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专题03 导数与函数的极值及最值
6大高频考点概览
考点01函数极值（点）的求解与判定
考点02由极值(点)求参数的值或范围
考点03 函数的最值的判定与求解
考点04根据函数的最值求参数
一、选择题
1．(24-25高二下·四川达州·期中)函数的极小值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】.令，得；令，得.可知在，上单调递增，在上单调递减，所以极小值点为1.
故选：B.
2．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】由，因为是函数的极小值点，所以，即，则当或时，，所以在上递增，则当时，，所以在上递减，
即在时有极大值,故选：D .
3．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值
C．函数在上单调递增 D．函数的递减区间为
【答案】B
【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，
在处取得极小值，故选：B.
4．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据选择项只要判断当时，即可，函数的导数．若，当或，，当，，即当时，函数取得极小值，当时函数取得极大值，要使函数的图象经过四个象限，则有，且（1），
，即函数的图象经过四个象限的充要条件为，故选D.
二、多选题
5．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数，则（ ）
A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为
C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为
【答案】CD
【详解】的定义域为，且，当在单调递减，故单调递减区间为，A错误，当在单调递增，故单调递增区间为，B错误，当时，取极大值也是最大值，故C正确，，D正确，
故选：CD
6．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．是的极大值点 B．的图象关于点对称
C．若关于的方程有一解，则 D．当时，
【答案】ABD
【详解】对于A，，则，
所以当或时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，故A正确；对于B，，因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，由A可知的图象如下所示：由图可知，当或时，和有一个交点，即方程有一解，故C错误；
对于D，当时，，由在上单调递减，则，即，故D正确.故选：ABD.
7．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)下列说法错误的是（ ）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值;
C．对于，若，则无极值;
D．函数在区间上一定存在最值.
【答案】ABD
【详解】对于A，因为函数的极值是它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，所以A错误，对于B，因为函数在闭区间上的最大值在极大值或端点处取得，所以函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，所以B错误，对于C，由，得，当时，，所以，所以在上递增，所以无极值，所以C正确，对于D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，所以函数在区间上没有最大值和最小值，所以D错误，故选：ABD
三、解答题
8．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数的极值.
(3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围.
【详解】（1），，，，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2），，
由，得，由得，
在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值，无极大值；
（3）设函数，则，
函数在区间上为单调递增函数，
在恒成立，即在恒成立，
设，，则，
，，在区间上单调递减，
，，实数的取值范围为.
9．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数.
(1)若在处的切线斜率为2，求切线方程.
(2)求的单调区间；
(3)当时，求函数的极值.
【详解】（1），，所以
切线方程为：，即.
（2）， 若，由，得；由，得，
的单调递减区间为，单调递增区间为.
若，由，得；由，得，
的单调递减区间为，递增区间为.
（3）当时，，
. 由，得或.
当变化时，与的变化情况如下表：
2
- 0 + 0 -
递减 极小值 递增 极大值 递减
，.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数的极小值为，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】A
【详解】由求导得，.
①当时，由可得或，由可得，即当或时，单调递增，当时，单调递减，故的极小值为，不合题意；
②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意；
③当时，由可得或，由可得，即当或时，单调递增，当时，单调递减，故的极小值为，解得.
综上，.故选：A.
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数在处取得极大值6，则（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，解得，
当时，，当或时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因此是的极大值点，故，所以.故选：C
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为（），所以.因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根.由（）.设（），则.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.且，，当时，.所以要想方程（）有两个不同的解，须有，即.故选：D
4．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为有两个不同的极值点，所以在上有2个不同的零点，且零点两侧异号，所以在有2个不同的实数根，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，所以，解得.故选：C.
5．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)若函数无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】的导数为，因为函数无极值，在R上恒成立，即恒成立，，解得，即实数a的取值范围是.故选：D
6．(24-25高二下·四川南部中学·期中)若函数有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，则，
令，，则，当时，恒成立，则，即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意；当时，令，得，当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，所以存在，使得，则函数存在极值；当时，，则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
设，，则，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，
则时，，此时函数无极值，不符合题意；当时，，且时，；时，，此时函数存在极值.综上所述，的取值范围为.
