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专题03 导数（图像，切线方程，单调性，极值，最值）
5大高频考点概览
考点01求导法则、计算
考点02原函数与导函数图像
考点03切线方程
考点04单调性
考点05极值、最值
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林松原·期中)设函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得.
【详解】由求导，可得：.
而，故.
故选：C.
2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)下列求导运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求解即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
3．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）某物体的运动路程（单位：）， 时间（单位：）之间的关系，求在时的瞬时速度（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】求导，求出，从而求出时的瞬时速度.
【详解】，故时，，
故在时的瞬时速度为5.
故选：B
4．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用求导，结合赋值，即可求解.
【详解】求导得;，令，
得，解得.
故选：A.
5．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)已知函数的导函数为，满足，则（ ）
A． B． C．3 D．8
【答案】A
【分析】应用导数的加减法则对函数求导得，代入求得，进而求.
【详解】由题设，可得，故，
所以，故.
故选：A
6．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知函数，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据极限的运算法则，求得，再由导数的运算法则，即可求解.
【详解】由，
因为函数，可得，所以，
所以.
故选：C.
7．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）已知函数的导函数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为，可得，
所以，解得.
故选：C.
8．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的计算公式，直接判断选项.
【详解】.
故选：A
二、多选题
9．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：AC
三、填空题
10．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′（1）＝________.
【答案】
【分析】直接利用复合函数的求导公式求导即可.
【详解】，则，
所以.
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可.
【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D；
当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，排除B.
故选:A.
2．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，得到，，再由平均变换的几何意义得到，结合图象得到图象在点处的切线的斜率小于，即可求解.
【详解】由题意，根函数的图象，
当时，函数为递增函数，所以，
当时，函数为递减函数，所以，
又由表示两点的连线的斜率，
可得，
因为两点连线的斜率为，由图象知在点处的切线的斜率小于，
所以.
故选：D.
3．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可.
【详解】由题意，，且，
所以.
故选：C.
4．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数取极大值的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导函数的图象，可得函数只有在左边单调递增，右边单调递减，可得解.
【详解】由图知，，，函数在单增；
，，函数在单减；
所以函数在处取极大值.
故选：B.
二、多选题
5．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
【答案】ACD
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；
对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.
故选：ACD．
6．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)已知函数在区间上的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在处取得极小值 D．在处取得极小值
【答案】BD
【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性，以及极值点，即可判断和选择.
【详解】由的图象可知：
在上单调递增，在单调递减，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，则正确.
故选：BD．
7．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）．
A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．是的极小值点
【答案】BC
【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解.
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当或时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.故A错误，C正确；
所以或是的极小值点；故B正确；
所以是取得极大值点；故D错误.
故选：BC.
8．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．是的极小值点 D．是的极大值点
【答案】AC
【分析】根据图象可知导函数的正负，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,当时，故在上单调递增，A正确，
对于B, 当时，故在上单调递增，B错误，
对于C, 当时，故在上单调递增，当时，故在上单调递减，故是的极小值点，C正确，D错误，
故选：AC
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程.
【详解】由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为．
故选：B.
2．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后写出切线方程的点斜式，化简即可得解.
【详解】，所以，即切线的斜率为1，
又，所以切点坐标为，
所以所求的切线方程为，化简得：
故选：C.
3．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值.
【详解】，由导数几何意义知，
在处的切线斜率为，
当时，切线经过点，故有，解得.
故选：C．
4．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程.
【详解】对函数求导得,故当时,斜率，
又切线过点，故切线方程为，即
故选：C.
5．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义结合题设条件，列出方程组，求解即得.
【详解】依题意，，解得.
故选：B.
二、多选题
6．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)下列函数的图像与轴相切于点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由导数的几何意义逐个计算切线方程，即可判断.
【详解】A.，当时，，所以切线方程为，正确；
B.，当时，，在的切线斜率不为0，不符合题意；错误；
C.，当时，，所以切线方程为，正确；
D.在的切线斜率不为0，不符合题意，错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）若曲线与曲线在交点处有公切线，则__________.
【答案】6
【分析】若曲线与曲线在交点处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于，的方程，解方程可得答案．
【详解】，
，
曲线与曲线在交点处有公切线，
且
即，
故答案为：6
8．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是_________
【答案】
【分析】先设切点，再求切线方程，将点代入切线方程，将问题转化为在上有两解，构造函数研究其单调性即可.
