资源简介

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专题02 随机变量及其分布列
6大高频考点概览
考点01条件概率计算
考点02条件概率与事件的独立性
考点03两点分布、二项分布与超几何分布
考点04离散型随机变量的分布列及数字特征
考点05正态分布
考点06统计案例
一、单选题
1．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对立事件概率公式和条件概率公式求得结果；
【详解】，
又，则；
故选：C.
2．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）设A，B为两个事件，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件公式直接代入运算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
二、填空题
3．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知，，，则_______.
【答案】/
【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求出的值.
【详解】由概率的乘法公式可得，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
4．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)设事件A，B满足，且，则___________.
【答案】/0.375
【分析】利用条件概率的性质及计算公式求解即可.
【详解】因为事件A，B满足，
所以，
又，
所以，解得，
所以，
故答案为：
5．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知随机事件满足，，则___________．
【答案】
【分析】由利用条件概率公式推出事件相互独立，从而把事件的和事件的概率公式化简，代值计算即得.
【详解】由可得，即事件相互独立，
因，则.
故
.
故答案为：.
一、单选题
1．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）甲 乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼 教学北楼 活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】甲乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有种选择，
甲和乙均不选择活动中心考察参观共有种选择，所以甲和乙至少一人选择活动中心考察参观有种选择，所以，
事件AB：甲乙只有一人选择青少年活动中心考察参观，故共有种选择，
所以,因此.
故选：A．
2．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)为了把田园餐厅打造成“味蕾的乐园”，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为1:2:2，由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，从评委团中随机选一名代表、已知他投票给1号菜品那么他是学生代表的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率的计算公式，以及结合比例分配和分步计数原理即可求解.
【详解】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数），
由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为.
所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为，
因此所求概率为.
故选：C.
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出事件A和事件AB的概率，再利用条件概率公式即可计算得解.
【详解】依题意，，
因第一次取奇数有5种方法，第二次取3的倍数有3种方法，其中第一次取3，第二次取3和第一次取9，第二次取9重复2种，
则事件AB所含基本事件个数为：，因此得，
由条件概率公式得：，
所以.
故选：B
4．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ）
A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215
【答案】A
【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解．
【详解】解：记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此．
故选：A．
5．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得．
【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过，
超过近视率约为，不超过近视率约为，
所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是．
故选：C．
6．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（ ）
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
【答案】A
【分析】直接由条件概率公式即可求解.
【详解】由题意设事件“一名学生数学不及格”，“该名学生两门都不及格”，
则所求为.
故选：A.
二、多选题
7．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出，
再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得.
【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误；
对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率，
当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知；
对于C，由B选项分析同理可得，
由条件概率的定义可知，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，故D正确.
故选：BCD.
8．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
三、填空题
9．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______
【答案】
【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，利用二项分布求得，然后利用条件概率公式求解.
【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，
则，
，
故答案为：
四、解答题
10．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得；
（2）利用条件概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则,
，
取到次品的概率为
；
（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
11．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．
(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用组合数公式求出从个球中取个球，个球中恰好有个红球、个白球的取法数，再利用古典概型概率计算公式进行计算即可;
从乙袋中取2个球放入甲袋，分两种情况进行考虑，再利用条件概率公式及全概率公式进行计算即可.
【详解】（1）依题意，从甲袋8个球中取4个球有种取法，
其中4个球中恰好有3个红球，
即恰好有3个红球、1个白球，有种取法，
所以4个球中恰好有3个红球的概率；
（2）记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球，
为从甲袋中取出2个红球，
则，
，
所以．
12．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为．
(1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率．
(2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式与全概率公式计算即可得；
（2）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得.
【详解】（1）记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件、、、，
“取到的电子元件是次品”为事件，
由题意得，
又，
所以
；
（2）由题意，得，
又，
所以
，
所以，
故若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为．
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（ ）
A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21
【答案】B
【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解.
【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0，
已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率.
罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率.
根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）.
对于本题，只有和两个取值，所以.
故他罚球次得分的期望为0.7.
故选：B.
2．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义计算作答.
【详解】依题意，X的可能值为，则，
因此.
故选：C
3．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知说明的含义，然后根据独立事件乘法公式求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，表示“前3局甲一胜两负，第四局甲负”或“前3局甲两胜一负，第四局甲胜”
前3局甲一胜两负，第四局甲负的概率；
前3局甲两胜一负，第四局甲胜的概率.
所以，.
故选：A.
4．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．变量分布列是，
【答案】B
【分析】根据超几何分布和二项分布的定义判断两个试验，再根据不同的分布计算概率、期望和方差，判断各个选项；
【详解】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型，
记取到黄球的个数为,,
则变量分布列是，，
，.
