资源简介

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专题02一元函数的导数及其应用
15大高频考点概览
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
考点02 极限问题
考点03 导数求值
考点04 导数的切线方程
考点05 求已知函数的单调性
考点06 已知函数的单调性求参数
考点07 求已知函数的极值
考点08 已知函数的极值求参数
考点09 求已知函数的值域与最值
考点10 已知函数的值域最值求参数
考点11 求已知函数的零点
考点12 已知函数的零点求参数
考点13 函数与不等式
考点14 不等式恒成立有解问题
考点15 不等式证明问题
1．(24-25高二下·天津益中学校·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·期中)已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)下列求导运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·天津第二南开学校·期中)下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
2．(22-23高二下·天津部分区·期中)已知函数的导函数是，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．(22-23高二下·天津河东区·期中)已知函数在处的导数为，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．(21-22高二下·天津河东区·期中)已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)已知函数在处可导，且则的值___________．
1．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数则（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．(24-25高二下·天津河东区·期中)已知函数 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津红桥区·期中)已知函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·天津第九中学·期中)函数，则_________.
1．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________．
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)曲线在处切线的一般式方程为__________．
4．(24-25高二下·天津第一中学·期中)过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______.
5．(24-25高二下·天津红桥区·期中)曲线在点处切线的倾斜角为_____．
1．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)的单调递增区间为________
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)函数的单调递增区间为_________.
3．(23-24高二下·天津重点校·期中)设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求实数的值；
(2)设函数，求函数的单调区间．
0
0 +
递减 极小值 递增
4．(24-25高二下·天津河北区·期中)设，函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
5．(22-23高二下·天津实验中学滨海学校·期中)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
（3）设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高二下·江苏常州高级中学·调研)若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______.
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)若函数在上不单调，则实数的取值范围是_____
4．(24-25高二下·天津第二十一中学·期中)已知函数 在上不单调，则t的取值范围是_______________.
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
1．(24-25高二下·天津部分区·期中)函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)已知函数，给出下列结论：
①是的单调递减区间；
②函数有极大值点是；
③当时，直线与的图象有两个不同交点.
其中正确的序号是_________.
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数
(1)求函数的极值；
(2)若方程在上有两个不相等的实数根， 求实数的取值范围．
4．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知函数，满足.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值.
(3)方程无实数根， 求实数的范围.
5．(22-23高二下·天津实验中学滨海学校·期中)已知函数．
(1)令，讨论的单调性并求极值；
(2)令，若有两个零点；
（i）求a的取值范围：
（ii）若方程有两个实根，，，证明：．
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)若函数在上有极值，则的取值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
3．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)已知函数在处有极值0，则的值为______．
4．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，取得极大值，当时，取得极小值.
(1)求的值；
(2)求的极小值.
5．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)设函数，若函数在处取得极小值8．
(1)求的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；
x 0 2 3
0 - 0 +
24 单调递减 8 单调递增 15
1．(23-24高二下·湖南部分学校·)函数的最小值为__________．
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间、最值.
(3)设在上有两个零点，求a的范围.
3．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知在处取得极值为0.
(1)求的值；
(2)求的单调性；
(3)求在的值域.
4．(24-25高二下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求函数的最小值．
5．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线的斜率为2，求此切线方程：
(2)若在上的最小值为，求实数a的值；
(3)当时，求证．
1．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24高二下·天津重点校·期中)函数的最大值为1，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为__________.
4．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)已知函数，
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围.
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)设函数，．
(1)若在处切线为，求实数的值；
(2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
1．(24-25高二下·天津河西区·期中)已知函数，为的导函数，则
①曲线在处的切线方程为；
②在区间上单调递增；
③在区间上有极小值；
④在区间上有两个零点，
上述4个结论中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)已知函数
(1)当时，讨论的单调性.
(2)若，讨论函数的零点个数.
3．(24-25高二下·天津部分区·期中)设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为.
(1)求实数的值；
(2)求的零点个数.
4．(24-25高二下·天津河东区·期中)已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)求方程在区间上的解的个数.
5．(24-25高二下·天津第九十五中学·期中)已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程;
(2)若在上无极值点，求的值;
(3)当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.
1．(24-25高三下·江苏扬州高邮·调研)已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)已知函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为___________．
3．(24-25高二下·天津第二十五中学·期中)已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为______，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为______．
4．(24-25高二下·天津益中学校·期中)已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
5．(24-25高二下·天津益中学校·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，讨论函数的单调性；
(3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围．
1．(24-25高二下·天津第九十五中学·期中)设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)若对于任意，函数都有，则的最小值为____________.