【详解】定义域为，且，
设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
将点代入切线方程有：，
若，则，与定义域矛盾；则，
因过点与曲线相切的直线有两条，
所以在上有两解，
设，
则得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，则，
又时，； ；时，，且时，，
所以，则实数的取值范围是.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
由，得，所以函数的单调递增区间是.
故选：B
2．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由即可求解.
【详解】，，
令，且，易得：
所以单调递减区间是，
故选：B
3．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B．、
C．、 D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间.
【详解】函数的定义域为，，
由可得，即，解得，
因此，函数的增区间为.
故选：A.
4．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，因为在上单调递增，
所以，所以.
故选：B.
5．(24-25高二下·吉林四平梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
因为在上单调递增，有恒成立，
整理为，
令，可得，
由二次函数的单调性，则满足，可得，
即实数的取值范围为.
故选：D.
6．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，不等式对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数在区间上为增函数，
所以，不等式对任意的恒成立，即，
当时，，所以，，
即实数的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
7．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图像关于对称
C．直线是的一条切线
D．关于的不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】对于A：对函数求导，根据导数正负确定单调区间，判断A选项.
对于B：依据函数关于点对称的性质，计算，判断B选项.
对于C：设切点求斜率，结合已知切线斜率求出切点，进而得到切线方程，判断C选项.
对于D：先确定函数单调区间，再结合范围，根据单调性解不等式，判断D选项.
【详解】对求导，可得.
令，即，解得或，此时函数单调递增.
令，即，解得，此时函数单调递减.
所以在上单调递减，A选项错误.
对于点，计算：
，.
则，满足，所以的图像关于对称，B选项正确.
设切点为，切线斜率.
若直线是的切线，则切线斜率，即，解方程可得.
当时，.
所以切线方程为，即，所以直线是的一条切线，C选项正确.
由前面分析可知在和上单调递增，在上单调递减.
.
因为，且在上单调递增，，即，解得或.
所以不等式的解集为，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题
8．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）若在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求函数的单调递减区间，再根据集合的包含关系求实数的取值范围.
【详解】因为，所以.
由或.
所以函数的单调减区间为和.
又函数在上单调递减，
所以或.
解得：.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（ ）

A． B． C． D．27
【答案】B
【分析】设A，B在抛物线上，由矩形的性质可得出A，B坐标的关系，表示出矩形面积的表达式，通过求导得出单调性从而得出最值.
【详解】设A，B在抛物线上，若，则点B的坐标为，
所以矩形ABCD的面积可表示为，，
则，
令，解得或（舍去），
可得在上单调递增，在上单调递减，
所以矩形的最大面积为：．
故选：B.
2．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)函数在定义域内的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导函数，再证其单调性即可求出最值.
【详解】定义域为，且
则得，得
则在上递减，在上递增，所以的最小值为.
故选：D.
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）若函数在处取得极小值，则实数（ ）
A． B．2 C．2或0 D．0
【答案】D
【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案.
【详解】由，则，得或2，
时，，在R上单调递增，不满足；
时，，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设，
所以.
故选：D
二、多选题
4．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的极大值为，极小值为
B．当时，它的最大值为，最小值为
C．它的单调递减区间为
D．它在点处的切线方程为
【答案】ACD
【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D.
【详解】函数，．
由，得或，此时函数单调递增；
由，得，此时函数单调递减，C正确；
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，A正确；
当时，单调递增，它的最大值为，
最小值为，B错误；
，，它在点处的切线方程为，D正确．
故选：ACD.
5．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为
【答案】BC
【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD.
【详解】由题意可得，
因，则，故A不正确；
由得或，由得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，故B正确，C正确，
，则函数在上的最小值为，故D不正确．
故选：BC.
6．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知函数，则（ ）
A．，曲线与定直线相切
B．，使得函数为减函数
C．当时，函数只有最大值，没有最小值
D．当时，
【答案】ACD
【分析】先求出原函数的导数，结合参数a的情况分析为定值，从而判断A选项；由，从而判断B选项；当时，通过对原函数连续求导，判断出的单调性和最值，从而判断C、D选项.
