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专题01 向量的运算（5大考点50题）
5大高频考点概览
考点01空间向量及其运算
考点02向量的数乘
考点03用定义求向量的数量积
考点04 数量积的运算律
考点05 向量夹角的计算
1．(24-25高一下·江苏南京·期中)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的加减法，可得答案.
【详解】.
故选：A.
2．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在平行四边形中，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量运算法则计算即可判断每个选项的正误.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：A.
3．(24-25高一下·江苏南通·期中)如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】∵ ，
∴.
故选：A.
4．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据向量减法的几何意义，作出图形即可求解．
【详解】的几何意义如图所示，
因为的最小值为3，
所以在中，，所以，
所以，
因为与的夹角有两种情况，即或，
所以或，
故选：D．
5．(24-25高一下·江苏东台·期中)若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得.
【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形，
，而的所有内角均小于120°，
因此取得最小值的点是的费马点，
，则，点在斜边的中线上，如图，
，，，
所以的最小值为.
故选：B
一、单选题
6．(24-25高一下·江苏海安·期中)如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到.
【详解】是边的中点，，
，
是边上靠近点的三等分点,，
，
又，.
故选：C
7．(24-25高一下·江苏南京临江高级中学·期中)设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知.
【详解】表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同，
所以由推不出；
反之，由数乘定义可知，若，则.
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据已知分别转化为同向共线及共线，再结合充分不必要条件定义判断即可.
【详解】向量为非零向量，则“”成立即得向量同向共线；
“存在非零实数m，n，使得”成立即得向量共线；
向量同向共线可以得出共线，但是共线不一定是同向共线，
则“”是“存在非零实数m，n，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
9．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为，
所以，
因为三点共线，必存在一个实数，使得，
所以，而不共线，
所以，解得：.
故选：B.
二、多选题
10．(24-25高一下·江苏常州·期中)已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】连接，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】

连接，因为为边的中点，所以，
又因为，所以，
所以，所以，故A正确；BC错误；
由，可得，所以，故D正确.
故选：AD.
11．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（ ）.
A．与方向相反 B．与方向相同
C． D．
【答案】ACD
【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误.
【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误；
对于B，当时，，则与方向相同，故B正确；
对于C，当且，即时，
，故C错误；
对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误.
故选：ACD
三、填空题
12．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是______.
【答案】1
【分析】由题设可得，利用系数和为1结合等边三角形的高得为的中点，故可求的长度.
【详解】因为，故，
设，则，故共线，
且也共线，故即为，故，
故，故，而等边中边上的高为，
故，故，
故答案为：1.
一、单选题
13．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用投影向量的公式得到方程，求出，从而利用向量数量积运算法则得到答案.
【详解】在向量上的投影向量为，故，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C
14．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】先利用数量积的定义计算，再利用公式计算即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：A
15．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知正八边形的边长为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正八边形的特征有，确定相关线段长度，再应用向量数量积的定义求值.
【详解】如下图示，由正八边形的特征易知，
所以，，
由.
故选：C
16．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设分别为的中点，由点为的重心，得到，又由是的外心，得到，根据平面向量的数量积的定义，化简得到，即可求解.
【详解】如图所示，设分别为的中点，连接，
因为点满足，可得点为的重心，所以，
又因为，所以，
又因为是的外心，所以，
因为，则
.
故选：A.
17．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果
【详解】正八边形中，，
所以，，
连接，过点作，交、于点、，交于点，
设，
中，由余弦定理得，，
△OAF中，，
所以，解得，
，解得，
所以，
当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，
此时取得最小值为，
当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，
此时取得最大值为，
因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是．
故选：A．
二、多选题
18．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．平面内两个非零向量与，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形
【答案】BD
【分析】举反例即可判断AC；根据投影向量的公式即可判断B；分析、、、四点共线与否即可判断D．
【详解】对于A，设，，则，故A错误；
对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C，若，则，但与不一定相等，故C错误；
对于D，若，且点四点不共线，
则，、、、四点能构成平行四边形；
若，且点四点共线，
则，、、、四点不能构成平行四边形，故D正确；
故选：BD．
19．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最大值为0
【答案】BCD
【分析】对于A，由已知可得，则在上投影向量为，即可判断；对于B，由已知可知P在的中线上，又，则，即可判断；对于C， 由平方可得，又，令，则，即可求得的最小值，即可判断；对于D，由，可得，再由可得，即可判断.
