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专题02 导数在函数中的应用
6大高频考点概览
考点01导数参变分离求参数范围
考点02导数分类讨论求参数范围
考点03导数求函数零点问题
考点04 导数求含参恒成立或有解问题
考点05 导数的几何意义
考点06 导数定义及运算
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（24-25高二下·湖北十堰·期中）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数和，若对，，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知，（），则使不等式恒成立的正整数的最大值为______.
三、解答题
3．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)求证：.
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．
(1)试判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，求证：．
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）定义：，其中.
(1)化简求值：；
(2)求证：当时，；
(3)对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)当，时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
7．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的值；
(3)已知数列满足，，证明：．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数有四个零点，，，（），则（ ）
A． B．
C． D．若，则
2．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．2e
3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．
C．函数只有1个零点
D．存在实数k，使得方程有4个实数解
二、解答题
4．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，函数有两个零点，求a的取值范围.
5．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知.
(1)当时，求函数的极值；
(2)，若存在3个零点，求实数的取值范围.
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数，
(1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围．
参考数据：．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象在点处的切线方程为
B．的单调递增区间为
C．在区间上的最大值为
D．若方程有两个不同的实数解，则
2．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意，恒成立，则的取值范围______.
三、解答题
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（24-25高二下·福建福州·期中）若直线与曲线相切，则（ ）
A．2 B．e C．2e D．
3．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数的图象在点P处的切线方程为，若点P的横坐标是2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
5．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值
B．当时，方程有两个不同的实根
C．
D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为__________.
三、解答题
8．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若曲线与轴相切，求实数的值.
9．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知函数．
(1)当时，斜率为的直线与的图象相切，求该直线与轴交点的横坐标；
(2)若是上的单调函数，求的取值范围．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．1 B．3 C． D．6
2．（24-25高二下·安徽·期中）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·安徽滁州·期中）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·安徽·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25高二下·安徽池州·期中）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，则（ ）
A． B．0 C． D．1
9．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高二下·安徽合肥·期中）吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的关系式为，则时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的（ ）
A．2倍 B．4倍 C． D．
11．（24-25高二下·安徽宿州·期中）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知，，则______.
14．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知的导函数为，函数，则__________．
三、解答题
15．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数.
(1)若时，，求的最小值；
(2)若时，判断曲线是否为中心对称图形？若是，试求出对称中心.
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专题02 导数在函数中的应用
6大高频考点概览
考点01导数参变分离求参数范围
考点02导数分类讨论求参数范围
考点03导数求函数零点问题
考点04 导数求含参恒成立或有解问题
考点05 导数的几何意义
考点06 导数定义及运算
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过参变分离得到，再求最值即可.
【详解】由题意得，恒成立.
令，则，
∴当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
.
故选：A.
二、填空题
2．（24-25高二下·湖北十堰·期中）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到 ，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围.
【详解】因为，所以
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即.令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，
且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立等价于当时，，
故时，恒成立，故.
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为.
故答案为：.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数和，若对，，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得，得到函数的单调性，求得，根据题意，转化为，转化为，分，和，三种情况讨论，求得函数得到单调性和最值，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当或时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
当时，由，且，所以，
若对，，使得，
只需，使得，即
由，可得，即，，
若时，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，此时；
当时，显然不成立；
当时，可得，令，可得，单调递增，
且时，；时，，所以，
综上所述，的取值范围为.
故选：C.
二、填空题
2．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知，（），则使不等式恒成立的正整数的最大值为______.
【答案】9
【分析】先讨论，的单调性，可得，进而可求正整数的最大值.
【详解】设，，故，
当时，；当时，；
故在上为单调递增，在上为单调递减，
因为，故即，又，故，
故，所以即，
而，，
故正整数的最大值为9.
故答案为：9
三、解答题
3．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，按、分类讨论求出函数的单调性.
（2）等价变形给定不等式，构造函数，利用特值确定，再借助不等式的性质放缩，利用导数推理得证.
（3）借助（2）的信息，得，令，可得，累加即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）不等式，
令，依题意，对任意成立，
而，则恒成立，即，
当时，对任意，，于是，
令，求导得，函数在上单调递增，
又，；，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此成立，即恒成立，
所以的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，
令，得，
因此，
即，
所以.
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．
(1)试判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，验证能否恒成立，由此可得出实数的取值范围；
（3）由（2）得当时，故只需证明，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出其函数值的符号变化，由此可证得结论成立.
【详解】（1）因为，该函数的定义域为，.