【详解】对A，因为，所以，，
所以曲线与定直线相切，故A正确；
对B，因为，，而若为减函数，则恒成立，
二者矛盾，所以函数不可能为减函数，故B错误；
对C，当时，，设，
则，
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以只有最大值，没有最小值，故C正确；
对D，因为，且在上单调递增，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
7．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知函数在上的最大值为，则的值为_______
【答案】
【分析】由，求导得到，根据定义域，分，和讨论求解.
【详解】由得，
当时， 若，则，单调递增，
若，则，单调递减，
故当时，函数有最大值，
解得，不符合题意，舍去;
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意;
当时，函数在上单调递减，此时最大值为，
解得，符合题意，
综上可知，的值为.
故答案为：
8．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)已知函数，则在上的最小值是______．
【答案】
【分析】连续函数在闭区间上必有最值，将在上的极值与区间端点处的函数值进行比较即可求解
【详解】，
令，解得，
令，解得或，
所以在上单调递增，在，上单调递减．
，，
所以．
故答案为：
9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】利用函数的极值点与导数的关系可知关于的方程在时有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
所以，关于的方程在时有两个不等的实根、，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
10．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】由，，
则，
因为函数存在唯一极值点，
所以存在唯一的变号正实根，
即方程存在唯一的变号正实根，
当时，，
当时，，当时，，
此时函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数存在唯一极值点1，符合题意；
当时，方程，即，
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
要使方程存在唯一的变号正实根，且已经有一个正实根1，
则，即，
此时，，即，
当时，；当时，，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数存在唯一的极值点，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
11．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最大值为2，最小值为.
【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间；
（2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案.
【详解】（1），
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为2，最小值为.
12．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）设函数，．
(1)若在处切线为，求实数的值；
(2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)5
(2)，理由见解析
【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值；
（2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案.
【详解】（1），
在处切线为，故，解得，
故，所以，所以，
所以；
（2）存在，理由如下：
的定义域为，，
当时，在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，解得，舍去.
当时，令得，，令得，，
若，则，故在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，满足要求，
若，则，故在上单调递减，
故，解得，舍去.
综上，.
13．24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）已知函数．
（1）求函数在上的最大值和最小值．
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或
【分析】（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果.
（2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果.
【详解】（1），
，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，
而，，，
的最小值是，的最大值是；
（2），
设切点坐标为，
则切线方程为，
∵切线过点，
∴，
化简得，
∴或．
∴切线的方程：或．
14．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)已知函数是的导函数.
(1)求的值；
(2)若的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数运算即可求导数值；
（2）法一：观察，构造，利用导数工具研究函数单调性即可求解.
法二：利用偶函数的对称性和导数研究在的单调性即可求解.
【详解】（1）由可得.
所以.
（2）法一：求导得，令，
则，所以单调递增，且，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以在处取极小值，也是最小值，
即，解得.
法二：因为，
且定义域为，所以是偶函数，
当时，，令，
则，所以在单调递增，所以，
所以所以在单调递增，
根据是偶函数，所以在单调递减，
所以在处取最小值，故，解得.
15．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求的值；
(2)当时，求曲线在处的切线方程；
(3)当时，求曲线的极值.
【答案】(1)
(2)
(3)极大值为，极小值为-2.
【分析】（1）利用导函数的零点结合极值点的定义计算验证即可；
（2）利用导数的几何意义计算即可；
（3）利用导数研究函数的单调性，结合极值的概念列表计算即可.
【详解】（1），
由题意知，所以，即
当时，，
故在单调递增，单调递减，
故在处取得极值.故；
（2）由（1）可知.
当时，，
所以，
所以在处的切线方程为，即；
（3）由（1）（2）可知，，
令，得或
1
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
故极大值为，
极小值为.
16．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)已知函数，其中，.
(1)曲线在处的切线方程为，求，的值；
(2)当时，求的极值点；
(3)当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.
【答案】(1)，.
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义和题设条件得，即可求解；
（2）对求导，得，再对进行讨论，利用极值的定义，即可求解；
（3）根据条件得，令，得到，，再对进行讨论，求出在区间上的单调性，再结合条件，即可求解.
【详解】（1）因为，由题可得，
即，解得，.