【详解】由题意可知O，M，N三点构成边长为2的等边三角形．
因为，与夹角为，
所以，
对于A，当时，，又因为，所以，
故在上投影向量为，故A错误；
对于B，当时，根据向量的平行四边形法则可知P在的中线上，
又因为是等边三角形，所以，则，故B正确；
对于C， 由平方可得，即，
则，又，所以，
则，
又，令，
则，
因为，所以，即时，取得最小值，
所以的最小值为2，故C正确；
对于D，
，
因为，所以，要求此式子最大，即求最小．
由，得，
故，所以，故D正确.
故选：BCD.
20．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)点在所在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为锐角三角形
C．若，则
D．若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则
【答案】AC
【分析】对于A，取的中点，连接，取的中点，连接，结合向量的加法法则分析判断，对于B，根据数量积的定义结合锐角三角形的定义分析判断，对于C，由已知条件结合向量的加减法法则可得为上靠近的三等分点，从而可求出两三角形的面积比，对于D，举例判断.
【详解】对于A，取的中点，连接，则，
因为，所以，所以与共线，
因为与有公共点，所以三点共线，即在中线上，
取的中点，连接，同理可得在中线上，
所以为的重心，所以A正确，
对于B，由，得，所以，
因为，所以角为锐角，而其它角不一定为锐角，
所以不一定为锐角三角形，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，所以，所以与共线，
因为与有公共点，所以三点共线，且为上靠近的三等分点，
所以，设到边的距离为，则
，所以C正确，
对于D，若为的中点，则，
所以
，所以D错误.
故选：AC
三、填空题
21．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
【答案】
【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.
【详解】因为向量，的夹角为45°，且，，
所以
.
故答案为：.
四、解答题
22．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，已知，，和的夹角为，且．
(1)若为的中点，求．
(2)已知，若，求实数的值．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）首先可得，再由数量积的运算律及定义计算可得；
（2）用、表示，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为，，和的夹角为，且，
所以
因为为的中点，所以，
所以；
（2）因为
，
所以，
即有，
代入已知条件有，解得．
23．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)已知向量满足，且向量与的夹角为．
(1)求；
(2)若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积的运算律，根据数量积的定义，可得答案；
（2）由数量积的运算律与模长计算，根据二次函数的性质，结合数量积的结果，可得答案.
【详解】（1）因为，且向量与的夹角为，
所以，所以．
（2），
所以时，，此时，所以，
所以与的夹角的大小为．
24．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量满足与的夹角为.
(1)求；
(2)当为何值时，向量与垂直？
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求出模.
（2）利用垂直关系的向量表示列式，再利用数量积的运算律求解.
【详解】（1）由与的夹角为，得，
所以.
（2）由向量与垂直，得
，解得，
所以当时，向量与垂直.
一、单选题
25．(24-25高一下·江苏徐州·期中)下列关于向量，说法正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与夹角为钝角 D．
【答案】D
【分析】对于，当时与不一定共线；对于，当时不一定等于；对于，当时，满足；对于，根据向量的运算性质即可判断.
【详解】对于，当时，满足，但与不一定共线，故错误；
对于，当时，，但不一定等于，故错误；
对于，当时，满足，此时与夹角不是钝角，故错误；
对于，根据向量的运算性质可知，故正确.
故选：D.
