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专题02 等差（比）数列的性质及数列的前n项和
4大高频考点概览
考点01等（比）差数列判断或证明
考点02 等差数列的性质及基本运算
考点03 等比数列的性质及基本运算
考点04 等差数列与等比数列交汇问题
考点05 数列的前n项和问题
(
地
城
考点01
等（比）差数列判断或证明
)
1．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）正实数，，不全相等（ ）
A．若，，是等差数列，则，，也是等差数列
B．若，，是等比数列，则，，也是等比数列
C．若，，是等差数列，则，，也是等差数列
D．若，，是等比数列，则，，也是等比数列
【答案】BD
【分析】利用赋值法可判断AC；利用等比中项法可判断BD.
【详解】对于A，取，则，，所以，，不成等差数列，故A错误；对于B，若，，是等比数列，则，所以，所以，，是等比数列，故B正确；对于C，取，则，又，故，，不是等差数列，故C错误；对于D，若，，是等比数列，则，又，所以，，是等比数列，故D正确.故选：BD.
2．（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．常数列是等差数列
B．若，则是等差数列
C．若是等差数列，则数列为等差数列
D．若是等差数列，，则
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的定义，通项公式，以及性质，即可判断选项.
【详解】A.常数列是等差数列，公差为0，故A正确；B.，，，，所以不是等差数列，故B错误；C.若是等差数列，则，，则（常数），所以数列为等差数列，故C正确；D. 若是等差数列，，则，故D正确.故选：ACD
3．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等差数列
【答案】AC
【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D.
【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即．因为，所以是等比数列，所以A选项正确；因为，所以是等比数列，所以C选项正确；当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误；不妨设等比数列为，当时，不存在，所以不是等差数列，所以D选项错误.故选：AC
4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）对于数列，以下选项正确的有（ ）
A．若均是等差数列，则也是等差数列
B．若均是等比数列，则也是等比数列
C．若均是等差数列，则也是等差数列
D．若均是等比数列，则也是等比数列
【答案】AD
【分析】利用等差、等比数列的定义判断各项的正误即可.
【详解】若的公差分别为，为定值，即为等差数列，不一定为定值，即不是等差数列，A对，C错，若的公比分别为，，，不一定为定值，即不是等比数列，为定值，即为等比数列，B错，D对.故选：AD
5．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列为递增数列
D．中存在不同的三项构成等差数列
【答案】AC
【分析】利用和关系求通项公式，再结合各项描述、等比等差数列的定义及作商法判断单调性，即可得.
【详解】当时，，当时，，时不满足，所以，数列不是等比数列，A对，B错；对于C，因为，当时，，所以，数列 为递增数列，C对；
对于D，取，且，假设存在能构成等差数列，则，
则有，即，所以，因为，所以，与矛盾；假设存在能构成等差数列，则，即，
则，即，显然当时无解，所以中任意三项都不能构成等差数列，D错；故选：AC
6．（多选）（24-25高二下·河南·期中）已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则是等差数列
B．若，，则是等差数列
C．若，，则是等比数列
D．若，，则是等比数列
【答案】AD
【分析】对于AD直接求出，然后根据定义判定等差数列、等比数列即可，对于BC，算出前三项即可判断BC错误.
【详解】对于A，当时，若，则，
事实上，，注意到，即是常数数列，
所以，数列是等差数列，故A正确；
对于B，当时，若，所以数列不是等差数列，故B错误；
对于C，当时，若，所以不是等比数列，故C错误；
对于D，当时，有，因为，所以，即，因为，所以是等比数列，故D正确；故选：AD．
7．（多选）（25-26高二上·北京西城·期中）已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C．是公差为2的等差数列 D．
【答案】C
【分析】先根据条件求解出数列的首项和公比判断A，然后根据等比数列通项公式和前n项和公式计算判断D，结合等比等差数列的定义判断判断BC.
【详解】对于A，因为无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，则，解得，A正确；对于B，当时，，，
因为，，所以是首项为，公比为的等比数列；B正确
对于C，当时，，，因为，所以是公差为1的等差数列.C错误.对于D，当时，.D正确.故选：C.
