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专题03 有关数列的综合性问题
4大高频考点概览
考点01 数列中的奇数项、偶数项问题
考点02 数列中的新定义问题
考点03 数列与不等式等知识的交汇
考点04 数列中的最值问题
(
地
城
考点01
数列中的奇数项、偶数项问题
)
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
【答案】D
【分析】根据数列的通项公式代入求解即可.
【详解】．故选：D.
2．（24-25高二下·山东·期中）已知数列满足：，，则（ ）
A．34 B．42 C．46 D．64
【答案】B
【分析】由，，利用递推思想，逐项求出，再相加即可.
【详解】，，则，，，；
则.故选：B.
3．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，依次计算即得.
【详解】数列中，，.故选：B
4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列
满足（m为正整数），若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据数列的递推公式依次求出，，，，，，，从而找到从
开始以周期为3重复出现，从而利用周期求出.
【详解】，，，，，，，，，从开始依次是1，4，2，1，4，2，，则数列从开始，以周期为3重复出现，.故选：A.
5．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据数列的递推公式可证明A正确；由等比数列通项公式计算可得B正确；采用分组求和以及等比数列前项和公式计算可得C错误；对为奇数和偶数进行分类讨论，再结合数列单调性解不等式即可求得D正确.
【详解】对于A，由题可知，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，，所以
，则，故不是等比数列，C错误.对于D，由题可知易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且；若恒成立，则当为奇数时，，所以；当为偶数时，，所以.综上，的取值范围为，D正确.故选：ABD.
6．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知正项数列满足的前项和为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若， D．，则的值有3种情况
【答案】ACD
【分析】结合给定的递推公式得到数列从第4项开始呈现周期为3的规律，再逐个判断选项即可.
【详解】对于A，由题意得且，依次可得，，，，，，，，…，则数列从第4项开始呈现周期为3的规律，可得，故A正确；对于B，易得，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，若，则或；若，则或；若，则，所以的值有3种情况，故D正确，故选：ACD.
7．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，，则数列的前20项和_________．
【答案】
【分析】由题意，根据递推公式可得，令，结合等比数列数列的定义和通项公式可得，进而，利用公式法计算即可求解.
【详解】由数列满足，，得，
又，所以，令，可得，
所以，由，可得，所以，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，则，因为，适合上式，所以，所以数列的前20项的和为.
8．（24-25高二下·云南玉溪·期中）大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则_____________，数列的前项和与数列的前_____________项和相等.
【答案】
【分析】分别由和的关系式可推导得到，利用累加法可求得为奇数时的通项公式，进而得到，结合等差数列前项和公式可构造方程求得结果.
【详解】当时，①；当时，②；
由①②得：，，，，，
累加得：；令，则当且为奇数时，；当时，满足；当为奇数时，；
此时，当为偶数时，；，，，的前项和为；的前项和为，
令，解得：（舍）或，.
9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）记，分别为数列，的前项和，其中，．
(1)求的通项公式；(2)求．
【答案】(1)；(2)1508
【分析】（1）根据的关系式推出和，再利用推出；
（2）根据结合的关系式求出，再计算．
【详解】（1），当时，，当时，则，
，时，符合上式，．
（2）， ，
．
10．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列，的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，求和公式，列方程组求解；
（2）利用分组求和，将奇数项、偶数项的和分别由常数列、等差数列求和即可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以；
（2）由（1）得，.
11．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解；
（2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解.
【详解】（1）等差数列的前项和为，，
，即，又，，则有，，
（2）记数列的前项和为，
当为奇数时，；
当为偶数时，；综上，.
12．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的通项公式为，数列的前项和为.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接代入求解即可，
（2）分奇数项以及偶数项，利用分组求解，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
.
13．（24-25高二下·山西太原·期中）已知数列的前项积为，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意，恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【分析】（1）根据已知得，且，进而得到，结合等差数列的定义即可证；
（2）由（1）得，讨论的奇偶性，应用分组求和及等差、等比数列的前n项和公式求；
（3）由（2）有，不等式化为，作商法研究右侧的单调性，确定参数范围，即可得.