5．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数及其导函数的定义域均为R， 是偶函数， 函数的图象是一条连续不断的曲线， 且，则不等式 的解集为______．
1．(24-25高二下·天津南开中学·)已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是__________.
3．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为_______．
4．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知函数
(1)当时， 求 在处的切线方程；
(2)当 时， 单调递增， 求a的取值范围；
(3)若 恒成立，求a的取值范围.
5．(24-25高二下·天津第二南开学校·期中)已知函数，.
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增， 求的取值范围;
(3)当时，若，对使得，求的取值范围.
1．(24-25高二下·天津第二十一中学·期中)已知函数
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)当时，求证：；
(3)设存在两个极值点且，若，求证：
2．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数，，（其中）．
(1)当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值；
(2)当时，若，使得，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个不同的实数根，证明：
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时， ， 求实数 的最大值．
(3)当时， 设的极大值为， 求证：
4．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数．，．
(1)若恒成立，求实数m的取值范围；
(2)已知，设函数，讨论的单调性；
(3)设函数，若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：．
5．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的最大值是，求的值；
(3)设函数，若有两个极值点，证明：.
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专题02一元函数的导数及其应用
15大高频考点概览
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
考点02 极限问题
考点03 导数求值
考点04 导数的切线方程
考点05 求已知函数的单调性
考点06 已知函数的单调性求参数
考点07 求已知函数的极值
考点08 已知函数的极值求参数
考点09 求已知函数的值域与最值
考点10 已知函数的值域最值求参数
考点11 求已知函数的零点
考点12 已知函数的零点求参数
考点13 函数与不等式
考点14 不等式恒成立有解问题
考点15 不等式证明问题
1．(24-25高二下·天津益中学校·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断.
【详解】对A，因为为常数，故，A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，D正确.
故选：D
2．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·期中)已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.
【详解】因为，则.
故选：B
3．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)下列求导运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数导数的公式与复合函数求导逐项判断即可.
【详解】，故A正确；
，故B不正确；
，故C不正确；
，故D不正确.
故选：A.
4．(24-25高二下·天津第二南开学校·期中)下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的运算法则可判断A选项；利用基本初等函数的导数公式可判断BC选项；利用复合函数的求导法则可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对，
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D错.
故选：A.
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的求导公式即可判断AC；利用复合函数的求导公式即可判断B；利用导数的加法法则即可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
1．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
【答案】B
【分析】由导数的计算公式可得.
【详解】.
故选：B
2．(22-23高二下·天津部分区·期中)已知函数的导函数是，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据导数定义，将增量化成即可得到.
【详解】因为
所以
故选：B
3．(22-23高二下·天津河东区·期中)已知函数在处的导数为，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的定义可得，将所求的式子整理为即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为，
所以，
所以，
故选：B.
4．(21-22高二下·天津河东区·期中)已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的定义可求得的值.
【详解】由导数的定义可得.
故选：D.
5．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)已知函数在处可导，且则的值___________．
【答案】
【分析】根据导数定义计算求解.
【详解】因为函数在处可导，
且，
则．
故答案为：.
1．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】对函数求导并直接代入计算可得结果.
【详解】易知，
则.
故选：A
2．(24-25高二下·天津河东区·期中)已知函数 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，令运算求解即可.
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
故选：D.
3．(24-25高二下·天津红桥区·期中)已知函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】求导可得，令运算求解即可.
【详解】因为，则，
令，则，解得.
故选：B.
4．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果.
【详解】由可得，
令可得，即.
故选：D
5．(24-25高二下·天津第九中学·期中)函数，则_________.
【答案】
【分析】对函数求导并令可求得，将代入原函数可得结果.
【详解】由可得，
令，可得，解得；
所以，可得.
故答案为：
1．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得，得到，且，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由函数，可得，则，且，
即切线的斜率为，切点坐标为
所以的图象在处的切线方程为，即.
故选：C.
2．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________．
【答案】
【分析】根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程.
【详解】因为函数，所以，
故切点坐标为，
，
切点处的导数值为切线的斜率，所以，
用点斜式写出切线方程：，
整理得：.
故答案为：
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)曲线在处切线的一般式方程为__________．
【答案】
【分析】对函数求导并利用导数的几何意义即可求出切线方程.
【详解】易知，
则，又，
因此切线方程为，
即切线的一般式方程为.
故答案为：
4．(24-25高二下·天津第一中学·期中)过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______.
【答案】
【分析】设出和的切点，求出切线方程为，再利用导数的几何意义得到，进而得到和的切点为，再代入中，求解即可.
