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专题03 数列概念，等差数列，等比数列
6大高频考点概览
考点01数列的概念与简单表示法
考点02等差数列
考点03等差数列求和
考点04等比数列
考点05等比数列求和
考点06数列的应用
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列，3，，，…，则是该数列的（ ）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
【答案】C
【分析】根据数列的规律，写出通项公式求解.
【详解】因为，，，，…，
所以，令，解得.
故选：C.
2．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知是递增数列，则的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】举反例可判断A，B；将化简为，判断增减性，判断C；判断的增减性，判断D.
【详解】对于A，，，A不合题意；
对于B，，则，
即，B不合题意；
对于C，，当n增大时，减小，则增大，
符合题意，C正确；
对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误，
故选：C
3．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】判断数列的周期后可求.
【详解】由题可得，
猜测是周期为3的数列，下证周期为3.
因为，故,
故是周期数列且周期为3.
故.
故选：A.
4．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)数列满足，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得，得到数列是以3项为周期的周期数列，进而求得，得到答案.
【详解】由数列满足，且，
可得，，，
，，
所以数列是以3项为周期的周期数列，则.
故选：C.
5．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列的首项为，且满足，则此数列的第4项是（ ）
A．4 B．12 C．24 D．32
【答案】D
【解析】由，依次求出，从而可得
【详解】解：因为，，
所以，
，
，
故选：D
6．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件说明，再假设数列的第项最小，，，列不等式求其解，可得结论.
【详解】因为，故，，所以，
假设数列的第项最小，，，
则，故，
所以，
所以，即数列的前项中最小项是，
故选：D.
二、多选题
7．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)下列命题正确的是（ ）
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强.
B．已知函数在上可导，且，则.
C．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
D．数列的通项为，若为单调递增数列，则
【答案】BC
【分析】根据题意，由线性相关系数的定义分析A，由导数的定义分析B，由等比数列的定义分析C，由数列的单调性分析D，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关程度越强，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，数列中，当时，满足，但不是等比数列，
反之，若是公比为2的等比数列，必有，
故“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，C正确；
对于D，若为单调递增数列，则，
变形可得：，
又由，则，D错误．
故选：BC．
8．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ）
A．数列为单调递减数列 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据数列通项公式判断单调性，写出相关项依次判断其它各项正误.
【详解】因为，
所以，
所以为递减数列，A对；
易知，则，B错；
由，故，C错；
由，故，D对.
故选：AD
三、填空题
9．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)数列的最大项为第项，则__________.
【答案】5或6.
【分析】由题意列出不等式即可求解.
【详解】∵数列的最大项为第项，
∴，即，即，
由于是正整数，所以或.
故答案为：5或6.
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式得到关于的方程，解方程即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，得，
所以，即，
又，解得.
故选：D.
2．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或1
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
又，所以，解得，
所以.
故选：A.
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)设为等差数列，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式，以及等差数列的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
可得，
，
若，则，
所以，所以充分性成立；
反之：当时，若，可得，
所以；
当时，此时数列为常数列，若，则与不一定相等，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（ ）
A．15 B．－15 C．－13 D．13
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，
所以有，或舍去，
，
故选：C
5．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）在等差数列中，，则（ ）
A．45 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质，即可求解.
【详解】因为，所以，.
.
故选：C.
6．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设数列满足，，，，则满足的的最大值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据已知条件可得，，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为2，公差为1的等差数列，分别求得为奇数时，；为偶数时，，代入不等式求出符合条件的的值即可得的最大值.
【详解】数列满足,,，则，
，即，①
，，②
当是奇数时, 由①得，，
由，得，解不等式，得，
又,所以此时的最大值是9；
当是偶数时, 由②得，，
由，得，解不等式，得，
而,所以此时的最大值是12.
综上可知, 的最大值是12.
故选：C.
二、填空题
7．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)在等差数列中，若，，则公差d=______．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质结合基本量运算求解.
【详解】由等差数列的性质，可得，
则，解得，
又，所以，得.
故答案为：.
