引起图形渐变的过程中，逐步形成从动态视角分析几何问题的意识，感受变化与不变的辩证统一； 2.通过对图形边、角、对角线等元素的测量、比较和推理，发现并归纳变化过程中的不变量，培养几何直观和逻辑推理能力； 3.通过对图2、图4形状的联想与命名，体会数学与生活实际的联系。
重点 发现并归纳图形边、角、对角线的性质。
难点 从动态变化的图形中抽象出变量关系，并用几何语言准确表述。
教学过程
导入新课 我们已经知道一组邻边相等的平行四边形是菱形，它具有很多很好的性质：轴对称、四条边相等、两条对角线互相垂直。 现在让我们从菱形出发，让一个顶点动起来，可以发现图形的形状随之发生变化。 探索菱形变化中的不变量-初中数学 AI赋能教学素材（html交互动画）
新知讲解 如图1，把菱形 的一个顶点 看成一个动点，将其沿对角线 逐渐向顶点 移动，形成如图2至图4的一系列图形。 我们可以看到，图形 的形状发生了一系列的变化，那么在这样的变化过程中，该图形的性质，有哪些始终保持不变，哪些又发生了一些变化？ 对于变化过程中的图2和图4，它们与生活中哪些物件的形状相似？你能否给它们起一个较为合适的名称呢？ 请将你的探索与发现，归纳成如下的表格： 观察生活中的一种“变化但存在不变”的现象（如：旋转门、伸缩门、折叠椅、天平、电梯等），尝试用数学语言描述其中的不变量。 阅读与思考 数学家 Felix Klein 在《埃尔朗根纲领》中提出：几何学是研究图形在变换群下不变性质的科学。例如：在平移、旋转、反射下，图形的长度和角度保持不变；在投影下，直线仍然变成直线，但长度和角度会改变，不过“交比”保持不变；在伸缩下，平行线仍然保持平行。 任务： 阅读材料后，回答下列问题： （1）用自己的话说一说，什么是“变换下的不变量”？你能举例说明吗？ （2）观察本节课研究的图形变化，在这个过程中，图形的不变性质是否属于材料中提到的某种变换下的不变量？为什么？
巩固训练 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M、N，连结MD、BN. （1） 求证：∠DMN＝∠BNM. （2） 若∠BAC＝∠DAC. 求证：四边形BMDN是菱形.
作业布置 1.如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，延长BC至点D，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，连结AE、AF、BE. （1） 探究OE与OF的数量关系，并说明理由. （2） 当点O运动到何处，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 2.如图，已知点E、F分别是平行四边形AB、CD的边BCAD上的点，且BE=DF （1）求证：四边形AECF是平行四边形. （2）若四边形AECF是菱形，且AE=2，AC=.求菱形AECF的面积.
答案：
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M、N，连结MD、BN.
（1） 求证：∠DMN＝∠BNM.
（2） 若∠BAC＝∠DAC. 求证：四边形BMDN是菱形.
解：（1） 如图，连结BD，交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB＝OD.
∵ BM∥DN，
∴ ∠MBO＝∠NDO.
又∵ ∠BOM＝∠DON，
∴ △BOM ≌△DON.
∴ BM＝DN.
∴ 四边形BMDN为平行四边形.
∴ BN∥DM.
∴ ∠DMN＝∠BNM.
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC∥AD. ∴ ∠BCA＝∠DAC.
∵ ∠BAC＝∠DAC，
∴ ∠BAC＝∠BCA.
∴ AB＝BC.
∴ 四边形ABCD是菱形.
∴ AC⊥BD，即MN⊥BD.
∴ 四边形BMDN是菱形．
作业设计
1.如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，延长BC至点D，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，连结AE、AF、BE.
（1） 探究OE与OF的数量关系，并说明理由.
（2） 当点O运动到何处，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由.
解：（1） OE＝OF.
理由：∵ CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线，
∴ ∠ACE＝∠ECB，∠OCF＝∠DCF.
∵ MN∥BC，
∴ ∠NEC＝∠ECB，∠OFC＝∠DCF.
∴ ∠NEC＝∠ACE，∠OFC＝∠OCF.
∴ OE＝OC，OF＝OC.
∴ OE＝OF.
（2）当点O运动到AC的中点处，△ABC是直角三角形，其中∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.
理由：当点O运动到AC的中点处时，OA＝OC.
又∵ OE＝OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形.
由（1），得OC＝OF.
∴ OA＝OC＝OE＝OF.
∴ AC＝EF.
∴ 四边形AECF是矩形.
∵ MN∥BC，∠ACB＝90°，
∴ ∠AOE＝90°.
∴ AC⊥EF.
∴ 四边形AECF是正方形.
2.如图，已知点E、F分别是平行四边形AB、CD的边BCAD上的点，且BE=DF
（1）求证：四边形AECF是平行四边形.
（2）若四边形AECF是菱形，且AE=2，AC=.求菱形AECF的面积.
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，
∵BE=DF,∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）连接EF交AC于O，
∵四边形AECF是菱形，
∴EF AC，且OE=OF,OA=OC=AC=，
在Rt AOE中，OE=，
∴EF=2OE=2，
∴菱形AECF的面积为.
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