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专题01 空间向量、解析几何、数列
10大高频考点概览
考点01空间向量线面角
考点02空间向量面面角
考点03空间向量距离问题
考点04圆与椭圆
考点05双曲线
考点06抛物线
考点07圆锥曲线综合问题
考点08等差数列
考点09等比数列
考点10数列求和
一、多选题
1．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
【答案】ABD
【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.
【详解】解：由题意可得，，又，平面PAC，
所以平面PAC，
在中，，AC边上的高为，
所以，故A正确；
对于B，在中，，，
，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，设点A到平面PBC的距离为d，
由，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
设外接球球心为，外接圆圆心为，
连接，可知平面，
又因为平面，
所以，
在直角三角形中，
可得：，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故D正确.
故选：ABD．
二、解答题
2．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.

(1)求证：平面；
(2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见详解
(2)存在，点为靠近的三等分点
【分析】（1）台补锥，根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）延长三条侧棱交于一点，
因为正三棱台的侧棱长为2，且，即，
可得，且，
所以，，
即，，，
且，平面，
所以平面，即平面.
（2）由（1）知，
以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，则，可得，
由题意可得：，
整理可得，解得或（舍去），
故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为.
3．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点．
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）线段AB的中点为，连接，，易证，即可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【详解】（1）证明：如图，设线段AB的中点为，连接，，
在中，为的中点，为的中点，所以．
又在矩形中，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为，为AB的中点，所以F为的中点，
又G为的中点，在中有．
所以可得，又平面，平面，所以平面．
（2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，，
设，且，则，
所以，
设平面的法向量为，
因为，，
由，得，
令，则，，所以为平面的一个法向量，
所以；
令，则，
所以，即，时，有最大值．
一、多选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知正方体的棱长为，分别是线段上的动点，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与平面所成的角为定值
C．三棱锥的顶点都落在球的表面上，则球的最大半径为
D．当三棱锥的体积最大时，平面与平面的夹角的正切值为
【答案】ABD
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，结合，可得判定A正确；根据题意，证得平面，得到，证得平面，可得判定B正确；由两两垂直，结合长方体的性质，求得外接球半径的最小值为，可判定C错误；根据三棱锥的体积公式，得到是的中点时，体积最大，取的中点，连接，得到为平面与平面所成的角，在直角中，可判定D正确.
【详解】对于A中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，
可得，
则，
则，所以，所以A正确；
对于B中，连接，在正方体中，可得，
且平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且，平面，
所以平面，所以直线与平面所成的角为定值，所以B正确；
对于C中，三棱锥的顶点都落在球的表面上，
在正方体中，可得两两垂直，
所以三棱锥的外接球等价于补成的对应长方体的外接球，
其中对应长方体的长宽高分别为，
所以外接球的直径为，其中，
所以外接球半径的最小值为，所以C错误；
对于D中，由，
当时，三棱锥的体积最大，即是的中点时，体积最大，
取的中点，连接，可得，
在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为平面与平面所成的角，
在直角中，可得，所以D正确.
故选：ABD.
二、解答题
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面平面，即可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，
又平面 ，平面，
所以平面，
因为四边形是梯形， ，又平面 ，平面，
所以平面，
又，平面，故平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）因为，所以两两垂直，
故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有，，，，
所以 ，， ， .
设平面的一个法向量，则有：
，
令，则，所以.
设平面的一个法向量，则有：
，令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，则，
因为，所以，
所以平面与平面的夹角的大小为.
3．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点.
(1)证明平面；
(2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质以及三角形中位线定理可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）连接，交于，连接，作图如下：
在菱形，因为，所以为的中点，
在中，因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）记的中点为，连接，由题意可知平面，
在菱形中，由，则，易知为等边三角形，
由为的中点，则，由平面，
则，
以为原点，分别以所在是直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
由，，则，
易知，则，且，
由图可得，，，，
则，，
设平面的法向量，由（1）易知，
则，令，则，
所以平面的一个法向量，
由图易知为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可.
【详解】已知平行四边形，，且，
，，
二面角为，，，
，
，
则，即与之间距离为.
故选：D．
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，平面的中心，平面的中心，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
则点B到平面APQ的距离为.
故选：B
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】D
【分析】首先确定的轨迹为圆，再求圆心到直线距离，进而判断圆上点到直线距离的最大值，注意取值条件.
【详解】由题设在以为圆心，为半径的圆上，
又的直线的距离，
则，当且仅当时取等号，
所以点P到直线的距离最大值为5.