试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型；
记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，，
对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误；
对于C,，C正确；D正确；
故选：B.
5．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二项分布的期望和概率性质计算即可.
【详解】，解得，所以.
故选：B.
二、填空题
6．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)已知随机变量服从两点分布，且，则__________.
【答案】
【分析】利用概率的性质计算即可.
【详解】易知，解之得或（舍去）.
故答案为：.
7．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知随机变量，若，，则______.
【答案】/
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求解.
【详解】因为随机变量，
所以，，
联立解得
故答案为：
8．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______.
【答案】
【分析】根据题意可知，从8人中抽出4人作为代表，求出其中男生代表为3人的概率，可用超几何分布的概率公式计算.
【详解】根据超几何分布的概率公式，本题中，
将数值代入可得：
.
故答案为：.
三、解答题
9．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球.
(1)求三种颜色的球都被摸出的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用超几何分布概率公式分类求解即可；
（2）利用超几何概率公式求解，利用第一问求解，剩下的可用概率和为1，来求解即可得分布列，最后用期望公式求解.
【详解】（1）从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种，
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种，
故三种颜色的球都被摸出的概率；
（2）由题可知，的取值可能为
且，
，
的分布列为
1 2 3
.
10．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求：
(1)；
(2)X的分布列.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用超几何分布求概率，再写分布列即可.
【详解】（1）;
（2）因为两张卡片中取到偶数的个数的可能取值有，
所以，，，
即的分布列为：
11．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100
【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解；
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解；
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
12．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛
【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案.
（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，；
（3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大．
【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
．
（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3．
， ， ．
X 1 2 3
P
的分布列为：
所以，．
（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则．
所以，．
因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）设随机变量X的概率分布列为
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解.
【详解】，
则.
故选：B．
2．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可.
【详解】由题设，
所以.
故选：C
二、多选题
3．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)已知随机变量X的分布列如下：
X
P
若随机变量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由分布列的性质求出的值，可判断A选项；由期望公式可判断B选项；由方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.
【详解】由题意可知，，则，
则，
又，所以．
故选：AD.
4．(24-25高二下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．，
【答案】ABC
【分析】由二项分布的概率公式即可判断A，由超几何分布的概率公式即可判断B，由条件概率的公式，即可判断C，由期望以及方差的性质，即可判断D.
【详解】对于A，由二项分布的概率公式可得，故A正确；
对于B，由题意可得随机抽取8个零件进行检测，全部合格的概率为，
则至少有一件不合格的概率为，故B正确；
对于C，由题意可得，，
所以，故C正确；
对于D，由期望的性质可得，
由方差的性质可得，故D错误；
故选：ABC
5．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于AB，由题分别计算，可判断选项正误；对于C，由题可得X或Y的可能取值和对应的概率，据此可判断选项正误；对于D，由C选项及方差计算公式可判断选项正误.
【详解】A选项，若，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故；
若，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故，
故，故A正确；
B选项，当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，
故；
当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，
故.
因，则，故B错误；
C选项，X的可能取值为0，2，3，其中，表示该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故，
故；
Y的可能取值为0，4，6，其中，表示该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，故，
故.
则，故C正确；
D选项，，
.
则，故D正确.
故选：ACD
6．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)设离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据数学期望及方差定义计算判断A，B，根据期望及方差性质计算判断C，D.
【详解】由，解得.1，故A正确；
，
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
7．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）若随机变量的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时，实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据给定的分布列，求出即可求出的取值范围.
【详解】由分布列知，，
，而，
所以.
故答案为：
8．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）随机变量的分布列如下表所示，则___________.
1 2 3
【答案】
【分析】根据分布列的性质可得，即可求解期望，由方差的计算公式即可求解.
【详解】由题意可得，故，解得或（舍去），
故随机变量的分布列如下：.
1 2 3
故，，
故答案为：
四、解答题
9．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关.
(1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率；
(2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别求得先回答类问题得分期望以及先回答类问题得分期望，列出不等式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率：
.
（2）先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100
，
，
，
，
先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100
，
，
，
，
由，
所以，
解得：.
10．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元．
(1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小．
(2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？
【答案】(1)
(2)应选择方案二.
【分析】（1）由互斥事件和独立事件的概率公式分别列出，的表达式，再比较它们的大小.
（2）分别求出两个方案获得奖励的数学期望，即可进行判断.
【详解】（1）因为，
，且，
所以.
（2）方案一：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，1000，3000，6000.
且，，
，.
所以 .
方案二：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，2000，3000，6000.
且，，
，.
所以 .
