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专题01 数列
4大高频考点概览
考点01利用数列的递推（通项）公式求数列中的项
考点02数列的周期性
考点03数列的单调性
考点04 有关求数列通项公式的问题
考点05 有关数列中的最大（小）项问题
(
地
城
考点01
利用数列的递推（通项）公式求数列中的项
)
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
2．（24-25高二·黑龙江绥化·期中）已知数列的一个通项公式为，且，则等于（ ）
A． B． C．5 D．6
3．（24-25高二下·四川成都·期中）已知，且满足，则（ ）
A．29 B．31 C．59 D．61
4．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·广东·期中）记为数列的前项和．若，则的值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
7．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知数列满足：对于，均有，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高二下·山东·期中）已知数列满足：，，则（ ）
A．34 B．42 C．46 D．64
10．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高二下·安徽·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（ ）
A．18 B．12 C．6 D．3
13．（多选）（25-26高二上·福建漳州·期中）被誉为“闽南第一山”的风景文化名胜——漳州平和灵通山，主峰海拔1287米，以险峻地貌和独特自然景观著称．灵通山有一段被称为“天梯”的阶梯蜿蜒直上几乎呈70度倾斜，十分惊险．某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25高二下·河北邯郸·期中）在数列中，，，则________．
16．（24-25高二下·广东深圳·期中）记数列的前项和为，若，则_____．
17．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，若，且，则______.
18．（24-25高二下·北京大兴·期中）数列满足，且，则______.
19．（24-25高二下·湖北·期中）已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________.
(
地
城
考点02
数列的周期性
)
1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）若数列满足，且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足，，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（ ）
A．4052 B．4053 C．4054 D．4055
4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列中，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
5．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知在数列中，，则（ ）
A． B． C．2 D．
6．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
7．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
8．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期中）已知数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高二下·北京海淀·期中）已知数列满足，则________．
10．（24-25高二下·辽宁大连·期中）设（）的个位数为，则______．
11．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）在数列中，，若，则__________.
12．（25-26高二上·北京·期中）设数列的前n项和为，若，且．则________；________．
(
地
城
考点02
数列的单调性
)
1．（24-25高二·甘肃兰州·期中）已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·北京平谷·期中）在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知等比数列，首项，则“数列单调递增”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高二下·北京·期中）若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是（ ）
A．对任意， B．当时，存在，使得
C．可以是常数列 D．当时，对任意，
6．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．，使得 B．，使得
C． D．，使得数列的最小值为
7．（多选）（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当取得最大值时， D．
8．（多选）（24-25高二下·四川资阳·期中）已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（ ）
A． B．数列为周期数列
C． D．数列为递增数列
9．（多选）（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是递减数列
C．当时， D．
10．（多选）（24-25高二下·四川凉山·期中）数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
11．（多选）（24-25高二下·广西南宁·期中）已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递减数列
D．的前n项和
12．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________．
13．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为______________.
14．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，数列满足，若，都有，则的取值范围为_____.
(
地
城
考点04
求数列的通项公式
)
1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）数列，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·湖南·期中）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二·福建三明·期中）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二·广西·期中）已知数列满足条件，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三·河南漯河·期中）在数列中，，，则的通项公式为．
A． B．
C． D．
9．（多选）（24-25高二·黑龙江佳木斯·期中）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…..设各层球数构成一个数列，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列的通项公式为
D．数列的一个递推公式为
10．（多选）（25-26高二上·广西南宁·期中）大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中每一项代表了太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的前项和为，则有（ ）
A．为等比数列 B．
C． D．
12．（多选）（24-25高二下·四川遂宁·期中）甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．该数列为递增数列
13．（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________.
14．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知数列的前n项和为，则的通项公式是__________.
15．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________．
16．（24-25高二上·福建三明·期中）若数列满足，则数列的通项公式为________.
17．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则______.
18．（24-25高二下·四川成都·期中）数列中，若，则数列的通项公式为_________．
19．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式______．
20．（24-25高二下·广东广州·期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式________．
21．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________．
22．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为__________．
23．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
24．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列中，且.
(1)求数列的第项；
(2)猜想数列的通项公式，并证明.
(
地
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考点05
有关数列中的最大（小）项问题
)
1．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项
3．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的各项均为非负数，，且对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．30 B．29 C．28 D．27
5．（多选）（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知无穷等差数列为递增数列，为数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．数列不存在最大项
C．数列为递增数列
D．存在正整数，当时，
7．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．（多选）（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是
9．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则的最小值为__________.
