资源简介

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专题02计数原理
12大高频考点概览
考点01 分类加法计数原理
考点02 分步计数原理
考点03 排列数与组合数
考点04 分组分配问题
考点05 捆绑法与插空法
考点06 染色问题
考点07特殊位置特殊元素优先排列
考点08 排数问题
考点09定序问题
考点10 二项式定理
考点11 （二项式）系数和问题
考点12 （二项式）系数最值问题
1．(23-24高二下·天津重点校·期中)演讲社团里现有水平相当的4名男生和4名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ）
A．44种 B．56种 C．48种 D．70种
【答案】C
【分析】分类讨论，选出3名同学分别为1男2女，2男1女两种情况，即可得解.
【详解】选出3名同学既有男生又有女生有两种情况：
1男2女，则,
2男1女，则，
所以共有种不同选法.
故选：C.
2．(22-23高二下·天津河东区·期中)一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A．3种 B．6种 C．37种 D．1848种
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.
【详解】求不同的取法种数有3类办法，取1本语文类读物有12种方法，取1本政治类读物有14种方法，取1本英语类读物有11种方法，
由分类加法计数原理得：不同的取法共有种.
故选：C
3．(21-22高二下·天津耀华中学·期中)从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（ ）
A．24种 B．9种 C．10种 D．26种
【答案】D
【分析】分三类讨论：红+黑、红+白、黑+白．
【详解】红球+黑球：种；
红球+白球：种；
黑球+白球：种；
故取出不同颜色的两个小球共有：种；
故选：D．
4．(21-22高二下·天津河东区·期中)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有( )
A．3种 B．6种 C．9种 D．24种
【答案】C
【分析】根据分类加法计算原理即可求解．
【详解】根据题意可得从书架上任取1本书，有种不同的取法．
故选：C．
5．(23-24高二下·天津第二南开学校·期中)解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．21种 C．24种 D．36种
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理计算即可.
【详解】根据分类加法计数原理得：
不同的选法共有（种）．
故选：A．
1．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ）
A．24 B．120 C．625 D．1024
【答案】D
【分析】根据分步乘法计数原理计算可得.
【详解】对于甲来说，有种借阅可能，同理，每人都有种借阅可能，
根据分步乘法计数原理可得共有种可能.
故选：D
2．(24-25高二下·天津部分区·期中)在高二某班级中，有4名同学要参加足球 篮球 乒乓球三项比赛的报名活动，每人仅限选择一项参加，其中甲同学无法参与足球比赛的报名，则不同的报名种数有（ ）
A．12 B．16 C．54 D．81
【答案】C
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】甲同学有种报名方式，其余同学均有种报名方式，
所以不同的报名种数有种.
故选：C
3．(24-25高二下·天津河东区·期中)学校食堂的一个窗口共卖3种菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】根据题意结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】因为每名同学均有3个选择，且互不干扰，
所以选法的可能方式共有种.
故选：A.
4．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)高二年级名同学去听同时举行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的个讲座，不同选择的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，分析出每位同学有种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】根据题意，每名同学可自由选择听个讲座中的任意一个，
所以每位同学有种选择方法，由分步计数原理知，名同学共有种选择方法，
故选：A.
5．(24-25高二下·天津河西区·期中)根据天津市高考政策，高一2班李想同学要在第二学期结束前完成高考选科，即在物理、化学、生物学、历史、地理和思想政治这6门等级性考试科目中选择3门参加考试，他要报考武汉大学的金融学专业，并且在刚刚发布的《2027年拟在津招生高等学校专业选考科目要求目录》中明确指出此高校专业的选考科目要求是历史学科，再综合自己的学习特点，必须选择物理和化学学科其中的1门，满足上述条件的选科方法数为_____种.
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算.
【详解】依题意，历史科必选，物理、化学选择1门有2种方法，
再从生物学、地理、思想政治中选择1门有3种方法，
所以不同的选科方法数为（种）.