26．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（ ）
A．23 B．29 C．21 D．24
【答案】A
【分析】利用可求解.
【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点，
又正方形的边长为2，所以，所以，
所以
.
故选：A.
27．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．0 B．1 C．8 D．4
【答案】C
【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案.
【详解】由于向量在向量上的投影向量为，
故可得，即，所以，
故选：C
28．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，得，，化简后结合向量的夹角公式可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，①
因为，所以，
所以，②
由②①，得，则，
所以，得，所以，
因为， 是两个非零向量，
所以，
因为，所以.
故选：C
29．(24-25高一下·江苏西安交通大学苏州附属中学·期中)已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合已知利用数量积的运算律得，则有，进而结合几何性质利用投影向量的概念求解即可.
【详解】由两边平方得，即，所以.
因为为中点，所以在向量上的投影向量为.
故选：C
30．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】设，利用向量的线性表示以及三点共线可得，即可表示出向量和向量，再由向量的数量积的运算律化简可得选项.
【详解】由已知得：，
设，所以，
又点三点共线，所以，解得，
所以，
又，
因，，
所以
，
则，故.
故选：D
31．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取中点为，根据已知可推得为等腰三角形，.进而化简得出，在中，求出的取值范围即可得出答案.
【详解】
如图，取中点为，连接，
则.
又，
即，
所以，
所以，为等腰三角形，.
又，所以.
又，，
所以，.
在中，有，
所以，.
又，，
所以，，
所以，，，
所以，的取值范围为.
故选：B.
二、多选题
32．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】AC
【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D.
【详解】，
将，的代入，可得，故A正确；
，故B错误；
，故，C正确.
设与的夹角为，则，
故，又，故，D错误.
故选：AC.
33．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)下列说法中正确的有（ ）
A．
B．已知在上的投影向量为且，则
C．若非零向量，满足 则与+的夹角是30°
D．已知 ，且与夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】AC
【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量投影向量的定义可判断B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C；判断与平行时的取值可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为在上的投影向量为，所以，
又，所以，则，故B错误；
对于C，因为非零向量满足，
则，即有，
所以，又，
所以与的夹角的余弦值为，
又，可得与的夹角为，故C正确；
对于D，因为，，所以，
当与平行时，，解得，
此时与的夹角不为锐角，故D错误.
故选：AC.
34．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
【答案】BCD
【分析】根据已知得是边长为2的等边三角形，且，由投影向量的定义及向量的线性关系判断A；由题设在中边的中线上，进而有判断B；应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化，进而得到，结合有，即可得判断D.
【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且，
A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错；
B：当时，，即在中边的中线上，
又为等边三角形，故，即，对；
C：当时，，则，
所以，
所以，即，又，故（负值舍），对；
D：,
由，即①，
所以，要使该值最大，只需最小，
由①得，则，所以，对.
故选：BCD
三、填空题
35．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________．
【答案】
【分析】结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】观察图形可知，三点共线，且，
因为，
且，
则，
所以，即；
由正六边形的性质可得
，
所以
.
故答案为：；
36．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知向量满足，，，且，则________.
【答案】/
【分析】根据已知条件依次求出，接着求出、即可结合向量夹角余弦公式
【详解】，
所以，
，
所以，
，
所以，
所以，
，
，
所以，
故答案为：
37．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知向量满足，且，则______．
【答案】
【分析】由题设，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求模长.
【详解】由题设，，又，
所以，可得，
所以，可得.
故答案为：
38．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____.
【答案】
【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可.
【详解】
如图，延长交于点，过点作于点，作于点.
因点，分别是知的重心和外心，则，,
则，则
，
即得，
又由和，可得，
整理得，解得，
因，
则，
即边的长为.
故答案为：.
四、解答题
39．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)在平面四边形中，，．
(1)设、分别为、的中点．
（i）证明：；
（ii）若，求与夹角的余弦值．
(2)求的值．
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）.