【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为，
且设和的切点为，
因为，所以，由导数的几何意义得，
则切线方程为，将代入方程，
得到，解得，则切线方程为，
设和的切点为，且，
由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得.
故答案为：.
5．(24-25高二下·天津红桥区·期中)曲线在点处切线的倾斜角为_____．
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义求切线斜率，即可得倾斜角.
【详解】因为，则，
即切线斜率，所以切线的倾斜角.
故答案为：.
1．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)的单调递增区间为________
【答案】
【分析】根据导函数为正得出函数增区间.
【详解】因为，，所以.
单调递增区间为.
故答案为：
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)函数的单调递增区间为_________.
【答案】
【分析】利用导数求函数的递增区间即可.
【详解】由题设，令，即的单调递增区间为.
故答案为：
3．(23-24高二下·天津重点校·期中)设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求实数的值；
(2)设函数，求函数的单调区间．
【答案】(1)；
(2)单调递减区间为，单调递增区间为．
【分析】（1）求出导数，根据导数的几何意义列式求得；
（2）求出，判断的正负即可求得的单调区间.
【详解】（1）由题意得的定义域为，又，
因为．所以，解得．
所以实数的值为1.
（2）因为，，
则，
令，得，
与在区间上的情况如下：
0
0 +
递减 极小值 递增
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
4．(24-25高二下·天津河北区·期中)设，函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
【详解】（1）解：当时，，定义域为，
，
，
曲线在点处的切线方程为，即为.
（2）解：因为，定义域为，所以，
当时，恒成立，
函数在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
5．(22-23高二下·天津实验中学滨海学校·期中)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
（3）设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
【答案】（1）b＝0，c＝1；（2）f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)；（3）.
【分析】（1）由条件可知，列式求解；（2）根据求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；（3）由条件可知存在区间使，利用参变分离的方法，转化为求函数的最值.
【详解】（1）f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得 即
故b＝0，c＝1.
（2）由（1）得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a).
（3）g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立.
则存在x∈(－2，－1)使成立，
即.
因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以，则.
所以实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，最值的综合应用，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出导函数，检验时的情况；当时，令，只需或.代入求解不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得定义域为，
当时，解可得，不满足定义域；
当时，令，
要使函数在区间内存在单调递减区间，
只需满足或.
由可得，，此时有；
由可得，，此时有.
所以，.
综上所述，.
故选：A.
2．(23-24高二下·江苏常州高级中学·调研)若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可.
【详解】，
因为函数存在单调递减区间，
所以存在，使得小于零，
所以导函数的判别式，解得或，
所以实数的取值范围为是，
故答案为：.
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)若函数在上不单调，则实数的取值范围是_____
【答案】
【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系，结合函数在上不单调这一条件，确定的取值范围.
【详解】已知，其定义域为.
对求导可得：.
令，即，因为，所以，则，解得.
当时，，，，所以，函数在上单调递减；
当时，，，，所以，函数在上单调递增.
因为函数在上不单调，所以.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
4．(24-25高二下·天津第二十一中学·期中)已知函数 在上不单调，则t的取值范围是_______________.
【答案】
【分析】求导，利用导数判断的单调性，利用函数在上不单调，建立不等式，即可求得的范围.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
可知在，上单调递增，上单调递减，
若在上不单调，
则或，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：．
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题．
【详解】由于函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即恒成立，
由在上单调递增，则，
，所以实数的取值范围为.
故答案为：．
1．(24-25高二下·天津部分区·期中)函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，再构造函数利用导数证明恒成立，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立，所以在上单调递增，则不存在极值点.
故选：A
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)已知函数，给出下列结论：
①是的单调递减区间；
②函数有极大值点是；
③当时，直线与的图象有两个不同交点.
其中正确的序号是_________.
【答案】①
【分析】利用导数研究的单调区间和极值判断①②，再确定函数区间值域或符号，结合交点个数确定参数k范围.
【详解】由题设，且，
令，则，故在上单调递增，
令，则，故在上单调递减，
所以有极大值，无极小值，
又时，时，且时，
所以直线与的图象有两个不同交点，则，
综上，①对，②③错.
故答案为：①
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数
(1)求函数的极值；
(2)若方程在上有两个不相等的实数根， 求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）求导，令和，得出函数的单调性，结合极值的概念即可求解；
（2）将问题转化为函数图象与直线在上有两个交点，结合（1）即可求解.
【详解】（1）．
（），
令，则，令，则，
在单调递减，在单调递增．
极小值为，无极大值．
（2）方程在上有两个不相等的实数根，
即函数图象与直线在上有两个交点.