【详解】（1）当，则，故，所以，由，故，可得，由，则，所以是首项为2，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，则，故，所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以；
（3）由（2）得，原不等式等价于，
令，，
则，故，即，
所以在上单调递增，故，即实数的最大值.
14．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且.
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解的通项公式；
（2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解.
【详解】（1）数列的前项和，当时，，
当时，，因为也适合上式，所以，设数列的公比为，因为，所以，解得，又，所以；
（2）由题意得，设数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，所以，
两式相减得，
所以，故.
(
地
城
考点02
数列中的新定义问题
)
1．（24-25高二下·四川·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，为等比数列，求得，利用累乘法可求得，进而求得答案．
【详解】设数列为，且为一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，，公比，，则，，.故选：D.
2．（24-25高二·吉林长春·期中）奇偶归一猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘3再加1，如果它是偶数，则将它除以2，如此循环，最终都能够得到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，已知，且均不为1，记的最大值为的最小值为，则（ ）
A．122 B．124 C．123 D．96
【答案】C
【分析】根据结合递推关系可求前6项，故可求，再求其差后得正确的选项.
【详解】由数列满足，且均不为1，得，即有的前7项为；或或或.综上，的最大值为的最小值为，故选:C.
3．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．数列的通项公式为
【答案】C
【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：可判断；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可求解.
【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确；对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则，数列是以首项为1，公比为2的等比数列，数列的前项和即为，，B选项正确；
对C选项，
，C选项错误；对D选项，由B选项分析可得，又，，又，是以首项为，公比为3的等比数列，，D选项正确．故选：C．
4．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）列昂纳多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先求出 分别计算选项A和B，再利用递推性质求解.
【详解】由题意知： ，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
= ，故C错误；
对于D，由，则
，故D正确；故选：ABD
5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1170-1250）发现，因研究兔子繁殖问题而提出，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．，使得，，成等比数列
C．，对，，，成等差数列
D．
【答案】ACD
【分析】通过列举可判断A，由，又，得到，由一元二次方程求解可判断B，由递推公式得到，可判断C，通过递推公式得到，由累加求和可判断D.
【详解】由斐波那契数列定义可知，其是递增数列，各项都是整数，
对于A，依题意，数列的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21， 即，故A正确；
对于B，若，使得，，成等比数列，则，又，
所以，即，将其看作关于的方程，又
则，由于斐波那契数列各项都是整数，而是个无理数，故不可能成立，故B错误；
当时，，
即，即，，即，，即存在时，对，，，成等差数列，故C正确，
对于D，由，，
，即通过累加可得：，故D正确.故选：ACD
6．（25-26高二上·北京·期中）定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，互为5阶友好数列
B．若，则，，互为5阶友好数列
C．若，则，使，互为4阶友好数列
D．若，则，使，互为4阶友好数列
【答案】D
【分析】根据阶友好数列的定义排除A、B、C.
【详解】A选项，当时，数列的公差为，，，是公比为的无穷项等比数列，所以，因为，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，所以，当时，，则，
此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故A错误；
B选项，当时，数列的公差为，，当时，，
令，，所以，可知在上单调递减，所以，可知在上单调递减，
所以，即，所以，则，此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故B错误；
C选项，由A知，，，在上单调递增，则，又因为，所以，，则，即，所以不存在，使，互为4阶友好数列；故C错误；
D选项，时，数列的公差为，，取，时，，满足4阶友好数列，故D正确.故选：D
7．（24-25高二上·江苏南通·期中）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.
【答案】7
【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解.
【详解】由题意可知：（公和），则，可得，可知数列是以2为周期的周期数列，可得，，所以公和.
8．（24-25高二下·广东·期中）设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______
【答案】 16 219
【分析】列举出数列的各项，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，得，分类讨论为或不为6的整数倍，求出对应的，即可求出；结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解.