故选：B.
二、填空题
7．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知函数有两个不同的极值点，则a的取值范围为________．
【答案】
【详解】因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，故，解得：；故答案为：.
三、解答题
8．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知函数在时取得极小值．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最值．
【详解】（1）因为，所以，
依题意，解得或，
若，则，则无极值点，不满足题意，
经检验符合题意，所以．
（2）由（1）知，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，上单调递增，
则在处取得极小值，
又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．
9．(24-25高二下·四川泸州合江马街中学校·期中)已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)；
(2)最大值为4，,最小值为0.
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【详解】（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知定义在的函数，其导函数为，若，且，则（ ）
A．仅存在最小值 B．仅存在最大值 C．既存在最小值，又存在最大值 D．既无最小值又无最大值
【答案】D
【详解】因为函数的定义域为，在等式两边同除可得，即，设，为常数，因为，即，故，所以，故，
则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递减，故函数既无最大值，也无最小值，故选：D.
二、填空题
2．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知函数，若，则的最小值为______.
【答案】
【详解】设，即，解得，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.
三、解答题
3．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数
(1)求函数的极值
(2)求函数在上的最大值与最小值
【详解】（1）根据题意可得，令，则，．
和上，，在、上单调递增．
上，，在上单调递减．
当时，有极大值，极大值为．
当时，有极小值，极小值为．
（2）由（1）可知，在区间上单调减，在区间上单调增．且，，
故在上最大值为，最小值为．
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程
(2)若，求函数的最大值与最小值.
【详解】（1）由题，则切线的斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，即为；
（2）∵，令，解得：或，
令，解得：，
∴在单调递增，在单调递减，在单调递增；
∴，，
又，，，，
所以在上的最大值为，最小值为.
5．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知在处取得极值.
(1)求实数的值：
(2)求在区间上的值域.
【详解】（1）由，则，因为在处取得极值，所以，解得，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极小值，符合题意，则.
（2）由（1）知，，且函数在上单调递减，
在上单调递增，又，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为，值域为.
6．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知函数在处取得极值.
(1)求实数，的值
(2)求函数在区间上的最大值和最小值
【详解】（1）因为，所以，
因为在处取得极值，所以，所以，
解得，经检验，符合题意，所以，；
（2）由（1）知，所以，
令，得或，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数的极小值为，极大值为，又，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
7．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数，其导函数为，且.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程
(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1) .
(2) ，.
【详解】 (Ⅰ)，∵，∴.解得
∴，，∴，.
∴曲线在点处的切线方程为
(Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或
当变化时，，的变化情况如下表：
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
∴的极小值为
又，，∴，.
8．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值．
【详解】（1），，，
则有，化简得，
即的图象在点处的切线方程为；
（2），则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，
又，，
故在区间上的最大值和最小值分别为、.
9．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求在区间的值域．
【详解】（1）的定义域为，对求导，得，
因为，所以；
（2）由（1）知，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以在区间上，在处取得极小值，即极小值为，又，
，所以求在区间的值域为．
10．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知函数
(1)求 的值；
(2)求函数在区间上的最值
【详解】(Ⅰ)由题意得，定义域为 因为在处有极值，
所以，解得；
(Ⅱ)由(Ⅰ) ，所以，，
令，在定义域内解得，当时，，所以单调递减；当时，，单调递增，当，
，易得，
所以当时，，．
11．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求在上的最大值．
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2），
当时，，所以函数在上单调递减，
此时，；
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，此时，；
当时，，所以函数在上单调递增，此时，，
综上所述，.
12．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
【详解】（1）根据题意，函数，其导数．
①当时，，则在上为增函数；
②当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）可得，当或，．
①当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为；
②当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为；
③当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为．
综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为．
13．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知函数.
(1)若在处取得极值，求的极值；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
【详解】（1），，.
因为在处取得极值，所以，则.
所以，，
令得或1，列表得
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以的极大值为，极小值为.
（2）.
①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；
②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，的最小值为，不满足题意；
③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围时.
