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重难点01导数与切线方程
5大高频考点概览
考点01 在一点处的切线
考点02 过一点的切线
考点03 公切线问题
考点04 切线的平行与垂直问题
考点05 切线的条数问题
1．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．函数的图象有条切线方程为
D．点是曲线的对称中心
【答案】C
【分析】利用导数求出函数的单调区间结合极小值的定义即可判断AB；根据导数的几何意义即可判断C；求出即可判断D.
【详解】由，得，
令，则，令，则或，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以函数的极小值是，故AB正确；
对于C，设切点为，
则，解得或，
当时，，切线方程为，
当时，，切线方程为，
所以函数的图象没有一条切线方程为，故C错误；
对于D，因为
，
所以点是曲线的对称中心，故D正确.
故选：C.
2．(24-25高二下·天津河东区·期中)已知函数（a为常数）.
(1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，代入点运算即可；
（2）整理可得，分、和三种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
则，即切点为，切线斜率，
可得切线方程为，
将点代入得，
整理可得解得：，所以.
（2）因为，
当，即时，在定义域内恒成立，
可知在上单调递增，所以无极值点，不合题意；
当，即时，令，解得或；
令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有两个极值点，符合题意；
当，即时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以有1个极值点，不符合题意；
综上所述：a的取值范围是.
3．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)已知，
(1)求在处的切线方程；
(2)若不等式对任意成立，求a的最大整数解．
(3)的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
【答案】(1)
(2)3
(3)证明过程见解析
【分析】（1）求定义域，求导，利用导数几何意义得到切线方程；
（2）参变分离得到对任意成立，令，，求导，结合零点存在性定理得到的最小值为，从而，a的最大整数解为3；
（3），求导得到的单调性，要使得有两个零点，需满足，求出，，令，由得，要证，只需证，令，二次求导，得到的单调性，，所以.
【详解】（1）的定义域为，
，，又，
所以在处的切线方程为，
即；
（2），，
，
即，
即对任意成立，
令，，则，
令，，
故，所以在上单调递增，
，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
所以，a的最大整数解为3；
（3），定义域为，
当时，在上单调递增，此时不存在两个零点，
所以，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，故，
要使得有两个零点，需满足，
即，解得，
因为，所以，
令，由得，
所以，
要证，只需证，
即证，即证，
，只需证，
令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
所以.
4．(24-25高二下·天津第二十五中学·期中)已知函数
(1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）利用导数，讨论，求出的单调区间作答.
（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.
【详解】（1）当时，函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2），
当时，，恒成立，函数在定义域单调递减；
当时，由，可得：，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增；
综上：当时，在定义域单调递减，无增区间，
当时，在单调递减，在单调递增；
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
5．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)已知曲线.
(1)求在处的切线方程.
(2)求在内的最值.
(3)若函数有两个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）求导可得的单调性，进而可求得最值；
（3）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，，即切点为，
又，所以切线方程为，即.
（2），，
当，，所以在单调递减，
当，，所以在单调递增，
又，，，所以，.
（3）因为，
函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点，
又，当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，取得极小值，
又时，，且当时，，
所以的图象如下所示：
由图可得实数m的取值范围为.
1．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)若直线是曲线的一条切线，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值.
【详解】由，得，
设切点为，则由导数的几何意义得，
又切线方程为，所以，
即，解得，.
故选：D.
2．(22-23高二下·天津实验中学滨海学校·期中)过点与曲线相切的切线方程为___________．
【答案】
【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解.
【详解】设切点为，则，
得，则切点为，
切线方程为，即．
故答案为：.
3．(24-25高二下·天津第一中学·期中)过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______.
【答案】
【分析】设出和的切点，求出切线方程为，再利用导数的几何意义得到，进而得到和的切点为，再代入中，求解即可.
【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为，
且设和的切点为，
因为，所以，由导数的几何意义得，
则切线方程为，将代入方程，
得到，解得，则切线方程为，
设和的切点为，且，
由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得.
故答案为：.
4．(23-24高二下·天津中学·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(1)
(2)，切点为
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.
【详解】（1）由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
1．(24-25高二下·天津第四十七中学·期中)若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围.