故答案为：6
1．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)若随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A．39 B．65 C．50 D．63
【答案】D
【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解.
【详解】随机变量服从二项分布，且，
，
，
，
.
故选：D
2．(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)方程的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据组合数的性质化简方程，即可得解.
【详解】因为，，，
则，或，
解得或，
即方程的解集为，
故选：A.
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·期中)“ ”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据组合数的性质计算出，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，可得或，解得或，
所以由“ ”推得出“”，故充分性成立；
由“”推不出“ ”，故必要性不成立；
所以“ ”是“” 的充分不必要条件.
故选：A
4．(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)____________________
【答案】 4 0
【分析】本题主要涉及排列数公式和组合数公式，通过代入公式计算出排列数和组合数的值，再进行相应的减法运算.
【详解】根据排列数公式可得.
根据组合数公式，可得
可得.
.
即.
所以.
故答案为：；.
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)（1）已知，求实数的值
（2）解方程：.
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）根据组合数的性质计算即可；
（2）利用排列数公式计算即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
解得或，
经检验，都符合题意，
所以或；
（2）由，
得，
化简得，解得或（舍去），
所以.
1．(24-25高二下·天津第四十七中学·期中)中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（ ）
A．150 B．180 C．240 D．300
【答案】A
【分析】先按照两种比例进行分组，再将分好的三组进行工作分配，最后按照两种计数原理计算即可.
【详解】按照1:1:3的比例分组，共有种分组方法，
按照2:2:1的比例分组，共有种分组方法，
将分好的三组安排除“炉火”活计之外的三项工作，有种情况，
则不同安排方案的种数是.
故选：A
2．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ）
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
【答案】B
【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；
【详解】两名语文老师由种分配方程；
数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分，
或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有,
所以不同的分配方案有，
故选：B
3．(24-25高二下·天津四合庄中学·期中)第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 安保 礼仪 服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张 小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.
【答案】12
【分析】结合排列和组合数直接求解即可．
【详解】由题意知小张或小赵只有一人入选，且只能从事安保工作，其余三人从事不同工作，
则有不同的选派方案．
故答案为：12．
4．(24-25高二下·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)现安排甲 乙 丙 丁 戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________.
①不同安排方案的种数为
②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
【答案】②④
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解①，根据分组分配问题即可求解②③④.
【详解】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故①错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，
则不同安排方案的种数为，故②正确；
先将5人分为3组，有种分组方法，
将分好的三组安排翻译 导游 礼仪三项工作，有种情况，
则不同安排方案的种数是，故③错误；
对④，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，
安排翻译 导游 礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为；
第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，
再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作，
则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是，故④正确.
故答案为：②④.
5．(23-24高二下·天津四校联考·期中)为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有____________种．（用数字作答）
【答案】50
【分析】先按照A志愿队的人数分类，再按照分组分配的方法，即可求解.
【详解】第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，
第二种情况，A志愿队有甲医生外，还有1人，剩下的3人为1，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，
第三种情况，A志愿队有甲医生外，还有2人，剩下的1人为1，1的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，
所以共有种方法.
故答案为：50
1．(24-25高二下·天津部分区·期中)有辆车停放于个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有（ ）种不同的停放方法？
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用分步乘法原理，先将甲乙视为整体排列，再与剩余车辆排列可得.
【详解】先将甲乙两辆车相邻，有种排法，
然后将其视为一个整体，与剩下的辆车放进个并排的车位中，有种排法；
最后由分步计数原理可知，共有种排法.
故选：C.
2．(24-25高二下·天津第二南开学校·期中)在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.
【详解】选择左、右两边其中一边将教练组人捆绑看作一个整体安排，共有种排法，
将剩余的名队员全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理可知，满足条件的排法种数为.
故选：B.
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有_____种.
【答案】144
【分析】本题需要分步处理排列条件，首先将“射”与“御”捆绑为一个整体，然后结合插空法求解可得.