由（1）可知在单调递减，在上单调递增,
且，，,
,
故实数的取值范围为
4．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知函数，满足.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值.
(3)方程无实数根， 求实数的范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导后根据求解即可；
（2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可.
（3）由（2）可得的最小值及取值情况，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，又，解得；
（2）由（1）定义域为，且为增函数.
令可得，
故当时，，即在单调递减；
当时，，即在单调递增.
故在处有极小值，无极大值.
综上可得单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
（3）由（2）可得在单调递减，在单调递增，
在处有极小值，即，
且当时，
因为方程无实数根，
所以与无交点，
所以，即，所以实数的取值范围为.
5．(22-23高二下·天津实验中学滨海学校·期中)已知函数．
(1)令，讨论的单调性并求极值；
(2)令，若有两个零点；
（i）求a的取值范围：
（ii）若方程有两个实根，，，证明：．
【答案】(1)单调递减区间为（0，2），单调递增区间为；极小值为，无极大值
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）先求得，然后利用导数求得的单调区间以及极值.
（2）（i）先求得，对进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得的取值范围.
（i i）转换方程，然后利用换元法并构造函数，求得函数零点的关系式，由此化简所要证明的不等式，再利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
【详解】（1）因为，
所以，
则，在区间；在区间，
所以单调递减区间为（0，2），单调递增区间为，
极小值为，无极大值．
（2）（i）有两个零点．
因为，
①当时，，单调递增，不可能有两个零点；
②当时，令，得，单调递减；
令，得，单调递增，所以
要使有两个零点，即使，，得，
又因为，，所以在（l，e）上存在唯一一个零点，
且，由（1）可知，，
所以，即有，即
，所以在上存也唯一一个零点，符合题意．
综上，当时，函数有两个零点．
（ii）有两个实根，令，
有两个零点，，
；，所以，
所以（*），
（**），
要证，只需证，
即证，所以只需证．
由（*）（**）可得，
只需证，
设，令，则，所以只需证，即证，
令，，则，在上递增，
所以，即当时，成立．
所以，即，即．
【点睛】利用导数研究函数的单调区间以及极值，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.另外要注意的一点是：必须先求函数的定义域.
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出导函数，由已知可转化为有两个不同的正实数解，根据二次函数零点的分布列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】
因为函数有两个极值点，
所以有两个不同的正实数解，
所以有有两个不同的正实数解，
即二次函数有两个不同的正零点，
所以有，解得.
故选：D.
2．(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)若函数在上有极值，则的取值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程在上有两不等实根，通过求二次函数的值域即得的取值范围.
【详解】函数在上有极值，
即在上有变号零点，
也即方程在上有两不等实根，
由可得，当且仅当时，等号成立，
故需使.
故选：B.
3．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)已知函数在处有极值0，则的值为______．
【答案】11
【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解．
【详解】因为，所以，
由题意可知，，即，解得或，
当时，，
函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意；
当时，，
令，得或，令，得，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以在时取得极大值，符合题意，所以，
故答案为：11．
4．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，取得极大值，当时，取得极小值.
(1)求的值；
(2)求的极小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意和是方程的两根，利用韦达定理求出、的值，再检验即可；
（2）由极大值求出，从而求出函数的极小值.
【详解】（1）∵，∴.
∵当时，取得极大值，当时，取得极小值，
∴和是方程的两根，
所以，解得，
此时，所以，
所以当或时，当时，
即在，上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意；
所以，.
（2）由（1）知，，
∵当时取得极大值，
∴，∴，
则，
此时函数的极小值为.
5．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)设函数，若函数在处取得极小值8．
(1)求的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；
【答案】(1)，．
(2)，最小值为8；，最大值为24．
【分析】（1）根据极值点及极值可求的值；
（2）根据导数可得单调性，即可求出.
【详解】（1），
由题意函数在处取得极小值8得，
解得，．
此时，
当或时，，当时，，
故为的极小值点，故，满足条件．
（2）由（1）分析列表得：
x 0 2 3
0 - 0 +
24 单调递减 8 单调递增 15
所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24．
1．(23-24高二下·湖南部分学校·)函数的最小值为__________．
【答案】
【分析】求导，确定单调性，然后求最值.
【详解】∵函数，
∴，令，得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴在处取极小值，也是最小值，
∴函数最小值为.
故答案为：.
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间、最值.
(3)设在上有两个零点，求a的范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）应用导数研究函数的单调区间，进而求出最值；
（3）根据（2）得到各单调区间的值域，再由零点的个数确定参数范围.