【详解】由，且得，
，所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以，当为6的整数倍时，；当不为6的整数倍时，，所以；
当时，
，故．
9．（25-26高二上·福建漳州·期中）无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则______；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和______
【答案】 1622
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解；
（2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解．
【详解】数列是等比数列，则，，则，
因为与无关，所以，即；由题意可知，，而，所以，是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项（含）前共有项，令，结合，解得：，故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和.
10．（25-26高二上·福建宁德·期中）数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数.
(1)求的值.
(2)已知数列满足.
①求的前项和；
②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；(2)①；②.
【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可；
（2）①利用错位相减求和，即可得出结果；②由①可知，求出，将不等式化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果.
【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以，
因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有，所以；
（2）①所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为，即，所以，所以，
，
两式相减得，所以；
②由①可知，所以，所以由不等式得恒成立，令，则，所以可得，
当时，，即，所以的最大值为，故.
11．（24-25高二下·辽宁·期中）定义：已知数列的前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”．
(1)若数列满足判断是否为“和完全平方数列”．
(2)若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
(3)若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式．
【答案】(1)为“和完全平方数列”，理由见解析；
(2)存在，使得为“和完全平方数列”，理由见解析；
(3)，.
【分析】（1）由定义，验证得到，当时，，为“和完全平方数列”；
（2）当时，，设的前项和为，当时，，满足为“和完全平方数列”， 当时，不存在，使得，得到答案；
（3）设公差为，前n项和为，因为为完全平方数，故，，，分，两种情况，若，取，当为偶数时，推出矛盾，当为奇数时，举出反例，从而得到，即，故，设，则，当时，，又适合上式，即，.
【详解】（1）为“和完全平方数列”，理由如下：设的前n项和为，显然，满足要求，当时，
，综上，为“和完全平方数列”；
（2）存在，使得为“和完全平方数列”，理由如下：当时，，
当时，，设的前项和为，
则，满足要求，因为，且，所以，且，
当时，当时，，此时，满足为“和完全平方数列”， 当时，，故，
不存在，使得，综上，；
（3）设等差数列的公差为，前n项和为，因为为完全平方数，故，，，
若，则，若对于任意的，均为完全平方数，则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数，若为奇数，则不是完全平方数，矛盾，若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾，若，则，
若，取，则或，
当为偶数时，此时，均不是完全平方数，
当为奇数时，取，，其中为奇数，故此时不是完全平方数，
故，即，故，设，则，
当时，，又适合上式，即，.
12．（24-25高二下·辽宁·期中）定义：如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列”．
(1)若数列的前项和满足，且，试判断是否为“跳动数列”并证明你的结论
(2)若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；
(3)若“跳动数列”满足，证明：或．
【答案】(1)是“跳动数列”，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系求出通项公式，结合“跳动数列”的定义可得答案；
（2）利用“跳动数列”相邻项的大小关系可求答案；
（3）根据“跳动数列”相邻项的大小关系和的递推关系求解不等式组可得答案.
【详解】（1）因为且，当时，解得，
当时，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
因为
，所以位于与之间，所以是“跳动数列”；
（2）由 “跳动数列”的定义可知：是“跳动数列”，
若公比为的等比数列是“跳动数列”，则，
即，所以，即，解得，
即的取值范围为.
（3）由，可得，所以
，则
，由是“跳动数列”，可得，
即，即，
即，所以，又，所以，
即，解得或，故命题成立.
13．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中
(1)若数列的通项公式，求的通项公式；
(2)若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据及的通项公式直接计算可得；
（2）由题得，进而得数列是首项为，公差为的等差数列，最后根据等差数列求和公式求解即可.
【详解】（1）依题意，且，
所以；
（2）因为，所以，所以．
所以，且，故是首项为，公差为的等差数列.
所以，所以数列的前n项和.
