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专题02 向量基本定理及坐标表示（6大考点60题）
6大高频考点概览
考点01已知向量共线（平行）求参数
考点02平面向量共线定理的推论
考点03用基底表示向量
考点04 平面向量基本定理的应用
考点05 向量坐标表示与运算
考点06 向量平行的坐标表示
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏高邮·期中)设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可.
【详解】由已知，，
则，
又，，三点共线，
则与共线，，
即，解得，
故选：D.
2．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知向量，不共线，，，若，则（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【分析】依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，即，
又向量，不共线，所以，解得.
故选：C
3．(22-23高一下·江苏南通·期中)已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解.
【详解】由题意，，设，即，
则，解得.
故选：A.
4．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】变形得到，故，得到答案.
【详解】，
所以，故.
故选：D
5．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)设与是两个不共线向量，且向量与共线，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线结合与是两个不共线向量，即可计算求出参数.
【详解】因为向量与共线，
则存在，使，
又因与是两个不共线向量，则，解得.
故选：B.
二、填空题
6．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)在中，为中点，，设与交于点，则_____．
【答案】/
【分析】以、为基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论求出，即可求出，，即可得解.
【详解】因为，
所以，
由三点共线，可设，
所以.
又三点共线，所以，
又、不共线，所以，解得，
所以，又，
，
所以，即.
故答案为：
三、解答题
7．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，.
(1)试用、表示；
(2)求的最小值；
(3)若直线交的延长线于点，并有，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于的表达式，再由可得结果；
（2）利用向量共线定理、平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；
（3）利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量共线定理、平面向量的基本定理可求出的值，代入可得出的值，由此可得出的值.
【详解】（1）因为是线段上一点，且满足，则，
所以，可得，
因为，故.
（2）因为，，其中、，
由（1）可知，
因为、、三点共线，则存在，使得，
所以，可得，
又因为、不共线，所以，，则，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
（3）因为，，所以，即，
即，可得，
因为，所以，则，
因为、、三点共线，则存在，使得，
即，所以，
因为、不共线，所以，，则，解得，
由（2）可知，代入可得，故.
一、单选题
8．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得.
【详解】由，得，则，
而三点共线，则，
所以.
故选：C
9．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基底法得，再根据向量共线定理知，最后根据三点共线系数和为1结论即可得到答案.
【详解】在平行四边形中，因为，分别为，中点，
则，
因为，则，
则，显然，，
则，而三点共线，
故，则，则，
即
则，则.
故选：C.

二、多选题
10．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．不与垂直
【答案】AC
【分析】A选项，利用向量数量积公式得到，所以同向共线，A正确；B选项，只能得到，B错误；C选项，得到，，C正确；D选项，计算出，故D错误.
【详解】A选项，，又，，是非零向量，
所以，所以同向共线，A正确；
B选项，若，则，
是非零向量，故，故不一定相等，B错误；
C选项，若，，设，
故，，C正确；
D选项，，
与垂直，D错误.
故选：AC
三、填空题
11．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】因为点G为重心，可得，
又因为三点共线，所以，
所以，
当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
12．(24-25高一下·江苏徐州·期中)在中，是边上靠近的四等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】根据给定条件可得，再利用共线向量定理的推论及基本不等式求出最大值.
【详解】在中，由是边上靠近的四等分点，得，则，
而，则，由共线，得，
又，因此，当且仅当时取等号，
因此，，
所以当时，取得最大值.
故答案为：
一、单选题
13．(24-25高一下·江苏高邮·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解.
【详解】由已知为线段上一点，
设，，
则，
又，
则，
所以，
则，
解得，
故选：D.
14．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)在平行四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示：
在平行四边形中，，，则，，
故.
故选：C.
15．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法、减法及数乘的几何意义求解即可.
【详解】由图可得：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：D.
16．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)在中，点为的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，即可得解.
【详解】因为点为的中点，所以，
所以.
故选：D．
17．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)直角梯形，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可．
【详解】，又，所以，
因为，
所以，
所以，所以，即．
故选：A
18．(23-24高一下·江苏徐州·期中)如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解.