【详解】由题意知：“乐”与“书”不能相邻，“射”与“御”要相邻，
可将“射”与“御”进行捆绑看成一个整体，共有种.
然后与“礼”、“数”进行排序，共有种.
最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种.
由于是分步进行，所以共有种.
故答案为：144.
4．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？
(3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？
(4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)576
(2)240
(3)3720
(4)2880
【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可；
（2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可；
（3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可；
（4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法，
因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）7个人全排列，有种排法，
甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法，
所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法；
（4）先排4名女生，有种排法，
从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法，
4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法．
5．(24-25高二下·天津部分区·期中)袋子中有10个大小相同的小球，其中4个红球，6个白球.取一个红球得2分，取一个白球得1分，现在从袋子中随机取出5个球，要求必须同时取出红球和白球.
(1)请问有多少种取法能够使得总分数不超过7分？（请用数字作答）
(2)当总分数恰好为7分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有多少种？（请用数字作答）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设取出个红球，个白球，依题意得到不等式组，求出、，再由组合数公式及分步乘法计数原理计算可得；
（2）依题意可得取出红球个，白球个，再利用插空法计算可得.
【详解】（1）设取出个红球，个白球，依题意可得，
因为，，所以或，
∴符合题意的取法种数有种.
（2）总分为7分，则取的个数为红球个，白球个，
将取出的球排成一排分两步完成，
第一步先取球，共有种，
第二步再排，先把3个白球全排列，再将2个红球插空，共有种排法，
根据分步乘法计数原理可得不同排法有种.
1．(24-25高二下·天津河北区·期中)如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】B
【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与块相同、D块与块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解.
【详解】根据题意，分3步进行分析：
(1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况；
(2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况；
(3)对于C 、D块，分2种情况：
若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况，
若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况，
则C 、D共有种情况；
综合可得：一共有种不同的种法.
故选：B
2．(24-25高二下·天津河东区·期中)如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有______________种不同的涂色方法.
【答案】1260
【分析】分类讨论所涂区域所用的颜色种类，结合排列数、组合数分析求解即可.
【详解】若只用3种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法，
此时与的颜色相同，与的颜色相同，与的颜色相同，
所以共有种不同的涂色方法；
若只用4种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法，
此时第4种颜色可以涂，
当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法；
当涂时，则与的颜色相同，与的颜色相同，有1种不同的涂色方法；
当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法；
若用5种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法，
此时第4和第5 种颜色可以涂，
当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法；
当涂时，则与或或的颜色相同，有种不同的涂色方法；
当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法；
综上所述：共有种不同的涂色方法.
故答案为：1260.
3．(23-24高二下·天津崇化中学·期中)如图，用4种颜色标注6个地图的区域，相邻省颜色不同，不同的涂色方式共有____种
【答案】
【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，利用穷举法，结合排列数公式，即可求解.
【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，
则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，
共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、
{“四川和湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、
{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况，
所以不同的涂色共有种.
故答案为：.
4．(23-24高二下·天津重点校·期中)一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有____________种．
【答案】72
【分析】根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可.
【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同.
那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色.
由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和.
如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种.
综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种.
而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.
故答案为：.
5．(22-23高二下·天津武清区杨村第一中学·期中)为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．
【答案】72
【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案
【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，
分2种情况讨论：
①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），
②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），
则不同的种植方案共有（种）.
故答案为：72
1．(22-23高二下·江苏镇江实验高级中学·期末)将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．18种 D．48种
【答案】C
【分析】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配方案数.
【详解】由题意，4名志愿者任意分配共有种分法，
若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有种分法，
所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有种.
故选：C
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个.
A．180 B．300 C．360 D．480
【答案】B
【分析】将六个数全排并剔除两个1的重复情况，求出9为最后一位数的排法数，间接法求不同密码数.
【详解】将六个数字看作不同数有种，剔除两个1的重复情况，共有，
若9为最后一位数有种，剔除两个1的重复情况，共有，
所以一共有种.
