资源简介

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专题01 计数原理
6大高频考点概览
考点01排列数、组合数计算
考点02排列组合染色问题
考点03排列组合其他问题
考点04二项式定理系数问题
考点05二项式定理系数和问题
考点06杨辉三角、整除、余数问题
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知，则（ ）
A．5 B．3 C．4或6 D．4
【答案】D
【分析】利用排列数与组合数的相关公式，化简计算求出即可.
【详解】由，可知，且，
化简得：，
解得或，因，故.
故选：D.
2．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）的值为（ ）
A．60 B．40 C．35 D．20
【答案】B
【分析】根据排列数与组合数公式直接计算即可得解.
【详解】.
故选：B.
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C．5或3 D．4或6
【答案】D
【分析】运用组合数性质可求得结果.
【详解】因为，
所以或，
解得：或.
故选：D.
二、填空题
4．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)计算______.
【答案】
【分析】应用排列数公式求值即可.
【详解】.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】对五个区域进行编号，依次分析、、、的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果.
【详解】如下图所示：
区域有种选择，区域有种选择，
若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择；
若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择.
由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为.
故选：A.
2．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】分4步进行分析：
①，对于区域，有4种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
故选：A
二、填空题
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是__________.

【答案】960
【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.
【详解】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为.
故答案为：.
4．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有____种.
【答案】84
【分析】根据四个区域涂颜色的种类数进行分类，分别计算出三类涂法的种类数，相加即可得出结果.
【详解】由题意可知：四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜色，所以分以下三类：
当涂两种颜色时：A和C相同，B和D相同，共有种涂色方法；
当涂三种颜色时：分A和C相同和A，C不同两种情况，此时共有种涂色方法；
当涂四种颜色时：四个区域各涂一种，此时共有种涂色方法.
综上，不同的涂色方法有种.
故答案为：84
5．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答）
【答案】96
【详解】试题分析：
由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96.
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（ ）
A．60种 B．180种 C．150种 D．300种
【答案】C
【分析】根据题意，先将5名同学分成三组，然后再分配，即可得到结果.
【详解】将5名同学分成三组，有两种情况；
情况一：按分组，有种情况；
情况二：按分组，有种情况；
然后分配到三个班级，有种情况.
故选：C.
2．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)有5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A．1024种 B．625种 C．240种 D．120种
【答案】C
【分析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案．
【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，
这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，
所以不同的分法种数为种，
故选：C
3．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答）
A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】C
【分析】分“凸数”中有0和无0两种情况，结合题意可得“凸数”的总个数.
【详解】由题可得若“凸数”中有0，则0在“凸数”的个位数，剩下两数，
因大小关系限制，相当于从5个中选2个，有种情况；
若“凸数”中没有0，则先从剩下5个数中，选3个，有种可能性，
由于十位数最大，个位数与百位数没有限制，故将3数中最大数放在十位，
剩下两数有2种安排方法，故共有种情况.
则共有种方法.
故选：C
4．(24-25高二下·吉林松原·期中)某大学有5个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为（ ）
A．5 B．20 C．25 D．50
【答案】C
【分析】由分步乘法计数原理计算即得.
【详解】依题意，从任意一个门进，有5种方法，又从任意一个门出，也有5种方法，
由分步乘法计数原理，共有不同的走法种数为.
故选：C.
5．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)学校运动会，高二年级某班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，则不同参赛方案总数是（ ）
A．20 B．24 C．30 D．36
【答案】D
【分析】根据题意，先将四人分组，再分配，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.
【详解】先将四位同学按照分成三组，有种情况，
然后分配到三个项目，有种情况，
结合分步乘法计数原理可得，不同参赛方案总数是.
故选：D
6．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)安排甲、乙、丙、丁4位老师到三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去学校、乙不去学校工作的分配方案数为（ ）
A．12 B．17 C．18 D．20
【答案】B
【分析】采取分组分配计数方法，结合分类加法原理，可计算得到结果.