8．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中）已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，______．
【答案】
【分析】根据题意得到，计算可得，进而得出的公差的范围，得到是递增数列，若存在，使得，则当时，取得最小值.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
则，，得，
则是递增数列，且，，
因此当时，，当时，，
因此最小，故取得最小值时，.
故答案为：
9．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)已知数列中，，，数列满足：，则______；若、分别是数列的最大项与最小项，则______．
【答案】； 8
【分析】由递推公式得到，可解决第一空，进而得到，结合其单调性可解决第二空.
【详解】是定值，
所以数列是等差数列，
则，
所以；
又，则，，
当时递减，都大于2；当时递增，都小于2，
数列的最大项，最小项，所以．
故答案为：，8
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期中）等差数列中是其前项和，，则（ ）
A．27 B．36 C．54 D．81
【答案】A
【分析】运用等差数列性质即可.
【详解】由题知：，所以.
.
故选：A.
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设，分别是等差数列，的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】由题可得，然后由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得答案.
【详解】令，可得.则．
故选：A
3．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由求和公式得出.
【详解】由题意，得，解得．
故选：D
4．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差 B．在所有中，最大
C．满足的n的个数有11个 D．
【答案】C
【分析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A是否正确；
根据最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D的正确性：利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，可判断、的符号，这样就可判断B、C是否正确．
【详解】等差数列中，最大，且，，A正确；
，，，D正确；,
，，；
的值当递增，当递减，前12项和为正，当时为负．
故B正确；满足的n的个数有12个，故C错误.
故选C．
5．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．
【详解】解：由等差数列的性质可得，．
故选：C．
6．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，，
所以我们对进行变形，得到，
因为，所以，即，故D正确.
故选：D
7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：D.
8．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．20 B．16 C．7 D．2
【答案】C
【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.
【详解】由题意得成等差数列，
故，即，
解得.
故选：C
二、多选题
9．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．中最大的是
【答案】BD
【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解.
【详解】对于AC：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，故AC错误；
对于B：因为，所以，故C正确；
对于D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，，
所以，，故D正确.
故选：BD.
10．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．时，最大
C．使的n的最大值为13 D．数列中的最小项为第8项
【答案】BD
【分析】对于AB，由题可得，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由AB分析可知当或时，时，，据此可判断选项正误.
【详解】对于AB，由题意，又，所以，从而，则，故为递减数列，从第8项开始，，
则时，最大，所以A错误，B正确；
对于C ,，所以使的的最大值为14，C错误；
对于D，由ABC分析可知，当或时，时，
当时，，又，，所以时，最小，D正确.
故选：BD．
三、填空题
11．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知等差数列中，，公差，前项和为，若，则取得最大值时，的值为__________.
【答案】7
【分析】根据可得，结合可得的公差，进一步可知当时，，当时，，从而可确定取得最大值时所对应的值．
【详解】因为是等差数列，且，
所以，
即，
又，，
，又，故，
所以当时，，当时，，
所以取得最大值时，的值为7．
故答案为：7．
12．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)设等差数列的前项和为，若，，则___________.
【答案】
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式即可求解.
【详解】利用等差数列中的等差中项性质可知：，
由等差数列的通项公式可得：，
所以，
则，
故答案为：
13．(24-25高二下·辽宁普通高中·期中)设为等差数列的前n项和，且，，则________．
【答案】
【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列，
且，，则，则其公差为，
所以，
所以.
故答案为：
14．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，，则的前项和为______．
【答案】
【分析】由题意可知公共项是以7为首项，以6为公差的等差数列，进而结合等差数列的前项和公式即可求出结果.
【详解】因为数列是以4为首项，3为公差的等差数列，数列是以1首项，2为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以7为首项，6为公差的等差数列，
所以的前项和为．
故答案为：.
四、解答题
15．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知是等差数列的前n项和，且
(1)求数列的通项公式.
(2)判断是否为等差数列.
(3)为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)为4时，取得最大值，最大值28．
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）应用等差数列的定义判断；
（3）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2）因为，所以，
所以是以为公差的等差数列；
（3），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）在等比数列，，中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的定义及等比中项的性质列方程可得解.
