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专题04 计数原理
14大高频考点概览
考点01排列组合计算
考点02排列数、组合数
考点03数字问题
考点04排队问题（相邻、不相邻、定序）
考点05分组分配问题
考点06多元问题
考点07多面手问题
考点08染色问题
考点09最短路径问题
考点10求指定项系数
考点11两个二项式乘积问题
考点12三项展开式系数
考点13系数和、二项式系数和问题
考点14整除问题
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)计算的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据排列数和组合数公式和性质计算即可.
【详解】.
故选：A.
2．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)求的值为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．30
【答案】A
【分析】应用组合数的计算公式计算即可.
【详解】，
故选：A.
3．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据排列数和组合数公式可得出关于的等式，结合可求得的值，进而可得出的值.
【详解】由题意可知，由可得，
整理可得，即，
因为，解得，故.
故选：C.
二、填空题
4．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)若，则______________.
【答案】或
【分析】根据组合数的性质计算可得.
【详解】因为，所以或，
解得或，经检验符合题意.
故答案为：或
三、解答题
5．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程.
(1)求值：；
(2)解方程：；
(3)已知，求.
【答案】(1)165
(2)或
(3)
【分析】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值.
（2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程.
（3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值.
【详解】（1）根据组合数的性质，且，
所以.
根据可求得：.
所以.
（2）因为，所以或者.
当时，；
当时，.
所以或.
（3），.
因为，
所以，化简得：
，即.
解得或者.
又在中，，即，所以.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．20 B．26 C．32 D．36
【答案】B
【分析】由间接法以及组合数即可求解.
【详解】从个球中任取个球的取法共有种，
两个球都不是红球的取法有种，
所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为.
故选：B.
2．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】D
【分析】用总的情况数减去全是女生的情况数即可求解.
【详解】由题意从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
从3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
所以选出的2人中至少有一名男生方法数为.
故选：D.
二、多选题
3．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．5个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手10次
C．若把英文“english”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有5040种
D．吴老师将手里5张演唱会的门票分给本班数学成绩前10名中的5人，则分法有种
【答案】ABD
【分析】利用排列数公式判断A；利用组合计数问题列式判断BD；利用全排列列式求解判断C.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，5个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手（次），B正确；
对于C，英文“english”的7个字母全排列为，而正确的顺序只有1种，
所以可能出现的错误共有（种），C错误；
对于D，将5张演唱会的门票分给10名中的5人，共有种不同分法，D正确.
故选：ABD
三、填空题
4．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有____________种承包方式（用数字作答）.
【答案】60
【分析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，再让乙承包2项，剩下的3项丙承包，根据分步乘法原理可求得结果.
【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有种，再让乙承包2项，有，剩下的3项丙承包，
所以由分步乘法原理可得共有种方案，
故答案为：60
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)从五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】A
【分析】利用排列可求无重复数字的三位数的个数.
【详解】无重复数字的三位数的个数为，
故选：A.
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【答案】B
【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
二、填空题
3．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)从0，1，2，3中任选3个数字组成一个三位数，组成的偶数的个数为_____.
【答案】10
【分析】对和分类讨论，按照分类加法计数原理计算可得.
【详解】若3个数字中没有0，则组成的偶数的个数为；
若3个数字中有0和2，则组成的偶数的个数为；
若3个数字中有0，没有2，则组成的偶数的个数为.
所以从0，1，2，3中任选3个数字组成一个三位数，组成的偶数的个数为.
故答案为：
三、解答题
4．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
【答案】（1）72个；（2）72个；（3）1200个.
【分析】（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可.
（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即可.
【详解】解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
个.
（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个
（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
【答案】B
【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.
故选：B
2．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；∴
故选：A.
3．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（ ）
A．72种 B．84种 C．120种 D．150种
【答案】C
【分析】根据排列组合的知识，先将C班的人按照不相邻的条件排列，共有4种情况，然后针对每种情况利用插空法再将A班和B班的人进行排列，最后将其相加得到总的排法数.