【详解】第一类：甲、乙分在一组就只能去学校，则分配方案有：；
第二类：甲、乙没分在一组，则有种分组方法，
有甲的那组去学校，此时根据分组分配方案有：种；
有甲的那组去学校，则有乙的那组只能去学校，此时根据分组分配方案只有：种；
综上可得：根据分类加法原理总的分配方案共有种，
故选：B.
7．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）4名同学去3个十字路口作交通协管志愿者，每名同学可自由选择1个十字路口，不同选择方法的种数是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．12
【答案】A
【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案.
【详解】根据题意，每名同学可自由选择3个十字路口中的任意一个，
所以每名同学有3种选择方法，由分步计数原理知，4名同学共有种选择方法.
故选：A．
8．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．192种 B．252种 C．268种 D．360种
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.
【详解】若甲乙不值班，值班安排有种；
若甲乙只有一人不值班，值班安排有种；
若甲乙都值班，值班安排有种，
所以值班安排共有252种.
故选：B
9．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答.
【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，
又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种，
其中的每一种排法，C、D节目的排列有，
所以节目安排的方法总数为（种）.
故选：C
10．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)下列结论不正确的是（ ）
A．（为正整数且）
B．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种
【答案】C
【分析】对于A，由排列数定义可判断选项正误；对于B，由分步计数原理可判断选项正误；对于C，先排剩下3人，再将甲丙两人插入3人所产生的4个空中，据此可判断选项正误；对于D，相当于在6个球所产生的5个空中，放入2个隔板，使分成3份，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，每个人，都有4种可能的工作安排，则5个人的安排方法共有种可能性，故B正确；
对于C，先安排除了甲丙以外剩下的3人，有种方法，再将甲丙两人，安排进3人排列所产生的空中，有种方法，故共有种方法，故C错误；
对于D，相当于在6个球所产生的5个空中，放入2个隔板，使分成3份，则有种方法，故D正确.
故选：C
二、多选题
11．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）现有4个编号为的不同的球和4个编号为的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．共有24种不同的放法
B．恰有一个盒子不放球，共有144种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有8种
D．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有12种
【答案】BCD
【分析】按照分步乘法计数原理判断A，先分组，再分配，即可判断B，先选定盒子的编号与球的编号相同，再排其他球，即可判断C，先确定空盒子，再确定放个球的盒子，即可判断D.
【详解】对于A，每个球都有种放法，共有种放法，故A错误；
对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，
则个盒子的球数分别为、、，所以种放法，故B正确；
对于C，每个盒子内只放一个球，恰有个盒子的编号与球的编号相同，
不同的放法有种，故C正确；
对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，则有个盒子放个球，
另外两个盒子各放个球，所以有种放法，故D正确，
故选：BCD.
12．(24-25高二下·吉林松原·期中)以下结论正确的是（ ）
A．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法
B．从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有10种不同的选法
C．某学校需要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，则志愿者中至少有3名男生的不同选法有66种
D．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有24个
【答案】AC
【分析】利用两个计数原理和排列组合数公式，根据选项条件逐一列式计算即可.
【详解】对于A，4个人分别从3个景点中选择一处游览，每个人有3种选择，故共有种选法，故A正确；
对于 B，从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有种方法，故B错误；
对于C，要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，志愿者中至少有3名男生包括3名男生或4名男生两种情况，
故共有选法数为种，故C正确；
对于D，先确定千位数字，有3种方法，再考虑其它三个数位，有种方法，
故没有重复数字的四位数共有个，故D错误.
故选：AC.
13．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
【答案】BD
【分析】根据捆绑法计算求解A，应用全排列计算B，根据平均分组计算判断C，分类分组计算判断D.
【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，
与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；
若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，
《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，
故共有种观看顺序，故B正确；
若将6部电影每2部一组随机分为3组，
则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，
故分组方式为，故C错误；
若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；
按2和4，有种分组方式；
按3和3，有种分组方式，
所以共有31种分组方式，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
14．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)若从1，2，3，4，5这五个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是________.
【答案】
【分析】2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个，再与2，4共4个数字在四个数位上全排列，即可得出答案.
