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专题02 导数（图像、切线方程、极值最值）
10大高频考点概览
考点01瞬时速度、瞬时变化率
考点02求导法则、计算
考点03原函数与导函数图像
考点04函数图像
考点05切线方程“在”的问题
考点06切线方程“过”的问题
考点07单调性
考点08已知单调性求参数求值范围
考点09极值、最值
考点10已知极值、最值求参数取值范围
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：．当时，运动员的滑雪瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求导得，计算即可求解.
【详解】由题意得，所以，
故选：B.
2．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：D
3．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)某市在一次降雨过程中，降雨量（单位：）与时间（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的降雨强度是时的降雨强度的（ ）
A．2倍 B．4倍 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出导数值的比值即可.
【详解】设，求导得，则，
所以在时的降雨强度是时的降雨强度的.
故选：C
4．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)若，则（ ）
A． B．9 C．3 D．1
【答案】B
【分析】根据导数的定义即可．
【详解】由得，，
因为
所以.
故选：B.
5．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)某物体运动时，位移（米）与时间（秒）之间的关系式为：，且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定
【答案】A
【分析】由导数的定义及瞬时速度的概念可得.
【详解】由题意可得
，
所以，所以该物体在2秒末的瞬时速度为1米/秒.
故选：A
6．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)若，则（ ）
A． B．6 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】由导数的定义可得；
【详解】.
故选：C.
7．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由导数的定义求解即可.
【详解】，
故选：B
8．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．10 D．5
【答案】C
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)设函数，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的求导公式即可得解.
【详解】因为为常数，根据基本初等函数的求导公式可知，，
故选：D
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知函数，则的导数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复合函数求导法则进行求解.
【详解】.
故选：D
3．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值.
【详解】，所以，
故选：B
4．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，代入即可求解.
【详解】∵，∴，∴，解得：.
故选：C.
二、填空题
5．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知，则________.
【答案】2
【分析】求出函数的导数，进而求出导数值.
【详解】由，求导得，
所以.
故答案为：2
6．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)设函数，若，则________.
【答案】0
【分析】求得，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由函数得，
因为，所以，解得
故答案为：0.
7．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知函数，则=______．
【答案】
【分析】求出函数的导数，赋值求出，再赋值即可得解.
【详解】,
令，可得，解得，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值
【答案】D
【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负，
不是单调的函数，所以选项A错误，
对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误，
对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误，
对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确，
故选：D.
2．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极大值点
D．是函数的极大值点
【答案】C
【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.
【详解】根据的图象可知：
当时，；时，，当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此函数在时取得极小值，在取得极大值.
故ABD错误，C正确.
故选：C
3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图象如图所示， 则（ ）
A．在区间(-1,+∞)上单调递增
B．在区间(-∞,0)上单调递减
C．
D．
【答案】C
【分析】利用图像即可得函数的单调性即可判断AB，由在的单调性即可判断CD.
【详解】由图可知，当时，，当时，，当时，，
所以单调增区间为，减区间为，故AB错误；
因为，所以，故C正确；
由，函数在为减区间，所以，故D错误，
故选：C.
4．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．是函数的极大值点
D．是函数的极小值点
【答案】B
【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值点的定义判断即可.
【详解】对于A选项，当时，，故函数在区间上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B对；
对于C选项，当时，，当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，是函数的极小值点，C错；
对于D选项，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，
故不是函数的极值点，D错.
故选：B.
5．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（ ）

A． B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】利用复合函数的导数求导法则可得，结合函数图象以及函数的导数的意义求解即可.
【详解】由题可知，由图可知当时，，
当，，所以的解集为.
故选：D.
二、多选题
6．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】BCD
【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断.
【详解】由图知，
当时，；当时，；当时，；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为．
故选：BCD.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断.
【详解】因为的定义域为，且，
所以是奇函数，故排除BC，
又，则，故排除D，
故选：A
2．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数值的特征排除A，利用导数说明函数的单调性，即可排除B、D.
【详解】因为，所以当时，当时，，故排除A，
又，
令，则，
因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以使得，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以当时，即，则单调递增，
当时，即，则单调递增，
且在上有解，即在上有解，
所以在上存在单调递减区间，故排除B、D.
故选：C
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)函数在处的切线斜率为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率即可.
【详解】由，则，
所以，
即函数在处的切线斜率为.
故选：D.
2．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可.
【详解】因为，则，，
又因为直线的斜率为1，
由题意可得，解得.
故选：D.
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导函数值，即切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式即可求得.
【详解】由，得，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即，
故选：A.
4．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－2，－2
【答案】D
【分析】由切线在的函数值求得，由切线的斜率得到.
【详解】由题意得，.