14．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群：，，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设第个群中所有项的和为，求；
(3)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）把已知的式子变形，从而构造出一个等差数列，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）先由（1）得出的通项公式，然后根据分组找出分组规律，进而求出.
（3）由（2）得出的通项公式，利用错位相减求出，结合不等式的性质从而证出结论.
【详解】（1）因为，所以.因为，所以，且，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，.
（2）由（1）知，设的前项和为，则.
显然数列分组后第组有项，前面组共有项，前面组共有项，
当时，，当时，，满足上式，.
（3）由（2）知，，则.则①，
②，①②得
.记③，
则④，
③④得.
所以，，则，
因为，所以，得证.
15．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x ，x ，若x ≠x ，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数.
(1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题干的条件求出，故，将数值代入即可求得结果.
（2）根据题干的条件求出，故，将数值代入即可求得结果.
（3）根据题干的条件求出，故，将数值代入得到，
再利用防缩法得，再利用分组求和即可证明结论.
【详解】（1）的特征方程为，解得.所以的通项公式为.
由题意可得解得所以的通项公式为.
（2）的特征方程为，解得.
所以的通项公式为.由题意可得，
解得所以的通项公式为.
（3）证明：的特征方程为，解得，所以的通项公式为.
由题意可得解得所以的通项公式为.
当时，，满足.当时，.
.综上，.
16．（24-25高二下·广东·期中）角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题：
(1)若，求数列的项数；
(2)若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合；
(3)对任意的数列，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1），根据给定条件，逐一计算即可得数列的项数；
（2）根据“角谷猜想”进行逆推计算，由此可得结论；
（3）验证当、时，所证不等式成立，当时，推导出，分类讨论①当，②当，利用题中定义进行推理，证明出结论成立即可.
【详解】（1）因为，根据题意可得，，，，，，，，所以数列的项数为.
（2）由题意可得，因为，则，，（舍）或，当时，，或，当时，则；当时，；
综上所述，的取值集合为.
（3）依题意，，，
当时，显然成立；当时，，即也成立；
当时，对任意，，故，即，
①当时，由，，
所以；
②当时，由，，，所以.
综上所述，任意的数列，.
(
地
城
考点0
3
数列与不等式
等知识的
交汇
)
1．（24-25高二下·北京·期中）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的表达式，再由即可得解.
【详解】因为数列的前项和为，点在函数的图象上，所以，，故.故选：A.
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值.
【详解】因为，等式两边同时除以，得到.设，则，且.所以是以0为首项，为公差的等差数列.所以该数列的通项公式为.所以.
所以.故选：B.
3．（24-25高二下·海南·期中）已知函数满足，且，设数列满足，当时，，则数列的前n项和的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，利用累加法求出，继而得到和，，利用裂项相消法，即可求得.
【详解】因函数满足，且，则，
则
，显然时，符合.
则，，又，则数列的前n项和为.故选：D.
4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，且满足，则________；若存在实数，使不等式对任意恒成立，则的取值范围为________.
【答案】 ；
【分析】，利用等差数列的通项公式即可求解,存在实数，使不等式对任意恒成立，将问题转化为，结合单调性即可求解.
【详解】因为，所以.因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，所以（也满足）.
因为，所以，即.令，，，所以在时单调递增，所以，故.
5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围.
【详解】因为，所以的图像关于点成中心对称．因为，
所以，两式相加得，所以．
由，得，
所以．令，
则当时，在上单调递减；当时，在单调递增．
又，所以，所以，即的取值范围是．
6．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围.
【详解】由，，，
，
则，由函数在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以当时，取最小值的取值范围是.
7．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________
【答案】19
【分析】若，，根据等差、等比数列求和公式可得，结合，可得符合题意，再检验是否满足不等式即可.
【详解】因为，可知为偶数，为奇数，设，，则，，
则，
因为，即，可得，当时，则，，不合题意；当时，则，符合题意，
若，则，，；若，则，；当时，则，可得，
若，则，，对于，即，整理可得，因为在内单调递增，则，不合题意；
若，则，可得，满足；综上所述，使得成立的n的最小值为19.
