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专题02 导数在函数中的应用
5大高频考点概览
考点01 利用导数求解或证明不等式
考点02利用导数求解函数的最值与极值
考点03 利用导数求解函数恒成立的问题
考点04利用导数比较大小
考点05 利用导数判断或证明函数的单调性
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式
【分析】先判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性即可解不等式.
【详解】的定义域为R且，故为偶函数，
则不等式可化为，
.
设，则，
则在上单调递增，则，
所以当时，恒成立，在上单调递增，
又因为其为偶函数，则其在上单调递减，
∴等价于，两边同时平方解得.
故选：A.
二、填空题
2．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式
【分析】首先确定函数的定义域，再利用导数与基本不等式判断单调性，最后利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题意，函数的定义域为，且，
又，当且仅当，即取等号.
所以，所以在上是增函数，
因为，所以，
解得或.
故答案为：
三、解答题
3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的值；
(3)已知数列满足，，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由递推数列研究数列的有关性质、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由恒成立，通过，两类情况讨论即可；
（3）由（2）得到，再结合，得到，累加求和即可求证；
【详解】（1）当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程：；
即；
（2）在上单调递增，
等价于恒成立，
令，
当时，易知在上单调递增，
当时，，故时，，
不符合题意，舍去；
当时，，由，可得，
易知当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
由题意得最小值，
即，
构造函数，
，易知时，，，，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，取得最大值，
也即要使得成立，需满足，即；
（3）由（2）知，当时，
在上单调递增，
又，所以当时，，
由，又，易知
可得：，
所以，即
累加求和可得：，
即，
即，又，
所以，又，
所以.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】根据条件，将问题转化成对恒成立，构造函数，利用导数求得的最小值，即可得解.
【详解】因为在上单调递增，
所以在恒成立，即对恒成立，
令，则，令，得，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数图像的识别、函数（导函数）图象与极值的关系
【分析】由条件得到在的左侧，在的右侧，再结合的符号，即可判断.
【详解】因为在处取得极大值，
所以在的左侧，在的右侧，
又在的左侧，在的右侧，
所以在的左侧，在的右侧，
结合选项只有D符合，
故选：D
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值
B．当时，方程有两个不同的实根
C．
D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为
【答案】AD
【知识点】函数图象的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值
【分析】对于A，对求导，利用极值点的定义可求；对于B，作出的图象，利用数形结合思想可解；对于C，注意，构造函数，利用单调性即可判断与的大小，结合的单调性即可判断；对于D，根据条件，过点的切线与平行时距离的最小，利用导数几何意义求出切点即可.
【详解】对于选项A，因为，则，
当时，，当时，，且，
所以是的极小值点，
又，所以选项A正确，
对于选项B，由选项A知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，当时，，的图象如图，
令，由图知，当时，与有两个交点，
当时，与只有一个交点，所以选项B错误，
对于选项C，由，
联想到构造函数，
在上为正，在上为负，
上上为增函数，在上为减函数
由，可得
由在上为增函数，可得故C错误，
（对于选项C也可先估算出，再结合的单调性判断出C错误）
对于选项D，设点，易知当曲线在处的切线与平行时，
点到直线的距离最小，又，
则，令，则，
易知，当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，且时，，又，所以，
又，得到，所以到直线的距离为，故选项D正确，
故选：AD.
4．（24-25高二下·安徽滁州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是极大值点 B．是极大值点
C．是极小值点 D．是极小值点
【答案】BD
【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图像与极值点的关系
【分析】根据图象可以得到，是函数的极值点，并得到函数单调性，判断出是极大值点，是极小值点.
【详解】因为，处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以，是函数的极值点，
又时，，时，，所以是极大值点；
因为时，，时，，所以是极小值点.
故选：BD.
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数有四个零点，，，（），则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点
【分析】将函数零点转化为方程的根，令，即方程有两根，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可.
【详解】由题意知有四个不同的根，显然，即，
令，即，即.