8．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，下列说法错误的是（ ）
A．若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列
B．若、为等比数列，则为等比数列
C．若为等差数列，，，，则当时，最大
D．若为等差数列且公差，，是与的等比中项，则
【答案】BC
【分析】根据等差数列的定义判断A，举反例判断B，根据等差数列求和公式及下标和性质判断C，由等差数列求和公式及等比中项的性质得到方程组，求出，即可判断D.
【详解】对于A：因为点在函数（，为常数）的图象上，则，所以，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B：设为常数列，为常数列，满足、为等比数列，
但是为，则不是等比数列，故B错误；
对于C：因为为等差数列，，所以，又，则，又因为，所以，，故当时，取得最大值；故C错误；
对于D：由，得，由是与的等比中项，所以，得，得，因为，所以，所以，解得，故D正确.故选：BC
9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可.
【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且
对于A，因为，
，因,则，故不是等比数列，即A错误；
对于B，因为，
，
与A同理，，故不是等比数列，即B错误；
对于C，因为，，是一个常数，所以是等比数列，故C正确.对于D，因为，，是一个常数，所以是等比数列，故D正确.故选：CD.
10．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知数列前项和为．
(1)试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2；3；5，数列不是等差数列．
(2)
【分析】（1）利用求出数列前3项，根据等差数列定义判断是否满足即可.
（2）令，求出，利用求出，并验证是否满足即可.
【详解】（1）由得，，，
， ，因为，所以数列不是等差数列．
（2）当时，；当时，；
验证时，，不满足上式，所以．
11．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 .
(1)求证:数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可；
（2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可.
【详解】（1）∵数列满足，
∴，
∴数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）已知数列是公差为的等差数列，又∵，∴数列的首项为，
∴，∴.
12．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的前项和为，且．
(1)判断是否等比数列并证明；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)是，证明见解析；(2)
【分析】（1）根据数列前项和与项之间的关系，求出数列的递推关系，即可利用定义证明为等比数列.
（2）使用错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：因为所以当时，，解得；
当时，，所以，即，
所以，又．所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）知，．所以，
则，①，，②
①-②有．所以
(
地
城
考点02
等差数列的性质及基本运算
)
1．（25-26高三上·云南·期中）在等差数列中， ，则的公差为（ ）
A．-3 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，所以.
2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（ ）
A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺
【答案】D
【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量．
【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为，则，解得，所以第30天织布（尺）．故选：D．
3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
【答案】B
【分析】由已知递推关系得数列是等差数列，然后求出公差，再由通项公式可得．
【详解】因为，所以，所以数列是等差数列．因为，，所以，故，所以．故选：B
4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可.
【详解】由等差数列前项和公式得：，因为，所以，即，因为，所以，又因为，可得，即，由，可知数列前6项为负，第7项开始为正，因此当取得最小值时，. 故选：C.
5．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论.
【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,，所以可设（），，所以时，，又满足上式，所以（），时，，
又满足上式，所以,，则，
因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63，又，则，解得；，解得，所以，15，即满足的正整数n有2个.故选：B.
6．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可.
【详解】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点.当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确.故选：C.
7．（多选）（25-26高二上·江苏淮安·期中）若等差数列满足，则（ ）
A． B．
C．为单调递减数列 D．当时，的前项和最大
【答案】ACD
【分析】对于AB：根据题意结合等差数列的性质可得，；对于C：可得，即可得判断单调性；对于D：根据数列的符号分析的最值即可.
【详解】设等差数列的公差为，因为，即，故A正确；又因为，即，故B错误；则，可知为单调递减数列，故C正确；可知当时，；当时，；所以当时，的前项和最大，故D正确；故选：ACD.
8．（多选）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．当或11时，取得最大值
【答案】AC
【分析】根据题意结合等差数列性质可得.对于A：分析可得，即可判断；对于B：分析可知，即可判断；对于C：整理可得，，即可判断；对于D：举反例说明即可.