故选：D.
二、多选题
5．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可.
【详解】存在,,使成立,A正确．
不存在,,使成立,B错误．
,存在,使得成立,C正确．
存在,，使成立,D正确,
故选:ACD.
三、填空题
6．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)函数在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果.
【详解】因为，所以切点坐标为，
又，则切线的斜率，
由直线的点斜式方程可得，即，
所以切线方程为.
故答案为：
7．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．
【答案】8
【详解】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式.
【详解】设切点为，
对函数求导可得，
则切点处的斜率为，所以切线方程为，
因为切线过点，代入切线方程，可得，
整理得，则所求切线方程为.
故选：D.
2．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】由题意知的一条切线的斜率为，根据导数的几何意义求得切点，进而求得切线方程，即可求得.
【详解】由得
由题意，直线的斜率为，则，解得.
∴，∴切点为
∴切线方程为，即.
所以，.
故选：B.
二、解答题
3．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．
(1)求k的取值范围；
(2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，所以先对函数求导，再根据二次函数的性质求导函数的值域，从而得到切线斜率的取值范围.
（2）先根据（1）求出取最小值时点的坐标，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再根据点斜式写出切线方程，最后将点坐标代入切线方程求出切点坐标，进而得到切线方程.
【详解】（1）已知，对求导，可得：.
因为，所以，则，即.
所以的取值范围是.
（2）当取最小值时，，解方程可得.
将代入可得，所以.
设切点为，对求导可得：，则切线斜率.
由点斜式可得切线方程为.
因为切线过点，将代入切线方程可得：，
即，即，
解得或.
当时，，切线方程为，即.
当时，，切线方程为，即.
所求切线方程为或
4．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)已知函数在处有极值.
(1)求，的值；
(2)过原点作曲线的切线，求的方程.
【答案】(1)，.
(2)或.
【分析】（1）先求出导函数，再根据极值及极值点列式求参；
（2）先设切点，再求导得出切线斜率，再根据切线过原点列式求参，最后求出切线方程即可.
【详解】（1），
由题可知，
，
解得，.
（2）设切点为，则，切线的斜率，
切线的方程为，
因为切线过原点，所以，
整理得，解得或.
当时，，此时切线的方程为；
当时，，此时切线的方程为.
所以切线为或.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导函数，然后解不等式，结合对数函数单调性即可得解.
【详解】因为，所以，
令得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．(0，3) D．
【答案】C
【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果.
【详解】函数的定义域为：，
因为，
令并且，得：，
所以函数的单调递减区间为(0，3).
故本题正确答案为C.
3．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间.
【详解】∵，∴，
令，解得，
即函数的单调递减区间为，
故选：B.
二、填空题
4．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可.
【详解】由题意，函数的定义域为，
求导可得，
令，因为，所以解得.
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
三、解答题
5．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为；单调递增区间为
【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为，结合可得切线方程；
（2）求导后，根据导函数正负即可求得单调区间.
【详解】（1）由题意得：，，又，
在点处的切线方程为.
（2）由题意知：定义域为；
由（1）知：当时，；当时，；
的单调递减区间为；单调递增区间为.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算可得结果.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
设，则.
当时，，在上单调递增，
∴，此时在上单调递增，不合题意.
当时，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
当时，，当时，，
∵函数在上不单调，
∴，即，
∴，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
2．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数在上单调，只要函数在上单调，对函数求导，代特殊值求得，结合函数在上单调，可知在上恒成立，即可知，确定值并检验即可求解.
【详解】因为，且，
所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调；
又，且，
又函数在上单调，故函数在上只能单调递减，
由，即，解得，
当时，，时，，，
故有在上恒成立，
经检验知，时符合题意．
故选：D
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在上恒成立，对参数的取值进行简单讨论，即可求得结果.
【详解】，故可得；由题可知在上恒成立，
当时，显然有恒成立；
当时，令，解得，
故当或时，，不满足题意；
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
4．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知函数（），对于任意，当时，都有成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，令，即在上单调递增，得在恒成立即可.
【详解】由有，
令，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，令，又在上单调递减，
所以，所以，即，
故选：D.
二、填空题
5．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【分析】依题意将函数有单调减区间转化为导函数在上有解，构造函数求得其最值可得结果.
【详解】易知函数的定义域为，
则，
若函数有单调递减区间，则在上有解，
即，也即有解，可得；
令，所以，
由可得，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，即；
因此可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
6．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可.
【详解】依题意，在区间上有解，
即在区间上有解，
设，则，故只需求在上的最小值，
而，当时，取得最小值，故得，
则实数的取值范围为.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)定义：若函数存在个极值点，则称为n折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：）
A．4折函数 B．5折函数 C．6折函数 D．7折函数
【答案】C
【分析】求函数的导数，将函数的极值点问题，转化为的零点问题，进一步转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题.