当时，，则在上是增函数；
当时，令，得，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，在上是增函数；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）即恒成立，则，
且函数在上为增函数，故，
当时，，则在是增函数，成立，合乎题意；
当时，，由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以不合题意．
所以．
（3）由（2）得当时，，
所以要证，只要，即证：，
设，，则，
因为函数、在上均为增函数，故函数在是增函数，
因为，，所以存在，使．
故时，，则在上为减函数，
当时，，则在上为增函数，
因为，，
所以时，，故命题成立．
5．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）定义：，其中.
(1)化简求值：；
(2)求证：当时，；
(3)对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）由，带入计算，即可求解；
（2）设，求得，得到函数的单调性和最小值，进而证得；
（3）由（2）可得，得到，求得，和，进而求得的最小值.
【详解】（1）解：由题意知：，
所以.
（2）解：设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以当时，，当且仅当时取等号.
（3）解：由（2）可得，当且仅当时取等号，
所以当，时，，
可得，
所以，则，
当时，，
所以，当时，，时，，
时，
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)当，时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意得，令，求导后令，再次求导得，讨论，两种情况判断是否恒成立；
（2）由（1）得恒成立，取，再相加即可得证.
【详解】（1）不等式，
令，求导得，
令，求导得，
而，则当，即时，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，符合题意，因此；
当时，由，得，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，，
取，则，而，
因此，
所以.
7．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的值；
(3)已知数列满足，，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由恒成立，通过，两类情况讨论即可；
（3）由（2）得到，再结合，得到，累加求和即可求证；
【详解】（1）当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程：；
即；
（2）在上单调递增，
等价于恒成立，
令，
当时，易知在上单调递增，
当时，，故时，，
不符合题意，舍去；
当时，，由，可得，
易知当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
由题意得最小值，
即，
构造函数，
，易知时，，，，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，取得最大值，
也即要使得成立，需满足，即；
（3）由（2）知，当时，
在上单调递增，
又，所以当时，，
由，又，易知
可得：，
所以，即
累加求和可得：，
即，
即，又，
所以，又，
所以.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数有四个零点，，，（），则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【分析】将函数零点转化为方程的根，令，即方程有两根，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可.
【详解】由题意知有四个不同的根，显然，即，
令，即，即.
另外，，
令，得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，可得函数的大致图象如图所示：

根据题意知存在两根，，不妨设，
则满足，.
即有，
则由图象可知，所以，故A正确；
由于方程的两根，满足，
所以，解得，故B确；
由，，得，
两边取自然对数得，故C不正确；
由，两边取自然底数得
若，则，
所以，
令，，所以恒成立，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，故D正确.
故选：ABD.
2．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．2e
【答案】C
【分析】首先参变分离为，转化为函数与有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象，即可求解.
【详解】令，即得，即方程有两个不同的解，
即直线与曲线有两个不同的交点，
可得，
所以当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图所示，所以实数的最大值为.
故选：C
3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．
C．函数只有1个零点
D．存在实数k，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【分析】对于A：求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据函数单调性分析判断；对于C：直接解方程即可；对于D：分和两种情况，构建，利用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断.
【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，
因为，
当，则；当，则；
可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，且在上单调递增，
所以，故B正确；
对于选项C：令，解得，
所以函数只有1个零点，故C正确；
对于选项D：令，则，
若，，方程成立；
若，则，
构建，则，
当时，；当或时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，且，
当趋近于，趋近于0，
可得的图象如图所示：
当时，则与有3个交点，
即方程有3个根；
综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确；
故选：BCD.
二、解答题
4．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导并求得导函数的零点，比较两根大小对参数a的取值进行分类讨论，即可得出结论；
（2）得出函数在上的单调性求出其最小值，再由零点个数求得a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
易知，
令，解得.
当时，.
的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，
的单调递增区间为和，的单调递减区间为
（2）.
当时，，则在上单调递增，
，即，函数在上没有零点.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
因此要使得在上有两个零点，只需，
，解得.
综上，a的取值范围为.
5．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知.
(1)当时，求函数的极值；
(2)，若存在3个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求出导函数，进而求出单调区间，根据极值的概念求解即可；
（2）易知有一个零点为，进而转化为方程有2个实根，参变分离，令，则函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，画出图象，数形结合求解即可.
【详解】（1）当时，，
由得得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得极小值为，无极大值.
（2）由函数，
可得有一个零点为，要使得存在3个零点，
则需方程有2个实根，
而方程可化为，
令，则函数与的图象有两个交点.
，令得，
当变化时，、的变化情况列表如下：
1
- - 0 + +
单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
所以函数在处取得极小值为2e.
当时，又，所以的大致图象如图：
由函数与的图象有两个交点，根据图象可得.
所以要使得存在3个零点，则实数的取值范围是.
6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数，
(1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围．
参考数据：．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据是奇函数确定的值，由题意知即求方程在上的实根个数，令，利用导数和函数零点存在定理判断；
（2）由，得或，令，利用导数求的图象性质，由其与有两个不同的交点，可解问题；
（3）由（2）得，由，令，分，，和进行研究.
