资源简介

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专题02 随机变量及其分布
4大高频考点概览
考点01条件概率及全概率
考点02二项分布
考点03超几何分布
考点04 离散型随机变量分布及方差
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设，，是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，相互独立，则
C．若，则，对立
D．若，，则
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P 0.36
则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设事件对立事件分别为，若事件，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件“这3个球都是红球”，事件“这3个球中至少有1个红球”，事件“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断正确的是（ ）
A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为 D．
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.09 C．0.1 D．0.15
二、填空题
7．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知事件满足：，则__________.
8．（安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为______.
三、解答题
9．（24-25高二下·安徽合肥·期中）（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；
（2）（i）对于事件，，，当时，求证：；
（ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率.
10．（24-25高二下·安徽合肥·期中）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是6%，7%，8%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.
(1)求（，2，3）；
(2)若取出的球是次品，求该球是丙工厂生产的概率.（用分数作答）
11．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）观看篮球比赛一直受到广大高中生喜爱.
(1)某职业球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率；
(2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分.在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为0.5，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.15，求乙在第三次投中的概率（答案请用小数表示）.
一、解答题
1．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立.
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为；
(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ）
A．X的分布列为，
B．X的期望
C．
D．
二、解答题
2．（24-25高二下·安徽·期中）某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言.
(1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率；
(2)设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）数学实验教学能极大激发学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验教学中，学生们从装有大小相同的标号分别为的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种子的标号之和恰为10的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·安徽·期中）已知离散型随机变量的分布列为下表，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·安徽淮南·期中）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则（ ）
0 1 2
A．有最大值也有最小值 B．有最大值但无最小值
C．无最大值但有最小值 D．无最大值也无最小值
二、填空题
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________.
5．（24-25高二下·安徽·期中）已知随机变量X的分布规律为，则______.
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表：
0 1 2 5
则______.
三、解答题
7．（24-25高二下·安徽合肥·期中）一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备1，2，3出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立.
(1)若，求车间在一天的运行中，有两台设备出现故障的概率；
(2)对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备1，2，3的单次维修费用分别为50元，100元，150元，通过计算说明当时该车间每年设备维修费用的均值不超过5.475万元.（一年按365天计算）.
8．（24-25高二下·安徽·期中）某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言.
(1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中高二年级的人数，求X的分布列和数学期望，
9．（24-25高二下·安徽池州·期中）甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差.
10．（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为.
(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布列；
(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.
11．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
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专题02 随机变量及其分布
4大高频考点概览
考点01条件概率及全概率
考点02二项分布
考点03超几何分布
考点04 离散型随机变量分布及方差
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】计算条件概率
【分析】根据条件概率的公式求解，即可得出答案.
【详解】由条件概率公式可得，
.
故选：B.
2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设，，是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，相互独立，则
C．若，则，对立
D．若，，则
【答案】ABD
【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率、概率的基本性质
【分析】根据概率的性质，相互独立事件概念，对立事件概念，条件概率，逐个判断得到答案.
【详解】对于选项A：显然，故A正确；
对于选项B：若，相互独立，则，也相互独立，则，故B正确；
对于选项C：若抛一枚股子，出现奇数点向上概率为事件，向上点数不超过3为事件
显然事件，不对立，所以C错误；
对于选项D：因为，所以，
又因为，，所以，
所以，所以D正确.
故选：ABD
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P 0.36
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值
【分析】利用分布列的性质求出，再利用期望、方差的定义列式求解.
【详解】依题意，，解得或，
当时，，不符合题意，符合题意，此时分布列为
X 0 1 2
P 0.36 0.6 0.04
，
故选：D
4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设事件对立事件分别为，若事件，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【知识点】概率的基本性质、计算条件概率
【分析】根据事件间的关系，结合概率的计算公式化，逐项分析、计算，即可求解.
【详解】对于A中，由事件，可得，可得判定A正确；
对于B中，因为是对立事件，可得为不可能事件，所以，所以B错误；
对于C和D中，由，可得，所以发生一定发生，发生一定发生，
所以，，所以C、D都正确.
故选：ACD.
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件“这3个球都是红球”，事件“这3个球中至少有1个红球”，事件“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断正确的是（ ）
A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为 D．
【答案】BD
【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率
【分析】根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，组合数的计算公式，以及条件概率的计算公式，逐项分析求解，即可得到答案.
【详解】由题意，7个球中任取3个球的基本事件总数为
这3个球都是红球的基本事件数为，
所以事件发生的概率为，所以A错误；
这3个球中至少有1个红球的基本事件数为，
事件发生的概率为，所以B正确；
事件即为一个红球两个白球，基本事件数为
事件发生的概率为，所以C错误，
因为，由条件概率公式得，所以D正确.