【详解】因为C班3人不相邻排列，所以有以下情形的排列方式：
第一类，C班3人分别在第一 第三 第五个位置，则有种排法；
第二类，C班3人分别在第一 第三 第六个位置，则有种排法；
第三类，C班3人分别在第一 第四 第六个位置，则有种排法；
第四类，C班3人分别在第二 第四 第六个位置，则有种排法；因此不同排法共有种.
故选：C.
二、多选题
4．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)2025年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲子跑四个项目．在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和健康跑、亲子跑四个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（ ）
A．若全程马拉松项目必须安排2人，其余三项各安排1人，则有60种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有240种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．安排这5人排成一排拍照，若甲不站排头或排尾，则有72种不同的站法
【答案】ABD
【分析】根据先分组再排列结合分步乘法原理和分类加法原理分别计算各个选项即可求解.
【详解】对于A，先从5人中选2人安排到全程马拉松项目，有种方法，
然后剩下3人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有（种），
则由分步乘法计数原理可知共有种分配方案，故A正确；
对于B，将5个人分成4组，且每组至少1人，则分法为1，1，1，2，
则不同的分配方案有（种），故B正确；
对于C，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的3人进行全排列，
所以不同的站法有（种），故C错误；
对于D，安排这5人排成一排拍照，若甲不站排头或排尾，则甲有3个位置可以选择，
余下4人在剩下的4个位置全排列，则有种不同的站法，故D正确．
故选：ABD．
5．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（ ）
A．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种
B．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种
C．5名同学排成一排，甲乙丙按从左到右的顺序，则不同排法共有20种
D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案
【答案】ACD
【分析】由捆绑法，插空法即可判断A，由特殊元素优先法即可判断B，由倍缩法即可判断C，先分组再分配然后代入计算，即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确，
对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，
则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
则不同的排法共有种，故B不正确，
对于C，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故C正确，
对于D，将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班，
所以分配方案有种，D正确．
故选：ACD
三、填空题
6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有______种．
【答案】120
【分析】根据相邻问题“捆绑法”和排列数公式，利用分步乘法计数原理计算即得.
【详解】先将甲乙“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，甲乙内部全排；
再考虑丙在丁的左边，和丁在丙的左边的情况的排列数相等，故有种方法.
故答案为：120.
四、解答题
7．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？
(1)男生甲不站排头和排尾．
(2)两名女生必须相邻．
(3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻．
(4)甲不站排头，乙不站排尾．
【答案】(1)种
(2)种
(3)种．
(4)种
【分析】（1）先考虑甲的位置，再全排列即可求解，
（2）根据相邻问题捆绑法即可求解，
（3）根据不相邻问题插空法即可求解，
（4）根据全排列，结合正难则反即可求解.
【详解】（1）由于甲不站排头也不站排尾，所以甲要站在除去排头和排尾的四个位置，
余下的五个位置使五个元素全排列，
根据分步计数原理知共有种；
（2）两名女生必须相邻，利用捆绑法，有种
（3）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法，
首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果，
再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有，
根据分步计数原理知共有种．
（4）甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有种．
8．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
(1)全体站成一排，男生互不相邻；
(2)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端；
(3)若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面.
【答案】(1)1440
(2)960
(3)3720
【分析】（1）不相邻问题采用插空法求解即可；
（2）甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，求解即可；
（3）采用间接法，先不考虑条件限制所有人全排，然后减去不符合题意的求解即可.
【详解】（1）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，
将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有种.
（3）不考虑条件限制所有人全排有，
除去甲站在最左面有：，乙站在最右面有：；
其中甲站在最左面和乙站在最右面算了2次，补上一次；
总的方法为：.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)5个班分4个入团名额，每个班至多分两个名额，名额必须分完，那么不同的分法有（ ）种．
A．15 B．35 C．45 D．60
【答案】C
【分析】结合分组分配问题，两类计数原理求解即可.