【详解】（1）因为函数是奇函数，
所以，即，
所以，所以．
所以当时，，所以，
由题意知即求方程在上的实根个数，
令，则，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增．
所以，
又，，
所以由函数零点存在定理知，，，使得，．
所以当时，在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为2．
（2）由题知，即，其定义域为，
则，．
令，得或，
设，则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减，
又当时，；当时，，且，
所以的大致图象如图所示．
因为在定义域内有三个不同的极值点，
所以与有两个不同的交点，所以．
（3）由（2）得，由，
令，则，，．
①若，则，所以单调递减，
因为在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，
所以即解得．
②若，当时，，在上单调递增，
则即，解得；
当时，，在上单调递减，
则，即，解得．
当时，令得．当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，
令，则，
令，得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，即．
由题意知或，结合，解得或．
综上，若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，
则实数的取值范围为．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象在点处的切线方程为
B．的单调递增区间为
C．在区间上的最大值为
D．若方程有两个不同的实数解，则
【答案】AD
【分析】利用导数研究的单调性和极值，并画出大致图象，再依次判断各项的正误.
【详解】由题设
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当时，恒成立，且时，极小值，无极大值，
所以函数大致图象如下，

由上分析，，，则点处的切线为，即，A对；
在上单调递减，B错；
在区间上的最小值为，C错；
要使方程有两个不同的实数解，只需，即，D对.
故选：AD
2．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可.
【详解】令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因不等式有解，则，得，
则实数m的取值范围为.
故选：C
二、填空题
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意，恒成立，则的取值范围______.
【答案】
【分析】根据函数的新定义，求得，由任意，恒成立，转化为任意，恒成立，设，求得，得到单调递增，得到，转化为任意， 恒成立，再设，求得，得到所以单调递增，进而得到恒成立，求得的取值范.
【详解】由题意得，函数
所以对任意，恒成立，即对任意，恒成立.
设，可得，所以单调递增，
由，即，
所以对任意，恒成立，即对任意，恒成立.
设，则，所以单调递增；
当时，，所以恒成立，只需，
结合可得，实数的取值范围.
故答案为：.
三、解答题
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，定义域为，
则，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由恒成立，即恒成立，
即恒成立，
令，则定义域为，
则，
令，恒成立，
在上单调递增，又，，
，使得，即，，
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，
且当时，，当时，，
由此可得图象如下图所示，
因直线恒过定点，且斜率为，
若恒成立，结合图象可知：必有，解得，
实数的取值范围为.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】由函数，求得，根据题意，得到，解得，得到，将其代入切线方程，即可求解的值，得到答案.
【详解】由函数，可得，
因为直线与曲线的切点为
可得，解得，可得，即，
将点代入切线，可得，解得.
故选：D
2．（24-25高二下·福建福州·期中）若直线与曲线相切，则（ ）
A．2 B．e C．2e D．
【答案】A
【分析】设切点，再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点为，对函数求导得，
则在点处的切线的斜率，
又切点在直线上，
所以，即，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则由得，所以，
所以.
故选：A.
3．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数的图象在点P处的切线方程为，若点P的横坐标是2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意求出点P的纵坐标，从而可求得，再根据导数的几何意义求出，然后可求出的值.
【详解】因为函数的图象在点P处的切线方程为，点P的横坐标是2，
所以点P的纵坐标为，所以，
因为点P处的切线方程为，所以，
所以.
故选：D.
4．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的导数公式求值，再根据导数的几何意义即可选出正确答案.
【详解】由题意，所以斜率.
故选：C.
5．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值
B．当时，方程有两个不同的实根
C．
D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A，对求导，利用极值点的定义可求；对于B，作出的图象，利用数形结合思想可解；对于C，注意，构造函数，利用单调性即可判断与的大小，结合的单调性即可判断；对于D，根据条件，过点的切线与平行时距离的最小，利用导数几何意义求出切点即可.
【详解】对于选项A，因为，则，
当时，，当时，，且，
所以是的极小值点，
又，所以选项A正确，
对于选项B，由选项A知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，当时，，的图象如图，
令，由图知，当时，与有两个交点，
当时，与只有一个交点，所以选项B错误，
对于选项C，由，
联想到构造函数，
在上为正，在上为负，
上上为增函数，在上为减函数
由，可得
由在上为增函数，可得故C错误，
（对于选项C也可先估算出，再结合的单调性判断出C错误）
对于选项D，设点，易知当曲线在处的切线与平行时，
点到直线的距离最小，又，
则，令，则，
易知，当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，且时，，又，所以，
又，得到，所以到直线的距离为，故选项D正确，
故选：AD.