故选：B
3．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（ ）
①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种
②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
③甲乙不相邻的排法种数为种
④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】结合分类与分步计数原理，根据特殊元素特殊位置有限原则、捆绑法、插空法以及部分定序法分别判断各个命题.
【详解】甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，则将甲与乙看成一个整体，则那么不同的排法有种，①正确；
若最左端排甲，则有种排法，若最左端排乙，最右端不能排甲，则有种，所以不同的排法共有种，②正确；
甲乙不相邻，先排其余三人，共有种排法，再将甲乙插入到三人所成的个空位，有种排法，所有不同的排法共有种，③正确；
甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，④错误；
故选：D.
4．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生.
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法
(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种
(3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法
【答案】(1)20
(2)324
(3)252
【分析】（1）根据组合直接求解即可，
（2）先选人，再将4人分配到3项活动中，结合排列组合即可求解，
（3）先求解全部情况，去除掉不符合的情况，由排列组合即可求解.
【详解】（1）所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数，
所以选法种数为．
（2）从6个学生中选2名男生和2名女生的选法有种，
将所选四人安排参加三项活动的安排方法有种方法，
根据分步计数原理得共有
（3）从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种，女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种，
所以满足要求的安排方法有种.
1．(24-25高二下·天津益中学校·期中)用数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．120 B．240 C．24 D．48
【答案】D
【分析】可以看作是4个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从2个偶数中任选1个填入个位，其它4个数在3个位置上排列即可.
【详解】由题意得个位数的选择有2种，其他位数的排列数为，
即这样的数有个，故D正确.
故选：D
2．(23-24高二下·天津北辰区·期中)从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．48 B．30 C．24 D．6
【答案】B
【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分类加法计数原理计算即得.
【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类：
①元素0被选中，则应放在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有种方法；
②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1，3，5中选两个数字排在余下的两个数位，有种方法；
③元素4被选中，与②情况相同，有种方法.
由分类加法计数原理可得，奇数的个数为个.
故选：B.
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·)若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有__________（用数字作答）
【答案】52
【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，再利用排列计数问题列式求解.
【详解】求符合题意的三位数个数，有两类办法：
0在个位，有个没有重复数字的三位偶数；
0不在个位，排个位有种方法，再排百位有种方法，排十位有种方法，
此时共有个没有重复数字的三位偶数，
所以没有重复数字的三位偶数共有个.
故答案为：52
4．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答）
【答案】14
【分析】根据给定条件按三位数中是否有0分类，再利用排列组合应用问题列式计算得解.
【详解】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种；
②不含数字0，则有种，
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为.
故答案为：14
5．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)用，，，，，组成一个没有重复数字的六位数，该六位数是的倍数且奇数与偶数相间，则满足条件的这样的六位数有______个．
【答案】
【分析】可分为两类即个位是或个位是，分别求得六位数的个数，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】若该六位数的个位是，百位和万位为偶数有种，其余奇数位有种，
则满足条件的六位数有个；
若个位是，因六位数要求奇数与偶数相间，则首位为偶数，
从，中选一个在首位有种，其余偶数位有种，奇数位有种，
满足条件的六位数有个．
故共有个．
故答案为：.
1．(24-25高二下·天津崇化中学·期中)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为
A．120 B．240 C．360 D．480
【答案】C
【详解】试题分析：前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入的人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选C．
考点：1．排列组合问题；2．相邻问题和不相邻问题．
2．(21-22高二下·天津南开中学·期中)10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．
【答案】420
【分析】从后排7人中任取2人，插入前排（按2人相邻和不相邻分类计数）
【详解】可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为．
故答案为：420．
3．(21-22高二下·天津第四中学·期中)某兴趣小组有名学生，若从名学生中选取人，则选取的人中恰好有一个女生的概率是.