【详解】由题意，入团名额是相同的元素，班级是不同的元素，
将4个入团名额分给5个班，有以下分组：，，，
若按分组分配，共有种，
若按分组分配，共有种，
若按分组分配，共有种，
所以一共有种分法.
故选：C.
2．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
【答案】D
【分析】6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解.
【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，
4组分配到4个大门有种方法；
根据乘法原理不同的分配方法数为：.
故选:D.
二、多选题
3．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三人，每人各本，有90种分法；
B．分给甲 乙 丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；
C．分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；
【答案】ABD
【分析】选项A，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲 乙 丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.
【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.
所以不同的分配方法有种，故A正确；
对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲 乙 丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确；
对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故C错误；
对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故D正确.
故选：.
4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．若自由放置，共有3125种不同的放法
B．恰有一个盒子不放球，共有240种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种
D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
【答案】ACD
【分析】结合组合数、排列数由分步乘法计算原理逐项计算即可求解；
【详解】对于选项A：每个小球都有5种选择，所有共有种，故A正确；
对于选项B：第一步，选择一个盒子不放球，由,
第二步，5个小球分成4组，分别放入4个盒子有：，
所以共有种，故B错误；
对于选项C：第一步选择两个盒子使得编号与小球相同，有，
第二步，剩下3个球，3个盒子使得盒子编号与小球编号不相同共有2种，
所以共有20种，故C正确；
对于选项D：第一步，确定哪个盒子不放球，有，
第二步，剩下四个盒子确定哪个盒子放两个球，即可；
所有共有20种，故D正确；
故选：ACD.
5．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
【答案】ABC
【分析】对于选项按照组合的要求分步求取即可，对于选项可采用间接法求取.
【详解】对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种，女生的选法有种，所以共有种不同的选法.故A正确.
对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，
有种不同的选法，故B正确.
对于C，在10人中任选4人，有种不同的选法，甲乙都不在其中的选法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，故C正确.
对于D，在10人中任选4人，有种不同的选法，只有男生的选法有种， 10人中任选4人不可能全是女生，故4人中必须既有男生又有女生的选法有种，故D错误.
故选：
6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段
B．从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法
C．将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法
D．将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法
【答案】BC
【分析】A选项，利用组合知识得到答案；B选项，按照选出的女生人数，分三种情况，进行求解，再相加得到答案；C选项，5名工人分为2,2,1或3,1,1，结合部分平均分组的方法求出两种情况下的分配方法，相加得到答案；D选项，采用隔板法进行求解.
【详解】A选项，平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成条线段，A错误；
B选项，从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，
其中选出1名女生，2名男生的选法有种，
选出2名女生，1名男生的选法有种，
选出3名女生的选法有种，
故至少一名女生被选中共有种选法，B正确；
C选项，将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，
故5名工人分为2,2,1或3,1,1，
若5名工人分为2,2,1，则有种分配方法，
若5名工人分为3,1,1，则有种分配方法，
综上，共有种分配方法，C正确；
D选项，可考虑隔板法，由于每个盒子至少放1个球，
所以5个相同的小球排成一排，5个小球之间共有4个空，插入2个挡板，
故有种方法，D错误.
故选：BC
7．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ）
A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有
B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有
C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种
D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种
【答案】ACD
【分析】A计算每次使用法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；B先将7件法宝分成3组，每组至少2件，再进行分配；C先排列其余5件法宝，再利用插空法排列即可；D利用倍缩法解决定序问题即可．
【详解】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝，
对于A，每次使用法宝有种，
因可以重复使用，则对阵3次 不同的使用法宝的方法有种，故A正确；
对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种，
则对阵3次 不同的使用法宝的方法有种，故B错误；
对于C，先将除乾坤圈 风火轮以外的5种法宝排列，共有种，
再利用插空法将乾坤圈 风火轮插入6个空位置中，
则不同的使用法宝的方法有种，故C正确；
对于D，先将7件法宝排列共有种，
再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题
8．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲 乙 丙 丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有_______________ 种分配方法（用数字作答）；
【答案】
【分析】利用分组分配求解
【详解】先把名志愿者分成共组，然后再进行排列，有种不同的分配方法，
故答案为：
四、解答题
9．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)解决下列问题，结果用数字表示.