【详解】因为，则，即.对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：若，可知数列为递增数列，则，所以，故B错误；
对于选项C：因为，，若，即，则，即，故C正确；对于选项D：例如，则，因为的图象开口向上，对称轴为，结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误；故选：AC.
9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（ ）
A．为递减数列
B．当时，取得最大值
C．没有最大项
D．当时，取得最大值
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的通项公式，可得到，并确定，可判断A，再利用求和公式并代入，得到二次函数可判断B，利用的通项公式可讨论正负取值，并结合函数单调性，可判断CD.
【详解】设等差数列的公差为，则由，可得，
再由，所以有，即为递减数列，故A正确；因为，由于开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当时，取得最大值，故B正确；
由
，当时，，
当时，，当时，，
当时，，因为，所以当时，取得最大值，故D正确；令，则构造所以函数在上单调递增，即当时，数列单调递增，此时是最大值，
而，即，结合当或时，，所以是数列的最大项，故C错误；故选：ABD.
10．（多选）（24-25高二下·江西鹰潭·期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则的公差为1
B．若为等差数列，则的首项为1
C．
D．
【答案】AD
【分析】本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D．
【详解】因为，所以，两式相减得．
若数列为等差数列，则的公差．又，所以，解得，所以A正确，B错误；，
所以，所以C错误．因为，所以恒成立，即成立，所以D正确，故选：AD．
11．（多选）（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知是各项均不为0的数列的前n项和，，，则（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．数列的前10项和为220
【答案】AD
【分析】根据等差数列的定义、通项公式，前项和公式逐项求解计算即可.
【详解】因为，等式两边同时除以，得.根据等差数列的定义可知是等差数列，所以A正确；那么有，所以，B错误；，当时，，所以C错误；
因为.所以数列的前10项和为，D正确.故选：AD.
12．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则______.
【答案】28
【分析】根据等差数列前项和公式和下标和性质求解.
【详解】因为等差数列的前项和为，，，故.
（25-26高二上·重庆·期中）已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的
等差数列，则通项公式 _____
【答案】
【分析】首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解.
【详解】由题意可得，所以，
当时，，
当时，，符合上式，因此.
14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知集合，，则集合中所有元素的和为__________.
【答案】
【分析】先分别求出集合和集合的元素，再找出它们的交集，最后根据等差数列求和即可.
【详解】对于集合，是正奇数，又，，最大为，此时，,对于集合，又，，最大为，此时，,设，则，可得，即，必须是的倍数，设，则，又，即，解得，最大为，,这是一个首项为，公差为，项数为的等差数列，则集合中所有元素的和为.
15．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)记，数列的前项和为，求.
【答案】(1)，.(2)，.
【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可；
（2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可.
【详解】（1）设的公差为，由，则或，
若，则，此时，，满足条件等式；
若，则，此时，，
不满足条件等式，舍去；综上，.
（2）由上可知，
所以当时，此时，
当时，此时
，
综上，.
16．（25-26高二上·江苏·期中）等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列满足.求数列的通项公式.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由等差数列下标的性质，等差中项和等差数列的求和公式列方程组可得，，再由基本量法可求；
（2）由题设得即可分析计算求解.
【详解】（1）由题意可得，解得，，所以.
（2）由（1）可得，则，
当时，，所以，当时也符合，故.
(
地
城
考点0
3
等
比
数列的性质及基本运算
)
1．（25-26高二上·江苏南通·期中）设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】由题意可知将四个数按照绝对值从小到大排列就可得到数列的各项，从而可求出公比
【详解】因为数列是公比为q的等比数列，，且数列的连续四项构成集合，则数列的连续四项为递增数列，为3，9，27，81，可知数列的连续四项为，所以公比.
2．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知等比数列的前n项和为成等差数列，，则n的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】利用等差中项的性质可得关于公比q的方程，解得，再根据等比数列前n项和公式计算，结合n的范围即可求得其最小值．
【详解】设等比数列的公比为q，由题意，，则得，即，
整理可得，解得，所以，即，又因为，所以，即n的最小值是11．故选：B．
3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】求得等比数列的前项，进而求得，从而求得正确答案.