【详解】2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个，
再与2，4共4个数字在四个数位上全排列，此时共有个四位数.
故答案为：.
15．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有________种不同分配方法．
【答案】
【分析】把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.
【详解】分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
故答案为：.
16．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)如图，随机闭合两个开关使电路从A处到B处只有一条支路接通，可以有_______种不同的闭合方法.
【答案】
【分析】依题意分三类，在每一类中用分步乘法计数原理计算可得.
【详解】根据题意分三类情况：
第一类，上路接通中路下路不通有种情况，
第二类，中路接通上路下路不通有种情况，
第三类，下路接通上路中路不通有种情况，
所以闭合两个开关使电路从A处到B处只有一条支路接通，
共有种不同的闭合方法.
故答案为：
四、解答题
17．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.
(1)选5名同学排成一排：
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端：
(3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(4)全体站成一排，男生彼此不相邻；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)直接用排列原理求解；(2)先特殊后一般即可求解；(3)利用捆绑法求解；(4)利用插空法求解.
【详解】（1）无条件的排列问题,排法有种.
（2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，
所以有种.
（3）相邻问题，利用捆绑法，共有种.
（4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，
所以共有种.
18．(24-25高二下·吉林松原·期中)现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生相邻；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名女学生之间只有2名男学生．
【答案】(1)192
(2)72
(3)576
【分析】（1）元素相邻运用捆绑法，借助于排列组合公式即得；
（2）元素互不相邻运用插空法，特殊元素优先法处理即可；
（3）要使2名女生之间只有2名男生，应先选出2名男生再进行捆绑，考虑女生和男生内部顺序，再考虑这个整体与另外三人共四人全排即得.
【详解】（1）因老师站在最中间，2名女生相邻，可先考虑从4个男生中选1人与女生在同侧有种，
这三个人与另外三个男生在老师两侧有种，女生与同侧的男生排序有种，
女生内部排序有种，另一边的三个男生排序有种，
由分步乘法计数原理，不同的排法有种；
（2）先排老师和女生共有种站法，再排男生甲有种站法，最后排剩余的3名男生有种站法，
所以共有种不同的站法；
（3）先任选2名男生站两名女生中间，有种站法，
再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的3个人进行全排有种，
由分步乘法计数原理，共有种不同的站法．
19．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务．
(1)若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答）
(2)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
(3)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
【答案】(1)34
(2)490
(3)300
【分析】（1）方法一：直接发，分类讨论女性的人数，结合组合数运算求解；方法二：间接法，在所以组合中排除没有女性的组合；
（2）先选4名航天员，分类讨论人数配比，结合组合数运算求解；
（3）先选2名航天员，然后安排甲、乙两人，最后安排剩下的2人，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】（1）方法一：“直接法”，分成3种情况讨论：
恰有1名女性，共有种选法；恰有2名女性，共有种选法；
恰有3名女性，共有种选法；所以共有种选法；
方法二：“间接法”，总共有种，没有一名女航天员有种，
所以共有种选法．
（2）先选4名航天员，有种，然后先分组再分配，可分两类：
若分为2，2的两组再分配，有种；
若分为1，3的两组再分配，有种；
所以共有种选法．
（3）先选2名航天员，有种；然后安排甲、乙两人，有种；
最后安排剩下的2人，有种；
所以共有种选法．
一、单选题
1．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）展开式中的常数项为（ ）
A．10 B． C．80 D．
【答案】D
【分析】先写出二项式的通项，再令的指数为，求出，代入通项即可得出结果.
【详解】展开式的通项为，.
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
故选：D.
2．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）在的展开式中，的系数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由二项式定理展开式的通项求解即可.
【详解】展开式的通项为，
令，
所以的系数是.
故选：D
3．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)设，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式，得展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，再利用二式系数的性质，即可求解.
【详解】因为展开式的通项公式为，
所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，
又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，，
所以中最大的是.
故选：B.