(1)有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式；
(2)有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式；
(3)有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式.
【答案】(1)90
(2)28
(3)7
【分析】（1）将6个球分为三组，然后分三种情况计算，即可得到结果；
（2）利用隔板法即可得到结果；
（3）分6个小球入一个盒子，两个盒子以及三个盒子讨论，即可得到结果；
【详解】（1）6个球分为三组有以及以及三种情况，
种；
（2）利用隔板法可得，
所以一共有：28种存放方式.
（3）①6个小球入一个盒子有1种情况；
②6个小球入两个盒子有，共3种情况；
③6个小球入三个盒子有，共3种情况；
所以一共有：7种存放方式.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（ ）
A．27种 B．36种 C．54种 D．72种
【答案】C
【分析】分类讨论甲是否排最右端，结合排列数组合数分析求解.
【详解】若最右端排甲，则最左端不能排乙，不同的排法共有种；
若最右端不排甲，则甲、乙不能排两端，不同的排法共有种；
所以不同的排法共有种.
故选：C.
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（ ）
A．32种 B．24种 C．18种 D．12种
【答案】B
【分析】按照跳高项目安排人数，分成两种情况讨论即可.
【详解】按照跳高项目安排人数，可以分以下两类：
第一类，跳高项目安排1人，共种安排方法，
第二类，跳高项目安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
故选：B.
3．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑五名同学选修四门课程的所有情况种数，然后对选修数独、几何画板的人数进行分类讨论，结合分类、分步计数原理与古典概型的概率公式求解即可.
【详解】将五名同学分为四组，每组人数分别为、、、，分组方法种数为种，
所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，
不同的报名种数为种，
考虑数独的报名人数，
①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有种情况，
若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有种情况，
最后将剩余人分为两组，再分配给另外两门课程，
此时不同的选择情况种数为种；
若选修几何画板有两人，有种情况，剩余两人选修剩余两门课程，
此时不同的选择方法种数为种；
②若数独有两人报名（乙和丙），
则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况.
剩余两人报名剩余两名课程，
此时不同的选择方法种数为种.
综上所述，所求概率为.
故选：D.
二、解答题
4．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
(1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
【答案】(1)540种；
(2)65种.
【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；
（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.
【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ）
A．36种 B．52种 C．88种 D．92种
【答案】D
【分析】有2名演员既会京剧也会豫剧，分既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中讨论，结合组合知识可得答案.
【详解】分析可得：有2名演员既会京剧也会豫剧，称为能手
（1）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中，
此时只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择3人，共种选择；
（2）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人，有种选择，
此人去进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择3人，
有种选择，
此人去进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择2人，
有种选择，
此时共有种选择；
（3）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，
2人均进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择1人，只会唱豫剧的4人选择3人，
有种选择，
2人均进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人选择3人，只会唱豫剧的4人选择1人，
有种选择，
2人有1人进行唱京剧，1人进行唱豫剧，有种选择，
再从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择2人，有种选择，
此时有种选择，
所以若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，有种选择，
综上：共有种选择.
故选：D.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)现有四种不同颜色可供选择，需给图中5个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．112种 B．146种 C．192种 D．168种
【答案】D
【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求解.
【详解】对1，4，5染色，有种方法.若1和3同色，则不同的染色方法有种；
若1和3不同色，则不同的染色方法有种.
综上，不同的染色方法有168种.
故选：D.
2．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种 B．360种
C．420种 D．540种
【答案】C
【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.