10．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为_________.
11．（24-25高二下·河北廊坊·期中）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______．
12．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）数列的最大项为第项，则__________.
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专题01 数列
4大高频考点概览
考点01利用数列的递推（通项）公式求数列中的项
考点02数列的周期性
考点03数列的单调性
考点04 有关求数列通项公式的问题
考点05 有关数列中的最大（小）项问题
(
地
城
考点01
利用数列的递推（通项）公式求数列中的项
)
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
【答案】D
【分析】根据数列的通项公式代入求解即可.
【详解】．故选：D.
2．（24-25高二·黑龙江绥化·期中）已知数列的一个通项公式为，且，则等于（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据通项公式及，求出的值，再将代入求解即可.
【详解】解因为，即，解得，所以．故选：B.
3．（24-25高二下·四川成都·期中）已知，且满足，则（ ）
A．29 B．31 C．59 D．61
【答案】B
【分析】根据已知递推公式分奇偶计算通项公式即可求解.
【详解】因为，且满足，当为偶数时，，所以，
当为奇数时，，所以奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，
所以.故选：B.
4．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，依次计算即得.
【详解】数列中，，.
5．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解.
【详解】因为，所以．因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故．故选：C
6．（24-25高二下·广东·期中）记为数列的前项和．若，则的值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
【答案】A
【分析】根据已知得出，再根据即可求解．
【详解】由，则，故选：A．
7．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知数列满足：对于，均有，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】因为，所以依次将，，代入，即可求出.
【详解】因为对于，均有，所以令，有，
令，有，令，有.故选：C.
8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，即可表示出，再由计算即可得.
【详解】因为，所以，当或时，不符合题意，
所以，所以，
所以，
则，所以，故.故选：D.
9．（24-25高二下·山东·期中）已知数列满足：，，则（ ）
A．34 B．42 C．46 D．64
【答案】B
【分析】由，，利用递推思想，逐项求出，再相加即可.
【详解】，，则，，，；
则.故选：B.
10．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用递推思想，结合累加法和裂项相消法即可求解.
【详解】由，可得：，累计可得：，故选：D.
11．（24-25高二下·安徽·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出数列从第二项开始为以为公差的等差数列，由此可求得的值.
【详解】因为正项数列的前项和为，且满足，，当时，则有，即，解得（舍）或；当且时，由可得，
上述两个等式作差得，整理得，由题意可知，所以，且不满足，所以，数列从第二项开始为以为公差的等差数列，故.故选：B.
12．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（ ）
A．18 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根据作差得到，再一一求出前几项即可.
【详解】因为，当时，所以，即，所以，又，所以，由，则，由，则，由，则，由，则.故选：B
13．（多选）（25-26高二上·福建漳州·期中）被誉为“闽南第一山”的风景文化名胜——漳州平和灵通山，主峰海拔1287米，以险峻地貌和独特自然景观著称．灵通山有一段被称为“天梯”的阶梯蜿蜒直上几乎呈70度倾斜，十分惊险．某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可．
【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，…设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确；
B：，故B正确；
C：结合A分析知：，故C错误；
D：，，可得，故D正确．故选：ABD．
14．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，根据递推式计算即可；对于B，由题可得，再根据即可推导；对于C，可举例判断；对于D，由题知，，再利用累加法即可求解．
【详解】，，，，，故A正确；
对于B，由，
，故B正确
对于C，当时，，而，，故C错误.
因为，，即，，…，
累加得，故D正确.故选：ABD.
15．（24-25高二下·河北邯郸·期中）在数列中，，，则________．
【答案】
【分析】根据递推关系转化为等差数列，利用等差数列的通项公式求解通项公式得解.
【详解】因为，又，所以，即，又，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，所以．
16．（24-25高二下·广东深圳·期中）记数列的前项和为，若，则_____．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用前项和与项的关系求出通项公式即可.
【详解】数列中，，当时，，整理得，而，即，因此数列是首项为2，公比为的等比数列，，所以.
17．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，若，且，则______.
【答案】
【分析】由的关系式，分类讨论求出，然后求解即可.
【详解】当时，，当时，，
经检验得时符合上式，所以，由，即，解得，
18．（24-25高二下·北京大兴·期中）数列满足，且，则______.
【答案】5
【分析】利用题中数列的递推公式依次代入求解即可.
【详解】因为，且，所以当时，，
当时，，当时，
19．（24-25高二下·湖北·期中）已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________.