【详解】由题意可得，
解得或，
当时，，，不满足条件；
当时，等比数列为，，，满足条件，
故选：B.
2．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）在正项等比数列中，已知，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】由已知条件求出公比为，可得数列中的项.
【详解】设正项等比数列公比为，则，
，则，得，解得，
所以.
故选：A
3．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)在等比数列中，若，，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．256
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，由求得，根据等比数列基本量运算进而求得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
所以，又，
.
故选：D.
4．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）在等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的概念可求得，由此可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，
∵，
∴，故，
∴.
故选：C.
5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)在等比数列中，若，，则（ ）
A．17 B． C． D．8
【答案】D
【分析】由等比中心即可求解.
【详解】因为，又等比数列中奇数项同号，
所以．
故选：D
6．(24-25高二下·辽宁普通高中·期中)已知等比数列，且，，，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，且，，
所以，.
故选：A
7．（24-25高二下·辽宁省实验中学·期中）已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合等比数列的单调性及充分条件和必要条件定义判断充分性及必要性可得结论．
【详解】当，时，，不是递增数列，充分性不成立；
当，时，是递增数列，但不成立，必要性不成立．
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D.
8．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知是等比数列，是等差数列，，，公比等于公差，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得等比数列的公比，得到，结合等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】因为数列是等比数列，且，，
设等比数列的公比是，可得，解得，所以，
又因为，可得
故选：C．
9．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A． B． C．9 D．16
【答案】A
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，
可得，即，所以，解得（舍去）或，
所以.
故选：A
10．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．4 B． C．或4 D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到，结合等比数列的性质，求得且，即可求得的值，得到答案.
【详解】由是方程的两个根，可得，
因为数列为等比数列，可得且，所以，
所以或.
故选：C.
二、填空题
11．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案.
【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法，
其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法，
假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以．
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)等比数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】设出等比数列的公比，先根据题意和等比数列的前项和公式求出公比；再根据等比数列的通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，.
当时，由，可得：，，此时不成立；
当时，由等比数列的前项和公式可得：，解得：.
由等比数列的通项公式可得：.
故选：B.
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
【答案】C
【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可.
【详解】设等比数列的公比为，由，则，
所以，解得，
则有.
故选：C.
3．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．81 B．71 C．61 D．51
【答案】C
【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解.
【详解】由题可知，，成等比数列，
所以，即，得，
则此等比数列的首项是1，公比是，那么，
，
所以.
故选：C
4．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．5 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】首先得，，进一步列用等比数列求和公式化简表达式即可求解.
【详解】设公比为，因为，所以，显然，
从而.
故选：A.
5．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出和的值，可得出数列的通项公式，分析可知：当时，，当时，，当时，，即可得出的最大值.
【详解】设等比数列的公比为．
若，则，不符合题意，
所以，解得．
又因为和的等差中项为，所以，则，解得．
所以，，
当时，，当时，，当时，，
所以的最大值为．
故选：B.
二、多选题
6．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知等比数列的前项和为，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】CD
【分析】根据等比数列通项公式、前项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.
【详解】对于A：若，，则，故A错误；
对于B：若，又，所以与同号，
当，时，
当时，，
若，时，，所以，故B错误；
对于C：因为，，所以，故C正确；
对于D：若，即，则，，当时，
当时，由于，，所以，故D正确；
故选：CD
7．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)下列说法中错误的是（ ）
A．若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列
B．若数列的前n项和，则数列一定是等比数列
C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列
D．若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列
【答案】ACD
【分析】由等差等比数列的概念及性质逐个判断即可.