4．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．20 B．160 C．120 D．80
【答案】B
【分析】首先写出二项式展开式通项，再由二项式系数的性质确定最大系数对应项，即可求项的系数.
【详解】由题设，展开式通项为，，
由于二项式共有7项，故第四项的二项式系数最大，即，
所以，对应项系数为.
故选：B
5．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值．
【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，
故选：A．
6．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）已知展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则（ ）
A．2022 B．2023 C．40 D．50
【答案】D
【分析】根据条件可得展开式中含x的项为6x，则．进而可求得答案.
【详解】的展开式中含x的项为：
，
的展开式中含x的项为：
，
所以，的展开式中含x的项为6x，其系数．
依题意得，
故选：D．
二、填空题
7．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）的展开式中的系数为______.
【答案】
【分析】展开，再求出展开式中的系数，即可得答案.
【详解】，
因为展开式通项为，
所以展开式中的系数分别为，
故的展开式中的系数为.
故答案为：
8．（24-25高二下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）的展开式中的常数项为______.（请用数字作答）
【答案】10
【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解.
【详解】展开式的通项，
为了得到常数项，与相乘的项需满足，即，
与1相乘的项需满足，即，
因此常数项为.
故答案为：10
三、解答题
9．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）；（2）,,．
【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，写出二项式展开式的通项公式，整理后，得到其的指数为整数的的值，再写出其展开式中的有理项.
【详解】解：二项式展开式的通项公式为
，；
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得
，即,解得；
（2）二项式展开式的通项公式为
，；
当时,对应项是有理项,
所以展开式中所有的有理项为
,,
．
一、多选题
1．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中只有第4项的二项式系数最大
D．展开式中含项的系数为84
【答案】ABD
【分析】根据展开式的二项式系数和的性质求出，可判断A正确；令，求出展开式中各项系数的和，可判断B正确；根据展开式中二项式系数的单调性，可判断C错误；利用展开式的通项公式计算，可判断D正确．
【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；
对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为，故B正确；
对于C，因为第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数，
所以，又，
所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误；
对于D，因为的展开通项为，
令，得，则，所以含项的系数为84，故D正确．
故选：ABD．
2．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）若，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用赋值法即可逐一求解.
【详解】令，则，故A正确，
令可得，故，故B错误，
令可得，故，故C正确，
令可得，，故D错误，
故选：AC
3．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为
C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1
【答案】AC
【分析】令代入二项式，可得各项系数之和，判断A正确；由展开式的二项式系数之和为，可求B错；根据展开式中共有项，可判断C正确；利用二项展开式的通项公式，可判断D错.
【详解】令，则各项系数的和为，故A正确；
展开式的二项式系数的和为，故B错；
展开式中共有2026项，故C正确；
展开式中的第项为，
因为，且，所以，因此展开式中无常数项，故D错；
故选：AC
二、填空题
4．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）__________.
【答案】1024/
【分析】根据二项式定理，赋值法计算即可.
【详解】由于，
令，得①，
令，得②，
①-②可得，
所以.
故答案为：1024
三、解答题
5．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22．
(1)求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据展开式的前三项的二项式系数之和求出的值，利用二项式系数的性质找出最大的二项式系数，进而求出展开式中二项式系数最大的项，最后利用求出所有二项式系数和；
（2）利用二项式展开式的通项公式即可求出其常数项.
【详解】（1）由题意可知，，即，
得或（舍），
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为.
（2），
令，得，则，
故展开式中的常数项为.
6．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知.其中，且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
(1)求n的值及二项式系数最大的项；
(2)求（用数值作答）；
(3)求的值（用数值作答）
【答案】(1)，二项式系数最大的项为，
(2)
(3)
【分析】（1）根据二项式系数的增减项即可得，进而利用通项即可求解；
（2）利用赋值法令可得；
（3）利用赋值法令即可求解.
【详解】（1）由展开式中仅有第5项的二项式系数最大可知为唯一的最大，故，
则第5项为
（2）令，则
（3）令，则，与（2）中两式求和，
故
7．(24-25高二下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求得展开式的通项公式为，根据第5项与第3项的系数之比为，累成方程，求得的值；
（2）根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，结合通项公式，即可求解；
（3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解.