【详解】（1）由题设，则，又，
所以曲线在点处的切线方程，
所求切线方程为；
（2）由，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
由，，，
所以在上的增区间为，减区间为，
且最大值、最小值分别为2，.
（3）由（2）知，在上值域为，在上值域为，
所以，要使在上有两个零点，只需.
3．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知在处取得极值为0.
(1)求的值；
(2)求的单调性；
(3)求在的值域.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）对函数求导利用极值点和极值定义解方程组可求得，；
（2）利用导函数正负即可求出函数的单调性；
（3）根据（2）中的结论并求得极值和区间端点处的函数值，即可得出其值域.
【详解】（1）易知的定义域为，则，
依题意可得，且，
联立，
解得；
（2）由（1）可得，
所以，
令，解得或；
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
综上可得，在和上单调递增，在上单调递减；
（3）由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，也是区间内的最小值，
易知，，
又，
因此可得在的值域为.
4．(24-25高二下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求函数的最小值．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）根据函数图象所过的点及该点处切线的斜率可求的值，再根据极值点可求的值，最后根据导数的符号判断单调性和极值.
（2）根据（1）中的单调性可求函数的最小值.
【详解】（1）由题意得在上，故，
而，由题意得，
又，解得，故；
此时，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上为减函数，
且的极大值为，极小值为.
（2）由（1）得当时，单调递增，当时，单调递减，
而，
故当时，函数的最小值为.
5．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线的斜率为2，求此切线方程：
(2)若在上的最小值为，求实数a的值；
(3)当时，求证．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义可求出的值，可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.
（3）令，要证，即证，令，对求导，可得在上恒成立，即可得证.
【详解】（1）因为，则，
由导数的几何意义可得，解得，则，
所以，，故所求切线的方程，即.
（2）函数的定义域为，且，
当时，对任意的，恒成立，
函数在区间上单调递增，则，
解得，不合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递增，
则，解得，合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，解得或，舍去；
当时，即当时，函数在区间上单调递减，
此时，，解得，舍去.
综上所述，.
（3）当时，，，
令，要证，即证，
令，即证：在上恒成立，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上恒成立，
所以.
1．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在内存在最小值，则，得．
故选：C
2．(23-24高二下·天津重点校·期中)函数的最大值为1，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】利用导数可判断在上的单调性，可得 ，据此可得答案.
【详解】，.
则在上单调递减，在上单调递增，则
.
故选：D
3．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为__________.
【答案】/
【分析】求导，分、和三种情况讨论的符号，进而可得的单调性和最值，结合题意运算求解即可.
【详解】因为，，则，
若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意；
若，则，可知在内单调递减，
则在内最小值为，解得，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则在内最小值为，解得；
综上所述：.
故答案为：.
4．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)已知函数，
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程；
（2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数，（），通过求导分析即可确定a的取值范围.
【详解】（1）当时，，
∴，故
∴曲线在处的切线方程为：，
即.
（2）因的定义域为，
当时，，则在上单调递增，无最小值；
故.
由得，由得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，有最小值，
依题意，，即，
∵，∴，
设，（），则，
因，则在上单调递增，
又，故由可得，
即，解得，
故实数a的取值范围是.
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)设函数，．
(1)若在处切线为，求实数的值；
(2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)5
(2)，理由见解析
【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值；
（2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案.
【详解】（1），
在处切线为，故，解得，
故，所以，所以，
所以；
（2）存在，理由如下：
的定义域为，，
当时，在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，解得，舍去.
当时，令得，，令得，，
若，则，故在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，满足要求，
若，则，故在上单调递减，
故，解得，舍去.
综上，.
1．(24-25高二下·天津河西区·期中)已知函数，为的导函数，则
①曲线在处的切线方程为；
②在区间上单调递增；
③在区间上有极小值；
④在区间上有两个零点，
上述4个结论中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】求出导函数，再利用导数的几何意义求解判断①；结合单调性、极小值意义判断②③；求出零点个数判断④.
【详解】判断①，首先，根据求导公式求出函数的导数.
然后，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率.
当时，，这就是切线的斜率.
同时，，即切点坐标为.
利用点斜式方程可得切线方程为，即，所以①错误.
判断②，当时，对于，所以在区间上单调递增，所以②正确.
判断③，已知和在上都单调递增，根据两个增函数的和还是增函数，
可知函数在上单调递增.
计算，因为，所以，而.
根据零点存在定理，若函数在某区间上单调且两端点函数值异号，
则在该区间内存在唯一零点，所以存在唯一，使得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
根据极值的定义，函数在某点处先递减后递增，则该点为极小值点，
所以在处取得极小值，③正确.