另外，，
令，得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，可得函数的大致图象如图所示：

根据题意知存在两根，，不妨设，
则满足，.
即有，
则由图象可知，所以，故A正确；
由于方程的两根，满足，
所以，解得，故B确；
由，，得，
两边取自然对数得，故C不正确；
由，两边取自然底数得
若，则，
所以，
令，，所以恒成立，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，故D正确.
故选：ABD.
6．（24-25高二下·安徽·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是曲线的对称中心
D．
【答案】AD
【知识点】函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、倒序相加法求和
【分析】对于A，求出导函数，由极大值的定义即可判断；对于B，求出极大值和极小值，分析函数在无穷远处的性态，由此可判断零点个数；对于C，由题设条件求出二阶导数的零点即可判断正误；对于D，由C可知是函数的对称中心，故，利用倒序相加法即可算出答案判断正误.
【详解】由题意得，，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值为，故A正确；
当时，取得极小值，极小值为，
且当时，当时，，
极大值，极小值，所以函数有3个零点，故B错误；
由，得，令，得，
又，
所以点是曲线的对称中心，故C错误；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
得
所以，
所以，即，故D正确.
故选：AD.
7．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）
A．有个极值点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．在上单调递减
【答案】AB
【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系
【分析】根据函数的图像可得函数的单调区间，进而判断各选项.
【详解】根据函数的图象可知，
在区间，，，单调递增；
在区间，，，单调递减.
所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，是的极小值点，
所以A，B选项正确；
故选：AB.
8．（24-25高二下·安徽淮南·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的极小值
B．的极小值点为
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率等于0
【答案】AC
【知识点】函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系
【分析】由函数极值的定义即可判断A，由极值点的定义即可判断B，由原函数与导函数的关系即可判断C，由导数的几何意义即可判断D.
【详解】对于A，由图可知，导函数在两侧的单调性发生改变，
且在的左侧递减，右侧递增，所以是函数的极小值，故A正确；
对于B，极小值点是的值，而不是一个坐标点，由图象可知，时，
由负变正，则是的极小值点，故B错误；
对于C，由图象可知，时，，则原函数单调递增，故C正确；
对于D，函数在处切线的斜率就是，
由导函数图象可知，所以在处切线的斜率不等于0，故D错误；
故选：AC
二、填空题
9．（24-25高二下·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】首先求函数的导数，再判断函数的单调性，根据最值列不等式，即可求解.
【详解】的定义域为，，
，，，在上单调递增，
故在上的最大值为，即.
故答案为：
三、解答题
10．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知.
(1)当时，求函数的极值；
(2)，若存在3个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值
【分析】（1）求出导函数，进而求出单调区间，根据极值的概念求解即可；
（2）易知有一个零点为，进而转化为方程有2个实根，参变分离，令，则函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，画出图象，数形结合求解即可.
【详解】（1）当时，，
由得得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得极小值为，无极大值.
（2）由函数，
可得有一个零点为，要使得存在3个零点，
则需方程有2个实根，
而方程可化为，
令，则函数与的图象有两个交点.
，令得，
当变化时，、的变化情况列表如下：
1
- - 0 + +
单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
所以函数在处取得极小值为2e.
当时，又，所以的大致图象如图：
由函数与的图象有两个交点，根据图象可得.
所以要使得存在3个零点，则实数的取值范围是.
11．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）对函数求导并求得导函数的零点，比较两根大小对参数a的取值进行分类讨论，即可得出结论；
（2）得出函数在上的单调性求出其最小值，再由零点个数求得a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
易知，
令，解得.
当时，.
的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，
的单调递增区间为和，的单调递减区间为
（2）.
当时，，则在上单调递增，
，即，函数在上没有零点.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
因此要使得在上有两个零点，只需，
，解得.
综上，a的取值范围为.