【详解】由条件可知，，
则，即，则，
，
所以，
.
故选：D
19．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)在中，，，，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题先根据向量运算法则，将用与表示出来.接着计算，把和代入并展开.然后根据已知的角度和边长，求出、以及的值.最后将这些值代入的表达式中，得到关于的方程，求解方程得出的值.
【详解】由，且，所以.
又因为，则.
展开得.
则.
根据乘法分配律展开：
，
且. 已知，，.
，，.
把，，代入前面式子中，得. 即.
解得.
故选：C.
20．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形重心的性质可得，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果.
【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且，
又，所以，
设，所以，
又，所以，又三点共线，
所以，得到，所以，
故选：C.
21．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数.
【详解】由共线，则，，
所以①，
由共线，则，，
所以②，
由①②知：，则，故，
由，则，
由共线，则，可得.
故选：
22．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，是中点，，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】利用向量的加减法以及数量积的运算规则，结合中点的性质来求解BC的长度.
【详解】因为是BC中点，所以，且，.
可得：.
已知，又因为，所以，移项可得.
因为是BC中点，所以，而，则，所以.
故选: D.
二、填空题
23．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】由可推出，进而可得，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案.
【详解】已知，则，
又，
那么
展开可得
因为是边长为3的正三角形，
所以，且，
代入上式得，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
24．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在中，，设.
(1)用分别表示；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的线性运算可求得；
（2）利用向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）由，所以，
所以，
.
（2）因为，所以，
所以
.
25．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点.
(1)若点E满足，且，求的值；
(2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）根据图形用表示出，即可得参数值；
（2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围.
【详解】（1）由，
又，即，故；
（2）如下图，令且，
，
，
所以，
所以.
26．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，.
(1)求线段的长度，
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可；
（2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解.
【详解】（1）因为，
，
，
，，，
所以，所以.
（2）设，因为，
所以，，
，
所以，所以.
一、单选题
27．(23-24高一下·江苏盐城响水中学·期中)如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由三点共线得到，再由平行四边形定则结合图形关系得到边长关系，最后计算结果即可.
【详解】因为三点共线，且，
所以，
过作的平行线，分别交于，
则，
又，的平分线交于点，
所以，为正三角形，
所以，
故选：A.
28．(23-24高一下·江苏宿迁·期中)在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可.
【详解】因为，所以，即，
又，所以，
因为点是线段上一点，即、、三点共线，
所以，解得.
故选：B
29．(24-25高一下·江苏常州·期中)在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】过作于，设正六边形的边长为，根据向量的数量积的定义计算，由，可得，根据数量积的几何意义计算得取值范围，从而得的取值范围，即可得答案.
【详解】如图，过作于，
设正六边形的边长为，则，，
则，
因为，
所以，
又，
由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以，
所以，即，所以，
故的最大值为.
故选：C.
二、多选题
30．(24-25高一下·江苏连云港·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且方向相同
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．对任意向量，，，都有
D．是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
【答案】ABD
【分析】对于A，根据相等向量的定义判断；对于B，利用投影向量公式判断；对于C，利用向量数量积的性质即可判断；对于D，利用平面向量基本定理和数乘向量的意义即可计算判断.
【详解】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确；
对于B，依题意，，
则向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C，对任意向量，，，与结果均为实数，
设为，，则，，
而与关系不明确，故得不到，即C错误；
对于D，如图，分别取，则，即得，故，
因，则，
故，即的面积是的面积的2倍，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
31．(23-24高一下·江苏南京六校联合体考试·期中)已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】先由平面向量的基本定理得到，然后由三点共线得，用基本不等式求解最小值即可.
【详解】如图：
因为，所以，又，所以，
，所以,
，
又三点共线，所以，
所以，，当且仅当时，
即时，等号成立，
故答案为：.
32．(23-24高一下·江苏常州教育学会·)如图，所在平面内的两点满足．若是线段的两个三等分点，则______；若是线段上的动点，则______．
【答案】 1 2
【分析】第一空由向量的加法法则结合图形关系可得；第二空取的中点，然后由向量共线的充要条件可得.