【答案】 2 37
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合数列的增减性以及的各项均是正整数，逐一代入计算，即可得到结果.
【详解】由已知，若，将有，矛盾；若，则，与单调性矛盾；故.由，有，所以；
又，则，所以，故，
则由，即，知，故.
(
地
城
考点02
数列的周期性
)
1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）若数列满足，且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据通项确定数列的周期即可求解.
【详解】因且，则， 而，故数列为周期为的周期数列，.故选：B
2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由递推公式可得周期，据此可得答案.
【详解】由递推公式可得：，，，则周期为3，因，则.故选：C
3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（ ）
A．4052 B．4053 C．4054 D．4055
【答案】A
【分析】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可.
【详解】因为，，，令，则，即，
且，可得，可知数列的一个周期为3，
所以.故选：A.
4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列中，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据递推公式计算数列的前几项找到周期性并进行计算即可.
【详解】由且，得，
所以数列是以为周期的周期数列，则.故选：D.
5．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知在数列中，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】逐项计算可得数列周期性，利用周期性即可得解.
【详解】由，则，又，故，，，，，故数列以为周期，则.故选：A.
6．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先求出前几项，发现规律，为周期数列，一个周期为4，并且，从而得到，计算出答案.
【详解】，解得，，，
，……，故为周期数列，一个周期为4，其中，
故.故选：D
7．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据数列的递推公式依次求出，，，，，，，从而找到从
开始以周期为3重复出现，从而利用周期求出.
【详解】，，，，，，，，，从开始依次是1，4，2，1，4，2，，则数列从开始，以周期为3重复出现，.故选：A.
8．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期中）已知数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由条件代入计算，即可判断A，由数列周期性的定义即可判断B，由选项B的周期性代入计算，即可判断CD.
【详解】因为，所以，因为，即，
所以，故A正确；因为，所以，所以，即，故B正确；由可知，数列的周期为3，又，
所以，故C错误；，所以，故D正确.故选：ABD.
9．（24-25高二下·北京海淀·期中）已知数列满足，则________．
【答案】
【分析】借助题目所给条件可得该数列为周期数列，结合周期数列的性质即可得解.
【详解】，，，故数列是以为周期的周期数列，则.
10．（24-25高二下·辽宁大连·期中）设（）的个位数为，则______．
【答案】123
【分析】先计算确定数列的周期性，再应用数列的周期计算即可.
【详解】因为的个位数分别为，所以数列是周期为4的周期数列，所以，
11．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）在数列中，，若，则__________.
【答案】1
【分析】结合递推关系和首项，求出数列的前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解.
【详解】因为且，所以，，，，，所以是以4为周期的周期数列，所以.故，
12．（25-26高二上·北京·期中）设数列的前n项和为，若，且．则________；________．
【答案】
【分析】由递推式代入已知条件求出，由递推式求出的周期，进而求出一个周期内的和，从而求出．
【详解】已知，，令，则，解得；
由递推式①可得②，由②减去①得，即，
数列是周期为3的周期数列；，一个周期内的和为，
，．
(
地
城
考点02
数列的单调性
)
1．（24-25高二·甘肃兰州·期中）已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得.
【详解】由数列为递增数列，得，，而，则，，而恒成立，则，所以实数的取值范围是.
2．（24-25高二下·北京平谷·期中）在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由，可得，若是单调递增数列，则对任意都成立，
可得，可得结论.
【详解】因为，，所以，解得，若是单调递增数列，则对任意都有：,所以对任意都成立，又,所以是数列是单调递增数列的充要条件.故选：C.
3．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由是递增数列，所以，不等式恒成立求解参数的取值范围即可.
【详解】由题可知是递增数列，所以，即，所以，故．因为，所以．故选：C.
4．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知等比数列，首项，则“数列单调递增”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列的单调性和首项与公比之间的关系，判断出两个数列递增对公比的要求即可.
【详解】设等比数列的公比为，当首项，数列单调递增，则.
数列，则数列，首项为，公比为，当数列单调递增时，若时，则，即，若时，首项，则，即，所以当数列单调递增时或.所以由“数列单调递增”能推出“数列单调递增”，由“数列单调递增”不能推出“数列单调递增”，所以在等比数列，首项条件下，“数列单调递增”是“数列单调递增”的充分不必要条件，故选：A.