12．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求的极小值；
(2)若，证明：在上单调递减．
【答案】(1)-1
(2)证明过程见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）时，，求定义域，求导，得到单调性，故在处取得极小值，求出答案；
（2）时，，求定义域，二次求导，结合最值，得到导函数小于0恒成立，故在上单调递减.
【详解】（1）时，，定义域为，
故，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为；
（2）时，，定义域为，
，
令，则，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在取得极大值，也是最大值，，
所以恒成立，所以在上单调递减.
13．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数在处取得极小值.
(1)求a，b的值;
(2)当时，求的最大值.
【答案】(1)
(2)5
【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）根据极值的性质列式求，并代入检验即可；
（2）根据（1）中的单调性分析最值即可.
【详解】（1）因为，则，
由题意可得：，解得，
当时，则，，
当或时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则函数在处取得极小值，符合题意，
所以.
（2）因为，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，
且，即，
所以当时，求的最大值为.
14．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象关于原点对称.
(1)求的值；
(2)求函数的极值点.
【答案】(1)；
(2)极大值点为，极小值点为
【知识点】由奇偶性求参数、求已知函数的极值
【分析】（1）根据的图象关于原点对称得到是奇函数，利用可求得
（2）由可得，先求导后列出表格，得到极值点.
【详解】（1）由题可知定义域：.
因为函数为奇函数，所以，
即，解得.
（2）由（1）得：
当时，因为，所以.
令，解得.
，变化情况如下表：
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以在上单调递减，在上单调递增.
故当时，有极小值，并且极小值为
又因为为奇函数，所以在上单调递增，在上单调递减.
故当时，有极大值，并且极大值为.
综上：有极大值点，极小值点
15．（24-25高二下·安徽合肥·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数，
(1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围．
参考数据：．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）根据是奇函数确定的值，由题意知即求方程在上的实根个数，令，利用导数和函数零点存在定理判断；
（2）由，得或，令，利用导数求的图象性质，由其与有两个不同的交点，可解问题；
（3）由（2）得，由，令，分，，和进行研究.
【详解】（1）因为函数是奇函数，
所以，即，
所以，所以．
所以当时，，所以，
由题意知即求方程在上的实根个数，
令，则，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增．
所以，
又，，
所以由函数零点存在定理知，，，使得，．
所以当时，在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为2．
（2）由题知，即，其定义域为，
则，．
令，得或，
设，则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减，
又当时，；当时，，且，
所以的大致图象如图所示．
因为在定义域内有三个不同的极值点，
所以与有两个不同的交点，所以．
（3）由（2）得，由，
令，则，，．
①若，则，所以单调递减，
因为在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，
所以即解得．
②若，当时，，在上单调递增，
则即，解得；
当时，，在上单调递减，
则，即，解得．
当时，令得．当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，
令，则，
令，得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，即．
由题意知或，结合，解得或．
综上，若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，
则实数的取值范围为．
16．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)最大值为2，最小值为.
【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案；
（2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案.
【详解】（1）由题意得，由题意得，即，解得，
故，定义域为R，
，令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，.
又，，
故的最大值为2，最小值为.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】构造函数，求导确定单调区间，即可求解.
【详解】解：由，
整理得：
因为，所以
即对任意，且，
不等式恒成立
设，则，即函数在区间上单调递减
所以在区间上恒成立
所以，即实数的取值范围为，
故选：D
2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数和，若对，，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求得，得到函数的单调性，求得，根据题意，转化为，转化为，分，和，三种情况讨论，求得函数得到单调性和最值，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当或时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
当时，由，且，所以，
若对，，使得，
只需，使得，即
由，可得，即，，
若时，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，此时；
当时，显然不成立；
当时，可得，令，可得，单调递增，
且时，；时，，所以，
综上所述，的取值范围为.
故选：C.
3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数的导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极大值点
B．是函数的极小值点
C．
D．
【答案】AB
【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系
【分析】对于A、B，由导函数的图象及极值点的定义可判断其正误；对于C、D，由于极值是局部性质，极大值不一定比极小值大，故无法比较的大小，由此可得出答案.