8．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，即，解得，，所以数列的通项公式；因为，所以，所以，
又，适合上式，所以的通项公式为：；
（2）由（1）知和，得：；
，
两式相减得，
所以，因，则，
当时，，
单调递增，又，所以.
9．（24-25高二下·山东日照·期中）设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据等差数列等比数列基本量的计算可得公差和公比，即可利用等比等差的通项求解，
（2）利用错位相减法求解，根据的单调性，将问题转化为，解不等式即可求解.
【详解】（1）由可得数列为等差数列，设的公差为，的公比为，由于是和的等比中项，所以，由题意可得，解得，所以，即
（2）由（1）可得，所以，，
相减可得，
而，于是为单调递增数列，即，
对任意的，不等式恒成立，得，解得或，
故的取值范围为或.
10．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知数列满足，，数列．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式．
(2)设的前项和为．
（i）求；（ii）若，，求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解；；(2)（i）；（ii）
【分析】（1）整理可得，即可知数列为等差数列，结合等差数列通项公式求的通项公式；
（2）（i）整理可得，利用裂项相消法求；（ii）整理可得对恒成立，列不等式求的最大值，即可得结果.
【详解】（1）因为，则，即，且，则，
可知数列是以首项，公差为1的等差数列，则，即，所以.
（2）（i）因为，
所以；
（ii）因为，可得对恒成立，设，
令，即，解得，且，可得，
可知数列的最大项为，则，解得，所以实数的取值范围为.
11．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）由题干等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，进而可求得数列的通项公式；
（2）根据解出满足条件的正整数的个数，可得出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得的表达式；
（3）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，求出数列最大值和最小值，结合已知条件可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1），即，又，为等差数列，其首项为，公差为.，.
由得，，，
满足不等式的正整数的个数为，，，①，
②，
①②得：，.
（3）由已知可得，当为奇数时，，
因为数列为递增数列，所以当时，取最小值，此时，
当为偶数时，，因为数列为递减数列，所以当时，取最大值，此时，所以且，所以，解得.因此，实数的取值范围为.
12．（24-25高二下·安徽宿州·期中）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和.
(3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：.
（参考数据：）
【答案】(1)证明见解析.
(2).
(3)证明见解析
【分析】（1）由数列新定义求解即可；
（2）由等差数列的基本量法求出数列的通项，再由错位相减法求和即可；
（3）先由数列新定义证明数列是以为首项，为公比的等比数列，得到通项，然后表达出再结合所给不等式变形即可.
【详解】（1）由题意知：，，又，，即，所以是数列的生成函数；
（2）由（1）知，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，，所以，
，两式相减得，所以.
（3）由题意知：，，，
，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，又，，，则当时，，
即，.
13．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得；
（2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解.
【详解】（1）由数列为等差数列，且，则，则，
所以，则，又，
即，解得或，又，则，所以；
（2）由（1）得，又，设，则，
又，所以恒成立，则数列为单调递增数列；
当为奇数时，恒成立，即；当为偶数时，恒成立，即，；
综上所述.
14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和满足.其中.
(1)求的值.
(2)求证：数列为等差数列.
(3)证明：不等式对任意的正整数，都成立.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）设式子中的，计算求解；
（2）将已知①的式子的换得到②，将①-②得③，将③的式子的换得到④，将③-④得，整理后得到，得到数列为等差数列；
（3）由（2）知，，求出，要证，通过整理只需证明即可.
【详解】（1）当，所以，当，所以.
（2）因为①所以当时，②
①-②得③，所以当时，④
③-④得，
所以，又因为.所以
所以，所以，所以数列为等差数列.
（3）由（2）知，，所以
要证只要证，只要证
所以，所以，下证成立.
因为，因为
所以，得证.
(
地
城
考点0
4
数列中的最值问题
)
1．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项.
