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专题03 平面向量大题综合（5考点32题）
5大高频考点概览
考点01数量积的坐标
考点02平面向量数量积的运算
考点03平面向量的线性运算
考点04 平面向量的基本定理及坐标表示
考点05 向量新定义
1．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知平面向量．
(1)若，求实数的值；
(2)若与的夹角为，求的值.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由向量垂直列方程即可得实数k的值；
（2）利用求出，再由同角基本关系式得到，最后三角恒等得到答案.
【详解】（1）；
，，；解得.
（2），
,
，;
;
，;
.
2．(24-25高一下·江苏扬州第一中学·期中)已知向量
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得；
（2）利用向量夹角余弦公式可求出答案；
（3）利用向量坐标的运算求出表示的坐标，再求其模长.
【详解】（1）因为向量，
所以.
（2）因为向量，
所以.
（3）因为向量，
所以，
所以.
3．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，已知，，，．
(1)的平分线与交于点，求点的坐标．
(2)若，为与的交点．
①若，求；
②求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②.
【分析】（1）由题干条件易得D点坐标，由角平分线定理可得，由此可写出点的坐标；
（2）①时，易得E点坐标，从而可写出的坐标，利用数量积可得；
②设，写出的坐标，得到关于的二次函数，由二次函数知识可知，在对称轴处取得最小值.
【详解】（1）由题意可得，所以，由角平分线定理可知，
所以，故点.
（2）①因为为中点，所以，，，
则，，，
所以；
②设，则，
故，此为关于的二次函数，
对称轴为，即当时，取得最小值．
4．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知向量．
(1)求向量在向量上的投影向量；
(2)求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的数量积、模的坐标表示，结合投影向量的定义求解即可；
（2）由题意可得，且与不共线，进而求解即可.
【详解】（1）由，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
（2）由，
则，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，解得且，
所以m的取值范围为．
5．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)如图，点，分别是矩形的边，上的两点，，.

(1)若，，，求的范围；
(2)若，记，求的最小值；
(3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可；
（2）建立平面直角坐标系后借助两角和差的正切公式与基本不等式计算即可;
（3）建立平面直角坐标系后，将最大转化为最大，借助计算即可.
【详解】（1）因为,
所以
则,
所以
,
因为，
所以.
（2）如图①所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
因为,
所以,，
则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为.
（3）如图②所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
由题意，,即,
假设存在点，使得最大，
由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，
则
当且仅当，即时，等号成立.
所以.

6．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心．
(1)求的值；
(2)点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围；
②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）方法一、根据题意，得到为等边三角形，得到为的中心，结合正三角形的性质，结合，即可求解；
方法二、以O为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量数量积的坐标运算公式，即可求解；
（2）①设，得到，令，即可求得；
方法二：当共线时，取得最小值，在和中，化简得到，结合，求得.
②先得到，化简得到的坐标，根据，得到，且，结合三角函数的基本关系式，化简得到，令，，得到方程，结合，求得，再由，求得，即可求解.
【详解】（1）解：方法一、已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形，
因为为的外心，即为的中心，，
又因为，可得，且，因为，所以，
所以.
方法二、以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
因为四边形为菱形，且，可得为等边三角形，
则，，，，
所以；
（2）解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则，，
所以，
令，则，
所以，则，
所以；
方法二：当共线时，取得最小值8，
在中，，
在中，，
所以，所以，
因为，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以；
②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
由，，
又由，
所以
，
因为，
所以，且，
所以，代入，
可得，
整理得，
显然，两边同时除以，可得，
令，，可得，
即，（☆）
所以，即，
解得，所以（即m）的最大值为．
此时，式子（☆）有两个相等的根，所以，
所以．
1．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知、是夹角为的两个单位向量，，．
(1)若、可以作为一组基底，求实数的取值范围；
(2)若、垂直，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）考虑、共线，结合平面向量共线的基本定理求出参数的值，即可得出当、不共线时的取值范围；
（2）由向量垂直可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可.
【详解】（1）假设、可以作为一组基底，则、不共线，
若、共线，则存在，使得，即，
所以，解得，
所以，当、不共线时，.
所以，实数的取值范围为.
（2）因为、是夹角为的两个单位向量，则，
因为，则，
即，所以，解得.
2．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)设的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足
(1)求角的大小；
(2)若，试求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由数量积的定义计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，所以，
又，所以，所以，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理，
即，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
即的最小值为.
3．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，.
(1)若，求及的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）利用向量的线性运算和数量积公式求解；
（2）利用余弦定理、正弦定理以及向量的运算求解.
【详解】（1）当时，，则为的中点，
所以，即
，
所以，
（2）在△中，由余弦定理得，即，
由正弦定理得，即，解得，
因为，所以，所以，
因为，所以，
，解得或（舍去），
故.
4．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)如图，在中，已知，是的中点，是上的点，且，相交于点.设
(1)若，求的面积;
(2)若求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可.
（2）表达出，求出,,,求出.
【详解】（1）因为，所以.
因为，，
所以，
又因为，
所以，，解得.
所以，，则，
所以.
（2）易知，
则，
，
，
所以.
5．(24-25高一下·江苏盐城五校联考·期中)定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为
(1)求函数的“伴随向量”的坐标；
(2)在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，.
（i）求周长的最大值；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用和角的正弦公式变形函数，再利用“伴随向量”的定义求出.
（2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合基本不等式及二次函数性质求出范围.
【详解】（1），
所以函数的“伴随向量”为.
（2）（ⅰ）由函数的“伴随向量”为，得，
由，得，，则，
在中，由余弦定理得：，
则，
，当且仅当时取等号，，
所以周长的最大值为.
（ⅱ）由（ⅰ），
，而，
即，当且仅当时取等号，于是，
令，则
所以的取值范围为.
6．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点．
试用以上知识解决下面问题：
在中，角所对的边分别是，若，．
(1)求；
(2)设点为的费马点，
①若，求；
②设，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用正弦定理和三角变换公式化简后可得，故可求；
（2）①由向量的数量积的定义结合面积公式可求，故可求；②由正弦定理结合正切函数的性质可求比值的范围.
【详解】（1）在中，
由正弦定理得：
因为在中，，，从而且，所以.
（2）①设，，
则，则
由得：，则
在中，由余弦定理得：
代入得：，则，或，，则
②根据题意得：因为，所以的三个内角均小于，
从而费马点P在的内部，设，
则，，，
在和中，分别由正弦定理得：，
两式相除得：
因为，所以，
则的取值范围是
7．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的内角的对边分别为且满足______．
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线长为，，求的面积.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)所选条件见解析，；
(2).
【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角恒等变换化简条件，结合三角形的内角性质求角的大小；
（2）设BC的中点为D，应用向量数量积的运算律及定义得求，最后应用三角形面积公式求面积.
【详解】（1）①在中，由，得，
由正弦定理得，则，
结合已知条件得，
因为，，或（舍），解得.
②由题意，即，
由正弦定理得，
又，所以，则，所以，
③在中，，则，
所以，
即，又，，
所以，所以
（2）设BC的中点为D，根据向量的平行四边形法则可知，