故选：D
2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设出，再利用两点间距离公式得到，结合中点坐标公式得到，进而得到，整理得到，最后求解轨迹方程即可.
【详解】设，因为，所以，
整理得，因为点是的中点，所以，
则，又，得到，
整理得，则点的轨迹方程为，故C正确.
故选：C.
二、填空题
3．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案.
【详解】如下图所示：易知，
又焦半径的最小值为，且恒成立，
则，又，所以，
整理可得，即，可得，即，
又，解得，又半径，则，解得，
所以.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可.
【详解】由双曲线，则，焦点在轴上，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
3．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设曲线与圆锥的底面圆交于点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率.
【详解】设曲线与圆锥的底面圆交于点，,
则,为等边三角形，
设为的中点，取的中点，
过作，交直线于点，过点作轴，
建立如图平面直角坐标系，设双曲线方程为，
得到,又,所以,
则
则，故，
从而求出离心率.
故选：A.
4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据点到线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为，由勾股定理可得，根据，利用余弦定理可得，再结合已知条件即可求解.
【详解】
设双曲线的一条渐近线为，即，
点到渐近线的距离为，
所以，
在中，，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
整理可得，所以.
故选：.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，设、的斜率为、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合以及，可求出的值.
【详解】易知抛物线的焦点为，则直线的方程为，设点、，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
所以，因为，解得.
故选：B.
二、多选题
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知直线经过抛物线的焦点，与交于不同的两点，与的准线交于点，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的取值范围是
D．若成等差数列，则
【答案】ABD
【分析】对于A选项，由直线经过抛物线的焦点可求得，对于B选项，联立直线与抛物线方程，，消去得：，设，由韦达定理和求出，对于C选项，将表示为的函数求值域即可得到范围，对于D选项，由抛物线的定义结合图形即可判断为中点.
【详解】对于A，由题：
抛物线的焦点为在直线上，
所以，故A正确；
对于B，联立直线与抛物线方程，，消去得：
，即：，
设，故，（*）
由得：，代入（*）式得：，
解得：，故B正确；
对于C，过作，垂足为，则
所以，
令，则且，所以且
则，
故C不正确；
对于D，若成等差数列，过作，垂足为，过作，垂足为，则，则如下右图，所以，
又，所以，即，
又，所以，所以为中点，
故，D正确，
故选：ABD.
三、填空题
3．(24-25高二下·重庆第八中学·期中)斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为______.
【答案】16
【分析】利用过焦点的直线与抛物线的关系，利用韦达定理代入弦长公式求解.
【详解】因为过抛物线的焦点，斜率为1，
所以直线的方程为，则联立直线与抛物线方程
，得到，
令
则，，
代入弦长公式.
故答案为：16.
一、解答题
1．(24-25高二下·重庆第一中学校·期中)已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点在椭圆上及三角形面积公式求椭圆参数，即可得方程；
（2）设，联立椭圆方程，并写出对应韦达公式，由三角形面积相等有，进而得到三角形相似，再确定为线段的中垂线与椭圆的交点，即可求的坐标.
【详解】（1）由的面积为，得，解得，所以①，
又因为点在椭圆上，所以②，
联立①②解得，所以椭圆的标准方程为
（2）
设，联立方程，
消得：，直线与线段交于点，则，
所以
，所以，
由得：，即，又.
所以，所以，则，
所以，又，
所以，所以，
所以为线段的中垂线与椭圆的交点，
由，解得：或，
因此，的坐标为
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上的两个动点，且直线的斜率分别为，
（ⅰ）直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
（ⅱ）当直线的纵截距不大于时，求面积的最大值
【答案】(1)
(2)（ⅰ）是，
（ⅱ）
【分析】（1）根据题意列出方程组即可解；
（2）（ⅰ）设，，联立曲线方程得到，再根据代入计算可得的值即可得到直线的斜率为定值；
（ⅱ）根据（ⅰ）求出弦长及点到直线的距离，再计算出面积，利用函数单调性可计算最大值；
【详解】（1）由题意，解得，故所求为.
（2）
（ⅰ）根据题意直线斜率不为0，所以设，，
，
，
，
，
当，此时直线过点，故舍去，即，
所以直线方程为，即，
所以直线的斜率是定值，等于.
（ⅱ）由（ⅰ）得直线方程为，又直线的纵截距不大于，
所以，解得，又，
所以，
,
又点到直线的距离，
，
令，
，
所以当时，解得或或，
即当时，，单调递减，，
即，
所以面积的最大值.