(1)该小组中男女学生各多少人？
(2)个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？
【答案】(1)男生人，女生人
(2)
【分析】（1）设名学生中有女生人，由选取的人中恰好有一个女生的概率是可构造方程求得的值，由此可得男女生人数；
（2）利用排列数知识，采用缩倍法可计算得到结果.
【详解】（1）设名学生中有女生人，则男生有人，
从名学生中选取人，恰好有一个女生的概率，解得：，
该小组中有男生人，女生人.
（2）名学生站队共有种站队方法；名女生站队共有种站队方法；
重新站队的方法有种.
1．在的展开式中，常数项为_________．
【答案】20
【分析】根据二项式的展开式通项求常数项即可.
【详解】因为展开式的通项为，，
令，可得，所以常数项为．
故答案为：20
2．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)展开式中的系数为 __________.
【答案】
【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】因为，
又展开式的通项为（），
所以展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在 的展开式中，的系数为_________（用数字作答）．
【答案】
【分析】先写出展开式的通项，然后令的指数为，即可求解.
【详解】的展开式的通项为，
令，则，所以的系数为.
故答案为：.
4．(24-25高二下·天津河东区·期中)在 的展开式的中间一项是_______________.
【答案】20
【分析】由二项展开式的性质结合通项计算可得.
【详解】由二项式展开式的性质可得展开式一共有7项，所以中间一项为第4项，
所以在 的展开式的中间一项是.
故答案为：20.
5．(24-25高二下·河北衡水河北枣强中学·期中)的展开式有7项，则______；展开式中的系数为______．
【答案】 6 60
【分析】先求，然后根据二项展开式的通项公式求系数即可.
【详解】由的展开式有7项，所以，即得，
的展开式的系数为，
故答案为：6；60.
1．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)设，则下列结论中正确的个数为（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据展开式的通项可判断①；利用赋值法可判断②，③；对原式求导后再赋值可判断④.
【详解】展开式的通项为，，
所以
，故①正确；
令，可得，
令，可得，（1）
所以，故②正确；
令，可得，（2）
（1）（2）可得，
所以，故③正确；
对两边求导，
可得，
令，可得，故④正确；
所以结论中正确的个数为个.
故选：.
2．(24-25高二下·天津第九中学·期中)，二项式系数和为128，则__________，____(结果用数字表示).
【答案】 0
【分析】根据二项式系数计算可得，再利用赋值法计算可得0，将奇数项和偶数项分开计算可得结果.
【详解】依题意可得，解得；
令可得，
令可得，
两式相加可得，即；
再令可得，
所以.
故答案为：0，.
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田第三中学·)若 ，则 _____；_____.
【答案】 243
【分析】利用二项式定理求出指定项系数；再用赋值法求解.
【详解】依题意，，取，得.
故答案为：；243.
4．(24-25高二下·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求n的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和；
(3)求展开式中的常数项.
【答案】(1)6
(2)64，4096
(3)960
【分析】（1）利用前三项二项式系数和为22，可列方程求得的值；
（2）令即可求得各项系数和；
（3）由二项式定理可得展开式的通项，令的系数为0求得的值，再将代入通项即可得到常数项.
【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22，
，
或（舍），
故n的值为6.
（2）展开式中各项的二项式系数和为.
令，则展开式各项系数和为.
（3）由题意得，展开式通项，
令，得，
所以常数项为960.
5．(24-25高二下·天津第九十五中学·期中)已知的展开式中的所有二项式系数之和为64.
(1)求；
(2)求常数项；
(3)求展开式的中间项.
【答案】(1)；
(2)15；
(3).
【分析】（1）由二项式系数和有，即可求参数值；
（2）写出二项式的展开式通项，进而求其常数项；
（3）根据二项式确定中间项是第四项，对应，即可得.
【详解】（1）由题设，可得；
（2）由（1）得展开式通项为，，
当，即，则常数项；
（3）由（2）知，展开式中间项是第四项，即，所以.