【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，
若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色，
此时不同的涂色方案有种；
若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色，
余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种；
若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种；
综上，不同的涂色方案有：种.
故选：C.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.

A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法，
其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法，
故共有条路线.
故选：B
二、填空题
2．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)某城市的交通道路如图，从城市的西南角到城市的东北角，经过城市中心广场，最近的走法种数有__________种．
【答案】60
【分析】解决本问题可以分为两步来解决，先查出A到的走法，再查出到的走法，相乘即得答案.
【详解】用分步乘法原理解题，分两步，
第一步，由A到，共走5段路，3横5竖，共有种走法；
第二步，由到，共走4段路，2横2竖，共有种走法
最近的走法种数有种
故答案为：60
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．180 B．270 C．360 D．540
【答案】A
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，所以常数项为.
故选：A
2．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)的二项展开式中的系数为（ ）
A．15 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为3，求出，从而可求得结果.
【详解】的通项公式为：，
令，可得，
所以二项展开式中的系数：．
故选：B．
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】利用二项式系数的性质直接计算即可.
【详解】由二项式定理知其展开式有21项，
根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项.
故选：C
4．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)在二项式的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】二项式的展开式通项为，
令，解得，所以，展开式中含项的系数为.
故选：D.
5．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B．252 C． D．28
【答案】B
【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解.
【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，
展开式中的系数为，
故选：B
6．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数.
【详解】已知的展开式第项为，
当，为含项，二项式系数为.
故选：C.
二、多选题
7．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ）
A． B．展开式中项数共有13项
C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3
【答案】ACD
【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解.
【详解】依题意，展开式的通项公式为，
因为第6项为常数项，
所以时，有，解得，故A正确；
由，得展开式中项数共有项，故B错误；
令，得，
所求含项的系数为.故C正确；
由,令，,则，即，
因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D.
故选：ACD.
三、解答题
8．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1.
(1)求m的值；
(2)求展开式中含的项.
【答案】(1)5；
(2).
【分析】（1）利用二项式系数及组合数的性质求出.
（2）由（1）求出展开式的通项公式，进而求出指定项.
【详解】（1）由的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1，得，
所以.
（2）由（1），的展开式的通项公式为，
由，解得，
所以展开式中含的项为.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．80 D．100
【答案】A
【分析】先求出展开式的通项，从而得到展开式中的系数为..
【详解】因为，
其中展开式的通项为，
当时，，
故，其他项均不合要求，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
二、填空题
2．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
3．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)在的展开式中，的系数是_______．
【答案】110
【分析】写出二项式的展开式，从而可得的展开式中的系数.
【详解】因为二项式的展开式为：
，
所以的展开式中含的项为，
则含的系数为，
故答案为：
4．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)在的展开式中，的系数为____
【答案】
【分析】由，求得的展开式的通项，进而求解即可.
【详解】由，
因为的展开式的通项为公式为，，
当时，，
当时，，
所以的展开式中含的项为，其系数为.
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)多项式展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出展开式通项，对照项，求出参数值，代入通项后即可得解.
【详解】的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以的展开式通项为，
由可得，故展开式中项的系数为.
故选：A.
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B．30 C． D．60
【答案】C
【分析】利用二项式定理可得，令得，再求出中含的项，系数相乘即可确定的系数.
【详解】展开式的通项为，
令，得，则，
又的展开式的通项为，令，得，
故中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)(x2+1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为（ ）
A．2 B．0
C．－2 D．－4
【答案】C
【分析】运用赋值法，令x＝1，求得a12，再令x＝2，求得a0＋a1＋…＋a11＋a12．可得选项.
【详解】由题意，令x＝1，得a12＝(12＋1)(1－2)10＝2；
再令x＝2，得a0＋a1＋…＋a11＋a12＝(22＋1)·(2－2)10＝0．所以a0＋a1＋…＋a11＝－2．
故选:C．
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知二项式，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用赋值法可得特定项的系数及项的系数之和.