3．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆，点，斜率不为0且过点的直线交椭圆于不同的两点，直线和与椭圆分别交于两点．
(1)求三角形的面积的最大值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设出过点的直线，与椭圆方程联立，利用弦长公式计算椭圆截直线的弦长，再利用点到直线的距离计算点到直线的距离，得整理化简，再换元并利用导数判断函数的单调性并求其最大值，即可得到面积的最大值.
（2）设坐标，根据图象可得，再利用直线与椭圆联立后的方程得.化简并整理得，由（1）知，即可求得范围.
【详解】（1）
设，斜率不为0且过点的直线方程为，
联立直线和椭圆方程，得，
且，得且.
椭圆截直线的弦长为
.
点到直线的距离为.
则
令，则.
令，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上，单调递减.
有最大值，则有最大值.
（2）设，直线方程为，直线方程为.
联立直线与椭圆，得，
.
同理得
.
不妨设.
由（1）知，，
则
.
由（1）知，则，得，
故.
4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)已知椭圆C：（）的左焦点为，点在椭圆C上，且轴.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
(3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）由轴，得，将代入椭圆方程与联立求解即可.
（2）由的坐标，求出的中点坐标，及线段的垂直平分线的斜率，代入点斜式求出直线方程，与椭圆方程联立即可.
（3）设，当时，或，当时，的垂直平分线方程为，与椭圆方程联立，利用判别式为0化简得，又，也满足该式，即可求解的轨迹方程即可.
【详解】（1）
轴.，，
，则，
，
，
又在椭圆C上，
即，
联立，
化简得：，解得:, (舍)，
，
椭圆C的方程.
（2）
，，
中点坐标为，，
线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线的方程为,即，
联立，解得，
线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，公共点坐标为.
（3）
设，当时，的垂直平分线方程为，
此时，解得或；
当时，的垂直平分线方程为，
联立得：
，
线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
，
整理得：，
即，
，
，
，
也满足方程，
点的轨迹是圆，圆的方程为，即．
5．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6.
(1)求C的标准方程.
(2)延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程；
（2）由三点共线，可得，由直线的方程和直线的方程联立，再利用根与系数关系由分别表示出，再表示出，即可得到的值.
【详解】（1）设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.
（2）是定值.
由（1）得，
设，，
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，
又
，
所以.
6．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知直线过轴上的定点，由结合韦达定理可求出的值，即可得出定点的坐标.
【详解】（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的标准方程为.
（2）若直线与轴重合，则该直线与双曲线交于两个顶点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，
由韦达定理可得，，
易知点，由对称性知直线过轴上的定点，
，，
由题意可知，即，
可得，解得，
因此，直线过定点，且定点坐标为.
7．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点.
（i）记和的面积分别为，且，求直线的方程；
（ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案；
（2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案.
【详解】（1）由题意：，解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）
（i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，
联立得，设，
因为点在双曲线的左支上，所以，解得，
又，则，
即有，则，解得，
满足，所以，于是直线的方程为.
（ii）由（i），则，故.
，则，所以直线的方程为，
同理，所以直线的方程为：，
故点的横坐标满足：，
显然，由题意得：，
则，
则，故点在定直线上.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知等差数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式分别写出，再分析与关系，根据充分必要的定义判断即可.
【详解】等差数列，设等差数列的公差为，则.
当时，，恒成立，则由不能推出；
因为，，
则，
则由可以推出.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列的公差为3
B．数列是递增数列
C．数列中的最小项为
D．成等差数列
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的前项和公式，即可求出公差及前项和，从而可判断各选项.
【详解】设等差数列的首项为，公差为；
由可得，解得，
所以数列的公差为3，即A正确；
依题意可得，
所以，即B正确；
由，由二次函数性质以及可得，当时，，所以C错误；
由
，所以成等差数列，故D正确.
故选：ABD
3．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)设是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d，，，，则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】举反例可判断，；根据等差数列前n项和公式可判断，.
【详解】对于，，当时，，
，，
，故错误；
，故错误；
对于，，当为任意实数时，
，
，
所以，故正确；
，
故正确.
故选：.
4．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用等差数列的性质和前项和的公式逐个求解即可.
【详解】，
故，所以公差，数列递减.
且，故，
且.
故选：AC
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知正项等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．32 B．31 C．17 D．15
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用等比数列性质可以求得，结合的值求得公比，进而求出首项，利用求和公式计算即可得出.