（2）因为，，
①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增，无极值点；
②当，即时，恒成立，当且仅当时取等号，
此时在区间上单调递增，无极值点；
③当，即时，因为的对称轴为，
令，得到或（舍），
当时，，当时，，
所以为的极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点，当时，极大值点为，无极小值点.
（3）因为，则，所以，
令，解得，；
，，
当或时，，当时，，
①若，即时，此时在区间上单调递增，
所以的最大值为，解得，
②若，即时，此时在区间上单调递增；在上单调递减，
所以的最大值为，满足题意，
③若时，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
因为，，所以满足题意
综上所述，在区间上的最大值为1，则的取值范围为.
17．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)设函数.已知曲线在处的切线与直线平行.
(1)求实数的值；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极小值为，极大值为.
【分析】（1）对求导，由导数的几何意义可知，由此求出实数的值；
（2）由（1）求出，对求导，讨论与0的正负，再由极值的定义求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，所以.
（2）由（1）知，，的定义域为，
，
令，解得：或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得极小值为，
当时，取得极大值为.
18．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知函数，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由可求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出其极大值、极小值以及、的值，比较大小后可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
则得，故.
（2）令，得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，的极大值为，极小值为，
又因为，，
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
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专题03 导数（图像，切线方程，单调性，极值，最值）
5大高频考点概览
考点01求导法则、计算
考点02原函数与导函数图像
考点03切线方程
考点04单调性
考点05极值、最值
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林松原·期中)设函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)下列求导运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）某物体的运动路程（单位：）， 时间（单位：）之间的关系，求在时的瞬时速度（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)已知函数的导函数为，满足，则（ ）
A． B． C．3 D．8
6．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知函数，则（ ）
A． B．2 C． D．
7．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）已知函数的导函数为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
三、填空题
10．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′（1）＝________.
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ）

A． B． C． D．
4．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数取极大值的点是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（24-25高二下·吉林省松原市·期中）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
6．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)已知函数在区间上的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在处取得极小值 D．在处取得极小值
7．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）．
A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．是的极小值点
8．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．是的极小值点 D．是的极大值点
一、单选题
1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、多选题
6．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)下列函数的图像与轴相切于点的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）若曲线与曲线在交点处有公切线，则__________.
8．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是_________
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B．、
C．、 D．
4．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·吉林四平梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图像关于对称
C．直线是的一条切线
D．关于的不等式的解集为
三、填空题
8．（24-25高二下·内蒙古赤峰市元宝山区第一中学·期中）若在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
一、单选题
1．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（ ）

A． B． C． D．27
2．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)函数在定义域内的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（24-25高二下·黑龙江省大庆实验中学·期中）若函数在处取得极小值，则实数（ ）
A． B．2 C．2或0 D．0
二、多选题
4．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的极大值为，极小值为
B．当时，它的最大值为，最小值为
C．它的单调递减区间为
D．它在点处的切线方程为
5．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为
6．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知函数，则（ ）
A．，曲线与定直线相切
B．，使得函数为减函数
C．当时，函数只有最大值，没有最小值
D．当时，
三、填空题
7．（24-25高二下·黑龙江省牡丹江市第二高级中学·期中）已知函数在上的最大值为，则的值为_______
8．(24-25高二下·吉林长春等3地·期中)已知函数，则在上的最小值是______．
9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________.
10．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是________.
四、解答题
11．（24-25高二下·内蒙古包头市第九十三中学·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
12．（24-25高二下·黑龙江省大庆铁人中学·期中）设函数，．
(1)若在处切线为，求实数的值；
(2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
13．24-25高二下·黑龙江省佳木斯市第二中学·期中）已知函数．
（1）求函数在上的最大值和最小值．
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
14．(24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔联谊校·期中)已知函数是的导函数.
(1)求的值；
(2)若的最小值为，求的值.
15．（24-25高二下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求的值；
(2)当时，求曲线在处的切线方程；
(3)当时，求曲线的极值.
16．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)已知函数，其中，.
(1)曲线在处的切线方程为，求，的值；
(2)当时，求的极值点；
(3)当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.
17．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)设函数.已知曲线在处的切线与直线平行.
(1)求实数的值；
(2)求函数的极值.
18．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知函数，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
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