【详解】因为，所以．
将函数的极值点问题，转化为的零点问题，令，得，
进一步转化为与的图象在上的交点个数问题．
因为，所以，又，
在同一坐标系中，画出函数和的图象，
由图可知，函数与函数的图象在上有5个交点，
所以函数为6折函数.
故选：C．
2．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得该函数在区间上的最小值.
【详解】，，令，可得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.
故选：D.
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件求出点的坐标，由此可得的表达式，再利用导数求其最小值可得结论.
【详解】因为直线分别与曲线和曲线交于两点，
所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，
设，则，
因为函数在上都为增函数，
所以函数在为增函数，又，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
二、填空题
4．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)函数的极大值点为_________．
【答案】
【分析】求出函数的导数，进而求出其极大值点.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值点为，极小值点为1.
故答案为：
三、解答题
5．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知函数.
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)当时，求函数的单调区间．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)的单调递增区间为，，单调递减区间为
【分析】（1）根据函数极值和导函数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间，判断函数极值.
（2）根据函数单调性和函数导数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间.
【详解】（1）当时，函数，定义域为，则，
令，即，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以在上的极小值小值为，无极大值；
（2）当时，函数，定义域为，
则，
令，解得或，
当，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为.
6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)已知函数．
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若函数，求在上的值域．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由题得在上恒成立，接着分离参数，再转化成最值问题即可求解；
（2）利用导数工具研究函数单调性，求出最值即可得解.
【详解】（1）由题，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，又在上恒成立，所以，即
所以实数的取值范围.
（2）由题，
所以，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以函数最大值为，最小值为.
所以函数的值域为.
7．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数与的值；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极大值为；极小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程组，解之即得；
（2）利用求导判断函数的单调性，即可求得函数的极大极小值.
【详解】（1）由求导得：，
依题意，，，
故有，解得；
（2）由（1）可得，则，
令可得或；由可得.
故函数在和单调递增，在上单调递减.
则函数在时取得极大值，在时，取得极小值.
8．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知函数，且在点处的切线l与平行.
(1)求切线l的方程；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)，无极大值.
【分析】（1）先利用切线l与平行解出，再求出切点的坐标，进而求出切线方程；
（2）直接求导确定单调性，进而求出极值.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，则，
因为在点处的切线l与平行，
所以，即，解得，
所以，所以，
所以在点处的切线的方程为，
即；
（2），得，，
由得；由得；
所以函数在上单调递减，在上递增；
故，无极大值.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原函数有极值等价于导函数有变号零点，对于二次函数即判别式，由此计算a的取值范围即可.
【详解】由，
得，
根据题意得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：D．
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】转化为有两个变号零点，求出零点后根据题意列不等式求解即可.
【详解】由得，
由函数在区间上有两个极值点知，
在区间上两个变号零点，
令得或，由题意，
解得，且，所以实数的取值范围是.
故选：D
3．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)函数在处取得极大值，则常数（ ）
A．1 B． C．1或3 D．或
【答案】B
【分析】首先求导，由求出的值，再利用导数验证函数在处是否取得极大值，从而得到常数的值.
【详解】函数，
则，
因为函数在处取得极大值，
则，即，
则，即，解得或，
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，即不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，即符合题意.
故选：B.
4．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)函数在时取得极值，则当时，的最大值为（ ）
A．-9 B．2 C．10 D．5
【答案】C
【分析】求出函数的导数，由极值点求出，进而求出最大值.
【详解】函数，求导得，
由函数在时取得极值，得，解得，
，当时，，当时，，
则是的极值点，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的最大值为.
故选：C
5．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围．
【详解】，
则，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，
所以由可得，则有唯一的根，
直线与函数的图象有一个交点（非切点），
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以函数的极大值为，
且当时，，当时，，
则函数的图象如下图所示：
所以当时，
即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），
因此，实数的取值范围是．
故选：D.
二、多选题
6．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当且时，
B．当时，若有两个极值点，则的取值范围是
C．若满足，则的最小值为
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】BCD
【分析】取，可判断A选项；求导得出，结合题意得出，解出的范围，可判断B选项；由得出，结合二次函数的基本性质可求出的最小值，可判断C选项；由极值点的定义可得出，再由，结合作差法化简可得出，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，所以．
当时，，，
不满足，A错误；
对于B选项，当时，，
因为函数有两个极值点，则，解得，B正确；
对于C选项，因为函数满足，
因为，
则
，
所以，，解得，
所以，C正确；
对于D选项，因为，
因为函数为极值点，有，
由，得，①
因为，即，
化简得，
因为，所以，②
把①代入②中化简得可得，即，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
7．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可.