所以，即，
因为，，，所以，解得（负值舍），
所以.
8．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围；
(3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理转化为的三角形函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，最后由正切函数的性质计算可得；
（3）根据数量积的运算律推导出为的外心，则，，再转化为关于的三角函数，即可得解.
【详解】（1）因为，即，
整理可得，即，
在中，，故，
又为锐角三角形，故.
（2）因为，可得，
由正弦定理，，即，
则，
又，故，则；
由为锐角三角形可得：，可得，
所以，则，则.
（3）因为，
所以，
所以，，即，
所以为的外心，
所以，，
所以
,
由（2）同理可得，则，
所以，
所以.
9．(24-25高一下·江苏徐州·期中)设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中
①若，求；
②若且与的夹角为，求；
(2)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值.
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①利用数量积的定义及运算律求出；②由表示出和及，再利用夹角公式建立方程求解.
（2）设出点的坐标，用表示，利用数量积的运算律，结合正余弦定理及三角恒等变换求出最大值.
【详解】（1）①由，得，
则，
所以；
②由，即，
得，
，
，
由与的夹角为，得，得，而，
所以.
（2）依题意，设，，
，在中，由余弦定理得，
由为中点，得，
由为中点，得，
则
，
在中，由正弦定理得，
设，则，
，其中锐角由确定，
由，得，则当时，，
所以的最大值为.
10．(24-25高一下·江苏苏州苏州工业园区星海实验高级中学·期中)法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，的内角的对边分别为，，以为边向外作三个等边三角形，其中心分别为.
(1)求角；
(2)若，且的周长为9，求；
(3)若的面积为，求的角平分线的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，即可求得的值；
（2）由（1）知，求得，在中，由余弦定理得，再在中，由余弦定理得到，联立求得，结合向量的数量积的运算公式，即可求得的值；
（3）在等边中，求得，结合三角形的面积公式，化简得到，进而得到，由，利用基本不等式，求得，得到，设，得到，令，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：在中，因为，
由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，可得，所以，即，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，由等边的周长为9，可得，
又由，，，
在中，由余弦定理，可得，
则，即，
在中，由余弦定理得，即，
联立解得，
所以
.
（3）解：由等边的面积为，可得，
又由（2）知：，即，
由，可得，
则，
因为，则，
又因为，即，解得，
所以，
设，则，则
令函数，而函数与在上均单调递增，
则函数在上单调递增，所以，则
所以的最大值是.
1．(24-25高一下·江苏南京·期中)已知两个非零向量与不共线.
(1)若，求证：三点共线；
(2)试确定实数，使和共线.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论；
（2）利用共线定理构造方程组即可解得.
【详解】（1）由可得；
显然，即共线，
又因为它们有公共点，
所以可得三点共线；
（2）若和共线，且向量与不共线，
则存在实数满足，因此，
解得；
即存在，使和共线.
2．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程来求得.
【详解】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
3．(24-25高一下·江苏苏州·期中)如图，在等腰梯形中，是边的中点.
(1)试用表示；
(2)求的值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用向量的加、减法法则即可求解；
（2）利用向量的线性运算，结合向量的数量积运算即可求解.
【详解】（1）
由向量加法和减法可得：，
，
（2）因为，
所以，
又因为在等腰梯形中，
所以
即.
4．(24-25高一下·江苏扬州·期中)已知，，与的夹角.
(1)求；
(2)若与共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等式及向量的运算律求解即可；
（2）根据共线向量定理列等式求解即可.
【详解】（1），
.
（2）与共线，
∴存在唯一实数，使得
即，
又与不共线，∴，
解得.
5．(24-25高一下·江苏常州·期中)如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设.