【详解】,
令，则，
即，又，
所以，
故选：D.
二、多选题
3．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C．展开式中的常数项为540
D．展开式中二项式系数最大的项是第四项
【答案】ABD
【分析】令，可求出，然后再结合组合的知识、二项式系数的性质、系数的变化规律逐项判断．
【详解】令，得，得，故A正确；
展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确，
由上得二项式为，常数项为，故C错误；
最大的二项式系数为，即第四项的二项式系数最大，故D正确；
故选：ABD．
4．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定的等式，利用二项式定理，结合赋值法逐项求解判断.
【详解】对于A，取，得，A正确；
对于B，取，得，因此，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，取，得，
因此，D正确.
故选：ACD
5．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由，可判断A，当时，可判断B，利用展开式的通项求出，可判断C，当时，可判断D．
【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误；
则，令，可得，故B正确；
因为展开式的通项为，，
所以，所以，故C正确；
由展开式的通项为，，
所以，，
所以，
令，可得，
所以，故D正确.
故选：BCD．
6．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，下列说法正确的是（ ）
A．展开式中各项系数和为 B．展开式中系数最大的项是第项
C．展开式中各系数的绝对值之和为 D．
【答案】AC
【分析】对于A，赋值直接求得即可；对于B，利用通项直接求出正数项系数比较大小即可；对于C，赋值直接求得即可；对于D，利用赋值后相加减求得，，比较即可.
【详解】对于A，令，，故选项A正确；
对于B，展开式通项为：，
由题意易知：均为负值，且，，，
所以展开式中系数最大的项是第项，故选项B错误；
对于C，令，则，所以选项C正确；
对于D，由，
，
得：，即，
得：，
即，所以，所以选项D错误；
故选：AC.
7．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为64
B．展开式中有理项的个数为3
C．若，则展开式的常数项为
D．若展开式中各项系数之和为64，则
【答案】AC
【分析】根据二项式展开式的通项公式，对四个选项进行分析.
【详解】A选项，展开式中二项式系数之和为，故A正确；
B选项，，其中为整数，且，
若为展开式中的有理项，则为整数，即为偶数，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
以上均满足有理项要求，故共有4项，故B错误；
C选项，当时，，其中为整数，且，
令，解得，此时，
故常数项为60，故C正确；
D选项，令中的得，，
所以或， D错误；
故选：AC.
三、填空题
8．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为__________.（用数字作答）
【答案】240
【分析】利用二项式系数和求得，进而利用二项式展开式的通项公式可求得常数项.
【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，所以，则，
二项式的通项为：，，
令，得，故常数项是.
故答案为：.
四、解答题
9．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知，满足．
(1)求n的值；
(2)求的值．
【答案】(1)5
(2)20
【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）利用赋值法可得，进而利用二项式通项求解.
【详解】（1）取，可得，
故，所以
（2）取，可得，
，
由于的通项为，表示的系数，
所以,
故
10．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知．
(1)求的值；
(2)求的值（结果用数字表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件，令，化简可得的值，再令，化简可得结果；
（2）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值.
【详解】（1）在中，
令，得，所以.
在中，
令，得，
所以.
（2）∵的展开式的通项公式为，
∴.
11．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数为常数．
(1)求的值；
(2)若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求的值；
(3)当时，求展开式中含项的系数．
【答案】(1)8；
(2)；
(3)1120.
【分析】（1）由二项式系数和公式直接计算得解；
（2）确定二项式系数最大的项，结合通项公式求出相应项计算系数，建立关于a的方程即可求解；
（3）由通项公式求出相应项即可得解.
【详解】（1）由题可得.
（2）由（1）可知展开式中二项式系数最大值为，为展开式中第5项，
而，所以即，
（3）当时，展开式中含有的项为，
所以展开式中含项的系数为1120.
12．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)已知函数．
(1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
(2)若，且.