【详解】（1）解：由二项式展开式的通项公式为，
因为第5项与第3项的系数之比为，可得，
即，解得或（舍），所以.
（2）解：由（1）知二项式，
根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
（3）解：由（1）知，二项展开式的通项为，
当时，展开式的项的系数为负；
当时，展开式的项的系数为正，
所以
令，可得，
即.
8．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）若，求：
(1)求的值；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值；
（2）利用赋值法可求系数和；
（3）同（2）利用赋值法可求系数和.
【详解】（1）二项式展开式的通项为，
其中．
因为，所以．
（2），
令，解得；
令，整理得，
故．
（3）的展开式通项为，则，
其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
令可得，
所以．
一、单选题
1．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A．第十行中第5个数最大
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
【答案】D
【分析】结合“杨辉三角”和二项式系数及组合数的性质逐一对各个选项进行分析即可.
【详解】对于A，由“杨辉三角”和二项式系数的性质可知，第行共有个数，
正中间即第个数最大，故A错误；
对于B，由“杨辉三角”和二项式系数的性质可知，第行共有个数，
中间两项的数相等，即第个和第个数相等，故B错误；
对于C，由组合数的性质可知，
，故C错误；
对于D，由“杨辉三角”可得第行第个数为，
所以第行中第个数与第个数之比为，故D正确.
故选：D.
2．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）已知，则被4除的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案.
【详解】令，由已知可得，，
令，可得，
所以.
因为
，
所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0，
故选：D.
二、多选题
3．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)下列命题正确的是（ ）
A．的展开式中常数项是
B．的展开式的中间一项是
C．的展开式的各二项式系数的和等于
D．的末尾三位数字是“001”
【答案】ACD
【分析】先写出展开式的通项公式并确定出常数项和中间项，然后将组合数改写为阶乘的形式并化简判断A、B；赋值法求出各二项式系数的和判断C；利用二项式定理展开求解即可判断D;
【详解】展开式的通项为，
令，所以常数项为，
又
，
，故A对；
展开式的通项为，
中间项对应的，所以中间项为，
又
，故B错；
因为，
令，所以，故C对；
，
因为各项末尾三项都是0，
所以的末尾三位数字与1001末尾三位数字相同，
所以的末尾三位数字是001，故D对；
故选：ACD
4．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．.
B．由“第行所有数之和为”猜想：.
C．第20行中，第11个数最大.
D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.
【答案】BCD
【分析】利用性质计算即可判断A；利用的展开式的二项式系数计算即可判断B；利用的展开式的二项式系数计算最大项即可判断C；利用的展开式的二项式系数计算即可判断D
【详解】对于A，
，故A错；
对于B，第n行中的数为的展开式的二项式系数，
令，得，故B对；
对于C，第20行中的数为的展开式的二项式系数，最大项是是第11个数，故C对；
对于D，第15行中的数为的展开式的二项式系数，
第7个数与第8个数分别是，且，故D对；
故选：BCD
三、填空题
5．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知，则a被10除所得的余数为_____________.
【答案】1
【分析】首先利用二项式定理化简，再将写成，再利用二项式定理的展开式，即可求解.
【详解】，
，
所以被10除所得的余数为1.
故答案为：1
四、解答题
6．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中)（1）已知对任意给定的实数，都有，求值：
（2）求除以的余数.
（3）7本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学.若其中一人分得2本，另一个人分得2本，第三人分得3本，共有多少种不同的分法.
【答案】（1）1；（2）；（3）630
【分析】（1）利用赋值法求解.
（2）将变形为，再根据二项式定理展开运算即可.
（3）先分组，再分配，平均分组问题要除以组（相等的组）的全排列.
【详解】（1）令，得，
整理得.
（2）
，
所以除以的余数为.
（3）第一步，将7本不同的书分成2本、2本、3本三组，方法数为种.
第二步，将这三组书分配给甲、乙、丙3名同学，方法数为种.