(1)用表示;
(2)求.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据平面向量的加减的三角形法则和线性运算可得.
（2）利用数量积的运算律转化即可.
【详解】（1），
.
（2）
.
6．(24-25高一下·江苏宿迁·期中)如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点．
(1)求的大小；
(2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，，根据与的夹角和与的夹角相同，并设为，，结合题意、平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式即可求解，进而得到的大小；
（2）如图，过点作于，先求得，的值，则以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，再根据平面向量的夹角公式即可求解；
（3）结合（2），设，，得到点的坐标，从而得到，，进而得到表示为关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到的取值范围．
【详解】（1）连接，，
由，，，
则，，
所以与的夹角和与的夹角相同，并设为，，
则
，
又，即，得，
又，则，即．
（2）如图，过点作于，
则，，
故以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，
又F为线段BC的中点，则，
所以，，
所以．
（3）结合（2），得，
设，，则，
所以，，
所以，
又，则当时，；当时，，
所以的取值范围为．
7．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P．
(1)求CM的长度；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值，并求此时的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为，的余弦值为
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量的数量积的运算律求解即可；
（2）根据平面向量共线的推论，可得，进而根据平面向量的数量积的运算律求解即可；
（3）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律，可得，即可得到时，取得最小值，进而得到，，进而根据平面向量的数量积的运算律及夹角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）因为，则，
则，
则，即CM的长度为.
（2）当时，，
由于三点共线，则存在实数，
使得，
由于三点共线，则存在实数，
使得，
所以，解得，
则，
则
.
（3）由，，，
则，，
所以
，
则时，取得最小值.
此时，，
则，，
所以
，
，
由（1）知，，
所以.
1．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，已知，，和的夹角为，且．
(1)若为的中点，求．
(2)已知，若，求实数的值．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）首先可得，再由数量积的运算律及定义计算可得；
（2）用、表示，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为，，和的夹角为，且，
所以
因为为的中点，所以，
所以；
（2）因为
，
所以，
即有，
代入已知条件有，解得．
2．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算以及共线向量的坐标表示求解；
（2）分不同的相等边的情况进行解答，借助等腰三角形三线合一和平面向量垂直的坐标表示求解；
（3）根据平面向量垂直的坐标表示确定实数k的值，再求夹角坐标公式求解.
【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
又，，则有，所以；
（2）①若，取AB中点D，则，
又，，则AB中点，
而，，得：，
②若，取BC中点E，则，
又，，，
由，得或3，
由（1）得：时，A，B，C三点共线，舍去．所以，
③若，取AC中点F，则，
又，，，
由，得，方程无解，
综上，或5；
（3）设，因为四边形ABCD为矩形，所以，，
又，，，则，，，
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为.
3．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在中，，设.
(1)用分别表示；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的线性运算可求得；
（2）利用向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）由，所以，
所以，
.
（2）因为，所以，
所以
.
4．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，内角所对的边分别为，已知，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，结合正弦定理及和角的正弦求解.
（2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形周长.
【详解】（1）由，，且，得，
在中，由正弦定理得，
整理得，而，则，又，
所以.
（2）由的面积为，得，即，
由余弦定理得，解得，
所以的周长.
5．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，.
(1)求线段的长度，
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可；
（2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解.
【详解】（1）因为，
，
，
，，，
所以，所以.
（2）设，因为，
所以，，
，
所以，所以.
6．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点.
(1)若点E满足，且，求的值；
(2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）根据图形用表示出，即可得参数值；
（2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围.
【详解】（1）由，
又，即，故；
（2）如下图，令且，
，
，
所以，
所以.
1．(24-25高一下·江苏徐州·期中)定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
(3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可；
（2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得；
（3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得.
【详解】（1）因，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，
可得③，
于是，
解得.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数m的取值范围为.
2．(24-25高一下·江苏盐城·期中)如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；
（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；
（3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域.
【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以,，
所以.
（2）由（1）知，
所以
，
即.
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可.
3．(24-25高一下·江苏淮安·期中)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.