判断④，由③可知，在上有唯一零点.
当时，，即，说明在上没有零点.
所以在区间上有个零点，所以④错误.
所以正确的只有②③，两个.
故选：B.
2．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)已知函数
(1)当时，讨论的单调性.
(2)若，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先求得导函数，再求导函数的零点，对两个零点分类讨论即可求得的单调性；
（2）令，得，即，发现其结构相同，
再令，可得，故，问题转化为求函数的值域，
分析其图象与直线的交点个数即得答案.
【详解】（1）的定义域为
，令得
①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为；
②当时，，令，得，令得，
的递增区间为，递减区间为和；
③当时，，令，得，令得，
的递增区间为，递减区间为和，
综上：当时，无递增区间，递递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为和；
当时，的递增区间为，递减区间为和.
（2）若，
令，得，即，
也即，再令，
则在单调递增，故，所以，
可得，令，
令得，所以在上单调递增，在上单调递减，
且当；，所以，
综上：当时，该函数有0个零点；
当或时，该函数有1个零点；
当时，该函数有2个零点.
3．(24-25高二下·天津部分区·期中)设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为.
(1)求实数的值；
(2)求的零点个数.
【答案】(1)，
(2)个
【分析】（1）依题意，即可求出、的值；
（2）由（1）可得，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可判断.
【详解】（1）因为，
所以，所以，
又因为的图象的对称中心为，
所以，解得；
（2）由（1）知，，
∴，
令，得或，
所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，且当时，；当时，，
所以有个零点.
4．(24-25高二下·天津河东区·期中)已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)求方程在区间上的解的个数.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导函数符号情况即可求解；
（2）判断函数在区间上的单调性情况，进一步计算的值，分类讨论即可求解.
【详解】（1）对求导得，
令，解得或，令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
且，
从而当或时，方程在区间上的解的个数为0；
当或时，方程在区间上的解的个数为1；
当时，方程在区间上的解的个数为2.
5．(24-25高二下·天津第九十五中学·期中)已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程;
(2)若在上无极值点，求的值;
(3)当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解.
（2）因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得.
（3）讨论当时,在上的符号,函数的单调性、极值情况,从而分析
函数的图像与轴的交点个数,得出函数的零点个数.
【详解】（1）当时，，
，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），，依题意有，即，
，解得.
（3）①时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点.
，，依题意有恒成立，即，
，解得.
②时：
当，，函数为增函数；
当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数.
由于，此时只需判定的符号：
当时，函数在上无零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
综上，时函数在上无零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
1．(24-25高三下·江苏扬州高邮·调研)已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当时，，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，由，，进而利用单调性可得，进而可得.
【详解】由题意，可知：
①当时，，故为的1个零点．
②当时，由题意，可得，
即与有4个交点，
当时，，
设，，则，令得，
则函数在单调递增，在上单调递减，又，
如图
则必有，解得，
故选：D
【点睛】关键点点睛：由，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，根据分段函数的特点，分别考虑和与的交点个数，考虑到两个函数的单调性和最值，进而可得.
2．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)已知函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据函数的零点和方程的根之间的关系，令，得，令，求导，求出的单调区间和极值，令只有一解得出a的范围．
【详解】令，得，
，
令，则，
令得或，
∴当或时，，当时，．
在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，取得极小值，
当时，取得极大值，
当时，，
只有一个零点，
只有一解，
或，
即．
故答案为：．
3．(24-25高二下·天津第二十五中学·期中)已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为______，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为______．
【答案】 0
【分析】由有三个零点，则有两个不相等的实数根，即可求解的取值范围；由题得 ，得出，根据导数的几何意义计算即可．
【详解】因为有三个零点，且，
所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，
故a的取值范围为．
由题得 ，
所以，
同理，，
故
．
故答案为：，0．
4．(24-25高二下·天津益中学校·期中)已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值
(3)
【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可；
（2）利用第一问求的单调性判断最值；
（3）函数，解不等式即可.
【详解】（1），则，
因函数在处取得极值，
则，得，
此时，，
得或，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，故.
（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而，
则在区间上的最大值为和最小值.
（3）令，则，
则与单调性相同，
因方程有三个不同的实数根，
则，得，
则实数的取值范围为.
5．(24-25高二下·天津益中学校·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，讨论函数的单调性；
(3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)单调递增区间，单调递减区间；
(3).
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）把代入，求出，利用导数求出其单调区间.