【详解】因为，所以，
由题知，则，
令可得或.
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极小值，不合乎题意；
若，即当，则对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，无极值点；
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极大值，合乎题意.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
8．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【分析】求出函数的导数，由极值点的意义分离参数，构造函数转化成直线与函数图象在上有两个交点求解.
【详解】因为，所以，
依题意，函数在上有两个变号零点，由，得，
令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点，
而，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，又，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，

观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
9．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数（）在处取得极小值.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据极值点的定义待定系数计算并验证即可；
（2）根据（1）的结论得出极大值，极小值，再计算端点值比较即可.
【详解】（1）易知，由题意可知是其一个变号零点，
即或，
当时，，
此时时，，即单调递减，
，，即单调递增，故在处取得极小值，符合题意；
当时，，
此时时，，即单调递减，
，，即单调递增，故在处取得极大值，不符合题意；
综上，此时；
（2）由上可知在和上单调递增，在上单调递减，
即时取得极大值，处取得极小值，
又，
所以在上的最大值为，最小值为.
10．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知函数在处取得极值．
(1)求实数a，b的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为59，最小值为
【分析】（1）求出函数的导数，根据和，求出，的值；
（2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值.
【详解】（1），则，
因函数在处取得极值，
则，得，
经检验，符合题意；
（2）由（1）可知，，
得或，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
，，，，
则在区间上的最大值为59和最小值.
11．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性；
（2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出.
【详解】（1）易知的定义域为，
可得；
若，可得，此时在上单调递增；
若，令，解得；
当时，，即可得在上单调递减；
当时，，即可得在上单调递增；
综上可得，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，
此时无最小值，不合题意；
当时，可知在上单调递减，在上单调递增；
此时在处取得极小值，也是最小值；
因此，解得，符合题意；
当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意；
综上可知，
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专题02 导数（图像、切线方程、极值最值）
10大高频考点概览
考点01瞬时速度、瞬时变化率
考点02求导法则、计算
考点03原函数与导函数图像
考点04函数图像
考点05切线方程“在”的问题
考点06切线方程“过”的问题
考点07单调性
考点08已知单调性求参数求值范围
考点09极值、最值
考点10已知极值、最值求参数取值范围
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：．当时，运动员的滑雪瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)某市在一次降雨过程中，降雨量（单位：）与时间（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的降雨强度是时的降雨强度的（ ）
A．2倍 B．4倍 C． D．
4．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)若，则（ ）
A． B．9 C．3 D．1
5．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)某物体运动时，位移（米）与时间（秒）之间的关系式为：，且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定
6．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)若，则（ ）
A． B．6 C．3 D．-3
7．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．10 D．5
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)设函数，则为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知函数，则的导数（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知，则________.
6．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)设函数，若，则________.
7．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知函数，则=______．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值
2．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极大值点
D．是函数的极大值点
3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图象如图所示， 则（ ）
A．在区间(-1,+∞)上单调递增
B．在区间(-∞,0)上单调递减
C．
D．
4．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．是函数的极大值点
D．是函数的极小值点
5．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（ ）

A． B．和
C．和 D．和
二、多选题
6．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)函数在处的切线斜率为（ ）
A． B．4 C． D．
2．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－2，－2
二、多选题
5．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)函数在点处的切线方程为______．
7．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
二、解答题
3．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．
(1)求k的取值范围；
(2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程．
4．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)已知函数在处有极值.
(1)求，的值；
(2)过原点作曲线的切线，求的方程.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．(0，3) D．
3．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)函数的单调递减区间为__________．
三、解答题
5．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知函数（），对于任意，当时，都有成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为_____．
6．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为______.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)定义：若函数存在个极值点，则称为n折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：）
A．4折函数 B．5折函数 C．6折函数 D．7折函数
2．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
4．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)函数的极大值点为_________．
三、解答题
5．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知函数.
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)当时，求函数的单调区间．
6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)已知函数．
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若函数，求在上的值域．
7．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数与的值；
(2)求函数的极值.
8．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知函数，且在点处的切线l与平行.
(1)求切线l的方程；
(2)求函数的极值.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)函数在处取得极大值，则常数（ ）
A．1 B． C．1或3 D．或
4．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)函数在时取得极值，则当时，的最大值为（ ）
A．-9 B．2 C．10 D．5
5．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当且时，
B．当时，若有两个极值点，则的取值范围是
C．若满足，则的最小值为
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题
7．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________.
8．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.
四、解答题
9．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数（）在处取得极小值.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最值.
10．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知函数在处取得极值．
(1)求实数a，b的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
11．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值.
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