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数．
【详解】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
它的展开式共计有项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故选：A．
2．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
【答案】A
【分析】利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D.
【详解】因为，
对于A：令，可得，故A正确；
对于B：令，可得①，故B错误；
对于C：令，可得②，
联立①②可得，故C错误；
对于D：由题意可知展开式共有项，则第项的二项式系数最大，故D错误．
故选：A．
3．(24-25高二下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ）
A．- 60 B．- 20 C．20 D．60
【答案】D
【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项.
【详解】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则，
因此展开式中的常数项为.
故选：D
4．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则_________；并且所有项的系数之和为1，则含的项的系数为_________（用数字作答）.
【答案】 8
【分析】根据已知易得，再由所有系数和得，最后应用展开式通项求含的项的系数.
【详解】由只有第5项的二项式系数最大，易知，
所有项的系数之和为1，令有，可得或（舍），
所以二项式为，其展开式通项，，
所以常数项为.
故答案为：8，
5．(24-25高二下·天津渤海石油第一中学·期中)对于的展开式，下列说法正确的是____________
①所有项的二项式系数和为64 ②所有项的系数和为64
③常数项为1215 ④二项式系数最大的项为第3项
【答案】
【分析】根据二项系数和为判断①；利用赋值法求得各项系数和，判断②；利用二项式展开式的通项公式可求得常数项，判断③；根据二项式系数的性质即可判断④.
【详解】的展开式中所有项的二项式系数和为，故①正确；
中，令，得，故②正确；
展开式的通项为，
令，得，所以常数项为，故③正确；
二项式系数为，其中最大，为第4项，故④不正确．
故答案为：①②③
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专题02计数原理
12大高频考点概览
考点01 分类加法计数原理
考点02 分步计数原理
考点03 排列数与组合数
考点04 分组分配问题
考点05 捆绑法与插空法
考点06 染色问题
考点07特殊位置特殊元素优先排列
考点08 排数问题
考点09定序问题
考点10 二项式定理
考点11 （二项式）系数和问题
考点12 （二项式）系数最值问题
1．(23-24高二下·天津重点校·期中)演讲社团里现有水平相当的4名男生和4名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ）
A．44种 B．56种 C．48种 D．70种
2．(22-23高二下·天津河东区·期中)一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A．3种 B．6种 C．37种 D．1848种
3．(21-22高二下·天津耀华中学·期中)从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（ ）
A．24种 B．9种 C．10种 D．26种
4．(21-22高二下·天津河东区·期中)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有( )
A．3种 B．6种 C．9种 D．24种
5．(23-24高二下·天津第二南开学校·期中)解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．21种 C．24种 D．36种
1．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ）
A．24 B．120 C．625 D．1024
2．(24-25高二下·天津部分区·期中)在高二某班级中，有4名同学要参加足球 篮球 乒乓球三项比赛的报名活动，每人仅限选择一项参加，其中甲同学无法参与足球比赛的报名，则不同的报名种数有（ ）
A．12 B．16 C．54 D．81
3．(24-25高二下·天津河东区·期中)学校食堂的一个窗口共卖3种菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)高二年级名同学去听同时举行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的个讲座，不同选择的种数是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·天津河西区·期中)根据天津市高考政策，高一2班李想同学要在第二学期结束前完成高考选科，即在物理、化学、生物学、历史、地理和思想政治这6门等级性考试科目中选择3门参加考试，他要报考武汉大学的金融学专业，并且在刚刚发布的《2027年拟在津招生高等学校专业选考科目要求目录》中明确指出此高校专业的选考科目要求是历史学科，再综合自己的学习特点，必须选择物理和化学学科其中的1门，满足上述条件的选科方法数为_____种.
1．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)若随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A．39 B．65 C．50 D．63
2．(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)方程的解集是（　　）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·期中)“ ”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(24-25高二下·天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）·期中)____________________
5．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)（1）已知，求实数的值
（2）解方程：.