【详解】等比数列的前n项和为，则，
，所以，则，即，
所以.故选：B
4．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（ ）
A． B．27 C．81 D．或81
【答案】C
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得或，
又数列为递增等比数列，所以，所以.故选：C.
5．（24-25高三上·云南昆明·期中）若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可.
【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立；必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立，故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，
6．（25-26高二上·福建宁德·期中）若数列中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的定义，结合累加法、利用等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】由，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则得，
因此有，于是有.
7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出．
【详解】是等比数列，设公比为，，是方程的两根，，同号，且，，解得，又，故C正确．故选：C．
8．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据前项和的定义可得，再结合等比数列通项公式运算求解即可.
【详解】因为，，则，可得，解得，
所以数列公比的值为2.故选：A.
9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出．
【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列.
因为，所以，所以，故.故选：C
10．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．数列中的最大项为
D．
【答案】AC
【分析】根据题意得，，，进而再根据等比数列的性质依次判断各选项即可.
【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以，因为，
所以，即或，当时，由于，故，即；当时，由于，故，又因为，此时等比数列恒成立，与矛盾，所以，，，故A选项正确；对于B，由得，即得，故B选项错误；对于C，由于，，，
所以，，所以数列中的最大项为，故C选项正确；
对于D，，故D选项错误.
故选：AC
11．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据已知图形结合等比数列的知识逐项计算即得.
【详解】因为，A选项正确；依题意，，所以是首项为1，公比为3的等比数列，所以，，C选项正确；，B选项错误；
，D选项正确；故选：ACD.
12．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为______.
【答案】/0.5
【分析】根据数列的前n项和的概念，拆分前8项和为“奇数项和”与“偶数项和”，再结合等比数列的定义即可求解.
【详解】等比数列的前8项和，即；因为，，代入上式得：，所以.
又因为，，，，因此，，即，.
13．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则_____．
【答案】
【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
又，所以，则.
14．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________
【答案】19
【分析】若，，根据等差、等比数列求和公式可得，结合，可得符合题意，再检验是否满足不等式即可.
【详解】因为，可知为偶数，为奇数，设，，则，，
则，
因为，即，可得，
当时，则，，不合题意；
当时，则，符合题意，若，则，，；
若，则，；当时，则，
可得，
若，则，，对于，即，整理可得，因为在内单调递增，则，不合题意；
若，则，可得，满足；综上所述，使得成立的n的最小值为19.
15．（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比______．
【答案】或
【分析】根据等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】当时，显然成立，
当时，
，（舍去），
16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________.
【答案】
【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解.
【详解】次操作后，小圆的半径依次为，大圆的半径依次为，所以小圆半径是首项为，公比为等比数列，大圆半径是首项为，公比为等比数列，4次操作后图中最小的圆的半径为；次操作后，小圆面积和为：
，
大圆面积和为，所以大圆与小圆面积和为，则所有圆的面积总和为.
17．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知.
(1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得；
（2）由（1）可得，再分、两种情况，分别求出.
【详解】（1）因为，当时，，又，故；
当，时，由，得，
两式相减得，即，则，即，
又，故，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，所以．
（2）由（1）得，则，
当时，则；
当时
，
综上可得.
18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为，即，
又，即，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，所以，
所以.
(
地
城
考点0
4
等差数列与等比数列交汇问题
)
1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（ ）
A． B．1或 C．1 D．1或
【答案】C
【分析】利用等比数列的基本量，结合等差中项的性质列方程，即可得解.
【详解】因为成等差数列，故,即,两边消去,得,得.
2．（24-25高二下·北京房山·期中）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】由等比中项的定义得到，再根据等差数列的通项公式将首项，公差代入计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，整理可得，因为，，所以解得.故选：A
3．（24-25高二下·广东·期中）已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，，成等比数列求解出首项和公差的关系式，然后根据等差数列的通项公式化简，由此即可求解出结果.
【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，化简可得，所以，所以，故选：D.
4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或1
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，
又，所以，解得，所以.故选：A.
5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，进而解得，利用等差数列前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，所以，由成等比数列，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，故选：A.
