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专题03随机变量及其分布
8大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02 全概率公式
考点03 离散型随机变量的均值
考点04 离散型随机变量的方差
考点05 离散型随机变量及其分布解答题
考点06 二项分布
考点07 超几何分布
考点08 正态分布
1．(24-25高二下·天津第九中学·期中)，则（ ）
A．0.1 B．0.6 C．0.7 D．0.4
【答案】D
【分析】利用条件概率公式计算可得结果.
【详解】依题意代入计算可得.
故选：D
2．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率公式直接计算可得结果.
【详解】易知，；
所以.
故选：C
3．(24-25高二下·天津河东区·期中)为贯彻落实《健康中国行动(2019——2030年)》文件精神，某校组织学生参加大课间体育活动，共安排了5个项目，分别为跑步、体操、乒乓球、街舞、踢毽子，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“乒乓球”，则他还参加“踢毽子”项目的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设相应事件，结合组合数求，再根据条件概率公式运算求解.
【详解】设甲同学参加的“乒乓球”项目为事件，甲同学参加的“踢毽子”项目为事件，
则，
所以.
故选：B.
4．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知某班级中有男生32人，女生28人，男生中参加运动会的有24人，女生中参加运动会的有 12人，现从这个班级中随机抽出一名学生，若抽到的是女生，则所抽到的学生参加运动会的概率为_________．
【答案】
【分析】由条件概率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设事件表示抽到女生，事件表示抽到参加运动会的学生，
则，，
则.
故答案为：
5．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________.
【答案】 / /
【分析】记事件表示“第1次抽到选择题”，事件表示“第2次抽到选择题”，分别求出，，根据条件概率公式即可求出结果.
【详解】记事件表示“第1次抽到填空题”，事件表示“第2次抽到选择题”，
则，，
所以在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率，
第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为.
故答案为：；
1．(24-25高二下·天津南开区美达菲津英中学·期中)一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用全概率公式进行求解即可.
【详解】设事件表示第一次抽取的是黑球，，，
事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以，
所以
.
故选：C.
2．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)某公司老 中 青三类员工的人数和男性比例如表所示：
老员工 中年员工 青年员工
人数比例
男性人数比例
在该公司任选一名员工，该员工为男性的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】利用全概率公式可得员工为男性的概率.
故选：C.
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为_____
【答案】 /
【分析】设甲盒子中球总数为，根据古典概型得出各个盒子取到一个黑球的概率，进而利用独立事件乘法公式求解即可得出全是黑球的概率；根据全概率公式，计算求解即可得出白球的概率.
【详解】设甲盒子中球总数为，则乙盒子中球总数为，丙盒子中球总数为
则从三个盒子中各随机取一个球，
该球为甲盒子中的概率为，
该球为乙盒子中的概率为，
该球为丙盒子中的概率为.
甲盒子取到黑球的概率，
乙盒子取到黑球的概率，
丙盒子取到黑球的概率，
显然相互独立，
所以从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为.
由全概率公式可知，将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为 .
故答案为：；.
4．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则_________．
【答案】/0.48
【分析】根据题给条件分析具体情况列条件概率和全概率公式计算即可得解.
【详解】记学生先从甲箱中取出的1个球恰有个红球放入乙箱为事件，
.
学生先从甲箱中随机取出1个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时.
学生先从甲箱中随机取出1个红球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时，
则.
故答案为：.
5．(24-25高二下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为，，.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是____________.
【答案】/
【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率.
【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且，
，，，
设任取一件产品，取到的是次品为事件，
则
，
故答案为：.
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)已知随机变量的分布列：
X -1 0 1
则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质求出的值，进而根据期望公式求解得出答案.
【详解】根据分布列的性质可得，解得，
所以，.
故选：B.
2．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ）
0 1 2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分布列性质以及期望值性质计算可得结果.
【详解】易知，解得；
因此.
故选：D
3．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二项分布以及正态分布的定义可判断A、B项；根据二项分布分布列公式计算得出，可判断C项；根据正态分布的对称性可判断D项.
【详解】由二项分布和正态分布可知，
，，，.
故A正确，B错误；
对于C项，.故C错误；
对于D项，根据正态分布可知，，
所以，，，
所以有.故D错误.
故选：A.
4．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层载有4位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这4位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量的期望是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】由题意可知，再根据二项分布的期望公式求解即可.
【详解】由题意可知，
所以.
故选：B.
5．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知随机变量，若，则__________. _________.
【答案】
【分析】根据二项分布的期望公式求出，再由方差公式计算可得.
【详解】因为且，所以，解得，
则，所以.
故答案为：；
1．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望与方差公式表示出，，再由及已知条件得到方程，解得即可.
【详解】因为，所以，，
又，
因为，所以，解得.