5．（24-25高二下·北京·期中）若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是（ ）
A．对任意， B．当时，存在，使得
C．可以是常数列 D．当时，对任意，
【答案】B
【分析】先求得与的递推关系式，利用差比较法、换元法，结合二次函数的知识以及差比较法求得正确答案.
【详解】由，得，则，依题意，所以，由于，所以可由，解得（负根舍去），对于A：由于，所以，即对任意，，故A正确；对于B：因为，
又，则，即，又，即，则，同理可得，当，都有，故B错误；对于C：①，
若，解得，此时是常数列，故C正确；对于D：因为，当，则，即，同理可得，当，都有，又，即数列为递减数列，即当时，，故D正确.故选：B
6．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．，使得 B．，使得
C． D．，使得数列的最小值为
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式得，利用反证法推理判断B；求出数列通项公式，确定的范围判断A；确定数列单调性判断CD.
【详解】由，得，对于B，假定，使得，而，则，，于是，与矛盾，因此假定是错的，即，B错误；，，而，，数列是首项为，公比为2的等比数列，则，因此，，对于A，，则，对，A错误；对于CD，，而函数是减函数，又，则，即，，因此数列是递增数列，，且是数列的最小项，C正确，D错误.故选：C
7．（多选）（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当取得最大值时， D．
【答案】BC
【分析】利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断.
【详解】因数列是等差数列，则，，
则，，则，则公差（数列是递减数列），，时取得最大值，故A、D错误；B、C正确；故选：BC
8．（多选）（24-25高二下·四川资阳·期中）已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（ ）
A． B．数列为周期数列
C． D．数列为递增数列
【答案】AD
【分析】根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项逐一判断即可．
【详解】由，得，即，又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，故A正确，C错误；对于D，因为，所以为递增数列，故D正确；对于B，，数列不具有周期性，故B错误．故选：AD．
9．（多选）（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是递减数列
C．当时， D．
【答案】BCD
【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可.
【详解】因为，又，所以数列是首项为9，公差为的等差数列.记公差为d，则，所以.选项A：.所以选项A错误.选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确.选项C：当，，即.所以选项C正确.选项D：，所以选项D正确.
10．（多选）（24-25高二下·四川凉山·期中）数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】CD
【分析】根据即可判断A；由等差数列通项公式求得，即可判断B；令求解即可判断C；根据等差数列的函数特性即可判断D．
【详解】对于A，由得，，所以是递减数列，故A错误；
对于B，由得，数列是等差数列，所以，
所以，故B错误；对于C，令，即，解得，故C正确；
对于D，，对称轴为，所以当或4时，取得最大值，故D正确；故选：CD．
11．（多选）（24-25高二下·广西南宁·期中）已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递减数列
D．的前n项和
【答案】ACD
【分析】A选项，变形得到，故为首项为3，公比为3的等比数列；B选项，在A基础上，得到；C选项，作差法得到，故为递减数列；D选项，先求出的前n项和，进而得到结果.
【详解】A选项，，又，故，
所以为首项为3，公比为3的等比数列，A正确；B选项，由A知，，所以，B错误；C选项，，所以，故为递减数列，C正确；D选项，的前n项和为，所以的前n项和，D正确.故选：ACD
12．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可.
【详解】若数列为递减数列，且，则，可得对任意恒成立，可知当时，取到最小值9，可得，所以实数的取值范围是.
13．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为______________.
【答案】
【分析】由得恒成立，进而有随的增大无限接近于，根据二次函数性质及数列单调性有，得，利用即可得.
【详解】记①，将n换为代入得②，
对时，由②－①得③，
因为数列是单调递增数列，所以，由③得，
即.综合得.根据单调性有，即，显然，所以，且，则，
所以随的增大无限接近于，则，可得，
由，则，所以.
14．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，数列满足，若，都有，则的取值范围为_____.
【答案】
【分析】利用构造法结合等比数列的定义得到，再结合建立不等式，进而对的奇偶性进行讨论，使用分离参数法求解即可.
【详解】因为，所以，即，得到，而，则，故是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，即，因为，所以，则，因为，所以，则，即，得到，且令，我们对的取值进行分类讨论，易得，当为奇数时，，当为偶数时，，当为奇数时，可得，此时令，由一次函数性质得在上单调递增，故，此时得到，当为偶数时，
可得，此时，令，由一次函数性质得在上单调递减，
故，此时得到，综上可得，.
(
地
城
考点04
求数列的通项公式
)
1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）数列，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过逐项验证即可求解.