①求的值；
②求的最大值．
【答案】(1)或；
(2)①；②
【分析】（1）根据二项展开式可知二项式系数最大的项为第三项或第四项，结合通项公式可得结果.
（2）①根据通项公式可求得的值，通过求导可得结果.
②根据，解不等式组可得结果.
【详解】（1）当时，，二项式系数为，其中最大值为，
∴的展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项.
∵，，
∴的展开式中二项式系数最大的项为或.
（2）①由题意得，，通项为，
当时，，
∵，∴，解得，
∵，∴，故，
∵，
∴，
令，得（或）.
②由①得，的通项为，
∴.
设为中的最大值，
则，故，解得，
∵，∴，
∴的最大值为.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如8和14被3除得的余数都是2，则记.若，且，则的值可以是（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
【答案】A
【分析】利用二项式定理得到，从而被10除得的余数是1，所以被10除得的余数也是1，得到答案.
【详解】
，
故被10除得的余数是1，所以被10除得的余数也是1，
其中满足要求，其他三个选项不合要求.
故选：A
二、多选题
2．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知的展开式中所有二项式系数之和为512，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．展开式中第四项和第五项的二项式系数最大
C．除以4的余数为1
D．展开式中常数项为672
【答案】AD
【分析】根据在二项展开式中二项式系数和为，求出可判断A；根据二项式系数的性质求解可判断B；，结合二项展开式的通项公式可判断C；利用展开式通项进而可求出展开式中的常数项D.
【详解】对于A，由题意得，，得，故A正确；
对于B，由于为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故B不正确；
对于C，的展开式中除首项外，其余各项都含因数4，所以除以4的余数为3，故C不正确
对于D，展开式通项为，
则令，所以，常数项为，故D正确.
故选：AD.
三、解答题
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，其中，，，，．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
(1)求的值；
(2)求（用数值作答）；
(3)若，求二项式的值被7除的余数．
【答案】(1)8；
(2)；
(3)1.
【分析】（1）根据二项式系数的性质求解可得；
（2）分别令，即可求解；
（3）将代入二项式得，变形为，利用二项式定理展开，根据是7的倍数即可求得余数.
【详解】（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，
所以，解得.
（2）令得，
令得，
所以.
（3）若，则
，
因为是7的倍数，所以能被7整除，
所以被7除的余数为1.
4．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求展开式中项的系数；
(2)求被除的余数.
【答案】(1)；
(2)3
【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n；
（2）由（1）知，利用二项式定理展开，即可数据是除7余3.
【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得；
选条件②常数项为，由，则常数项为，解得；
选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得；
所以展开式中项的系数为.
（2）
，
，
所以被7除的余数为3.
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专题04 计数原理
14大高频考点概览
考点01排列组合计算
考点02排列数、组合数
考点03数字问题
考点04排队问题（相邻、不相邻、定序）
考点05分组分配问题
考点06多元问题
考点07多面手问题
考点08染色问题
考点09最短路径问题
考点10求指定项系数
考点11两个二项式乘积问题
考点12三项展开式系数
考点13系数和、二项式系数和问题
考点14整除问题
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)计算的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)求的值为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．30
3．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)若，则______________.
三、解答题
5．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程.
(1)求值：；
(2)解方程：；
(3)已知，求.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．20 B．26 C．32 D．36
2．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
二、多选题
3．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．5个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手10次
C．若把英文“english”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有5040种
D．吴老师将手里5张演唱会的门票分给本班数学成绩前10名中的5人，则分法有种
三、填空题
4．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有____________种承包方式（用数字作答）.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)从五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
二、填空题
3．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)从0，1，2，3中任选3个数字组成一个三位数，组成的偶数的个数为_____.