6．（24-25高二下·安徽池州·期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，据此求解即可.
【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，
求导得，令，解得或（舍去），
当时，，即，
由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为.
故选：C.
二、填空题
7．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】由导数的几何意义即可求解.
【详解】解：因为，
所以切线斜率，
又
所以切线方程为，
即，
故答案为：
三、解答题
8．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若曲线与轴相切，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出、后可得切线方程；
（2）设曲线与轴相切于，由题设可得，故可求的值.
【详解】（1）若，则，
故，而，
故曲线在点处的切线方程为.
（2），
设曲线与轴相切于，则，解得
故.
9．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知函数．
(1)当时，斜率为的直线与的图象相切，求该直线与轴交点的横坐标；
(2)若是上的单调函数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求函数的定义域和导函数，设切点横坐标为，由条件结合导数的结合意义列方程求，由此可求切线方程，再求该切线与轴交点的横坐标；
（2）分是上的单调递增函数和是上的单调递减函数两种情况，结合导数与函数的单调性的关系转化条件，结合不等式恒成立的处理方法求结论.
【详解】（1）函数定义域为．
，，
设切点横坐标为，则，，
将代入上式，可得，即，
解得或（舍去），又，
从而切点为，所以切线方程为，
所以切线方程为，
令，得，
所以曲线的斜率为的切线与轴交点的横坐标为；
（2）由（1）得，，
当是上的单调递增函数时，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，，
令，则，则
函数对称轴为直线，在上单调递增，
，，
．
当是上的单调递减函数时，在上恒成立，
，，
由，得．
综上得，或．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．1 B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】据在某点处的导数的定义，可求得答案.
【详解】.
故选：C.
2．（24-25高二下·安徽·期中）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义求解瞬时速度即可.
【详解】因为，所以，得到，
则该质点在时的瞬时速度为，故C正确.
故选：C
3．（24-25高二下·安徽滁州·期中）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解.
【详解】因为，所以，令，得，
即该运动员在时的瞬时速度为.
故选：C.
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】求导，可得切点坐标为，切线斜率，结合题意列式求解即可.
【详解】因为，，
当时，则，
即切点坐标为，切线斜率，
由题意可得：，解得.
故选：A.
5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将极限形式转化成导数，再对求导代入数值即可.
【详解】，则，得，
则.
故选：C.
6．（24-25高二下·安徽·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用常数函数的求导法则判断A，利用对数函数的求导法则判断B，利用同角三角函数的基本关系结合三角函数的求导法则判断C，利用幂函数的求导法则判断D即可.
【详解】对于A，易得，故A错误，
对于B，由对数运算性质得，
则，故B正确，
对于C，由同角三角函数的基本关系得，
则，故C正确，
对于D，由幂函数求导法则得，故D错误.
故选：BC
7．（24-25高二下·安徽池州·期中）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则即可求解.
【详解】A选项，，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，故D正确.
故选：CD.
8．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】对函数求导后直接代入计算即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：D.
9．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由二项式定理即可判断；对于BC，赋值即可判断；对于D，先求导，再赋值即可判断.
【详解】对于A，由题意，展开式的通项公式为，
所以，故A正确；
对于B，设，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10．（24-25高二下·安徽合肥·期中）吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的关系式为，则时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的（ ）
A．2倍 B．4倍 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得，分别求得和，进而求得膨胀率，得到答案.
【详解】由题意知：，可得，
当时，可得；当时，可得
所以时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的倍.
故选：B
11．（24-25高二下·安徽宿州·期中）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数运算公式，即可判断.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
12．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，进而求出函数值即可.
【详解】函数，求导得，则，而，
所以.
故选：D
二、填空题
13．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知，，则______.
【答案】
【分析】根据导数的定义，基本初等函数的导数公式可得，再根据同角三角函数的平方关系求值即可.
【详解】记，则，
由，可得，
所以.
故答案为：.
14．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知的导函数为，函数，则__________．
【答案】
【分析】由简单复合函数求导即可求解.
【详解】，
所以，
故答案为：
三、解答题
15．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知函数.
(1)若时，，求的最小值；
(2)若时，判断曲线是否为中心对称图形？若是，试求出对称中心.
【答案】(1)
(2)是，对称中心为点
【分析】（1）当时，求得，由，结合，即可求得的最小值；
（2）由，结合的定义域关于对称，且，得到对称中心.
【详解】（1）解：由函数，可得的定义域为.
当时，函数，可得，
因为，所以，当且仅当，等号成立，
又因为，可得，解得，
所以的最小值为.
（2）解：当时，由函数，
则函数的定义域关于对称，
且
所以曲线是中心对称图形，对称中心为点.
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