【详解】对于A和C，令，分母显然无意义，排除，对于B，令，得，错误，
对于D，分别令，得符合，正确，故选：D
2．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用求解，并检验.
【详解】当时，，又，不符合上式，则.故选：D
3．（24-25高二下·湖南·期中）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件构造等差数列，再结合通项公式计算求解.
【详解】因为，左右同乘，所以，为首项是1，公差为3的等差数列，所以，所以，故选:C.
4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依次求出各个选项中数列的前几项即可判断.
【详解】对于A，，不合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，不合题意；对于D，，不合题意．故选：B
5．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式以及前项和的基本量计算，分别求出首项和公差，即可得通项公式.
【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，则，解得，所以数列的通项公式为.故选：A.
6．（24-25高二·福建三明·期中）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，利用倒序相加法求出的通项公式；
【详解】函数对任意都有，
数列满足①
又②
①②得：，得.故选：B.
7．（24-25高二·广西·期中）已知数列满足条件，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据公式即可求出．
【详解】由题意可设①，当时，，∴；
当时，②
①－②相减可得，，∴．当时，不满足上式．综上可知，数列的通项公式为．故选：B．
8．（24-25高三·河南漯河·期中）在数列中，，，则的通项公式为．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式.
【详解】由已知得，所以
将上述个式子相加，整理的又因为，所以．故选A．
9．（多选）（24-25高二·黑龙江佳木斯·期中）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…..设各层球数构成一个数列，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列的通项公式为
D．数列的一个递推公式为
【答案】BC
【分析】由题可得数列递推公式，从而可得数列通项公式，即可判断各选项正误.
【详解】对于D，由题可得，则可得的一个递推公式为，
从而.故D错误；对于C，由D分析可知：，又符合上式，则的通项公式为，故C正确；对于AB，由C可知：，，故A错误，B正确.故选：BC
10．（多选）（25-26高二上·广西南宁·期中）大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中每一项代表了太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由递推关系讨论当时和当时两种情况得到，再利用累加法得到数列的通项，然后逐项判断即可.
【详解】因为，，令且，当时，①；
当时，②，由①②联立得．所以，，…，，累加可得．
令（且为奇数），得，当时满足上式，所以当n为奇数时，，
当n为奇数时，，所以，其中n为偶数．
所以，故D正确．所以，故A正确．
因为，故B正确．当n为偶数时，，即，当n为奇数时，，即，综上可得，故C错误．故选：ABD．
11．（多选）（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的前项和为，则有（ ）
A．为等比数列 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据的关系，作差可得（），进而得是从第二项开始从公比为3的等比数列，即可求解通项判断BC，根据，即可求解CD.
【详解】由可得时，，故，因此（），
而，不满足，因此是从第二项开始从公比为3的等比数列，故，故BC错误，由，，故为等比数列，故AD正确，故选：AD.
12．（多选）（24-25高二下·四川遂宁·期中）甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．该数列为递增数列
【答案】ABD
【分析】将代入通项公式，求出，然后根据数列的性质，逐项分析即可.
【详解】由，得，故，所以，所以A 、B正确， ，所以C 错误，又得该数列为递增数列，所以D正确.故选：ABD
13．（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________.
【答案】
【分析】利用，可求数列的通项公式．
【详解】由题意时，，又也满足上式，所以．
14．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知数列的前n项和为，则的通项公式是__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式.
【详解】当时，，当时，，
不满足，，
15．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________．
【答案】
【分析】利用构造法，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式可求得，最后可由此求得.
【详解】因为，即，所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，所以，，当时，，所以，当时，也成立，所以，
16．（24-25高二上·福建三明·期中）若数列满足，则数列的通项公式为________.
【答案】
【分析】根据已知条件写出的式子，两式相减即可求出通项公式.注意首项的检验.
【详解】∵，①，∴ 当时， ②
①②得：，即，当时，符合上式，∴数列的通项公式为，
17．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则______.
【答案】
【分析】结合累加法，由裂项相消法化简求解即可.
【详解】因为（，且），，
所以
；经验证，时，，符合条件.
18．（24-25高二下·四川成都·期中）数列中，若，则数列的通项公式为_________．
【答案】
【分析】由递推关系得到为常数列，从而可求解.
【详解】因为，所以，所以数列为常数列，且，所以.
19．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式______．
【答案】
【分析】根据与的关系代入计算，再由等比数列的通项公式，即可得到结果.