【详解】由导函数的图象可知，在的左侧，；在的右侧，，
由极值点的定义可知是函数的极大值点，
同理可知是函数的极小值点，故A，B均正确；
由函数极值的定义可知，是极大值，是极小值，
而极值是局部的最大最小值，无法比较的大小，故C，D均错误；
故选：AB.
二、填空题
4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于. 根据以上思路求解：函数的最小值为________.
【答案】
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、对数的运算性质的应用
【分析】对函数取对数，令，求导分析函数的单调性，根据单调性确定最值即可求解.
【详解】由，所以恒成立，
令，则，
由，得.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即的最小值为，
又为增函数，所以，
即，
故答案为：.
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知，（），则使不等式恒成立的正整数的最大值为______.
【答案】9
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】先讨论，的单调性，可得，进而可求正整数的最大值.
【详解】设，，故，
当时，；当时，；
故在上为单调递增，在上为单调递减，
因为，故即，又，故，
故，所以即，
而，，
故正整数的最大值为9.
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意，恒成立，则的取值范围______.
【答案】
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据函数的新定义，求得，由任意，恒成立，转化为任意，恒成立，设，求得，得到单调递增，得到，转化为任意， 恒成立，再设，求得，得到所以单调递增，进而得到恒成立，求得的取值范.
【详解】由题意得，函数
所以对任意，恒成立，即对任意，恒成立.
设，可得，所以单调递增，
由，即，
所以对任意，恒成立，即对任意，恒成立.
设，则，所以单调递增；
当时，，所以恒成立，只需，
结合可得，实数的取值范围.
故答案为：.
三、解答题
7．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）求出函数的导数，按、分类讨论求出函数的单调性.
（2）等价变形给定不等式，构造函数，利用特值确定，再借助不等式的性质放缩，利用导数推理得证.
（3）借助（2）的信息，得，令，可得，累加即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）不等式，
令，依题意，对任意成立，
而，则恒成立，即，
当时，对任意，，于是，
令，求导得，函数在上单调递增，
又，；，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此成立，即恒成立，
所以的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，
令，得，
因此，
即，
所以.
8．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．
(1)试判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，验证能否恒成立，由此可得出实数的取值范围；
（3）由（2）得当时，故只需证明，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出其函数值的符号变化，由此可证得结论成立.
【详解】（1）因为，该函数的定义域为，.
当时，，则在上是增函数；
当时，令，得，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，在上是增函数；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）即恒成立，则，
且函数在上为增函数，故，
当时，，则在是增函数，成立，合乎题意；
当时，，由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以不合题意．
所以．
（3）由（2）得当时，，
所以要证，只要，即证：，
设，，则，
因为函数、在上均为增函数，故函数在是增函数，
因为，，所以存在，使．
故时，，则在上为减函数，
当时，，则在上为增函数，
因为，，
所以时，，故命题成立．
9．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）定义：，其中.
(1)化简求值：；
(2)求证：当时，；
(3)对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、排列数的计算
【分析】（1）由，带入计算，即可求解；
（2）设，求得，得到函数的单调性和最小值，进而证得；
（3）由（2）可得，得到，求得，和，进而求得的最小值.
【详解】（1）解：由题意知：，
所以.
（2）解：设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以当时，，当且仅当时取等号.
（3）解：由（2）可得，当且仅当时取等号，
所以当，时，，
可得，
所以，则，
当时，，
所以，当时，，时，，
时，
所以，所以的最小值为.
10．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，定义域为，
则，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由恒成立，即恒成立，
即恒成立，
令，则定义域为，
则，
令，恒成立，
在上单调递增，又，，
，使得，即，，
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，
且当时，，当时，，
由此可得图象如下图所示，
因直线恒过定点，且斜率为，
若恒成立，结合图象可知：必有，解得，
实数的取值范围为.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，且为其导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【分析】根据图象判断区间单调性及增长率变化情况，进而判断的符号及大小情况，即可得.