故共有种不同方法.
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专题01 计数原理
6大高频考点概览
考点01排列数、组合数计算
考点02排列组合染色问题
考点03排列组合其他问题
考点04二项式定理系数问题
考点05二项式定理系数和问题
考点06杨辉三角、整除、余数问题
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知，则（ ）
A．5 B．3 C．4或6 D．4
2．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）的值为（ ）
A．60 B．40 C．35 D．20
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C．5或3 D．4或6
二、填空题
4．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)计算______.
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是__________.

4．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有____种.
5．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答）
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（ ）
A．60种 B．180种 C．150种 D．300种
2．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)有5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A．1024种 B．625种 C．240种 D．120种
3．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答）
A．20 B．25 C．30 D．40
4．(24-25高二下·吉林松原·期中)某大学有5个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为（ ）
A．5 B．20 C．25 D．50
5．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)学校运动会，高二年级某班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，则不同参赛方案总数是（ ）
A．20 B．24 C．30 D．36
6．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)安排甲、乙、丙、丁4位老师到三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去学校、乙不去学校工作的分配方案数为（ ）
A．12 B．17 C．18 D．20
7．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）4名同学去3个十字路口作交通协管志愿者，每名同学可自由选择1个十字路口，不同选择方法的种数是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．12
8．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．192种 B．252种 C．268种 D．360种
9．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
10．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)下列结论不正确的是（ ）
A．（为正整数且）
B．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种
二、多选题
11．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）现有4个编号为的不同的球和4个编号为的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．共有24种不同的放法
B．恰有一个盒子不放球，共有144种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有8种
D．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有12种
12．(24-25高二下·吉林松原·期中)以下结论正确的是（ ）
A．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法
B．从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有10种不同的选法
C．某学校需要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，则志愿者中至少有3名男生的不同选法有66种
D．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有24个
13．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
三、填空题
14．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)若从1，2，3，4，5这五个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是________.
15．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有________种不同分配方法．
16．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)如图，随机闭合两个开关使电路从A处到B处只有一条支路接通，可以有_______种不同的闭合方法.
四、解答题
17．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.
(1)选5名同学排成一排：
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端：
(3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(4)全体站成一排，男生彼此不相邻；
18．(24-25高二下·吉林松原·期中)现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生相邻；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名女学生之间只有2名男学生．
19．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务．
(1)若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答）
(2)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
(3)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
一、单选题
1．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）展开式中的常数项为（ ）
A．10 B． C．80 D．
2．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）在的展开式中，的系数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)设，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．20 B．160 C．120 D．80
5．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）已知展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则（ ）
A．2022 B．2023 C．40 D．50
二、填空题
7．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）的展开式中的系数为______.
8．（24-25高二下·黑龙江省齐齐哈尔市联谊校·期中）的展开式中的常数项为______.（请用数字作答）
三、解答题
9．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
一、多选题
1．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中只有第4项的二项式系数最大
D．展开式中含项的系数为84
2．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）若，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为
C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1
二、填空题
4．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）__________.
三、解答题
5．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22．
(1)求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项．
6．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知.其中，且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
(1)求n的值及二项式系数最大的项；
(2)求（用数值作答）；
(3)求的值（用数值作答）
7．(24-25高二下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)若，求的值.
8．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）若，求：
(1)求的值；
(2)；
(3)．
一、单选题
1．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A．第十行中第5个数最大
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
2．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）已知，则被4除的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
3．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)下列命题正确的是（ ）
A．的展开式中常数项是
B．的展开式的中间一项是
C．的展开式的各二项式系数的和等于
D．的末尾三位数字是“001”
4．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．.
B．由“第行所有数之和为”猜想：.
C．第20行中，第11个数最大.
D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.
三、填空题
5．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知，则a被10除所得的余数为_____________.
四、解答题
6．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中)（1）已知对任意给定的实数，都有，求值：
（2）求除以的余数.
（3）7本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学.若其中一人分得2本，另一个人分得2本，第三人分得3本，共有多少种不同的分法.
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