资源简介

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专题01 条件概率与随机变量分布列
5大高频考点概览
考点01条件概率与事件的独立性
考点02离散型随机变量的分布列
考点03二项分布与超几何分布
考点04数字特征
考点05正态分布
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果.
【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：，
又，则.
故选：C
2．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件求，，结合条件概率公式求结论.
【详解】由题意得，，
所以.
故选：C.
3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件概率计算公式即可求解.
【详解】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”，
则，
故选：C
4．（24-25高二下·辽宁大连第八中学·期中）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.9875
【答案】A
【分析】利用全概率公式可得答案.
【详解】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为，
则一列车能正点到达该车站的概率为.
故选：A.
5．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ）
A．0.02 B．0.98 C．0.049 D．0.05
【答案】A
【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案.
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则
故所求概率，解得.
故选：A.
6．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件，利用条件概率公式计算可得.
【详解】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件，
则，，
所以，
即在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为.
故选：B
7．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由古典概型公式、条件概率公式计算可得答案.
【详解】事件A包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个，
其中，事件B包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个，
概率.
故选：A.
8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（ ）
A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25%
【答案】B
【分析】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”，事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”，根据全概率公式列式求解.
【详解】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”，
事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”，
则，，，，，，
由全概率公式，
即，解得.
故选：B.
二、多选题
9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件A，B互相独立
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对A，根据结合条件运算得解；对B，根据相互独立事件定义判断；对C，由概率的加法公式求解判断；对D，由事件相互独立，则，代入运算判断.
【详解】对于A，因为，又，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以事件相互独立，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为事件相互独立，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】ABD
【分析】根据古典概型的计算公式，相互独立事件的定义，结合条件概率的计算公式逐一判断即可.
【详解】由题意，故A正确；
，故B正确；
，
因为，所以事件与事件不相互独立，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
11．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A．事件与相互独立； B．；
C．； D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【分析】求出各事件的概率，即可得出结论.
【详解】由题意，
，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．
显然，，，是两两互斥的事件，D正确
且，，
而，A错误，
，，
所以，B正确；
，C正确；
故选：BCD.
三、填空题
12．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知，，则______．
【答案】0.3/
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式计算得解.
【详解】依题意，与互斥，，
所以
故答案为：0.3
13．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知，，，则______.
【答案】
【分析】根据全概率公式和条件概率公式进行计算即可.
【详解】.
.
故答案为：
14．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________．
【答案】/0.6875
【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可.
【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，
则，，，
，
由全概率公式可得
.
故答案为：.
四、解答题
15．(24-25高二下·辽宁名校联盟·期中)假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%.
(1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？
(2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果.
（2）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果.
【详解】（1）设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则
又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故,
根据全概率公式可得,
则根据贝叶斯公式：,
（2）设事件C为“第二次能约出来”,设事件D为“crush连着两次都能约出来”，
因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故,
根据全概率事件,
而事件,则,,
根据全概率公式：,
根据贝叶斯公式：
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）表是离散型随机变量的概率分布，则（ ）
1 2 3 4
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据概率和为1求解即可.
【详解】由题意，，解得.
故选：B
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解.
【详解】由题意，解得，
而.
故选：A.
二、填空题
3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则______．
1 2 3 … 50
…
【答案】/0.28
【分析】由分布列的性质求得，进而可求解.
【详解】由题意，，
解得，
所以
．
故答案为：
三、解答题
4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为．
【分析】（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值；
（2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值.
【详解】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”，
则，，；
记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”，
则，，；
事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则（C），
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为．
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，，
则离散型随机变量的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望．
5．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲 乙 丙三人参加点球测试，每人有两次点球机会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲 乙 丙三人点球成功的概率分别为，且三人每次点球的结果互不影响．
(1)求甲 乙 丙三人共点球4次的概率；
(2)设X表示甲 乙 丙三人中测试合格的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】(1)甲 乙 丙三人共点球4次，根据测试规则，有2人第一次点球成功，剩下的1人第一次点球失败，再根据乘法公式和加法公式即可求解；
(2)先分别计算甲 乙 丙三人测试合格的概率，再按求分布列的一般步骤即可求得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）设甲 乙 丙三人第次点球成功分别为事件，
则．
甲 乙 丙三人共点球4次，根据测试规则，有2人第一次点球成功，剩下的1人第一次点球失败，
则甲 乙 丙三人共点球4次的概率
（2）甲测试合格的概率，
乙测试合格的概率，
丙测试合格的概率．
易知的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）设ξ～B（n，p），已知Eξ=3，Dξ=，则n与p的值为（ ）
A．n=12， B．n=12， C．n=24， D．n=24，
【答案】A
【分析】根据ξ～B（n，p）利用Eξ与Dξ的公式得到关于的方程组，即可求解．
【详解】由题意，可知ξ～B（n，p），且Eξ=3，Dξ=，
则，所以，
故选A．
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由独立重复试验概率计算公式即可求解.