(2)
【分析】（1）（i）由平面向量的加法得出，两式相加可证得结论成立；
（ii）由可得出结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求；
（2）利用平面向量的线性运算得出，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】（1）（i）如下图所示：

因为、分别为、的中点，所以，，
因为，两个等式相加得；
（ii）因为，
则，
即，解得，
即与夹角的余弦值为.
（2），
因此.
40．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P．
(1)求CM的长度；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值，并求此时的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为，的余弦值为
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量的数量积的运算律求解即可；
（2）根据平面向量共线的推论，可得，进而根据平面向量的数量积的运算律求解即可；
（3）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律，可得，即可得到时，取得最小值，进而得到，，进而根据平面向量的数量积的运算律及夹角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）因为，则，
则，
则，即CM的长度为.
（2）当时，，
由于三点共线，则存在实数，
使得，
由于三点共线，则存在实数，
使得，
所以，解得，
则，
则
.
（3）由，，，
则，，
所以
，
则时，取得最小值.
此时，，
则，，
所以
，
，
由（1）知，，
所以.
一、单选题
41．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知是单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，得到，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为向量是单位向量，且，
可得，可得，
则，又因为，可得，
所以与的夹角为.
故选：B.
42．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据夹角公式计算可得.
【详解】因为，，
所以，又，所以，
即与的夹角是.
故选：C
43．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对表达式平方，结合数量积公式求解.
【详解】由题知，，平方可得，
则，，
根据数量积的定义，，
则，又，则，
则，的夹角为.
故选：B
44．(24-25高一下·江苏宿迁·期中)已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的线性运算与模长计算即可得，再根据向量夹角余弦公式即可得夹角大小.
【详解】已知，由得，
两边平方可得，所以，
则，可得，
则，由于，所以,
故与夹角的大小等于.
故选：C．
二、多选题
45．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)下列说法正确的有（ ）
A．若，则或
B．已知不共线，若向量与向量共线，则实数
C．设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】对于A，由向量模长定义可判断选项正误；对于B，由向量共线定义可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误.
【详解】对于A，，则只能得到两向量模相等，不能得到向量共线，故A错误；
对于B，因向量与向量共线，则，故B正确；
对于C，因与的夹角为锐角，则且不平行于，
则，故C正确；
对于D，在方向上的投影向量为，
因，，则，故D正确.
故选：BCD
46．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量夹角为锐角
B．若，则
C．若，则与的夹角是
D．若，则
【答案】BCD
【分析】对于A，因为时，向量的夹角为锐角或零度角，即可判断；对于B，由与表示同向的单位向量，即可判断；对于C，利用向量的线性运算知识结合图形，即可判断；对于D，由，设，代入等式两边利用运算法则运算，即可判断.
【详解】向量是非零向量，
对于A，因为，即，
所以向量夹角为锐角或零度角，故A错误；
对于B，因为，所以与方向相同，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以，故B正确；
对于C，设，，由向量线性运算知：
，，如下图所示：

因为，
所以与均为等边三角形，，
又四边形为菱形，所以，
即与的夹角为，故C正确；
对于D，因为，设，
则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
47．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，向量在向量上的投影向量为
C．当与的夹角为锐角时，
D．与向量垂直的单位向量为
【答案】BC
【分析】A选项，根据向量垂直先求出，然后由模长公式求解；B选项，根据投影向量公式求解；C选项，根据数量积公式求解，D选项，设出，结合题意列方程组求解.
【详解】A选项，当时，，解得，
此时，，A选项错误；
B选项，根据投影向量公式，向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
C选项，当与的夹角为锐角时，且与不同向共线，
解得，与共线时，，此时，不满足与同向共线，
即当与的夹角为锐角时，，C选项正确；
D选项，设与向量垂直的单位向量，由题意，，
解得或，D选项错误.