故选：D
2．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二项分布均值公式求得可判断A，由方差公式可判断B，由二项分布的概率公式可判断C，由均值性质可判断D.
【详解】对于A，，解得，故A不符合题意；
对于B，，故B不符合题意；
对于C，，故C符合题意；
对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意.
故选：C.
3．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)随机变量的分布列如表：
1 2
若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，即可求出、，再根据方差公式计算可得.
【详解】依题意可得，解得，
所以.
故选：A
4．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知离散型随机变量服从二项分布，则_____________，________.
【答案】 2 6
【分析】利用二项分布期望值和方差公式计算，再结合期望值和方差性质可得结果.
【详解】由可得，；
所以，.
故答案为：2；6
5．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)若随机变量，则__________，__________.
【答案】 3 18.9
【分析】先根据二项分布的性质求出和，再根据期望和方差的性质可求得结果.
【详解】因为，所以，，
所以，.
故答案为：；.
1．(24-25高二下·天津四合庄中学·期中)甲 乙两同学进行一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，即若一人先胜三局，则该人获胜比赛结束.假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲以的局分获胜的概率；
(2)设表示比赛结束时进行的局数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；
（2）由题意得的所有可能取值为3，4，5，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比赛局数的分布列及数学期望.
【详解】（1）若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，
概率为：．
（2）由题意得的所有可能取值为3，4，5，则
打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则，
打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜，
则，
打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以，
．
所以的分布列为
3 4 5
所以的数学期望．
2．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.
(1)若从袋中任取3球，
（i）其中有白球的概率；
（ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差
(2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列
【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析，期望为2，方差为
(2)分布列见解析
【分析】（1）（i）先求出从袋中任取3球，共有情况数，并得到有白球的情况数，求出概率；
（ii）X的可能取值为1,2,3，并得到相应的概率，得到分布列，利用期望和方差公式求出答案；
（2）的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列.
【详解】（1）（i）从袋中任取3球，共有种情况，
其中全为黑球的情况为种情况，故有白球的情况为种，
故有白球的概率为；
（ii）X的可能取值为1,2,3，
，即任取3球，有1个黑球，2个白球，故，
，即任取3球，有2个黑球，1个白球，故，
，即任取3球，有3个黑球，0个白球，故，
所以X的分布列如下：
1 2 3
期望为，
方差为.
（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的概率为，
取到黑球的个数的可能取值为0,1,2，
则，，
，
故的分布列为
0 1 2
3．(24-25高二下·天津第九中学·期中)某小区有6男4女共10名志愿者，准备从中选择5名志愿者参与志愿活动.
(1)求恰好有2名男志愿者的概率；
(2)已知选取的志愿者是3男2女，计划从中选取两人先去从事活动.
①选取两人中至少一名女志愿者的概率；
②选取女志愿者人数记为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)①，②分布列见解析，期望.
【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算即可；
（2）①利用对立事件公式求出全是男志愿者的概率，可求出至少一名女志愿者的概率；
②根据的所有可能取值并求出对应概率可得出分布列，由期望公式计算可求出其期望值.
【详解】（1）记“恰好有2名男志愿者”为事件，
则可得；
（2）①易知从5人中选取两人共有种选法，
其中两人全是男志愿者的情况共有种，
因此可知选取两人中至少一名女志愿者的概率为；
②易知随机变量的所有可能取值为，
则，，；
所以的分布列为
0 1 2
期望.
4．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答．
(1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
(2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率；
(3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由古典概型即可求解；
（2）判断题干所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解；
（3）列出所有符合的组合情况，计算的分布列与均值即可.
【详解】（1）若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，即概率为.
（2）记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共人，女生总共人.
，，
由条件概率可得.
（3）因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、“1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”.
抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为.
；
.
则的分布列为
则均值.
5．(24-25高二下·天津红桥区·期中)某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）设相应事件，可知该项技术量化得分不低于8分为，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）可知的所有可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望.
【详解】（1）设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件，
则，
可知该项技术量化得分不低于8分为，
所以.
（2）由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3.
则，
，
，
，
所以随机变量的分布列
0 1 2 3
随机变量的期望．
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）需要先确定甲得分的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望；
（2）根据独立重复试验的概率公式计算取不同值的概率，得到分布列和数学期望；
（3）分析甲最终获胜的所有情况，分别计算其概率，再求和得到甲最终获胜的概率.
【详解】（1）在一局比赛中，甲得分的可能取值为，，10.
表示甲答错且乙答对的情况.根据独立事件的概率乘法公式，可得.
包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错.
甲、乙都答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，
根据互斥事件的概率加法公式，可得.
表示甲答对且乙答错的情况.根据独立事件概率乘法公式，可得.
的分布列为：
10
则的数学期望为：.
（2）因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以.
则
，
.