【详解】甲以“”获胜即前3局中，甲胜2局输1局且第4局胜，
记“甲以“”获胜”，
因为各局比赛的结果相互独立，
所以．
故选：B
3．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）若，且，则等于（ ）
A．4 B．2.4 C．0.96 D．0.24
【答案】B
【分析】根据二项分布的期望、方差公式求解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以，
故选：B
4．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据二项分布的方差计算公式求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：A.
二、多选题
5．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．X服从超几何分布 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，利用超几何分布的定义判断A，根据超几何分布列求出概率和期望即可判断BC，根据，且，利用期望性质求解判断D.
【详解】A选项，由题意知，随机变量X为取出白球的个数，
从10个球（6黑4白）中不放回抽取4个，
服从超几何分布概念，故A正确，
BC选项，的取值可能为：，
所以，又，
，，
，
所以，
的取值可能为：，
由题意得，所以，
所以，
，
，
所以，
所以，故B错误，C正确，
D选项，由题意，且，故，
则，D正确.
故选：ACD
三、填空题
6．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______.
【答案】/
【分析】由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值.
【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2；
则，，，
随机变量X的概率分布为；
X 0 1 2
P
所以数学期望.
故答案为：.
7．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】分别求得甲以获胜的概率，甲以获胜的概率，再由求解.
【详解】题意可知，甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，
因为，
所以，解得，
故的取值范围为.
故答案为：
解答题
8．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示．
(1)求的值；
(2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据各小组的频率之和等于1列式计算即得；
（2）根据抽样比得到高度在和的株数分别为2和3，确定的可能取值，利用超几何分布计算各概率值，写出分布列即可；
（3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）依题意可得，解得；
（2）结合（1）的结论，可得高度在和的频率分别为0.1和0.15，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
则可取0，1，2，于是，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
P
（3）从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在为事件，
至多1株高度低于23cm为事件，
因高度在内的频率为，即，
高度在内的频率为，即，
高度在内的频率为，即，
则，
而，
所以.
9．（24-25高二下·辽宁大连第八中学·期中）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
【答案】(1)答案见解析
(2)甲面试通过的可能性大
【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可；
（2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论.
【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，
则可取，可取，
则，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数为的分布列为：
；
（2）由（1）得，
，
因为，
所以甲得成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大.
10．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)；
(3)或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在中抽4人，在中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望；
（2）由全概率公式，即可求解；
（3）由题设得，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题.
【详解】（1）由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人，
所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人，
则成绩优秀的学生人数可取，所以
；；.
所以分布列为
0 1 2
则期望.
（2）记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生，
由已知条件可知，，
所以.
（3）记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，
由题意可知，，
所以，令，
则，
令，则，所以时，，
令，则，所以时，，
令，则，所以，
所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
11．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立．
(1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率；
(2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围；
(3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.
（2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式分别求解3局2胜制和5局3胜制甲获胜的概率，然后列不等式求解即可.
（3）根据二项分布列的概率公式求出，然后根据列不等式求出p的取值范围，然后通过对相邻项作比建立不等式，确定唯一性，即可得解.
【详解】（1）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率，
根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得
则甲最终获胜概率是：．
（2）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率，
根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得
甲最终获胜概率是：，
5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、，
则甲最终获胜概率是：，
由题知，即，
则，
又，则p的取值范围是．
（3）由题，，故，．
是数列的唯一的最大项，则必有，
即，解得：，
此时，，则
则时，；时，；
即，故是数列的唯一的最大项．
综上，p的取值范围是．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知离散型随机变量的方差为2，则（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据方差的性质即可得解.
【详解】因为离散型随机变量的方差为2，
所以.
故选：D.
2．（24-25高二下·辽宁省实验中学·期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可.
【详解】由题设，
所以.
故选：C
3．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
2 4 7
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解.
【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得，
则，，
所以，．
故选：A.
4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【分析】求出X的可能取值和对应的概率，利用期望公式求出，进而求出.
【详解】X的可能取值为0,1,2,3，
，，，
，
则，
所以．
故选：C
5．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】可能的取值为；可能的取值为，
，，，
故，.
，，
故，,
故，.故选B.
6．（24-25高二下·辽宁大连第八中学·期中）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
二、多选题
7．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．若随机变量的方差，则
C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
D．若随机变量服从二项分布，且最大，则
【答案】AC
【分析】根据正态分布的性质判断A，根据方差的性质判断B，根据超几何分布的期望公式判断C，根据二项分布的概率公式判断D.
【详解】对于A，因为，即的均值是，所以,
又因为，所以，
则，故A正确；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：由于服从超几何分布，所以，故C正确；
（法二：的可能取值为、、，所以，，，
所以）；
对于D：因为，所以，，
则，，
，，
，
所以最大，则，故D错误.