【详解】数列中，由，得，由，得，则当时，；当时，，即，所以数列的最小项是第6项.故选：B
2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项
【答案】B
【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得.
【详解】由，，当时，，即，当时，，即，数列在上都单调递减，所以最小项为，即第6项.故选：B
3．（多选）（24-25高二下·江西宜春·期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C．时，的最小值为15 D．最小时，
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的前项和公式，以及性质，即可判断选项.
【详解】，又，所以，则，故A正确，B错误；
，且，所以时，的最小值为15，故C正确；因为，，最小时，，故D正确.故选：ACD
4．（24-25高二下·北京·期中）等比数列中，，记，则数列（　　）
A．无最大项，无最小项 B．有最大项，有最小项
C．无最大项，有最小项 D．有最大项，无最小项
【答案】C
【分析】根据题意可知等比数列的公比，由此结合|an|的变化规律进行分析，即可得到本题的答案．
【详解】设等比数列的公比为q，则，即，解得．由且，可得：的各项正负交替出现，且|随n的增大而减小．所以恒成立，且随着n的增大，变小．因此，当时，最小，且时，，无最大值．故选：C．
5．（多选）（24-25高二下·辽宁大连·期中）小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（ ）
A．31 B．63 C．127 D．128
【答案】B
【分析】先找出时的情况，再推导时的递推公式，最后根据递推公式求出.
【详解】当时，即只有个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动次，所以.
当时，要把个圆环从木桩移动到木桩，我们可以先把上面个圆环从木桩借助木桩移动到木桩，这需要次；然后把最大的第个圆环从木桩移动到木桩，这需要次；最后再把木桩上的个圆环借助木桩移动到木桩，这又需要次.所以可得递推公式. 由，变形可得.那么数列是以为首项，为公比的等比数列.根据等比数列通项公式可得，所以. 当时，将其代入，可得. 故选：B.
6．（25-26高二上·浙江宁波·期中）设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质可知，，依次分析选项即可得到的最大值.
【详解】因为等差数列的前项和为，且有最大值，所以公差，由，可得，故有最大值为，又，单调递减，且，所以当时，,单调递减，单调递增，此时最大；当时，，，则，，则，同理可得均大于0，则综上，最大；故选：B
7．（多选）（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．时，最大
C．使的n的最大值为13 D．数列中的最小项为第8项
【答案】BD
【分析】对于AB，由题可得，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由AB分析可知当或时，时，，据此可判断选项正误.
【详解】对于AB，由题意，又，所以，从而，则，故为递减数列，从第8项开始，，则时，最大，所以A错误，B正确；
对于C ,，所以使的的最大值为14，C错误；对于D，由ABC分析可知，当或时，时，当时，，又，，所以时，最小，D正确.故选：BD．
8．（多选）（24-25高二下·四川成都·期中）数列通项公式的本质是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数解析式，数列的图象是函数上的离散点．已知，，记数列的前项和为，则（ ）
A．的图象可以由向右平移个单位，再向上平移个单位得到
B．，使得
C．当时，取得最小值
D．数列的最大项的值为
【答案】ABD
【分析】通过分离常数，将变形为，即可通过图象平移变换判断A；画出函数的图象，数列的图象为图象上的一系列点，如图2，结合图象即可判断B，C；对于D，先求出的表达式，借助二次函数，分析得到当或时，取最小值3，得到数列的最大项即可.
【详解】对于A，，故可以看作是由向右平移个单位，再向上平移个单位而得，故A正确；作出图象如图1，则数列的图象为双曲线上的一系列点，标记如图2，
对于B，观察图象可知，当时，数列单调递减，当时，数列也单调递减，但，
所以当时，，故B正确；对于C，观察图象可知，当时，数列单调递减，
从第3项起为负，当时，数列也单调递减，但，当时，取得最小值，故C错误；
对于D， 由题意得，因为，当时，虽然取最小值－1， 但是，当或时，，且当或时，取最小值3，此时取到最大值，综上，所以数列的最大项的值为，故D正确．故选：ABD
9．（多选）（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．数列是递减数列 B．当时，最大
C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为
【答案】ABD
【分析】由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D.