故选：BC
三、填空题
48．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为_____________
【答案】/
【分析】首先由条件判断，由等式变形，转化为数量积运算求，再变形为，平方后即可求解.
【详解】由条件可知，，即，两边平方得，
，
所以，
又，两边平方得，
得，即.
故答案为：
四、解答题
49．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)已知，，．
(1)求与的夹角；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得；
（2）根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
即，
又，，所以，所以，
所以，
由于，所以，
（2）因为，，，
所以.
50．(24-25高一下·江苏沭阳高级中学等四校·期中)已知向量， 的夹角为， 且
(1)求
(2) (其中x∈R).，当取最小值时，求与的夹角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的模长公式结合数量积的运算律求解即可.
（2）根据向量的模和二次函数的性质求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1），
所以．
（2），
由二次函数的性质，易知当时，最小．
此时，；
因为与的夹角范围为，故与的夹角为．
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专题01 向量的运算（5大考点50题）
5大高频考点概览
考点01空间向量及其运算
考点02向量的数乘
考点03用定义求向量的数量积
考点04 数量积的运算律
考点05 向量夹角的计算
1．(24-25高一下·江苏南京·期中)等于（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在平行四边形中，（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高一下·江苏南通·期中)如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（ ）
A． B．或 C． D．或
5．(24-25高一下·江苏东台·期中)若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
6．(24-25高一下·江苏海安·期中)如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高一下·江苏南京临江高级中学·期中)设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
二、多选题
10．(24-25高一下·江苏常州·期中)已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（ ）.
A．与方向相反 B．与方向相同
C． D．
三、填空题
12．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是______.
一、单选题
13．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．3
15．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知正八边形的边长为2，则（ ）
A． B． C． D．
16．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（ ）
A． B． C． D．
17．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
18．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．平面内两个非零向量与，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形
19．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最大值为0
20．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)点在所在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为锐角三角形
C．若，则
D．若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则
三、填空题
21．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
四、解答题
22．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，已知，，和的夹角为，且．
(1)若为的中点，求．
(2)已知，若，求实数的值．
23．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)已知向量满足，且向量与的夹角为．
(1)求；
(2)若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小．
24．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量满足与的夹角为.
(1)求；
(2)当为何值时，向量与垂直？
一、单选题
25．(24-25高一下·江苏徐州·期中)下列关于向量，说法正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与夹角为钝角 D．
26．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（ ）
A．23 B．29 C．21 D．24
27．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．0 B．1 C．8 D．4
28．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
29．(24-25高一下·江苏西安交通大学苏州附属中学·期中)已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
30．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
31．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
33．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)下列说法中正确的有（ ）
A．
B．已知在上的投影向量为且，则
C．若非零向量，满足 则与+的夹角是30°
D．已知 ，且与夹角为锐角，则的取值范围是
34．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
三、填空题
35．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________．
36．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知向量满足，，，且，则________.
37．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知向量满足，且，则______．
38．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____.
四、解答题
39．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)在平面四边形中，，．
(1)设、分别为、的中点．
（i）证明：；
（ii）若，求与夹角的余弦值．
(2)求的值．
40．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P．
(1)求CM的长度；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值，并求此时的余弦值．
一、单选题
41．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知是单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
42．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
43．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
44．(24-25高一下·江苏宿迁·期中)已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
45．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)下列说法正确的有（ ）
A．若，则或
B．已知不共线，若向量与向量共线，则实数
C．设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为
46．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量夹角为锐角
B．若，则
C．若，则与的夹角是
D．若，则
47．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，向量在向量上的投影向量为
C．当与的夹角为锐角时，
D．与向量垂直的单位向量为
三、填空题
48．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为_____________
四、解答题
49．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)已知，，．
(1)求与的夹角；
(2)求．
50．(24-25高一下·江苏沭阳高级中学等四校·期中)已知向量， 的夹角为， 且
(1)求
(2) (其中x∈R).，当取最小值时，求与的夹角的大小.
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