(1)若点分别是线段的中点，求；
(2)证明：；
(3)已知，点为线段的中点，，，求.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件，可求得，，即可求出结果；
（2）根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果；
（3）方法一：根据条件得到，再利用几何关系得到，设，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：设，根据条件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解.
【详解】（1）由已知，，所以.
（2）在，，，中，
，同理，
所以，
又在，，，中，
，同理，
所以，
又，，，，
所以，所以.
（3）方法一：
由，可得，即，所以，
又点B为线段AD的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以.
设，，由，得，
即，解得，…①
在中，由正弦定理可得，得，…②
在中，由正弦定理可得，得，…③
又，
得，即，…④
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以.
方法二：
因为，所以，设，则，
又B为线段AD的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，
所以，，
由，得，
所以，设，则，
由，互补得
，即，
解得，所以，，
所以.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
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专题03 平面向量大题综合（5考点32题）
5大高频考点概览
考点01数量积的坐标
考点02平面向量数量积的运算
考点03平面向量的线性运算
考点04 平面向量的基本定理及坐标表示
考点05 向量新定义
1．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知平面向量．
(1)若，求实数的值；
(2)若与的夹角为，求的值.
2．(24-25高一下·江苏扬州第一中学·期中)已知向量
(1)求；
(2)求；
(3)求.
3．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，已知，，，．
(1)的平分线与交于点，求点的坐标．
(2)若，为与的交点．
①若，求；
②求的最小值．
4．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知向量．
(1)求向量在向量上的投影向量；
(2)求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
5．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)如图，点，分别是矩形的边，上的两点，，.

(1)若，，，求的范围；
(2)若，记，求的最小值；
(3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.
6．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心．
(1)求的值；
(2)点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围；
②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．
1．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知、是夹角为的两个单位向量，，．
(1)若、可以作为一组基底，求实数的取值范围；
(2)若、垂直，求实数的值．
2．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)设的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足
(1)求角的大小；
(2)若，试求的最小值.
3．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，.
(1)若，求及的值；
(2)若，求的值.
4．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)如图，在中，已知，是的中点，是上的点，且，相交于点.设
(1)若，求的面积;
(2)若求的值.
5．(24-25高一下·江苏盐城五校联考·期中)定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为
(1)求函数的“伴随向量”的坐标；
(2)在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，.
（i）求周长的最大值；
（ii）求的取值范围.
6．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点．
试用以上知识解决下面问题：
在中，角所对的边分别是，若，．
(1)求；
(2)设点为的费马点，
①若，求；
②设，，求的取值范围．
7．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的内角的对边分别为且满足______．
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线长为，，求的面积.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
8．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围；
(3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围.
9．(24-25高一下·江苏徐州·期中)设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中
①若，求；
②若且与的夹角为，求；
(2)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值.
10．(24-25高一下·江苏苏州苏州工业园区星海实验高级中学·期中)法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，的内角的对边分别为，，以为边向外作三个等边三角形，其中心分别为.
(1)求角；
(2)若，且的周长为9，求；
(3)若的面积为，求的角平分线的最大值.
1．(24-25高一下·江苏南京·期中)已知两个非零向量与不共线.
(1)若，求证：三点共线；
(2)试确定实数，使和共线.
2．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
3．(24-25高一下·江苏苏州·期中)如图，在等腰梯形中，是边的中点.
(1)试用表示；
(2)求的值.
4．(24-25高一下·江苏扬州·期中)已知，，与的夹角.
(1)求；
(2)若与共线，求的值.
5．(24-25高一下·江苏常州·期中)如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设.

(1)用表示;
(2)求.
6．(24-25高一下·江苏宿迁·期中)如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点．
(1)求的大小；
(2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求；
(3)求的取值范围．
7．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P．
(1)求CM的长度；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值，并求此时的余弦值．
1．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，已知，，和的夹角为，且．
(1)若为的中点，求．
(2)已知，若，求实数的值．
2．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
3．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在中，，设.
(1)用分别表示；
(2)若，求.
4．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，内角所对的边分别为，已知，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长
5．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，.
(1)求线段的长度，
(2)求的值.
6．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点.
(1)若点E满足，且，求的值；
(2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围.
1．(24-25高一下·江苏徐州·期中)定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
(3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
2．(24-25高一下·江苏盐城·期中)如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
3．(24-25高一下·江苏淮安·期中)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.

(1)若点分别是线段的中点，求；
(2)证明：；
(3)已知，点为线段的中点，，，求.
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