【详解】由，可得，由，可得，即，又因为，所以.因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，故A正确；
由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，故B正确；由等差数列的前项和公式可知，，，所以使得成立的最小自然数，故C错误；当时，；当时，；当时，，
.因为，所以，又因为，所以， 所以，所以，所以在时为增函数，所以数列中的最小项为，故D正确.故选：ABD
10．（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期中）无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，且，则单调递增
B．若为等比数列，且，则单调递增
C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项
D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项
【答案】ACD
【分析】A选项，推出公差，A正确；B选项，推出公比，所以为摆动数列，不单调；C选项，分析出公差，存在最小项；D选项，分析出，，和时满足要求，且存在最小项.
【详解】A选项，为等差数列，且，则，所以，则当时，，所以单调递增，A正确；B选项，为等比数列，且，则，解得，所以为摆动数列，当为奇数时，，当为偶数时，，
其中当时，，故不单调，B错误；C选项，为等差数列，且对任意，均有，当时，，若公差，存在且，使得，
故，所以与矛盾，舍去，当公差时，，满足，此时的最小值为，满足要求，当公差时，，满足，此时的最小值为，满足要求，故C正确；D选项，当时，，，若公比，此时，满足，存在最小值，若，则有，即，若，此时，需满足，若，当为偶数时，，不合要求，若，当为偶数时，，不合要求，若，满足，，当为偶数时，，当为奇数时，，此时,
当为偶数时，，即，当为奇数时，，即，
故，又，故，每四项分为一组，进行研究，可得，且，……，且，故存在最小值，若，此时，，故存在最小值，若，此时，，故存在最小值，
综上，若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小，D正确.故选：ACD
11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______．
【答案】16
【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值.
【详解】由题意，，，令，得，解得，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；又，，则，因此当最小时，，
12．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列中，，，数列满足：，则______；若、分别是数列的最大项与最小项，则______．
【答案】 8
【分析】由递推公式得到，可解决第一空，进而得到，结合其单调性可解决第二空.
【详解】是定值，所以数列是等差数列，则，所以；又，则，，当时递减，都大于2；当时递增，都小于2，数列的最大项，最小项，所以．
13．（25-26高二上·湖南长沙·期中）记为等差数列的前项和，且满足，.
(1)求.
(2)是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)或6时，取得最大值15，无最小值
【分析】（1）根据题设结合等差数列求和公式可得，进而求解即可；
（2）先根据等差数列求和公式可得，再结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，，则，解得，
所以.
（2）由，函数开口向下，对称轴为，
而，则或6时，取得最大值15，无最小值.
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专题03 有关数列的综合性问题
4大高频考点概览
考点01 数列中的奇数项、偶数项问题
考点02 数列中的新定义问题
考点03 数列与不等式等知识的交汇
考点04 数列中的最值问题
(
地
城
考点01
数列中的奇数项、偶数项问题
)
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
2．（24-25高二下·山东·期中）已知数列满足：，，则（ ）
A．34 B．42 C．46 D．64
3．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列
满足（m为正整数），若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（多选）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
6．（多选）（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知正项数列满足的前项和为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若， D．，则的值有3种情况
7．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，，则数列的前20项和_________．
8．（24-25高二下·云南玉溪·期中）大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则_____________，数列的前项和与数列的前_____________项和相等.
9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）记，分别为数列，的前项和，其中，．
(1)求的通项公式；(2)求．
10．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列，的前项和为，求．
11．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)求数列的前项和.
12．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的通项公式为，数列的前项和为.
(1)求；
(2)求.
13．（24-25高二下·山西太原·期中）已知数列的前项积为，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意，恒成立，求实数的最大值.
14．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且.