6．（多选）（24-25高二下·云南昭通·期中）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（ ）
A．180 B．112 C．16 D．
【答案】BD
【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可作出判断.
【详解】设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，．
于是得，解方程组，得或，所以这个数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，，故选：BD．
7．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ）
A． B．
C． D．数列是等差数列
【答案】AC
【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可.
【详解】对于A：由，由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确；对于B：由上可知：，所以本选项不正确；对于C：，所以本选项正确；
对于D：因为常数 ，所以数列不是等差数列，因此本选项不正确，故选：AC
8．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的有（ ）
A．在等差数列中，，，则前9项和
B．在等差数列中，，，则
C．数列为等比数列，，，则
D．数列的前n项和为
【答案】ACD
【分析】利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假.
【详解】对A：因为，故A正确；
对B：因为为等差数列，所以为等差数列，
所以.故B错误；
对C：因为数列为等比数列，所以，
所以.故C正确；
对D：因为，所以，所以数列的前n项和为.故D正确.故选：ACD
9．（多选）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，，下列说法正确的是（ ）
A．若是等比数列，则
B．若是等差数列，则
C．若是等比数列，则、的等比中项为8
D．若是等差数列，则、的等差中项为17
【答案】BCD
【分析】由等比数列、等差数列的性质逐个判断即可.
【详解】对于A：由，可知，故错误；对于B：，正确；对于C：，又等比数列偶数项同号，所以8，正确；对于D：，所以，正确；故选：BCD
10．（多选）（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ）
A． B．和的等比中项为
C．当时， D．
【答案】ACD
【分析】由等比中项的性质可得A正确；由题意可得B错误；由等比数列的性质可得C正确；由等比中项结合基本不等式可得D正确.
【详解】对于A，由题意可得，故A正确；对于B，和的等比中项为，根据题意无法得知其值，故B错误；对于C，当时，由等比数列的性质可得，故C正确；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD
11．（多选）（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
【答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D.
【详解】由题意设等差数列的公差为，则，因为，，成等比数列，所以，所以，解得：，所以，对于A，，故A正确；
对于B，的前项和为，故B错误；对于C，因为，
所以的前2025项和为，故C正确；对于D，因为，所以的前10项和为，故D正确.故选：ACD
12．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为______．
【答案】2
【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题.
【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数，
所以，解得:或(舍).
13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)设求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可；
（2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，得，故，
又，消去可得，则（舍）或．则，故．
因为，所以，则.
14．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等差数列与前n项和的性质及等比中项，计算通项公式基本量即可；
（2）利用裂项相消法求和，结合数列的单调性证明即可.
【详解】（1）设的公差为，则，所以，又为，的等比中项，则，解之得，故；
（2）由上可知，
所以
，易知，
令，显然定义域上单调递减，，
所以，故.
(
地
城
考点0
5
数列的前n项和问题
)
1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（ ）
A．4052 B．4053 C．4054 D．4055
【答案】A
【分析】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可.
【详解】因为，，，令，则，即，
且，可得，可知数列的一个周期为3，
所以.故选：A.
2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，即可表示出，再由计算即可得.
【详解】因为，所以，当或时，不符合题意，
所以，所以，
所以，
则，所以，故.故选：D.
3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列中且满足，则的前30项和（ ）
A．225 B．30 C．255 D．285
【答案】C
【分析】根据递推式得为奇数时，为偶数时，再应用分组求和、等差数列前n项和公式求和.
【详解】当为奇数时，，，此时，当为偶数时，，，此时，
所以.故选：C
4．（25-26高二上·北京·期中）已知数列满足：，对于任意的，有，，则（ ）
A．5050 B．50 C． D．
【答案】D
【分析】根据题设可推出，再根据求出其通项，最后分组求和即可.
【详解】，即，则，且，则为首项为0的常数列，则，则，又因为，且，可知数列的项的符号正负交替，则当为奇数时，，当为偶数时，，则.故选：D.
5．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和.