【详解】对于A，当时，，此时不是等差数列，所以A错误；
对于B，，符合等比数列的形式，所以B正确；
对于C，应把改为，C错误；
对于D，当公比为时，，D错误，
故选ACD．
8．(24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】BC
【分析】根据条件及可得出，进而可得，从而可判断A，结合等比数列的性质可判断B；由条件可知均大于1，均大于0且小于1，从而可判断CD．
【详解】对于A，由得，
由，可得，
当时，因为，所以，，
此时，不合题意；
所以，
因为，所以，，，
结合且，可得，
则，所以A错误；
对于B，因为，即，所以B正确；
对于C和D，由，，，且，
可知均大于1，均大于0且小于1，
又，可知是数列中的最大值，故C正确，D错误．
故选：BC．
三、解答题
9．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)已知是等差数列的前项和，.数列满足且.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）数列为等差数列，由已知可求得首项和公差，进而可得数列的通项公式；又，可得数列是公比为2的等比数列，结合已知条件，可求得其首项，进而可得通项公式；
（2）由（1）得，利用等差等比数列的求和公式，采用分组求和的方法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）因为数列是等差数列，又，即，化简得，解得，
所以；
数列满足，即，所以是公比为2的等比数列，
又，即，所以，解得，所以；
（2）由（1）得，，
所以

.
10．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)在数列中，若存在项：，，…，，令，，，都有，则称为的“—子减列”．
(1)在4项数列中，，，，，求出的所有“—子减列”；
(2)已知数列满足，且，．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）若数列只有11项，且为的“—子减列”，中任意3项都不构成等比数列，求k的所有取值构成的集合．
【答案】(1)或
(2)（i）（ii）
【分析】（1）根据“—子减列”的定义求解；
（2）（i）由条件变形可得，结合得，证得是等比数列，求得答案；（ii）根据题意，求的所有可能取值，即只要求出的最大值即可，设，则成等比数列，不合题意，可得，同理可得，结合可得，推理可得，这与已知条件矛盾，得，得解.
【详解】（1）由新定义知的“3—子减列”为或.
（2）（i）由，得，
整理得，又，则，
所以，即，又，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
故数列的通项公式为.
（ii）由（i）可得数列为，
要求出的所有可能取值，则只需求出的最大值即可，
又，若，则成等比数列，不合题意，则；
若，则成等比数列，不合题意，则；
又，所以，则，
同理，可得，且，所以，
则，这与已知条件矛盾，所以，
此时数列可以为或或等等，其任意3项都不构成等比数列，
所以的所有取值构成的集合为.
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（ ）

A．109 B．110 C．111 D．112
【答案】B
【分析】分析得到奇数行为奇数列，偶数行为偶数行，为第个奇数，利用等差数列求和得到前个奇数行和前个奇数行的奇数个数，确定在第行，且在第列，求出，得到答案.
【详解】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第行有个数，
记为第个奇数，则，
又，所以为第个奇数，
又前个奇数行，共有奇数，
又前个奇数行，共有奇数，
则，，故在第行，且列，
即，所以.
故选：B.
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元.
【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月，
在第5个月的还款额为元，
设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还，
显然，，，
……，，
显然，故，
所以，故，
依次类推，可得，
即，
所以，
由等比数列求和公式可得
，
故元，
学生乙每个月的还款额均为元，
所以甲比乙将多还元．
故选：A
二、多选题
3．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法为割圆术．我们做单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形的周长的一半为，内接正边形的周长一半为，记为正边形的一条边所对圆心角的一半，则（ ）
A．数列是公比为的等比数列 B．
C．成等差数列 D．
【答案】BCD
【分析】利用圆内接正多边形的意义与圆的外切多边形的意义可求得，，，借助三角恒等变换、等差数列、等比数列定义计算可判断每个选项的正误.
【详解】由正边形的性质可得，所以数列是公比为的等比数列，故A错误；
由题意可得，，所以，故B正确；
由，得，所以，
所以，
，所以成等差数列，故C正确；
因为，，所以，，
所以，
，
所以对任意正整数，可得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
4．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）某演出团选出155名演员站成排进行演出.已知最后面一排的人数为20，从最后面一排开始，每一排人数比前面一排人数多1人，则____，最前面一排的人数为___.
【答案】 10 11
【分析】根据给定信息，利用等差数列前项和公式列出方程求解.
【详解】依题意，从后往前，每排人数依次排成一列，构成以20为首项，为公差的等差数列，
则，整理得，而，
所以，最前面一排的人数为.
故答案为：10；11
5．(24-25高二下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还_____元.(用，表示)
【答案】
【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利，结合等比数列求和公式运算求解即可.