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
(
地
城
考点02
数列中的新定义问题
)
1．（24-25高二下·四川·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二·吉林长春·期中）奇偶归一猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘3再加1，如果它是偶数，则将它除以2，如此循环，最终都能够得到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，已知，且均不为1，记的最大值为的最小值为，则（ ）
A．122 B．124 C．123 D．96
3．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．数列的通项公式为
4．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）列昂纳多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1170-1250）发现，因研究兔子繁殖问题而提出，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．，使得，，成等比数列
C．，对，，，成等差数列
D．
6．（25-26高二上·北京·期中）定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，互为5阶友好数列
B．若，则，，互为5阶友好数列
C．若，则，使，互为4阶友好数列
D．若，则，使，互为4阶友好数列
7．（24-25高二上·江苏南通·期中）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.
8．（24-25高二下·广东·期中）设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______
9．（25-26高二上·福建漳州·期中）无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则______；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和______
10．（25-26高二上·福建宁德·期中）数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数.
(1)求的值.
(2)已知数列满足.
①求的前项和；
②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
11．（24-25高二下·辽宁·期中）定义：已知数列的前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”．
(1)若数列满足判断是否为“和完全平方数列”．
(2)若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
(3)若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式．
12．（24-25高二下·辽宁·期中）定义：如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列”．
(1)若数列的前项和满足，且，试判断是否为“跳动数列”并证明你的结论
(2)若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；
(3)若“跳动数列”满足，证明：或．
13．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中
(1)若数列的通项公式，求的通项公式；
(2)若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和.
14．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群：，，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设第个群中所有项的和为，求；
(3)设，数列的前项和为，证明：.
15．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x ，x ，若x ≠x ，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数.
(1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明：
16．（24-25高二下·广东·期中）角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题：
(1)若，求数列的项数；
(2)若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合；
(3)对任意的数列，求证：．
(
地
城
考点0
3
数列与不等式
等知识的
交汇
)
1．（24-25高二下·北京·期中）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·海南·期中）已知函数满足，且，设数列满足，当时，，则数列的前n项和的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，且满足，则________；若存在实数，使不等式对任意恒成立，则的取值范围为________.
5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________．
6．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____.
7．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________
8．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
9．（24-25高二下·山东日照·期中）设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
10．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知数列满足，，数列．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式．
(2)设的前项和为．
（i）求；（ii）若，，求的取值范围．
11．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围.
12．（24-25高二下·安徽宿州·期中）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和.
(3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：.（参考数据：）
13．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围．
14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和满足.其中.
(1)求的值.
(2)求证：数列为等差数列.
(3)证明：不等式对任意的正整数，都成立.
(
地
城
考点0
4
数列中的最值问题
)
1．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项
3．（多选）（24-25高二下·江西宜春·期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C．时，的最小值为15 D．最小时，
4．（24-25高二下·北京·期中）等比数列中，，记，则数列（　　）
A．无最大项，无最小项 B．有最大项，有最小项
C．无最大项，有最小项 D．有最大项，无最小项
5．（多选）（24-25高二下·辽宁大连·期中）小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（ ）
A．31 B．63 C．127 D．128
6．（25-26高二上·浙江宁波·期中）设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．时，最大
C．使的n的最大值为13 D．数列中的最小项为第8项
8．（多选）（24-25高二下·四川成都·期中）数列通项公式的本质是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数解析式，数列的图象是函数上的离散点．已知，，记数列的前项和为，则（ ）
A．的图象可以由向右平移个单位，再向上平移个单位得到
B．，使得
C．当时，取得最小值
D．数列的最大项的值为
9．（多选）（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．数列是递减数列 B．当时，最大
C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为
10．（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期中）无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，且，则单调递增
B．若为等比数列，且，则单调递增
C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项
D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项
11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______．
12．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列中，，，数列满足：，则______；若、分别是数列的最大项与最小项，则______．
13．（25-26高二上·湖南长沙·期中）记为等差数列的前项和，且满足，.
(1)求.
(2)是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由
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