所以.所以甲应该选择方案二.
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图象结合正态密度曲线的性质逐一分析四个选项即可得解.
【详解】如图所示，因为，
所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以，所以C错误；
因为，所以D错误.
故选：B.
2．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布．且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】A
【分析】由正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且,
所以均值，密度曲线关于对称，
所以,
所以.
故选：A.
3．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（ ）（附：若，则
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
【答案】A
【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，
所以，
由题意，，且，则，
因为，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为，
故选：A.
二、多选题
4．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知，且，则
B．4个男同学，3个女同学站成一排，任何两个女同学彼此不相邻，有240种不同的排法
C．二项式的展开式中的常数项是45
D．已知随机变量服从正态分布，若，则
【答案】ACD
【分析】由二项分布的均值公式列出方程即可判断A；由插空法即可判断B；由二项式的展开式通项即可判断C；由正态分布曲线的对称性即可判断D．
【详解】对于A，由得，，故A正确；
对于B，4个男同学，3个女同学站成一排，任何两个女同学彼此不相邻，有种不同的排法，故B错误；
对于C，二项式的展开式通项为，令，解得，
所以常数项为，故C正确；
对于D，由得，曲线对称轴为，
则，故D正确；
故选：ACD．
5．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析后得出坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线（如图），如果某天有可用，根据图中信息李明选择坐公交去学校，k取值可以是（ ）
A．26 B．29 C．38 D．40
【答案】AB
【分析】结合图象，比较使用哪种工具在内到达学校的概率更大可确定答案.
【详解】A.由图可知，，故坐公交车在26分钟内到达学校的概率更大，选项A正确.
B.由图可知，，故坐公交车在29分钟内到达学校的概率更大，选项B正确.
C.由图可知，，故骑自行车在38分钟内到达学校的概率更大，选项C错误.
D.由图可知，，故骑自行车在40分钟内到达学校的概率更大，选项D错误.
故选：AB.
三、解答题
6．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表：
分数段
频数 10 30 m n
(1)求m，n的值；
(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望；
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据频数总和为样本总数的性质来求解和的值.
（2）先根据分层随机抽样的特征，确定抽取的10人中，成绩在内的人数，再确定的取值，通过组合数公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和期望.
（3）先求出和，再利用正态分布的性质和参考数据计算成绩在内的概率，最后根据总人数估计该区间内的学生人数.
【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得.
又因为，解得，.
（2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人，
根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人.
表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，.
计算取各个值的概率：
.
.
.
.
.
列出的分布列：
可得.
（3）已知，则，.
，.
.
今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人.
7．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表）
(2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）；
(3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则.
【答案】(1)
(2)18人
(3)分布列见解析，1
【分析】（1）应用频率分布直方图计算平均数公式计算；
（2）先计算正态分布对应概率再求解人数；
（3）先计算二项分布的概率，再得出分布列计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意得；
（2）由（1）得，
则，
所以，
故估计得分超过95.8分的居民约有18人.
（3）用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为.
所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布.
故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且，
所以，
所以，
所以的分布列为
0 1 2
.
一、多选题
1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A．线性回归方程至少经过点中的一个点
B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
C．若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位
D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.
【答案】BCD
【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D.
【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错；
对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确；
对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确.
故选： BCD.
2．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)下列说法中，正确的有（ ）
A．回归直线恒过点，且至少过一个样本点
B．根据2×2列联表中的数据计算得出，而，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个分类变量有关系
C．成对样本数据的线性相关性越强，样本相关系数越接近于
D．某项测量结果服从正态分布，若，则
【答案】BD
【分析】根据回归直线的几何性质判断A；根据独立性检验方法判断B，根据成对数据的相关系数判断C，根据二项分布求概率方法判断D.
【详解】对于A，回归直线恒过样本中心，但未必经过其他样本点，A错误；
对于B，根据2×2列联表中的数据计算得出，而，
则认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个分类变量有关系，B正确；
对于C，成对数据的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值越接近于，C错误；
对于D，某项测量结果服从正态分布，则有正态曲线的对称轴为，
若，则，D正确.
故选：BD
二、填空题
3．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型对应的残差如图所示，下列表述正确的有_____（填序号）
①变量和之间关系可以用一元线性函数模型描述.
②模型误差满足一元线性回归模型的的假设.
③模型误差不满足一元线性回归模型的的假设.
④模型误差不满足一元线性回归模型的和的假设.
【答案】②③
【分析】利用一元线性回归模型，结合残差图，再对四个命题逐一分析判断，即可求解.