【详解】当n＝1时，，∴＝2．当时，，①，，②
∴①－②得，即.∴数列是首项为2，公比为3的等比数列，
∴．∴.所以
．故选：C
6．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是数列的前n项和，，则（ ）
A．2575 B．3435 C．4345 D．5135
【答案】B
【分析】根据已知，应用分组求和、等比数列前n项和公式求.
【详解】由题知
.故选：B
7．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若均为等差数列，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】由递推关系可知，根据数列周期性可求得A错误；利用等差数列性质可知，由此可求得B正确；利用倒数法和构造法可证得数列为等比数列，利用等比数列通项与求和公式可求得，知C正确；采用裂项相消法可求得，知D正确.
【详解】对于A，，，数列是以为周期的周期数列，，A错误；对于B，均为等差数列，，B正确；对于C，，，即，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，C正确；
对于D，，，
，D正确.故选：BCD.
8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和
【答案】BCD
【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题.
【详解】由题可得，可构造为，又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列.，得.对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误；
对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确；
对于C：，其前项和.故C正确；
对于D：设.
又注意到，.
因此
因此的前项和.故D正确.故选：BCD.
9．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若数列的通项公式为，则其前项和_________．
【答案】
【分析】利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】因为，则
，所以.
10．（24-25高二下·四川广元·期中）已知数列满足的前项和为，若，则_____．
【答案】2
【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解.
【详解】由，可知：当为偶数时，，当为奇数时，，所以，
即
，化简可得，由此解得.
11．（25-26高二上·云南红河·期中）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，
解得，所以；
（2）由（1）知，所以，
所以
所以所以．
12．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可；
（2）利用等差数列通项公式求解即可；
（3）利用错位相减法来求和即可.
【详解】（1）由，两边同时除以：得，所以
又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）可知：，故；
（3），，
两式相减，得，
，故.
13．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和．
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)数列的通项公式为，的通项公式为.(2)
【分析】（1）利用等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，求解方程组得到首项和公比的值，进而得到的通项公式，利用与的关系求出的通项公式；
（2）先求出的表达式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的通项公式，已知，可得，解得或，又因为，所以，代入，所以，故，又已知数列的前项和，当时，，当时，，当时，符合上式，∴．
因此数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）由（1）知，,所以令
所以，①，两边同乘以得：
，②，由①②，将两式错位相减得：
解得，因此数列的前项和.
14．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)设求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可；
（2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，得，故，
又，消去可得，则（舍）或．则，故．
（2）因为，所以，则.
15．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出，进而求出通项公式；
（2）由（1）求出通项，利用裂项相消法求得，得证.
【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为，可得，
解得，故.
（2）由（1）可得，
故.因为，所以，得证.
16．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，由计算，再求出，即可得解；
（2）首先求出，即可得到，再由错位相减法计算可得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，
故，解得，所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以①，
②，
①②得，
所以.
17．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，，设．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可.
（2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可；
（3）运用裂项相消法进行运算证明即可.
【详解】（1）由，
，得，因为，所以数列是等比数列；
（2）由，由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，因为，
所以，，
，得，；
（3），
.
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专题02 等差（比）数列的性质及数列的前n项和
4大高频考点概览
考点01等（比）差数列判断或证明
考点02 等差数列的性质及基本运算
考点03 等比数列的性质及基本运算
考点04 等差数列与等比数列交汇问题
考点05 数列的前n项和问题
(
地
城
考点01
等（比）差数列判断或证明
)
1．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）正实数，，不全相等（ ）
A．若，，是等差数列，则，，也是等差数列
B．若，，是等比数列，则，，也是等比数列
C．若，，是等差数列，则，，也是等差数列
D．若，，是等比数列，则，，也是等比数列
2．（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．常数列是等差数列
B．若，则是等差数列
C．若是等差数列，则数列为等差数列
D．若是等差数列，，则
3．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等差数列
4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）对于数列，以下选项正确的有（ ）
A．若均是等差数列，则也是等差数列
B．若均是等比数列，则也是等比数列
C．若均是等差数列，则也是等差数列
D．若均是等比数列，则也是等比数列
5．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列为递增数列
D．中存在不同的三项构成等差数列
6．（多选）（24-25高二下·河南·期中）已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则是等差数列
B．若，，则是等差数列
C．若，，则是等比数列
D．若，，则是等比数列
7．（多选）（25-26高二上·北京西城·期中）已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C．是公差为2的等差数列 D．
8．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，下列说法错误的是（ ）
A．若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列
B．若、为等比数列，则为等比数列
C．若为等差数列，，，，则当时，最大
D．若为等差数列且公差，，是与的等比中项，则
9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知数列前项和为．
(1)试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列；
(2)求数列的通项公式．
11．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 .