【详解】设直线与相切于点，因为，
所以切线方程，即，
设直线与相切于点，
因为，所以切线方程，即，
，
所以有解，
令，，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，
因为，，所以，所以，
的范围为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.
2．(20-21高二下·天津宝坻区第一中学等六校·期中)若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值.
【详解】对于函数，，则，又，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得，
所以，切点坐标为，代入切线方程得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.
3．(22-23高二下·天津河东区·期中)已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
【答案】或
【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可.
【详解】因为，所以，
所以当时，，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得即，
联立整理得，
因为切线与曲线只有一个公共点，
所以方程只有一个根，
当时，方程为只有一个根，满足题意；
当时，，即，解得，
综上或，
故答案为: 或.
1．(24-25高二下·天津第一中学·期中)设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】先对函数求导，计算出切点处的导数值及切线的斜率，在根据直线方程求出直线斜率，两直线平行斜率相等即可求出的值.
【详解】由，得，
又因为点在曲线上，
所以曲线在点处的切线的斜率，
易知直线的斜率为，
又因为两直线平行，所以即.
故选：C
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意转化为求出函数在两段上导数的最大值，建立不等式求解即可.
【详解】当时，，
令，，当时，，单调递增；
当，，单调递减，故，
由题意，使，
因为时，单调递增，所以只需，
故选：B．
3．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若有且只有两个零点，求a的值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）求出，根据求出，再求出，从而可求切线方程.
（2）利用导数求出，根据可得不等式成立.
（3）就和分类讨论，后者可根据极小值的符号来讨论.
【详解】（1）因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
（2）当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．
故时，．
（3）对于函数，．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有三个零点．
综上，当有两个零点时，．
4．(23-24高二下·天津嘉诚中学·期中)已知函数，
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)最大值为，最小值是；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值；
（2）利用导数分类讨论函数的单调性；
（3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，所以，
令时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，所以在取得极小值，也是最小值，
，
又
.
在上的最大值为，最小值是；
（2）
当时，令，解得：，
令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，在上恒成立，
所以在上为减函数，
当时，在恒成立，
所以在上单调递减.
综上，当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在上单调递减.
（3），依题意：，解得：，
所以，
又对恒成立，即，
所以在上恒成立.
令，
当时，函数单调递减，
当时 函数单调递增，
时，
故，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．(22-23高二下·天津武清区杨村第一中学·期中)已知函数．
(1)若曲线在点处切线与直线平行，求a的值；
(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先求得函数的导数，列出关于a的方程，解之即可求得a的值；
（2）先将函数有两个零点转化为方程有二根，再构造函数，并利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a的取值范围．
【详解】（1）由，可得，
则，则，解之得.
（2）由函数有两个零点，可得方程有二根，
令，则
由，可得；由，可得，
则当时单调递增；当时单调递减，
则当时时，取得极大值，
又，且当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远大于趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，
则由方程有二根，可得
1．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（ ）
A．，使得
B．函数的最大值为0
C．a的取值范围为
D．过作的切线，有且只有一条
【答案】D
【分析】利用单调性说明的解判断A，由导数求最值判断B，由，使得求解判断C，设切点坐标为，代入所过点坐标求，引入新函数，由导数确定方程只有一个解，从而判断D．
【详解】对于A，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，故A错误;
对于B，由A的分析可知，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值：，无最大值，故B错误;
对于C，由前面分析知，
由题可知：，使得
对于函数，，
当时，，
故无论a取什么值，均，使得，
则a的取值范围为R，故C错误;
对于D，不妨设切点为，，
切线方程为，
把代入可得：，
即：
令，，
，
因为对恒成立，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以只有一个零点0，
即只有时，成立，
故过作的切线，有且只有一条，故D正确.
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
2．(20-21高二下·天津蓟州区上仓中学·期中)函数的斜率等于1的切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
【答案】B
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，可得切线的条数.
【详解】由，得，
设切点为，则切线的斜率为，
所以，得，所以切点为或，
当切点为时，切线方程为，即；
当切点为时，切线方程为，即.
所以函数的斜率等于1的切线有条.