一、多选题
1．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是中心对称图形 B．有两个零点
C．过点只能做一条直线与相切 D．在上最大值为2，则
【答案】AD
【详解】对于A，易知，则，令，可知，又，
所以函数的图象关于成中心对称，即A正确；对于B，令，解得或，
因此当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；因此在处取得极小值，在处取得极小大值；画出函数图象如下图所示：
由图易知有三个零点，即B错误；对于C，设过点与相切的切点坐标为；
易知切线斜率为，此时切线方程为，即；
将点代入切线可得，即，解得或；
因此过点能做两条直线与相切，即C错误；对于D，由B选项分析可知在上的最大值为2，又，因此当时，在上最大值为2，即D正确.故选：AD
二、解答题
2．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数
(1)求的单调增区间和单调减区间
(2)若在区间上的最小值为，求实数的值
【详解】（1），令，得或，
如图，的变化关系如下表，
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）根据（1）的结果，得到如下表，
(-3,-1) (-1,3) (3,4) 4
0 0
9+a 单调递减 +a 单调递增 9+a 单调递减 +a
如表可知，的最小值为，得.
3．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)求在上的最大值为0，求a的值．
【详解】（1）函数的定义域为，则．因为，所以，
由，可得，由，可得．
此时，函数的增区间为，减区间为．
（2），
当时，在上，所以函数在上单调递减，
此时，，令，则，不合题意.
当时，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，此时，，令，则.
当时，在上，所以函数在上单调递增，此时，，令，则，不合题意.
综上所述：.
4．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)函数
(1)若在处取得极小值，求实数的取值范围，
(2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值.
【详解】（1）因为，令得或，
当时，
所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意；
当时，
在递减，在递增，则为极小值点，符合题意；
所以的取值范围为.
（2）当时，
在递增，在递减，又，，
，，，满足，则，
当时，在递减，在递增，
，，
，满足，则，综上：.
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专题03 导数与函数的极值及最值
6大高频考点概览
考点01函数极值（点）的求解与判定
考点02由极值(点)求参数的值或范围
考点03 函数的最值的判定与求解
考点04根据函数的最值求参数
一、选择题
1．(24-25高二下·四川达州·期中)函数的极小值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值
C．函数在上单调递增 D．函数的递减区间为
4．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数，则（ ）
A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为
C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为
6．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．是的极大值点 B．的图象关于点对称
C．若关于的方程有一解，则 D．当时，
7．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)下列说法错误的是（ ）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值;
C．对于，若，则无极值;
D．函数在区间上一定存在最值.
三、解答题
8．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数的极值.
(3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围.
9．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数.
(1)若在处的切线斜率为2，求切线方程.
(2)求的单调区间；
(3)当时，求函数的极值.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数的极小值为，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数在处取得极大值6，则（ ）
A． B．8 C． D．12
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)若函数无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·四川南部中学·期中)若函数有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知函数有两个不同的极值点，则a的取值范围为________．
三、解答题
8．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知函数在时取得极小值．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最值．
9．(24-25高二下·四川泸州合江马街中学校·期中)已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知定义在的函数，其导函数为，若，且，则（ ）
A．仅存在最小值 B．仅存在最大值 C．既存在最小值，又存在最大值 D．既无最小值又无最大值
二、填空题
2．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知函数，若，则的最小值为______.
三、解答题
3．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数
(1)求函数的极值
(2)求函数在上的最大值与最小值
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程
(2)若，求函数的最大值与最小值.
5．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知在处取得极值.
(1)求实数的值：
(2)求在区间上的值域.
6．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知函数在处取得极值.
(1)求实数，的值
(2)求函数在区间上的最大值和最小值
7．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数，其导函数为，且.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程
(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.
8．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值．
9．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求在区间的值域．
10．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知函数
(1)求 的值；
(2)求函数在区间上的最值
11．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求在上的最大值．
12．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
13．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知函数.
(1)若在处取得极值，求的极值；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
一、多选题
1．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是中心对称图形 B．有两个零点
C．过点只能做一条直线与相切 D．在上最大值为2，则
二、解答题
2．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数
(1)求的单调增区间和单调减区间
(2)若在区间上的最小值为，求实数的值
3．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)求在上的最大值为0，求a的值．
4．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)函数
(1)若在处取得极小值，求实数的取值范围，
(2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值.
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