【详解】在正项等比数列数列中，
由，解得.
又∵，∴，解得：，∴，
∴
故选：D.
2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)若数列是等比数列，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先根据等比数列的通项公式将表示出来，然后将的表达式列出来，最后计算对数的值.
【详解】因为数列是等比数列，
则，而.
则.
故选：B.
3．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合等比数列通项公式求，结合等比数列求和公式运算求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，解得，
所以.
故选：B.
4．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，直线的斜率为1，若，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线的斜率求得，可得数列是以2为首项，4为公差的等差数列，进而求得，进而求解即可.
【详解】依题意，，
直线的斜率为，
则，又,
所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
则，
则，即的坐标为.
故选：A.
二、填空题
5．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为______．
【答案】2
【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题.
【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数，
所以，解得:或(舍).
故答案为：2
三、解答题
6．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知数列的首项为3，且满足，令．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的都成立，求的范围．
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）将递推关系变形，利用等比数列的定义证明，并求出通项公式；
（2）由（1）可得，对任意均成立，令，判断数列的单调性，求出最大项得解.
【详解】（1）由，则，又，
所以，又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
.
（2）由，则，即对均成立，
所以，对任意均成立，
令，由，，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
，即的取值范围为.
一、多选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知数列满足为数列的前项和，下列正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据等比数列的定义结合条件可判断ABC，根据等比数列的求和公式可判断D.
【详解】由，可得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，故A正确，C错误；
而，则，
所以，则数列是等比数列，故B正确；
因为，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
二、解答题
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)记数列的前项和为，已知且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用的关系，可得，利用累乘法可求的通项公式；
（2）利用裂项相消法与等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）根据题意，，，则，
两式相减得，
即，
所以，
又适合上式，故的通项公式为，
（2）由（1）知，，所以，
故
.
3．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知数列满足，令.
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据，即可根据等比数列的定义证明为等比，求解首项，即可利用等比数列的通项公式求解，
（2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式即可化简求解.
【详解】（1）因为，则，所以，
又，则，故，因此是以4为首项，2为公比的等比数列,
则.
（2）由（1）知，，所以①，
则②，
由①-②得到，
故
因此
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专题01 空间向量、解析几何、数列
10大高频考点概览
考点01空间向量线面角
考点02空间向量面面角
考点03空间向量距离问题
考点04圆与椭圆
考点05双曲线
考点06抛物线
考点07圆锥曲线综合问题
考点08等差数列
考点09等比数列
考点10数列求和
一、多选题
1．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
二、解答题
2．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.

(1)求证：平面；
(2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由.
3．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点．
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的最大值．
一、多选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知正方体的棱长为，分别是线段上的动点，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与平面所成的角为定值
C．三棱锥的顶点都落在球的表面上，则球的最大半径为
D．当三棱锥的体积最大时，平面与平面的夹角的正切值为
二、解答题
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的夹角的大小．
3．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点.
(1)证明平面；
(2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为__________.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
3．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，设、的斜率为、，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知直线经过抛物线的焦点，与交于不同的两点，与的准线交于点，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的取值范围是
D．若成等差数列，则
三、填空题
3．(24-25高二下·重庆第八中学·期中)斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为______.
一、解答题
1．(24-25高二下·重庆第一中学校·期中)已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标.
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上的两个动点，且直线的斜率分别为，
（ⅰ）直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
（ⅱ）当直线的纵截距不大于时，求面积的最大值
3．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆，点，斜率不为0且过点的直线交椭圆于不同的两点，直线和与椭圆分别交于两点．
(1)求三角形的面积的最大值；
(2)求的取值范围．
4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)已知椭圆C：（）的左焦点为，点在椭圆C上，且轴.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
(3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.
5．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6.
(1)求C的标准方程.
(2)延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
6．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
7．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点.
（i）记和的面积分别为，且，求直线的方程；
（ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知等差数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列的公差为3
B．数列是递增数列
C．数列中的最小项为
D．成等差数列
3．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)设是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d，，，，则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知正项等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．32 B．31 C．17 D．15
2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)若数列是等比数列，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，直线的斜率为1，若，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为______．
三、解答题
6．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知数列的首项为3，且满足，令．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的都成立，求的范围．
一、多选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知数列满足为数列的前项和，下列正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
二、解答题
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)记数列的前项和为，已知且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和
3．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知数列满足，令.
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
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