【详解】设每月还元，
按复利计算，则，
即，解得.
故答案为：.
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专题03 数列概念，等差数列，等比数列
6大高频考点概览
考点01数列的概念与简单表示法
考点02等差数列
考点03等差数列求和
考点04等比数列
考点05等比数列求和
考点06数列的应用
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列，3，，，…，则是该数列的（ ）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
2．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知是递增数列，则的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A．2 B． C． D．1
4．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)数列满足，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列的首项为，且满足，则此数列的第4项是（ ）
A．4 B．12 C．24 D．32
6．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)下列命题正确的是（ ）
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强.
B．已知函数在上可导，且，则.
C．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
D．数列的通项为，若为单调递增数列，则
8．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ）
A．数列为单调递减数列 B．
C． D．
三、填空题
9．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)数列的最大项为第项，则__________.
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或1
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)设为等差数列，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（ ）
A．15 B．－15 C．－13 D．13
5．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）在等差数列中，，则（ ）
A．45 B．9 C．18 D．36
6．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设数列满足，，，，则满足的的最大值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
二、填空题
7．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)在等差数列中，若，，则公差d=______．
8．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期中）已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，______．
9．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)已知数列中，，，数列满足：，则______；若、分别是数列的最大项与最小项，则______．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期中）等差数列中是其前项和，，则（ ）
A．27 B．36 C．54 D．81
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设，分别是等差数列，的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．3
3．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差 B．在所有中，最大
C．满足的n的个数有11个 D．
5．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．20 B．16 C．7 D．2
二、多选题
9．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．中最大的是
10．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．时，最大
C．使的n的最大值为13 D．数列中的最小项为第8项
三、填空题
11．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知等差数列中，，公差，前项和为，若，则取得最大值时，的值为__________.
12．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)设等差数列的前项和为，若，，则___________.
13．(24-25高二下·辽宁普通高中·期中)设为等差数列的前n项和，且，，则________．
14．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，，则的前项和为______．
四、解答题
15．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知是等差数列的前n项和，且
(1)求数列的通项公式.
(2)判断是否为等差数列.
(3)为何值时，取得最大值并求其最大值．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）在等比数列，，中，等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）在正项等比数列中，已知，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)在等比数列中，若，，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．256
4．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）在等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)在等比数列中，若，，则（ ）
A．17 B． C． D．8
6．(24-25高二下·辽宁普通高中·期中)已知等比数列，且，，，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（24-25高二下·辽宁省实验中学·期中）已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知是等比数列，是等差数列，，，公比等于公差，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高二下·辽宁省凤城市第二中学·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A． B． C．9 D．16
10．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．4 B． C．或4 D．
二、填空题
11．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______．
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)等比数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B． C． D．4
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
3．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．81 B．71 C．61 D．51
4．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．5 B．9 C． D．
5．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知等比数列的前项和为，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)下列说法中错误的是（ ）
A．若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列
B．若数列的前n项和，则数列一定是等比数列
C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列
D．若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列
8．(24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
三、解答题
9．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)已知是等差数列的前项和，.数列满足且.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
10．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)在数列中，若存在项：，，…，，令，，，都有，则称为的“—子减列”．
(1)在4项数列中，，，，，求出的所有“—子减列”；
(2)已知数列满足，且，．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）若数列只有11项，且为的“—子减列”，中任意3项都不构成等比数列，求k的所有取值构成的集合．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（ ）

A．109 B．110 C．111 D．112
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
3．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法为割圆术．我们做单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形的周长的一半为，内接正边形的周长一半为，记为正边形的一条边所对圆心角的一半，则（ ）
A．数列是公比为的等比数列 B．
C．成等差数列 D．
三、填空题
4．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特市林格尔县民族中学·期中）某演出团选出155名演员站成排进行演出.已知最后面一排的人数为20，从最后面一排开始，每一排人数比前面一排人数多1人，则____，最前面一排的人数为___.
5．(24-25高二下·辽宁沈阳东北育才学校·期中)小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还_____元.(用，表示)
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