【详解】由图知，在上单调递减，且递减速度逐渐变慢，在上单调递增，且递增速度逐渐变快，
在上，则，在上，则，
所以.
故选：D
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，可得的大小.
【详解】，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以，所以，所以.
故选：B.
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较对数式的大小、由导数求函数的最值（不含参）、比较指数幂的大小
【分析】合理构造函数，利用导数判断单调性，进而求解最值，再逐个证明和，进而得到即可.
【详解】令，，定义域为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
则，即，
得到，故，即，
令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，即，
得到，即，则，
综上，得到，故B正确.
故选：B
4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，由此确定的大小，
设，利用导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
设，则，
所以在上单调递增，
则，则,
所以，即,
所以.
故选：C
5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．
C．函数只有1个零点
D．存在实数k，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【知识点】比较函数值的大小关系、求函数的零点、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】对于A：求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据函数单调性分析判断；对于C：直接解方程即可；对于D：分和两种情况，构建，利用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断.
【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，
因为，
当，则；当，则；
可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，且在上单调递增，
所以，故B正确；
对于选项C：令，解得，
所以函数只有1个零点，故C正确；
对于选项D：令，则，
若，，方程成立；
若，则，
构建，则，
当时，；当或时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，且，
当趋近于，趋近于0，
可得的图象如图所示：
当时，则与有3个交点，
即方程有3个根；
综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确；
故选：BCD.
二、填空题
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数的导数为，若，则不等式的解集为______.
【答案】
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】将不等式变形为，构造函数，判断其单调性即可解不等式.
【详解】不等式变形为，
设函数，
则，
因为，所以在上恒成立，则在上单调递增，
又，则，
所以不等式即为，
由在上单调递增，可得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】对于A，计算出的值，与比较大小即可；对于B．利用导数推出的最小值，由此判断得到即可；对于C．根据与1的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将其等价转化为，即可推出结论.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，当时，，则在上单调递增，
故，因，故，所以，故B正确；
对于C，因，则，故C错误；
对于D，令，则，则在上单调递增，
故，即，故，从而，
即，也即，故得.故D正确.
故选：ABD.
2．（24-25高二下·安徽·期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C，再根据时函数值的特征排除B.
【详解】由题意得，函数的定义域为，，
所以当或时，当或时，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，故排除A、C；
当时，，所以，故排除B.
故选：D.
3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象在点处的切线方程为
B．的单调递增区间为
C．在区间上的最大值为
D．若方程有两个不同的实数解，则
【答案】AD
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】利用导数研究的单调性和极值，并画出大致图象，再依次判断各项的正误.
【详解】由题设
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当时，恒成立，且时，极小值，无极大值，
所以函数大致图象如下，

由上分析，，，则点处的切线为，即，A对；
在上单调递减，B错；
在区间上的最小值为，C错；
要使方程有两个不同的实数解，只需，即，D对.
故选：AD
二、填空题
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为__________．（注：）
【答案】5
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用an与sn关系求通项或项、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】根据和条件得到，构造，，求导得到其单调性，从而确定在处取得最大值，最大值为.
【详解】因为，，
所以，故，
令，,则，
因为，所以，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中，
故在处取得最大值，最大值为.
故答案为：5
5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为____.
【答案】
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求出函数的导数，利用给定的单调区间及单调性列出恒成立的不等式求解.
【详解】函数，求导得，
由函数在上单调递减，得，，
而函数在上单调递增，则恒成立，因此，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
6．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知函数．
(1)当时，斜率为的直线与的图象相切，求该直线与轴交点的横坐标；
(2)若是上的单调函数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、已知切线（斜率）求参数
【分析】（1）求函数的定义域和导函数，设切点横坐标为，由条件结合导数的结合意义列方程求，由此可求切线方程，再求该切线与轴交点的横坐标；
（2）分是上的单调递增函数和是上的单调递减函数两种情况，结合导数与函数的单调性的关系转化条件，结合不等式恒成立的处理方法求结论.