【详解】当时，有，则当时，有，两式相减可得，即，又，，所以，所以时，数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以.
20．（24-25高二下·广东广州·期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式________．
【答案】
【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.
【详解】因为，所以，则数列是以为首项，以1为公差的等差数列，所以，则.
21．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________．
【答案】
【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解.
【详解】由，可得，即，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以．
22．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【分析】通过已知条件求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，进而得到数列的通项公式.
【详解】已知 ①.当时， ②.
用①式减去②式可得
，解得.当时，，将代入可得，满足上式.
数列的通项公式为.
23．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)不存在，过程见解析
【分析】（1）根据计算；
（2）将通项公式代入化简求.
【详解】（1），则时，，
两式作差得，又符合上式，故；
（2）假设存在正整数，使成立，即，
化简得，得或，均不是正整数，故不存在正整数，使成立.
24．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列中，且.
(1)求数列的第项；
(2)猜想数列的通项公式，并证明.
【答案】(1)，，.(2)，证明见解析.
【分析】（1）根据递推公式代入计算即可；
（2）由（1）及递推公式猜想数列的通项公式，再利用倒数法证明.
【详解】（1），，.
（2）由（1）可猜想.
证明：由，可得，即，又，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，则，所以.
(
地
城
考点05
有关数列中的最大（小）项问题
)
1．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项.
【详解】数列中，由，得，由，得，则当时，；当时，，即，所以数列的最小项是第6项.故选：B
2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项
【答案】B
【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得.
【详解】由，，当时，，即，当时，，即，数列在上都单调递减，所以最小项为，即第6项.故选：B
3．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件说明，再假设数列的第项最小，，，列不等式求其解，可得结论.
【详解】因为，故，，所以，假设数列的第项最小，，，则，故，所以，所以，即数列的前项中最小项是，故选：D.
4．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的各项均为非负数，，且对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】C
【分析】根据递推公式化简题给条件，设，根据累加求的和，再列不等式即可求的最大值，再化简成关于的式子即可得解.
【详解】，则，.设，则，即，.
所以.又，
则，，
所以，则，即
则，即.故的最大值为.故选：C.
5．（多选）（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知无穷等差数列为递增数列，为数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．数列不存在最大项
C．数列为递增数列
D．存在正整数，当时，
【答案】BD
【分析】由等差数列的通项公式，前项和公式，递增数列的概念逐项求解判断即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，因为为递增数列，所以，则.对于A，因为，又的符号无法确定，故A错误；
对于B，因为，所以数列不存在最大项，故B正确；
对于C，因为，所以，
当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，故C错误；
对于D，因为为递增数列，所以，若，则当比较大时，，即一定存在正整数，当时，，若，显然存在正整数，当时，，故D正确.故选：BD.
7．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据递推式得，得数列单调递减，即且，判断A、B，根据得，从而得到、，进而有判断C，由并应用累加法求，即可判断D.
【详解】由，而，显然，则，所以数列单调递减，即（时取等号），则，A对，由，结合A分析，则（时取等号），B对，由，则，结合已知及A分析，有，故，由B知（当且仅当时右侧等号），而，综上，
则（当且仅当时右侧等号），
所以，即（当且仅当时左侧等号成立），所以，C对，由，则，所以，则，D错.故选：ABC
8．（多选）（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是
【答案】ACD
【分析】根据前项和公式求出通项公式即可判断A，根据等差的定义结合特例判断B，结合二次函数性质求解最值判断C，根据对勾函数的单调性求解最值判断D.
【详解】A，当时，，
当时，，不满足上式，故，故A正确；
B，由A可知，显然，所以不是等差数列，故B错误；
C，，故当或6时，有最大值2，C正确；
D，，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且，，所以的最大值是，D正确，
故选：ACD
9．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则的最小值为__________.
【答案】72
【分析】 由 判断的单调性，由此求出的最小值.
【详解】 ，
的最小值为.
10．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为_________.
【答案】/
【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解.
【详解】由题意有：，，
上式相加得，
所以，所以，因为在单调递减，在单调递增，所以，
11．（24-25高二下·河北廊坊·期中）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______．
【答案】
【分析】由对勾函数的性质求解即可.
【详解】数列的通项公式为，由对勾函数的性质可知：当时，取得最小项，即.
12．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）数列的最大项为第项，则__________.
【答案】5或6.
【分析】由题意列出不等式即可求解.
【详解】∵数列的最大项为第项，∴，即，
即，由于是正整数，所以或.
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