（3）由函数零点的意义分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，数形结合求出范围.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）当时，，求导得，
当时，，单调递增；当时， ，单调递减，
函数函数单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）当时，由，得，令，，
依题意，直线与函数在上的图象有两个交点，
求导得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
函数的最大值为，且，，如图：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
所以实数的取值范围是.
1．(24-25高二下·天津第九十五中学·期中)设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造，根据已知及奇偶性定义判断奇偶性，再对其求导判断上的单调性，结合对称性确定单调区间，进而判断区间符号，即可得.
【详解】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即为奇函数，
当，有，所以在上单调递减，
由奇函数的性质，在上单调递减，且，
由，则，即，
综上，上，上，
所以不等式的解集是.
故选：A
2．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意构造函数判断出其单调性和奇偶性，再结合判断出函数的符号，对不等式分类讨论即可求得其解集.
【详解】构造函数，可得，
又因为当时，，可知在上单调递增，
由是定义在R上的奇函数可得，
所以，即可得为偶函数，
因此在上单调递减，即可知，
所以当时，由可得，
当时，由可得；
不等式等价于或；
解得或；
所以不等式的解集为.
故选：B.
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由单调递增去掉不等式中的绝对值，再转化为，而后构造函数，恒成立问题转化为求函数值域问题.
【详解】解：求导可得，
由的范围可知，即在区间上单调递增，故
，
则原不等式可化为.
又，
不妨设，由可得，且.
令，，则有且，原不等式可化为
，
即，
即在上恒成立.
设，可知在上单调递增，
则在上恒成立，故.
令，则，
因为，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，即，
故选：.
【点睛】关键点点睛：首先根据单调递增去掉不等式中的绝对值，而后变形构造函数，这是本题的关键.
4．(24-25高二下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)若对于任意，函数都有，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】利用导数求出的最值后可得的取值范围.
【详解】,
故当时，；当时，，
故在为减函数，在上为增函数，故
且，
而，
因，故，
所以，
故，故，
故的最小值为.
故答案为：.
5．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数及其导函数的定义域均为R， 是偶函数， 函数的图象是一条连续不断的曲线， 且，则不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】求导，得到，根据条件推出当时，，当时，，得到的单调性，变形得到，结合的奇偶性得到不等式，求出答案.
【详解】，
又，
故，
即，
当时，，
当时，，
又，故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
其中，
，
则，
又为偶函数，故，
所以，故，解得.
故答案为：
1．(24-25高二下·天津南开中学·)已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，即，求导分析单调性可得，即，令，求导分析单调性，求即可
【详解】由题意，，
令，
则，恒成立，即恒成立，即，
，
令，解得，
令，即在上单调递增；
令，即在上单调递减.
，
，，
令，，
令，即在单调递增；
令，即在单调递减；
，
，即的取值范围为.
故选：B
2．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意，得到，从而转化为任意，有，根据二次函数性质分类求解即可.
【详解】对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以
即任意，使，
令
当时，即时，，
所以，
当时，即时，成立，
当时，即时，，
所以，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
3．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为_______．
【答案】
【分析】可将题意转化为，恒成立，即，令，可得在上单调递增，进而等价转化为对于恒成立.令，求出即可得出答案.
【详解】由题意可得：命题“，恒成立”（＊）为真命题，
所以（＊）式等价于，即，
令，则上式即为.
求导得对于恒成立，
所以在上单调递增，因此在上单调递增，
而当时，由于已知为正数，所以，
所以命题（＊）进一步等价于在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
当，在上单调递增；
当，在上单调递减.
所以，
所以.
故答案为：.
4．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知函数
(1)当时， 求 在处的切线方程；
(2)当 时， 单调递增， 求a的取值范围；
(3)若 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.
（2）在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解.
（3）构造函数，根据函数单调性得出函数最值，应用隐零点计算求解.
【详解】（1）当时，由，得，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为,
即．
（2）因为时，单调递增，
所以时，恒成立，
即在时恒成立，
设，则，
则时，，所以在上单调递减，可得；
当时， ，
所以，所以，单调递增时，的取值范围是．
（3）因为 恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，
设，则，则，
因为，所以，
令单调递增，，所以，，
所以单调递减；单调递增；
因为，所以，
所以，
所以.
5．(24-25高二下·天津第二南开学校·期中)已知函数，.
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增， 求的取值范围;
(3)当时，若，对使得，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解；
（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解；
（3）由题意得出，利用导数求解即可.
【详解】（1）因为，定义域为R，，
由可得，由可得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
（2），其中，
则，
因为在单调递增，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即，，
设，，，
所以在上单调递增，所以，所以，
故的取值范围为.