(1)求证:数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式．
12．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的前项和为，且．
(1)判断是否等比数列并证明；
(2)设，求数列的前项和．
(
地
城
考点02
等差数列的性质及基本运算
)
1．（25-26高三上·云南·期中）在等差数列中， ，则的公差为（ ）
A．-3 B． C．3 D．
2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（ ）
A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺
3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．5个 D．6个
6．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）（25-26高二上·江苏淮安·期中）若等差数列满足，则（ ）
A． B．
C．为单调递减数列 D．当时，的前项和最大
8．（多选）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．当或11时，取得最大值
9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（ ）
A．为递减数列
B．当时，取得最大值
C．没有最大项
D．当时，取得最大值
10．（多选）（24-25高二下·江西鹰潭·期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则的公差为1
B．若为等差数列，则的首项为1
C．
D．
11．（多选）（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知是各项均不为0的数列的前n项和，，，则（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．数列的前10项和为220
12．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则______.
（25-26高二上·重庆·期中）已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的
等差数列，则通项公式 _____
14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知集合，，则集合中所有元素的和为__________.
15．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)记，数列的前项和为，求.
16．（25-26高二上·江苏·期中）等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列满足.求数列的通项公式.
(
地
城
考点03
等比数列的性质及基本运算
)
1．（25-26高二上·江苏南通·期中）设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
2．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知等比数列的前n项和为成等差数列，，则n的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（ ）
A． B．27 C．81 D．或81
5．（24-25高三上·云南昆明·期中）若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（25-26高二上·福建宁德·期中）若数列中，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（ ）
A．3 B． C． D．
8．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．数列中的最大项为
D．
11．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为______.
13．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则_____．
14．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________
15．（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比______．
16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________.
17．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知.
(1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及数列的前项和.
(
地
城
考点04
等差数列与等比数列交汇问题
)
1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（ ）
A． B．1或 C．1 D．1或
2．（24-25高二下·北京房山·期中）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（24-25高二下·广东·期中）已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或1
5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B． C． D．8
6．（多选）（24-25高二下·云南昭通·期中）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（ ）
A．180 B．112 C．16 D．
7．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ）
A． B．
C． D．数列是等差数列
8．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的有（ ）
A．在等差数列中，，，则前9项和
B．在等差数列中，，，则
C．数列为等比数列，，，则
D．数列的前n项和为
9．（多选）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，，下列说法正确的是（ ）
A．若是等比数列，则
B．若是等差数列，则
C．若是等比数列，则、的等比中项为8
D．若是等差数列，则、的等差中项为17
10．（多选）（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ）
A． B．和的等比中项为
C．当时， D．
11．（多选）（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
12．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为______．
13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)设求数列的前n项和.
14．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，证明：．
(
地
城
考点05
数列的前n项和问题
)1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（ ）
A．4052 B．4053 C．4054 D．4055
2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列中且满足，则的前30项和（ ）
A．225 B．30 C．255 D．285
4．（25-26高二上·北京·期中）已知数列满足：，对于任意的，有，，则（ ）
A．5050 B．50 C． D．
5．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是数列的前n项和，，则（ ）
A．2575 B．3435 C．4345 D．5135
7．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若均为等差数列，，则
C．若，，，则
D．若，，则
8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和
9．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若数列的通项公式为，则其前项和_________．
10．（24-25高二下·四川广元·期中）已知数列满足的前项和为，若，则_____．
11．（25-26高二上·云南红河·期中）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
12．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和.
13．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和．
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
14．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)设求数列的前n项和.
15．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
16．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，，设．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若数列的前项和为，求证：．
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