【详解】因为，①
因为是线段的两个三等分点，
所以，
所以由①可得，
所以；
取的中点，由平行四边形定则可得，
所以，
因为三点共线，
所以，
所以，
故答案为：1；2.
33．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，为的中点，为的中点．若，则的值为_________．
【答案】/0.5
【分析】由平面向量线性运算及基本定理即可求解.
【详解】因为在中，为的中点，为的中点．
所以，，
所以，
又因为，
所以，则，
故答案为：
34．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为______
【答案】
【分析】根据圆内接四边形性质以及可求得为等腰梯形，再由平面向量共线定理以及三角形相似计算可得，利用勾股定理求出梯形的高计算即可求得其面积.
【详解】取的中点为，连接，作于点，如下图所示：
因为四边形内接于圆，所以，
又，可得，
所以，因此可得四边形为等腰梯形，
易知，所以，由可得三点共线，
由圆的性质可知，所以，
可知，可得，
所以，；
可知梯形面积.
故答案为：
四、解答题
35．(23-24高一下·江苏苏州·期中)已知向量，不共线，点P满足，x，.证明：
(1)若，则点P是线段AB的中点；
(2)是A、B、P三点共线的充要条件.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明；
（2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明.
【详解】（1）因为的，所以，即，
所以，所以，所以P是线段AB的中点.
（2）充分性：
若，则，所以，
所以，所以，
所以A、B、P三点共线；
必要性：
因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：，
所以，即，
所以，所以
综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件.
一、单选题
36．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知向量，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，则，解得.
故选：B
37．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得，再根据平面向量的线性运算及数量积的坐标表示直接计算即可.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
易得，则，
所以.
故选：D.
38．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及坐标表示求解.
【详解】令坐标原点为，由，得，则，
而点，，因此，
所以点坐标为.
故选：D
39．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】应用向量垂直的坐标表示，列方程求参数即可.
【详解】由题设.
故选：A
40．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知向量，，，则m的值为（ ）
A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2
【答案】D
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果
【详解】向量，，故，
所以，解得或2．
故选：D．
41．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，分在正方形的四条边上的情况分别求解即可．
【详解】如图，分别以为轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，，所以，
当在边或上时，，所以，
当在边上时，，所以，
当在边上时，，所以，
所以的取值范围是，所以向量的最大值是．
故选：D.
42．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以六边形为边长为的正六边形，，
所以，
所以，
设，则，
所以，
因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），
所以，所以，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
43．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知向量，， 则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出的坐标，然后根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由向量，，可得，
所以在上的投影向量为.
故选：A
二、多选题
44．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)给出下列命题中，其中正确的选项有（ ）
A．若非零向量，满足：，则与共线且同向
B．若非零向量，满足：，则与的夹角为
C．若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为
D．在中，若，则为等腰三角形
【答案】AD
【分析】对于A，等式两边平方后可求向量的夹角，故可判断其正误；对于B，根据以为三边的三角形为等边三角形可判断其正误，对于C，根据数量积为负及向量不共线反向可判断其正误，对于D，根据向量隐含的几何意义可判断其正误.
【详解】选项A，对非零向量，
，
若使成立，即使成立，
则，即，所以与共线且同向，选项A正确；
选项B：非零向量满足，
则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误；
选项C：因为与向量夹角为钝角，故且不共线反向，
故且，故且，故C错误；
选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，
又因为，即，
所以，即为等腰三角形,所以选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
45．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)设向量，，若，则实数______.
【答案】2
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】∵向量，，，
∴，解得.
故答案为：.
46．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知向量，与平行，则的值为_____．
【答案】/
【分析】根据题意，得到，结合与，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为与，可得，解得.
故答案为：.
47．(24-25高一下·江苏无锡第三高级中学·期中)已知向量，，若，则______.
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得.
故答案为：
四、解答题
48．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知向量，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的数量积的定义，即可求解；
（2）由，利用向量模的计算公式，得出关于的方程，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，所以，
因为，与的夹角为，可得.