三、解答题
4．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
2．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（ ）
A．72种 B．84种 C．120种 D．150种
二、多选题
4．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)2025年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲子跑四个项目．在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和健康跑、亲子跑四个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（ ）
A．若全程马拉松项目必须安排2人，其余三项各安排1人，则有60种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有240种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．安排这5人排成一排拍照，若甲不站排头或排尾，则有72种不同的站法
5．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（ ）
A．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种
B．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种
C．5名同学排成一排，甲乙丙按从左到右的顺序，则不同排法共有20种
D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案
三、填空题
6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有______种．
四、解答题
7．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？
(1)男生甲不站排头和排尾．
(2)两名女生必须相邻．
(3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻．
(4)甲不站排头，乙不站排尾．
8．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
(1)全体站成一排，男生互不相邻；
(2)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端；
(3)若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)5个班分4个入团名额，每个班至多分两个名额，名额必须分完，那么不同的分法有（ ）种．
A．15 B．35 C．45 D．60
2．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
二、多选题
3．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三人，每人各本，有90种分法；
B．分给甲 乙 丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；
C．分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；
4．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．若自由放置，共有3125种不同的放法
B．恰有一个盒子不放球，共有240种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种
D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
5．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段
B．从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法
C．将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法
D．将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法
7．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ）
A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有
B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有
C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种
D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种
三、填空题
8．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲 乙 丙 丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有_______________ 种分配方法（用数字作答）；
四、解答题
9．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)解决下列问题，结果用数字表示.
(1)有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式；
(2)有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式；
(3)有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆第八中学校·期中)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（ ）
A．27种 B．36种 C．54种 D．72种
2．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（ ）
A．32种 B．24种 C．18种 D．12种
3．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
(1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ）
A．36种 B．52种 C．88种 D．92种
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)现有四种不同颜色可供选择，需给图中5个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．112种 B．146种 C．192种 D．168种
2．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种 B．360种
C．420种 D．540种
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.

A．10 B．12 C．13 D．14
二、填空题
2．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)某城市的交通道路如图，从城市的西南角到城市的东北角，经过城市中心广场，最近的走法种数有__________种．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．180 B．270 C．360 D．540
2．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)的二项展开式中的系数为（ ）
A．15 B．6 C． D．
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项
A．9 B．10 C．11 D．12
4．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)在二项式的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B．252 C． D．28
6．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ）
A． B．展开式中项数共有13项
C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3
三、解答题
8．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1.
(1)求m的值；
(2)求展开式中含的项.
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．80 D．100
二、填空题
2．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
3．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)在的展开式中，的系数是_______．
4．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)在的展开式中，的系数为____
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)多项式展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B．30 C． D．60
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)(x2+1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为（ ）
A．2 B．0
C．－2 D．－4
2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)已知二项式，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C．展开式中的常数项为540
D．展开式中二项式系数最大的项是第四项
4．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，下列说法正确的是（ ）
A．展开式中各项系数和为 B．展开式中系数最大的项是第项
C．展开式中各系数的绝对值之和为 D．
7．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为64
B．展开式中有理项的个数为3
C．若，则展开式的常数项为
D．若展开式中各项系数之和为64，则
三、填空题
8．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为__________.（用数字作答）
四、解答题
9．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)已知，满足．
(1)求n的值；
(2)求的值．
10．(24-25高二下·重庆名校联盟·期中)已知．
(1)求的值；
(2)求的值（结果用数字表示）．
11．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数为常数．
(1)求的值；
(2)若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求的值；
(3)当时，求展开式中含项的系数．
12．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)已知函数．
(1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
(2)若，且.
①求的值；
②求的最大值．
一、单选题
1．(24-25高二下·重庆重点中学“大一联盟”·期中)《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如8和14被3除得的余数都是2，则记.若，且，则的值可以是（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
二、多选题
2．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知的展开式中所有二项式系数之和为512，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．展开式中第四项和第五项的二项式系数最大
C．除以4的余数为1
D．展开式中常数项为672
三、解答题
3．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，其中，，，，．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
(1)求的值；
(2)求（用数值作答）；
(3)若，求二项式的值被7除的余数．
4．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求展开式中项的系数；
(2)求被除的余数.
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