的分布列为：
0 1 2 3 4
则的数学期望为：.
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
① 三局都得10分，其概率为
② 两局得10分，一局得分，其概率为
③ 两局得10分，一局得分，其概率为
④ 一局得10分，两局得分，其概率为.
综上可得，甲最终获胜的概率为.
2．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．
(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）求出的可能值，由（1）结合二项分布的概率求出分布列及期望.
【详解】（1）设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A，
则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，
所以.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
由（1）知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则，
因此，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
期望.
3．(23-24高二下·天津崇化中学·期中)甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值
(2)求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(3)求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）依题意甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，则，利用二项分布的概率公式得到分布列，从而求出期望；
（2）分乙前局全胜和前局只有一局不胜两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可；
（3）依题意局中前局甲只赢局且至少平一局，第六局甲赢，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可．
【详解】（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，
则，的可能取值为，，，，
所以，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以（或）；
（2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为，
因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛，
则分两种情况：乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜，
所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（3）由题知比赛局结束，且甲赢得比赛，
应要满足：前局甲只赢局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢，
又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为，
故所求概率为．
4．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现.
(1)求出10个样品中有几个不合格产品；
(2)若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列；
(3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？
【答案】(1)10个样品中有3个不合格产品
(2)
0 1 2 3
(3)元
【分析】（1）利用，可以求出不合格品概率，即可求出结果；
（2）利用超几何分布求出分布列；
（3）由样本频率估计总体，利用二项分布求出200件产品中不合格品的个数，即可求出预计维修费用.
【详解】（1）∵，且视为不合格，
∴∴，即10个样品中有3个不合格产品.
（2）由（1）可知，10件样品中有3件不合格产品，有7件合格产品；
∴的可能值为0，1，2，3.∴，
，
，
，
∴分布列为:
0 1 2 3
（3）由（1）可知，不合格品的概率为，
∴不合格品的个数，
∴200块电池中，不合格品的个数为个，
所以维修费用元.
5．(22-23高二下·天津第四十三中学·期中)袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率是.现从两个袋子中有放回的摸球.
(1)从中摸球，每次摸出一个，共摸5次.求：
（ⅰ）恰好有3次摸到红球的概率；
（ⅱ）设摸得红球的次数为随机变量，求的期望；
(2)从中摸出一个球，若是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，若从袋子中摸出的是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为.求的分布列以及随机变量的期望.
【答案】(1)，；
(2)分布列见解析，数学期望
【分析】（1）（ⅰ）根据独立重复试验概率公式求解即可；
（ⅱ）由题意随机变量服从二项分布，求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可；
（2）分别求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可.
【详解】（1）（ⅰ）由题意，从袋中有放回地摸球，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得，5次试验中恰好有3次摸到红球的概率为；
（ⅱ）由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3，4，5.
，，
，，
，.
的分布列是：
0 1 2 3 4 5
.
（2）由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3.
，，
，
.
的分布列为
0 1 2 3
.
1．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；
(2)若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可；
（2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望.
【详解】（1）从10所高校中，任取4所，共有种取法，
恰有2所985高校的取法为：，
该考生恰好选到2所985高校的概率为；
（2）设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
则
0 1 2 3
.
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
【答案】(1)答案见解析
(2)甲面试通过的可能性大
【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可；
（2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论.
【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，
则可取，可取，
则，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数为的分布列为：
；
（2）由（1）得，
，
因为，
所以甲得成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大.
3．(23-24高二下·天津崇化中学·期中)大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.
(1)若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为，求的分布列和期望
(2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为？
【答案】(1)分布列见详解，
(2)
【分析】（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；
（2）记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B，求，，结合条件概率公式运算求解.
【详解】（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，则有：
，
所以的分布列为
1 2 3
的期望为.
（2）有放回的抽取1次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为，
记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B，
则，，
可得，
所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为.
4．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；
(2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率；
（2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望.
【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法，
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
随机变量的数学期望为 .
1．(20-21高二下·天津河西区·期中)设随机变量，，则（ ）
A．0.65 B．0.7 C．0.35 D．0.25
【答案】C
【分析】根据正态分布曲线的对称性计算出的值，然后根据求解出结果.
【详解】解：∵随机变量，，
∴，，
∴.
故选：C.
2．(24-25高二下·天津第九中学·期中)设随机变量，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性计算可得，即可得B正确.
【详解】根据可知正态曲线关于对称，
易知，
因此可得.
故选：B
3．(24-25高二下·天津第二十五中学·期中)已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得的值.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
则.
故选：B.
4．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为；
②已知随机变量服从正态分布且，则；
③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则；
④若是随机变量，则．
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②
【答案】A
【分析】根据超几何分布概率计算求解判断①，根据正态分布计算概率判断②，应用两点分布计算方差判断③，应用期望及方差性质判断④.