（2）解：由，
因为，所以，即，
所以或.
一、单选题
49．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)，若，则实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】因为，
由，可得，解得.
故选：B．
50．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知平面向量，，，则（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可．
【详解】由得，，解得，
故选：B．
51．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)已知向量，，若，且满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及共线的坐标运算，即可求解.
【详解】根据题意，得到，
由.
故选：A.
二、填空题
52．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知向量，，，若，，三点共线，则_______.
【答案】
【分析】首先表示出，依题意，根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，，
所以，
又，，三点共线，即，
所以，解得.
故答案为：
53．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则___________．（注：）

【答案】
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，分别表示出的坐标，再由相似表示出的坐标，结合向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】

建立如图所示平面直角坐标系，则，
由是边的两个三等分点，可得，即，
则，即，
则，，
则，
，
结合图像可知，且，
则，同理可得，
则，
，
且，，
则，同理可得，
则，
，
则，
，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的数量积运算，难度较大，解答本题的关键在于建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算解答.
三、解答题
54．(24-25高一下·江苏东台·期中)设为实数，已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)设，向量与的夹角为，求的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示求出，再利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）向量，，由，得，
所以.
（2）依题意，，由，得，解得，
因此，，，，，
则，而，
所以.
55．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算以及共线向量的坐标表示求解；
（2）分不同的相等边的情况进行解答，借助等腰三角形三线合一和平面向量垂直的坐标表示求解；
（3）根据平面向量垂直的坐标表示确定实数k的值，再求夹角坐标公式求解.
【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
又，，则有，所以；
（2）①若，取AB中点D，则，
又，，则AB中点，
而，，得：，
②若，取BC中点E，则，
又，，，
由，得或3，
由（1）得：时，A，B，C三点共线，舍去．所以，
③若，取AC中点F，则，
又，，，
由，得，方程无解，
综上，或5；
（3）设，因为四边形ABCD为矩形，所以，，
又，，，则，，，
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为.
56．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若，且为非零实数，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，由，结合向量的数量积的坐标表示，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，得到，由，结合共线向量的坐标表示，列出方程，求得的关系式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
因为，所以，解得.
（2）解：因为，
可得 ，
又因为，所以，可得，
因为为非零实数，所以.
57．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知向量， .
(1)设， 若向量与互相平行， 求的值;
(2)设， 当取得最小值时， 求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再由向量模的坐标表示计算可得；
（2）用坐标法表示，结合二次函数求出取最小值时的值，再由夹角公式计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，，
又向量与互相平行，所以，解得，
所以，则；
（2）因为，
所以
，
所以当时取得最小值，
此时，则，，
，
所以设向量与夹角，则，
所以向量与夹角的余弦值为.
58．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在梯形中，，且为的中点，，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用平面向量基本定理用表示出，再结合它们同向共线列方程求参数值即可；
（2）由（1）得，应用数量积的运算律求其模长和，再应用向量夹角公式求角的大小.
【详解】（1）由，
由，又，结合图知同向共线，
所以；
（2）由,
由（1），则，
，
，，则.
59．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知向量，．
(1)若，求x；
(2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解；
（2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，
解得；
（2）∵在方向上的投影向量为，
∴，解得，
∴，，，
∵与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且，
∴λ的取值范围为：．
60．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知向量，其中O为坐标原点．
(1)若A,B,C三点共线，求实数m的值；
(2)当四边形ABCD为矩形时，设点M为线段CD的中点，问在线段AD上是否存在点N使得，若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】（1）由向量坐标求得三点坐标，利用直线斜率相等计算即得实数m的值；
（2）通过矩形性质确定各点坐标，设参数表示N，结合向量模长公式列方程，求出满足条件的N．
【详解】（1）由，
得．
则，
因A,B,C三点共线，则，即，解得．
（2）如图，四边形ABCD为矩形，则，
因，则
由，解得，即，
因的中点即的中点，
故，解得，即.