（3）当时，若，对使得，则，
由（1）可知，函数在上单调递增，
故当时，，
当时，，其中，则，
此时，函数在上为减函数，
故当时，，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
1．(24-25高二下·天津第二十一中学·期中)已知函数
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)当时，求证：；
(3)设存在两个极值点且，若，求证：
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率；
（2）分析可知原题意等价于，构建函数，利用导数证明不等式即可；
（3）分析可知在内有2个零点，利用韦达定理可得，构建函数，利用导数证明不等式即可.
【详解】（1）因为，则，
可得，所以曲线在处的切线斜率.
（2）若，且，等价于，
构建，则，
构建，则，
可知在内单调递增，则，即，
可知在内单调递增，则，
所以.
（3）由题意可知：的定义域为，且，
设，
若存在两个极值点，则在内有2个零点，
可得，解得，
此时的对称轴，
可知在内单调递减，且，则，可得，
且，则，可得，
因为
，
即，且，
构建，
则，
可知在上单调递减，则，
所以.
2．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数，，（其中）．
(1)当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值；
(2)当时，若，使得，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个不同的实数根，证明：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程表达式即可得的值；
（2）根据不等式有解，构造函数并求得函数的最大值即可求得实数的取值范围；
（3）由方程根的个数利用同构思想令，结合其单调性可得，又因为的两实数根，令并求出其单调性并由换元法可证明，可得出结论.
【详解】（1）易知
由，可得．
又，设切点为
则，解得或（舍）
因此 ，即切点，
将切点代入，所以可得．
（2），，使得，
即能成立，
因此在能成立，即，
令，，，
令，，
在上单调递减，，
因为，时，，此时
当时，，此时；
在单调递增，在单调递减，
可得，
因此实数的取值范围为.
（3）由，得，
若有两个不同的实数解，则，，
两式相减得，即，所以．
不妨设，，则，
所以在上单调递增，此时，所以．
所以，即，所以①
由，得有两个不同的实数解，
令，，
当时，，单调递增，当时，单调递减，
由，，所以，．
令，则方程有两个不同的实数解，．
，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，则．
所以，则有．
设，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
此时，即，故，
当且仅当时等号成立．
不妨设直线与直线，交点的横坐标分别为，，
则，
所以．②．
综上．
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时， ， 求实数 的最大值．
(3)当时， 设的极大值为， 求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)3
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数及其导数，再分类讨论求出的单调区间.
（2）等价变形给定不等式分离参数，构造函数，利用导数探讨其最小值即可.
（3）由（1）求出，再分类并结合导数证明不等式.
【详解】（1）函数定义域为R，，
①当时，令，； ，
函数在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，或；，，
函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，，函数在上单调递增；
④当时，令，或；，；
函数在和上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在单调递减.
（2），不等式恒成立，
令，求导得，
令，求导得，在上递增，
而，，则使得，即，
当时，，此时；当时，，此时，
在上递减，在上递增，
，，
所以的最大整数值为3．
（3）由（1）知，当时，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，，当时，，
函数的极大值等于，
令，求导得，
在上，在上，，
因此在上单调递减，在上单调递增，故，
综上可得：.
4．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数．，．
(1)若恒成立，求实数m的取值范围；
(2)已知，设函数，讨论的单调性；
(3)设函数，若函数的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数单调性，求得函数的最小值，解不等式即可得出结论；
（2）对函数求导，对参数进行分类讨论，利用导函数符号即可得出其单调性；
（3）根据交点坐标满足的关系式，构造函数，再利用导数和基本不等式证明即可得出结论.
【详解】（1）易知
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
所以的最小值为
由恒成立知，，
故.
（2）由题知，定义域为，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
（3）显然，
因为函数的图象与的图象有两个不同的交点．
所以关于的方程，即有两个不同的根．
由题知①，②，
得③，
得④，
由得，
不妨设，记
令，则，
所以在上单调递增，所以,
则，即，
所以
因为，（利用基本不等式时，，故等号取不到），
所以，即
令，则在上单调递增．
又，
所以，
即，所以；
两边同时取对数可得，得证．
5．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的最大值是，求的值；
(3)设函数，若有两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）求出函数的单调性，即可得到，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出的值；
（3）求出函数的导函数，令，依题意，是方程的两个根，由，，得到且，，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）当时，则，.
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，又 .
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以的最大值为，
故，整理得到，其中，
设，，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上所述，.
（3）由题意得，函数的定义域为，且，
又，令，
因为函数有两个极值点，，则，是方程的两个根，
所以，即，且，，
所以
，
令，，则，
当时，，则在区间上单调递减，
从而，
故.
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