【详解】由题知，一元线性回归模型得到经验回归模型，
根据对应的残差图，残差的均值可能成立，
但明显残差的轴上方和下方的数据分布不对称，不满足一元线性回归模型，
结合四个命题，命题②和③正确，命题①和④不正确.
故答案为：②③.
三、解答题
4．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：
1 2 3 4 5
75 84 93 98 100
(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）；
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：．
附：相关系数．
【答案】(1)可用，109
(2)选择方案二更划算
【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可；
（2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断.
【详解】（1）由表中数据可得，
，
所以，
所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．
而，
则所以
令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109．
（2）若选方案一 需付款元．
若选方案二 设需付款元，则的取值可能为，
则，
，
所以，
因此选择方案二更划算．
5．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
35岁以上（含35岁） 30 30 60
35岁以下 25 15 40
合计 55 45 100
(1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
(2)以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)不能
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据列联表计算得出的值即可得出结论；
（2）易知的所有取值可能为0，1，2，分别计算出对应概率可得分布列及其期望值.
【详解】（1）零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.
根据列联表中的数据，可以求得.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.
（2）由题意可知，的取值可能为.
则 .
所以的分布列为
0 1 2
所以的期望为.
6．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.
(1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)更适合
(2)
(3)能
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.
（2）将两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可.
（3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可.
【详解】（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.
（2）由，得，
依题意得，
，
所以，即.
（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.10.
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专题02 随机变量及其分布列
6大高频考点概览
考点01条件概率计算
考点02条件概率与事件的独立性
考点03两点分布、二项分布与超几何分布
考点04离散型随机变量的分布列及数字特征
考点05正态分布
考点06统计案例
一、单选题
1．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）设A，B为两个事件，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知，，，则_______.
4．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)设事件A，B满足，且，则___________.
5．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知随机事件满足，，则___________．
一、单选题
1．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）甲 乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼 教学北楼 活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)为了把田园餐厅打造成“味蕾的乐园”，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为1:2:2，由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，从评委团中随机选一名代表、已知他投票给1号菜品那么他是学生代表的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)=（　　）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ）
A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215
5．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（ ）
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
二、多选题
7．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______
四、解答题
10．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
11．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．
(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
12．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为．
(1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率．
(2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率．
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（ ）
A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21
2．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．变量分布列是，
5．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)已知随机变量服从两点分布，且，则__________.
7．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知随机变量，若，，则______.
8．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______.
三、解答题
9．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球.
(1)求三种颜色的球都被摸出的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望.
10．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求：
(1)；
(2)X的分布列.
11．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
12．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）设随机变量X的概率分布列为
则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)已知随机变量X的分布列如下：
X
P
若随机变量满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·吉林普通高中友好学校联合体·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．，
5．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)设离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）若随机变量的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时，实数的取值范围是______.
8．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）随机变量的分布列如下表所示，则___________.
1 2 3
四、解答题
9．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关.
(1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率；
(2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围.
10．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元．
(1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小．
(2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第一高级中学·期中）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布．且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
3．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（ ）（附：若，则
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
二、多选题
4．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知，且，则
B．4个男同学，3个女同学站成一排，任何两个女同学彼此不相邻，有240种不同的排法
C．二项式的展开式中的常数项是45
D．已知随机变量服从正态分布，若，则
5．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析后得出坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线（如图），如果某天有可用，根据图中信息李明选择坐公交去学校，k取值可以是（ ）
A．26 B．29 C．38 D．40
三、解答题
6．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表：
分数段
频数 10 30 m n
(1)求m，n的值；
(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望；
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
7．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表）
(2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）；
(3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则.
一、多选题
1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A．线性回归方程至少经过点中的一个点
B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
C．若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位
D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.
2．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)下列说法中，正确的有（ ）
A．回归直线恒过点，且至少过一个样本点
B．根据2×2列联表中的数据计算得出，而，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个分类变量有关系
C．成对样本数据的线性相关性越强，样本相关系数越接近于
D．某项测量结果服从正态分布，若，则
二、填空题
3．(24-25高二下·吉林吉林田家炳高级中学·期中)根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型对应的残差如图所示，下列表述正确的有_____（填序号）
①变量和之间关系可以用一元线性函数模型描述.
②模型误差满足一元线性回归模型的的假设.
③模型误差不满足一元线性回归模型的的假设.
④模型误差不满足一元线性回归模型的和的假设.
三、解答题
4．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：
1 2 3 4 5
75 84 93 98 100
(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）；
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：．
附：相关系数．
5．（24-25高二下·吉林省吉林市田家炳高级中学·期中）中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
35岁以上（含35岁） 30 30 60
35岁以下 25 15 40
合计 55 45 100
(1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
(2)以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
6．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.
(1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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