故选：BD.
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.09 C．0.1 D．0.15
【答案】B
【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率
【分析】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，再由条件概率及全概率公式求解.
【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，
，，
由全概率公式得 .
故选：B
二、填空题
7．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知事件满足：，则__________.
【答案】0.68
【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】由条件概率乘法公式及全概率公式求得，再由对立事件概率公式即可求解.
【详解】解：因为
所以
所以
故答案为：0.68
8．（安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为______.
【答案】/
【知识点】计算条件概率
【分析】计算出相应基本事件数代入条件概率公式计算可得结果.
【详解】设事件A为小明报名参加足球社团，事件B为两名同学参加足球社团，
则.
故答案为：
三、解答题
9．（24-25高二下·安徽合肥·期中）（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；
（2）（i）对于事件，，，当时，求证：；
（ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率.
【答案】（1）丙投篮水平较高，理由见解析；（2）（i）证明见解析（ii）
【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，根据所给条件得到方程组，求出、、，即可判断；
（2）（i）根据条件概率公式证明即可；（ii）记事件“第次摸到白球”为，结合（i）的公式求出，即可得解.
【详解】（1）丙投篮水平较高，理由如下：
设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、.
依题意，得，
解得，
因为，所以，丙投篮水平较高.
（2）（ⅰ）因为，，
所以，得证.
（ⅱ）记事件“第次摸到白球”为.
由题意可知，，.
由结论，
可得.
故三次都摸到白球的概率为.
10．（24-25高二下·安徽合肥·期中）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是6%，7%，8%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.
(1)求（，2，3）；
(2)若取出的球是次品，求该球是丙工厂生产的概率.（用分数作答）
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，直接求解即可；
（2）根据全概率公式，求得，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）根据题意，.
（2）根据题意可得，
，
所以，
即若取出的球是次品，该球是甲工厂生产的概率为.
【答案】
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用全概率公式求概率、由递推关系证明等比数列、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】通过定义事件和概率，利用事件之间的关系推导出概率的递推公式，再根据递推公式确定数列的性质，进而求出通项公式，最后代入具体的传球次数求出相应概率.
【详解】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为，
则有.
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
代入得.
故答案为：
11．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）观看篮球比赛一直受到广大高中生喜爱.
(1)某职业球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率；
(2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分.在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为0.5，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.15，求乙在第三次投中的概率（答案请用小数表示）.
【答案】(1)
(2)
【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、计算条件概率
【分析】（1）设事件为“甲选择投两分球”，事件为“甲选择投三分球”，事件为“甲投篮命中”，结合全概率公式，即可求解；
（2）设事件为“乙在第次投篮命中”，得到，进而求得，，，，进而求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：设事件为“甲选择投两分球”，事件为“甲选择投三分球”，事件为“甲投篮命中”，则球员甲每次投篮命中的概率.
（2）解：设事件为“乙在第次投篮命中”，其中，
则，，，
所以，
，
，
，
所以乙在第三次投中的概率为.
一、解答题
1．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立.
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为；
(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值.
【答案】(1)
(2)元．
【知识点】求离散型随机变量的均值、建立二项分布模型解决实际问题、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”．则，根据条件可求结论；
（2）方法一：由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求.
方法二：设这4箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则，由二项分布期望公式求，结合关系和期望的性质求.
【详解】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”．
由题意可知：，
所以．
（2）方法一：设这箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为，，，，，
，，
，，
，
故的分布列为：
所以的均值（元）．
方法二：设这箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则，
总收益为随机变量，
所以（元）．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ）
A．X的分布列为，
B．X的期望
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】利用全概率公式求概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值、计算条件概率
【分析】列出的分布列，求出，可判断AB的真假；根据全概率公式计算可判断C的真假；根据条件概率计算判断D的真假.
【详解】对A：由题意：随机变量服从超几何分布，
所以，故A错误；
对B：根据超几何分布的期望的计算公式，可得，故B正确；
对C：根据全概率公式，，故C正确；
对D：根据条件概率可得，故D正确.
故选：BCD
二、解答题
2．（24-25高二下·安徽·期中）某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言.
(1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率；
(2)设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列
【分析】（1）根据古典概型结合组合数计算求解；
（2）应用超几何分布列出概率，再写出分布列，计算数学期望即可.
【详解】（1）记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件.