因M为CD中点，故，假设在线段AD上存在点N满足条件，
则，则可得
则，．故．
由，可得．
展开并化简：，解得或．
故或．

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专题02 向量基本定理及坐标表示（6大考点60题）
6大高频考点概览
考点01已知向量共线（平行）求参数
考点02平面向量共线定理的推论
考点03用基底表示向量
考点04 平面向量基本定理的应用
考点05 向量坐标表示与运算
考点06 向量平行的坐标表示
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏高邮·期中)设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知向量，不共线，，，若，则（ ）
A． B． C．6 D．
3．(22-23高一下·江苏南通·期中)已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)设与是两个不共线向量，且向量与共线，则（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
6．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)在中，为中点，，设与交于点，则_____．
三、解答题
7．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，.
(1)试用、表示；
(2)求的最小值；
(3)若直线交的延长线于点，并有，求的值．
一、单选题
8．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．不与垂直
三、填空题
11．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______．
12．(24-25高一下·江苏徐州·期中)在中，是边上靠近的四等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最大值为__________.
一、单选题
13．(24-25高一下·江苏高邮·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)在平行四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ）
A． B．
C． D．
16．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)在中，点为的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
17．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)直角梯形，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
18．(23-24高一下·江苏徐州·期中)如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ）

A． B．
C． D．
19．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)在中，，，，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
21．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
22．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，是中点，，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
23．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______．
三、解答题
24．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在中，，设.
(1)用分别表示；
(2)若，求.
25．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点.
(1)若点E满足，且，求的值；
(2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围.
26．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，.
(1)求线段的长度，
(2)求的值.
一、单选题
27．(23-24高一下·江苏盐城响水中学·期中)如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
28．(23-24高一下·江苏宿迁·期中)在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
29．(24-25高一下·江苏常州·期中)在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
30．(24-25高一下·江苏连云港·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且方向相同
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．对任意向量，，，都有
D．是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
三、填空题
31．(23-24高一下·江苏南京六校联合体考试·期中)已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为_______.
32．(23-24高一下·江苏常州教育学会·)如图，所在平面内的两点满足．若是线段的两个三等分点，则______；若是线段上的动点，则______．
33．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，为的中点，为的中点．若，则的值为_________．
34．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为______
四、解答题
35．(23-24高一下·江苏苏州·期中)已知向量，不共线，点P满足，x，.证明：
(1)若，则点P是线段AB的中点；
(2)是A、B、P三点共线的充要条件.
一、单选题
36．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知向量，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
37．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A． B． C．6 D．10
38．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
39．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
40．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知向量，，，则m的值为（ ）
A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2
41．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
42．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
43．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知向量，， 则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
44．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)给出下列命题中，其中正确的选项有（ ）
A．若非零向量，满足：，则与共线且同向
B．若非零向量，满足：，则与的夹角为
C．若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为
D．在中，若，则为等腰三角形
三、填空题
45．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)设向量，，若，则实数______.
46．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知向量，与平行，则的值为_____．
47．(24-25高一下·江苏无锡第三高级中学·期中)已知向量，，若，则______.
四、解答题
48．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知向量，与的夹角为．
(1)求的值；
(2)若，求实数的值．
一、单选题
49．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)，若，则实数为（ ）
A． B． C． D．
50．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知平面向量，，，则（ ）
A． B． C．6 D．8
51．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)已知向量，，若，且满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
52．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知向量，，，若，，三点共线，则_______.
53．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则___________．（注：）

三、解答题
54．(24-25高一下·江苏东台·期中)设为实数，已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)设，向量与的夹角为，求的大小.
55．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
56．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若，且为非零实数，求的值.
57．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知向量， .
(1)设， 若向量与互相平行， 求的值;
(2)设， 当取得最小值时， 求向量与夹角的余弦值.
58．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在梯形中，，且为的中点，，．
(1)求的值；
(2)若，求．
59．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知向量，．
(1)若，求x；
(2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
60．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知向量，其中O为坐标原点．
(1)若A,B,C三点共线，求实数m的值；
(2)当四边形ABCD为矩形时，设点M为线段CD的中点，问在线段AD上是否存在点N使得，若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标，若不存在，说明理由．
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