【详解】①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为，①错误；
②已知随机变量服从正态分布且，
则，②正确；
③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，可取，
，所以，
所以，则③正确；
④若是随机变量，则，④错误．
故选：A.
5．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为_________．
【答案】
【分析】利用正态分布的对称性计算即可得出结果.
【详解】易知正态分布关于90对称，
所以，
可得.
故答案为：.
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专题03随机变量及其分布
8大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02 全概率公式
考点03 离散型随机变量的均值
考点04 离散型随机变量的方差
考点05 离散型随机变量及其分布解答题
考点06 二项分布
考点07 超几何分布
考点08 正态分布
1．(24-25高二下·天津第九中学·期中)，则（ ）
A．0.1 B．0.6 C．0.7 D．0.4
2．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津河东区·期中)为贯彻落实《健康中国行动(2019——2030年)》文件精神，某校组织学生参加大课间体育活动，共安排了5个项目，分别为跑步、体操、乒乓球、街舞、踢毽子，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“乒乓球”，则他还参加“踢毽子”项目的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知某班级中有男生32人，女生28人，男生中参加运动会的有24人，女生中参加运动会的有 12人，现从这个班级中随机抽出一名学生，若抽到的是女生，则所抽到的学生参加运动会的概率为_________．
5．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________.
1．(24-25高二下·天津南开区美达菲津英中学·期中)一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)某公司老 中 青三类员工的人数和男性比例如表所示：
老员工 中年员工 青年员工
人数比例
男性人数比例
在该公司任选一名员工，该员工为男性的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为_____
4．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则_________．
5．(24-25高二下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为，，.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是____________.
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)已知随机变量的分布列：
X -1 0 1
则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ）
0 1 2
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·天津耀华中学·期中)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层载有4位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这4位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量的期望是（ ）
A． B． C．2 D．3
5．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知随机变量，若，则__________. _________.
1．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)随机变量的分布列如表：
1 2
若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．(24-25高二下·天津第九中学·期中)已知离散型随机变量服从二项分布，则_____________，________.
5．(24-25高二下·天津实验中学滨海学校·期中)若随机变量，则__________，__________.
1．(24-25高二下·天津四合庄中学·期中)甲 乙两同学进行一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，即若一人先胜三局，则该人获胜比赛结束.假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲以的局分获胜的概率；
(2)设表示比赛结束时进行的局数，求的分布列及数学期望.
3 4 5
2．(24-25高二下·天津滨海新区田家炳中学·期中)袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.
(1)若从袋中任取3球，
（i）其中有白球的概率；
（ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差
(2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列
1 2 3
0 1 2
3．(24-25高二下·天津第九中学·期中)某小区有6男4女共10名志愿者，准备从中选择5名志愿者参与志愿活动.
(1)求恰好有2名男志愿者的概率；
(2)已知选取的志愿者是3男2女，计划从中选取两人先去从事活动.
①选取两人中至少一名女志愿者的概率；
②选取女志愿者人数记为，求的分布列及数学期望.
0 1 2
4．(24-25高二下·天津大学附属中学·期中)某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答．
(1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
(2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率；
(3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值．
5．(24-25高二下·天津红桥区·期中)某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
0 1 2 3
1．(24-25高二下·天津滨海新区大港油田实验中学·)甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
10
0 1 2 3 4
2．(24-25高二下·天津第一中学滨海学校·期中)甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．
(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望．
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
3．(23-24高二下·天津崇化中学·期中)甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值
(2)求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(3)求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率
0 1 2 3
4．(24-25高二下·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现.
(1)求出10个样品中有几个不合格产品；
(2)若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列；
(3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？
0 1 2 3
0 1 2 3
5．(22-23高二下·天津第四十三中学·期中)袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率是.现从两个袋子中有放回的摸球.
(1)从中摸球，每次摸出一个，共摸5次.求：
（ⅰ）恰好有3次摸到红球的概率；
（ⅱ）设摸得红球的次数为随机变量，求的期望；
(2)从中摸出一个球，若是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，若从袋子中摸出的是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为.求的分布列以及随机变量的期望.
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3
1．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；
(2)若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
0 1 2 3
2．(24-25高二下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
3．(23-24高二下·天津崇化中学·期中)大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.
(1)若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为，求的分布列和期望
(2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为？
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4．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；
(2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望
0 1 2 3 4
1．(20-21高二下·天津河西区·期中)设随机变量，，则（ ）
A．0.65 B．0.7 C．0.35 D．0.25
2．(24-25高二下·天津第九中学·期中)设随机变量，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
3．(24-25高二下·天津第二十五中学·期中)已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·天津第二十中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为；
②已知随机变量服从正态分布且，则；
③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则；
④若是随机变量，则．
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②
5．(24-25高二下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为_________．
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