若选出的3人中有高一年级1人，有种取法；
若选出的3人中有高一年级2人，有种取法；
所以.
（2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3.
，
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）数学实验教学能极大激发学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验教学中，学生们从装有大小相同的标号分别为的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种子的标号之和恰为10的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据古典概型得概率公式求解即可.
【详解】由题意，所有结果有种，
而标号之和恰为10的结果有：，共4种，
所以所求的概率为.
故选：A.
2．（24-25高二下·安徽·期中）已知离散型随机变量的分布列为下表，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质
【分析】求出的值，利用方差的性质可求得的值.
【详解】由题意得，，
则，
因为，所以.
故选：B.
3．（24-25高二下·安徽淮南·期中）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则（ ）
0 1 2
A．有最大值也有最小值 B．有最大值但无最小值
C．无最大值但有最小值 D．无最大值也无最小值
【答案】B
【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】根据给定的分布列求出期望，再由方差定义求出，结合二次函数性质求解即可.
【详解】由分布列，得随机变量的期望，
则，
由，得当时，取得最大值，无最小值.
故选：B.
二、填空题
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________.
【答案】/
【知识点】均值的性质、二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差
【分析】先利用期望的性质及，求出，再根据二项分布的期望，方差的公式求出，再利用方差的性质求解即可.
【详解】因为，，
又因为，所以，解得.
因为随机变量，其期望，所以.
因为二项分布的方差，解得.
因为，将，代入可得
.
故答案为：
5．（24-25高二下·安徽·期中）已知随机变量X的分布规律为，则______.
【答案】
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据概率之和为1计算即可.
【详解】由题意得，，
解得，所以.
故答案为：
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表：
0 1 2 5
则______.
【答案】10.4
【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据分布列的性质即概率之和为1，可求得a，运用期望方差公式计算期望和方差，最后用方差性质计算即可答案.
【详解】由分布列的基本性质知，解得
故，
由离散型随机变量方差的性质可得，
故答案为：.
三、解答题
7．（24-25高二下·安徽合肥·期中）一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备1，2，3出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立.
(1)若，求车间在一天的运行中，有两台设备出现故障的概率；
(2)对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备1，2，3的单次维修费用分别为50元，100元，150元，通过计算说明当时该车间每年设备维修费用的均值不超过5.475万元.（一年按365天计算）.
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式
【分析】（1）运用相互独立事件的乘法公式计算即可；
（2）设每天设备维修费用为，得到的可能取值，再运用独立乘法公式计算概率，
运用期望公司计算，再得到，算出，解不等式即可.
【详解】（1）根据题意设事件为“有两台设备出现故障”，事件为设备1出现故障，
事件为设备2出现故障，事件为设备3出现故障，
若，则设备1出现故障的概率为，
设备2出现故障的概率为，
设备3出现故障的概率为，
则
.
（2）设每天设备维修费用为，
则的可能取值为0，50，100，150，200，250，300，
，
，
，
，
，
，
所以
整理得：，
又设每年设备维修费用的均值是，且，
所以，即，解得：或（舍）
故当时该车间每年设备维修费用的均值不超过5.475万元（一年按365天计算）.
8．（24-25高二下·安徽·期中）某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言.
(1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中高二年级的人数，求X的分布列和数学期望，
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）分选出的3人中有高一年级1人和选出的3人中有高一年级2人两类情况确定样本容量，再结合古典概率模型求解即可；
（2）确定随机变量的所有可能取值，求得相应概率，即可求解.
【详解】（1）记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件A.
若选出的3人中有高一年级1人，有种取法；
若选出的3人中有高一年级2人，有种取法；
所以.
（2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3.
，
.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以.
9．（24-25高二下·安徽池州·期中）甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，均值为，方差为
【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式来求概率即可；
（2）先求随机变量分布列，再根据公式求期望和方差即可.
【详解】（1）记甲第次射中并获胜为，则彼此互斥，
记事件B表示甲获胜，则
.
（2）的所有可能的取值为1，2，3，
则
所以的分布列为：
X 1 2 3
p
所以的均值为：，
所以的方差为：
.
10．（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为.
(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布列；
(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列；
（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.
【详解】（1）
，，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
（2）（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
11．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
【答案】(1)74
(2)分布列见解析，
【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、由频率分布直方图估计平均数
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算方法，即可求得答案；
（2）根据分层抽样的比例确定各组中人数，进而确定的取值，结合超几何分布的概率计算即可求得分布列，从而求出数学期望.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
（2）由题意可知和的频率之比为：1:2:2，
故抽取的10人中和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为0，1，2，3，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以．
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