1．(24-25高二下·天津第四十七中学·期中)中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（ ）
A．150 B．180 C．240 D．300
2．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ）
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
3．(24-25高二下·天津四合庄中学·期中)第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 安保 礼仪 服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张 小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.
4．(24-25高二下·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)现安排甲 乙 丙 丁 戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________.
①不同安排方案的种数为
②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
5．(23-24高二下·天津四校联考·期中)为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有____________种．（用数字作答）
1．(24-25高二下·天津部分区·期中)有辆车停放于个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有（ ）种不同的停放方法？
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·天津第二南开学校·期中)在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有_____种.
4．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？
(3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？
(4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？
5．(24-25高二下·天津部分区·期中)袋子中有10个大小相同的小球，其中4个红球，6个白球.取一个红球得2分，取一个白球得1分，现在从袋子中随机取出5个球，要求必须同时取出红球和白球.
(1)请问有多少种取法能够使得总分数不超过7分？（请用数字作答）
(2)当总分数恰好为7分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有多少种？（请用数字作答）
1．(24-25高二下·天津河北区·期中)如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
2．(24-25高二下·天津河东区·期中)如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有______________种不同的涂色方法.
3．(23-24高二下·天津崇化中学·期中)如图，用4种颜色标注6个地图的区域，相邻省颜色不同，不同的涂色方式共有____种
4．(23-24高二下·天津重点校·期中)一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有____________种．
5．(22-23高二下·天津武清区杨村第一中学·期中)为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．
1．(22-23高二下·江苏镇江实验高级中学·期末)将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．18种 D．48种
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个.
A．180 B．300 C．360 D．480
3．(24-25高二下·天津第五十五中学·期中)甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（ ）
①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种
②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
③甲乙不相邻的排法种数为种
④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
A．个 B．个 C．个 D．个
4．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生.
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法
(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种
(3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法
1．(24-25高二下·天津益中学校·期中)用数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．120 B．240 C．24 D．48
2．(23-24高二下·天津北辰区·期中)从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．48 B．30 C．24 D．6
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·)若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有__________（用数字作答）
4．(24-25高二下·天津五区县重点校联考·期中)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答）
5．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)用，，，，，组成一个没有重复数字的六位数，该六位数是的倍数且奇数与偶数相间，则满足条件的这样的六位数有______个．
1．(24-25高二下·天津崇化中学·期中)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为
A．120 B．240 C．360 D．480
2．(21-22高二下·天津南开中学·期中)10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．
3．(21-22高二下·天津第四中学·期中)某兴趣小组有名学生，若从名学生中选取人，则选取的人中恰好有一个女生的概率是.
(1)该小组中男女学生各多少人？
(2)个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？
1．在的展开式中，常数项为_________．
2．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)展开式中的系数为 __________.
3．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在 的展开式中，的系数为_________（用数字作答）．
4．(24-25高二下·天津河东区·期中)在 的展开式的中间一项是_______________.
5．(24-25高二下·河北衡水河北枣强中学·期中)的展开式有7项，则______；展开式中的系数为______．
1．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)设，则下列结论中正确的个数为（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(24-25高二下·天津第九中学·期中)，二项式系数和为128，则__________，____(结果用数字表示).
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田第三中学·)若 ，则 _____；_____.
4．(24-25高二下·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求n的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和；
(3)求展开式中的常数项.
5．(24-25高二下·天津第九十五中学·期中)已知的展开式中的所有二项式系数之和为64.
(1)求；
(2)求常数项；
(3)求展开式的中间项.
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．7
2．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
3．(24-25高二下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ）
A．- 60 B．- 20 C．20 D．60
4．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则_________；并且所有项的系数之和为1，则含的项的系数为_________（用数字作答）.
5．(24-25高二下·天津渤海石油第一中学·期中)对于的展开式，下列说法正确的是____________
①所有项的二项式系数和为64 ②所有项的系数和为64
③常数项为1215 ④二项式系数最大的项为第3项
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