故选：AC
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布，若，则（ ）
A．0.98 B．0.985 C．0.99 D．0.995
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性求解.
【详解】由正态分布的对称性，，
.
故选：A.
2．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．变量服从正态分布 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得，进而可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解CD.
【详解】依题意，，，
对于A，变量服从正态分布，A错误；
对于B, ,故B错误，
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
3．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（ ）
附：（若，则，）
A．2717 B．2718 C．6827 D．9545
【答案】C
【分析】先根据正态分布的对称性，求，再估计测试成绩在内的学生人数.
【详解】因为.
所以测试成绩在内的学生人数约为：.
故选：C
4．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
【分析】利用正态分布的对称性求解即可.
【详解】若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
二、多选题
5．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据正态曲线的均值、方差和概率性质，结合已知分布图判断各个选项；
【详解】对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量，乙类水果的平均质量，则，A正确；
对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，所以，B错误；
对于C，D，根据正态曲线图象知，所以，C正确，D错误；
故选：AC.
6．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）随机变量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答.
【详解】随机变量，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，由于，则随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，
而，因此，故D错误．
故选：ABC.
7．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)若，随机变量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【分析】根据正态分布和二项分布的定义、性质，以及二项分布的期望和方差公式判断各选项即可.
【详解】因为，，所以，，故A正确；
当时，，
所以
，
则，故B错误．
当时，，解得或，则或，故C错误；
当时，，因为，所以，则，故D正确．
故选：AD.
三、填空题
8．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)若随机变量X服从正态分布，且，则______．
【答案】
【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解.
【详解】由对称性可得：．
故答案为：
9．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则）
【答案】32
【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可.
【详解】由误差，得，
由误差在的概率不小于0.9973，得，
因此，解得，于是，解得，
所以至少要测量32次.
故答案为：32
10．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为______．
【答案】1600
【分析】解法一：根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而可得结果；解法二：根据题意利用正态分布的对称性求零件不合格的概率，进而可得结果.
【详解】解法一：因为X服从正态分布，且，
所以该企业生产的该种零件合格的概率，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为．
解法二：因为X服从正态分布，且，
所以，
所以该企业生产的该种零件不合格的概率为，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为．
故答案为：1600.
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专题01 条件概率与随机变量分布列
5大高频考点概览
考点01条件概率与事件的独立性
考点02离散型随机变量的分布列
考点03二项分布与超几何分布
考点04数字特征
考点05正态分布
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·辽宁大连第八中学·期中）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.9875
5．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ）
A．0.02 B．0.98 C．0.049 D．0.05
6．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（ ）
A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25%
二、多选题
9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件A，B互相独立
C．
D．
10．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．
11．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A．事件与相互独立； B．；
C．； D．，，是两两互斥的事件
三、填空题
12．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知，，则______．
13．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知，，，则______.
14．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________．
四、解答题
15．(24-25高二下·辽宁名校联盟·期中)假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%.
(1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？
(2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）表是离散型随机变量的概率分布，则（ ）
1 2 3 4
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
二、填空题
3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则______．
1 2 3 … 50
…
三、解答题
4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
5．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲 乙 丙三人参加点球测试，每人有两次点球机会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲 乙 丙三人点球成功的概率分别为，且三人每次点球的结果互不影响．
(1)求甲 乙 丙三人共点球4次的概率；
(2)设X表示甲 乙 丙三人中测试合格的人数，求X的分布列和数学期望．
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）设ξ～B（n，p），已知Eξ=3，Dξ=，则n与p的值为（ ）
A．n=12， B．n=12， C．n=24， D．n=24，
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）若，且，则等于（ ）
A．4 B．2.4 C．0.96 D．0.24
4．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
5．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．X服从超几何分布 B．
C． D．
三、填空题
6．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______.
X 0 1 2
P
7．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为________.
四、解答题
8．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示．
(1)求的值；
(2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率．
9．（24-25高二下·辽宁大连第八中学·期中）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
10．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
11．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立．
(1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率；
(2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围；
(3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知离散型随机变量的方差为2，则（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
2．（24-25高二下·辽宁省实验中学·期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
2 4 7
A．， B．，
C．， D．，
4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
5．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则
A．， B．，
C．， D．，
6．（24-25高二下·辽宁大连第八中学·期中）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、多选题
7．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．若随机变量的方差，则
C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
D．若随机变量服从二项分布，且最大，则
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布，若，则（ ）
A．0.98 B．0.985 C．0.99 D．0.995
2．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．变量服从正态分布 B．
C． D．
3．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（ ）
附：（若，则，）
A．2717 B．2718 C．6827 D．9545
4．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
二、多选题
5．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）随机变量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”
C．
D．
7．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)若，随机变量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
8．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)若随机变量X服从正态分布，且，则______．
9．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则）
10．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为______．
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