【详解】（1）函数定义域为．
，，
设切点横坐标为，则，，
将代入上式，可得，即，
解得或（舍去），又，
从而切点为，所以切线方程为，
所以切线方程为，
令，得，
所以曲线的斜率为的切线与轴交点的横坐标为；
（2）由（1）得，，
当是上的单调递增函数时，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，，
令，则，则
函数对称轴为直线，在上单调递增，
，，
．
当是上的单调递减函数时，在上恒成立，
，，
由，得．
综上得，或．
7．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数（，，），其图象的对称中心为．
(1)当时，在上不单调，求实数的取值范围；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由奇偶性求参数
【分析】（1）求导后利用导数在上有变号零点，结合二次函数的性质分析可得；
（2）由函数的图象关于点中心对称可得为奇函数，从而有，代入计算后利用系数解方程组可得.
【详解】（1）因为，所以；
因为在上不单调，所以在上有变号零点；
所以，解得；或，无解．
或当，解得，此时导数的另一个根为，不符合题意；
当，解得，此时导数的另一个根为，不符合题意.
所以实数的取值范围是．
（2）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数，
从而有，即，
，
，
所以，解得，所以；
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专题02 导数在函数中的应用
5大高频考点概览
考点01 利用导数求解或证明不等式
考点02利用导数求解函数的最值与极值
考点03 利用导数求解函数恒成立的问题
考点04利用导数比较大小
考点05 利用导数判断或证明函数的单调性
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数，则不等式的解集为______.
三、解答题
3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的值；
(3)已知数列满足，，证明：．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值
B．当时，方程有两个不同的实根
C．
D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为
4．（24-25高二下·安徽滁州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是极大值点 B．是极大值点
C．是极小值点 D．是极小值点
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数有四个零点，，，（），则（ ）
A． B．
C． D．若，则
6．（24-25高二下·安徽·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是曲线的对称中心
D．
7．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）
A．有个极值点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．在上单调递减
8．（24-25高二下·安徽淮南·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的极小值
B．的极小值点为
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率等于0
二、填空题
9．（24-25高二下·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为__________.
三、解答题
10．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知.
(1)当时，求函数的极值；
(2)，若存在3个零点，求实数的取值范围.
11．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，函数有两个零点，求a的取值范围.
12．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求的极小值；
(2)若，证明：在上单调递减．
13．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数在处取得极小值.
(1)求a，b的值;
(2)当时，求的最大值.
14．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象关于原点对称.
(1)求的值；
(2)求函数的极值点.
15．（24-25高二下·安徽合肥·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数，
(1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围．
参考数据：．
16．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数和，若对，，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数的导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极大值点
B．是函数的极小值点
C．
D．
二、填空题
4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于. 根据以上思路求解：函数的最小值为________.
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知，（），则使不等式恒成立的正整数的最大值为______.
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意，恒成立，则的取值范围______.
三、解答题
7．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)求证：.
8．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．
(1)试判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，求证：．
9．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）定义：，其中.
(1)化简求值：；
(2)求证：当时，；
(3)对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
10．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，且为其导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．
C．函数只有1个零点
D．存在实数k，使得方程有4个实数解
二、填空题
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数的导数为，若，则不等式的解集为______.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·安徽·期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象在点处的切线方程为
B．的单调递增区间为
C．在区间上的最大值为
D．若方程有两个不同的实数解，则
二、填空题
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为__________．（注：）
5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为____.
三、解答题
6．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知函数．
(1)当时，斜率为的直线与的图象相切，求该直线与轴交点的横坐标；
(2)若是上的单调函数，求的取值范围．
7．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数（，，），其图象的对称中心为．
(1)当时，在上不单调，求实数的取值范围；
(2)求的值．
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