故选：B
3．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由点斜式得到切线方程，再由点A在切线上得到关于切点横坐标的方程，求得两切点，再由两切点处的导数互为相反数求得a的值．
【详解】设切点坐标为，
由题意知，，
切线的斜率为，①
所以切线方程为，②
将点代入②式得：，
解之得：或，
分别将和代入①式，得：和，
由题意知它们互为相反数，得：.
故选：A.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
4．(20-21高二下·天津宝坻区第一中学等六校·期中)若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为____________
【答案】
【分析】设出切点坐标，利用导数求得切线斜率的表达式，由此求得的表达式，通过构造函数，结合导数求得单调性、极值，求得的取值范围.
【详解】过点作曲线的切线，，
设切点坐标为则
则过切点的直线方程的斜率为
过切点和的斜率为
则化简可得
令，则
令解得或
当时， ，所以单调递增
当时， ，所以单调递减
当时， ，所以单调递增
所以当时， 取得极大值为
所以当时， 取得极小值为
所以若有三个不同交点，则
此时满足过点可作曲线三条切线.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查导数与切线，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
5．(23-24高二下·天津第二南开学校·期中)已知函数．
(1)若时，直线是曲线的一条切线，求b的值；
(2)，且恒成立，求a的取值范围；
(3)令，且在区间上有零点，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切点在切线上求解即可；
（2）原不等式恒成立分离参数后化为，利用导数求的最小值即可；
（3）设，在上的一个零点为，利用零点转化为 ，再构造函数，求最小值即可.
【详解】（1）当时，，设切点为，
因为是的一条切线，
所以，解得，
所以，
又切点在切线上，
所以，得．
（2）当时，由恒成立可得恒成立，
即恒成立，令，
则，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
故时，有极小值也是最小值，所以.
（3），设在上的一个零点为，
则，
，当时等号成立．
令，则．
因为，则，即，
所以在区间上单调递减，
所以的最小值为，
故的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于利用在区间上有零点，利用零点表示
，再将转化为关于的二次式得出最小值为，之后利用导数求最小值即可.
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重难点01导数与切线方程
5大高频考点概览
考点01 在一点处的切线
考点02 过一点的切线
考点03 公切线问题
考点04 切线的平行与垂直问题
考点05 切线的条数问题
1．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．函数的图象有条切线方程为
D．点是曲线的对称中心
2．(24-25高二下·天津河东区·期中)已知函数（a为常数）.
(1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
3．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)已知，
(1)求在处的切线方程；
(2)若不等式对任意成立，求a的最大整数解．
(3)的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
4．(24-25高二下·天津第二十五中学·期中)已知函数
(1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
5．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)已知曲线.
(1)求在处的切线方程.
(2)求在内的最值.
(3)若函数有两个零点，求实数m的取值范围.
1．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)若直线是曲线的一条切线，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．(22-23高二下·天津实验中学滨海学校·期中)过点与曲线相切的切线方程为___________．
3．(24-25高二下·天津第一中学·期中)过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______.
4．(23-24高二下·天津中学·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
1．(24-25高二下·天津第四十七中学·期中)若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(20-21高二下·天津宝坻区第一中学等六校·期中)若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(22-23高二下·天津河东区·期中)已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
1．(24-25高二下·天津第一中学·期中)设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C． D．2
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（ ）．
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若有且只有两个零点，求a的值.
4．(23-24高二下·天津嘉诚中学·期中)已知函数，
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围.
5．(22-23高二下·天津武清区杨村第一中学·期中)已知函数．
(1)若曲线在点处切线与直线平行，求a的值；
(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
1．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（ ）
A．，使得
B．函数的最大值为0
C．a的取值范围为
D．过作的切线，有且只有一条
2．(20-21高二下·天津蓟州区上仓中学·期中)函数的斜率等于1的切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
3．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．(20-21高二下·天津宝坻区第一中学等六校·期中)若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为____________
5．(23-24高二下·天津第二南开学校·期中)已知函数．
(1)若时，直线是曲线的一条切线，求b的值；
(2)，且恒成立，求a的取值范围；
(3)令，且在区间上有零点，求的最小值．
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