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专题04 导数的综合应用
6大高频考点概览
考点01函数零点个数的判定与证明
考点02根据函数的零点个数求参数
考点03不等式恒成立求参
考点04不等式能成立求参
考点05 双变量问题
考点06 一元三次函数
考点07与数列结合的跨模块融合
一、选择题
1．(24-25高二下·四川南部中学·期中)（多选）已知函数.则下列说法不正确的是（ ）
A．函数有唯一极值点 B．函数有两个零点
C．若函数两个零点，则 D．函数的值域
【答案】ABC
【详解】对求导，可得：.令，即，因为恒成立，所以，解得.当时，，，则，单调递减；
当时，，，则，单调递增.所以是函数的极小值点，极小值为，极值点是，而是函数图象上的点，不是极值点，A选项错误.令，因为恒成立，所以，解得，即函数只有一个零点，B选项错误.函数有两个零点，即与的图象有两个交点.由前面分析可知在处取得极小值，且当时，，当时，，所以当时，与的图象有两个交点，C选项错误.由的单调性可知，在处取得最小值.当时，，所以函数的值域是，D选项正确.故选：ABC.
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最大值为1
D．当时，方程有且只有两个实根
【答案】BCD
【详解】由可得，令，得或，
当或时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，则有极小值，极大值为，B正确；又，，即在内有1个零点；又，故在内有1个零点；
当时，，此时无零点，故函数存在2个不同的零点，A错误；结合以上分析可作出函数图象：函数在时取极大值，故时，，则的最大值为1，C正确；结合函数图像可知当时，图象与只有2个交点，故方程有且只有两个实根，D正确，故选：BCD
3．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)（多选）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，，，由得，解得，所以函数存在“二倍阶值点”，A正确；对于B，，，由得，因为，，解得，所以函数存在“二倍阶值点”，B正确；对于C，，，由得，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，所以无解，
所以函数不存在“二倍阶值点”，C错误；对于D，，，
由得，令，，
所以在上单调递增，又，，根据零点存在性定理可知在上存在零点，所以方程有解，所以函数存在“二倍阶值点”，D正确；故选：ABD
二、解答题
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)讨论在上的零点个数.
【详解】（1）的定义域为R，
①当时，，在R上单调递减.
②当时，令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：若，在R上单调递减；
若，在上单调递减，在上单调递增
（2）由（1）可知，①当时，在上单调递减，
所以，不满足在上恒成立.
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
1）若，即，在上单调递增，
那么，满足在上恒成立.
（3）若，即，，则在上单调递减，在上单调递增..不满足在上恒成立.
综上，的取值范围是
（3）①当，在R上单调递减，
当；当，所以有一个零点.
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
令所以在上单调递增，又
所以当时，，函数有一个零点.
当时，，函数无零点.
当时，，
当；当函数有两个零点.
综上：当，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；
当时，函数无零点
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数，可得，若，，在单调递增，此时至多有一个零点，舍去；若，令，解得，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增，所以当时，函数取得极小值，也时最小值，又由时，，且时，，
要使得函数恰有两个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.
2．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则不等式即有且只有两个整数解.因为，且，所以当时，单调递增，当时，单调递减.当时，，当时，，当时，，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0.因为函数在上单调递增，，，，则，函数的大致图象如图由图可知，要使有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1，所以解得.又，所以.故选：C.
3．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）
A．点是函数的零点；
B．，，使
C．若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是
D．函数的值域为
【答案】BD
【详解】令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A错误；
因为，当时，，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且的极小值为和，且，当时，，当时，，如图，作出函数的图像，，观察图像可知，，，使，所以B正确；函数的值域为，D正确；对于C，由，得，因为，则，令，得或或，当变化时，，的变化情况，如下表
x 0
＋ 0 － 0 ＋
递增 递减 0 递增
x 1 2
－ 0 ＋
递减 递增
如图，当或或时，关于的方程有一个根，所以a的取值范围是，C不正确.故选：BD．
二、填空题
4．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)函数有两个不同零点，则实数的取值范围是_______
【答案】
【详解】原函数，.因为函数有两个不同的零点，化简得：.所以该条件演变成直线与有两个不同的交点.对函数求导得：.令导数为0，则或.当时，，所以在上单调递增；当且时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；而.当时，；当时，；当时，；为了保证直线与有两个不同的交点.则的取值范围为.故答案为：为.
5．(24-25高二下·四川达州·期中)已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】令，可得，构建，原题意等价于在定义域内有两个零点，因为，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则，且当趋近于或时，趋近于，可知，即，所以的取值范围为．
故答案为：．
6．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【详解】．可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，有极小值．作出函数的图象如图， 令，则方程，化成，即，解得或，显然有1个实数解，应该有2个实数解，，实数的取值范围为．故答案为：.
三、解答题
7．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)已知函数，．
(1)讨论单调性；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【详解】（1）的定义域为，.
令，解得，或（舍）；由解得.
∴在单调递增，在单调递减.
（2）.
若函数有两个零点，还需满足
即，解得.
8．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知函数．
(1)当时，求在点处切线方程；
(2)若在上有两个零点，求的取值范围．
【详解】（1）由，则，，故，，
则切线方程，即.
（2）由在具有两个零点，则具有两个零点，
设，则，令则，
所以，，在单调递增，
，，在单调递减，
所以，又，，
因为的图象与有两个点，所以.
9．(24-25高二下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围；
(3)若有两个零点，求m的取值范围.
【详解】（1）当时，，的定义域为.
则，
令，则，即，解得，
令，则，即，解得.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由可得：的定义域为，.
要使函数的极值点在内，需满足在上有解.
因为的定义域为，
所以在上有解，则，解得，即m的取值范围为.
（3）由（2）知，.则.
当时，有，则，
此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，令，得，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，则.
又因为当时，；当时，，
所以要使有两个零点，须满足恒成立.
令，则恒成立；，
所以函数在上单调递增，又因为， 所以，解得.
综上所述，m取值的范围为.
10．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数在的最大值和最小值；
(3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围．
【详解】（1）,因为在点处的切线方程为
所以有所以解得
（2）由(1)可得当或

单调递增 单调递减 单调递增
所以在和上单调递增，上单调递减，又因为计算可得，
所以在的最大值为，最小值为
（3）由（2）可知，的极大值为，极小值为
当所以当时，.所以当且仅当时，方程恰有两个不等实根.
11．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数 ．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若有两个零点，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，则，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
切线方程为：，即.
（2）由可得：.
因为，所以当时，，此时函数在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；
当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
（3）由（2）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意；
当时，
函数的最小值为，
且当时，，当时，，
因为有两个零点，所以，.
因为函数为上的增函数，且，
所以的解为.
故当有两个零点， 的取值范围为.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则.∵时，，，∴，故在上单调递增.∵对恒成立，∴当时，，则有，当时，可等价变形为.∵在上单调递增，且，（），∴由可得，即对恒成立.设，则.令得，令得，令得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当时，.∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.故选：B
2．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式恒成立，即恒成立．构造函数，可得，所以在定义域上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，单调递增；当时，单调递减．所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数的取值范围是．故选：A
3．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知：，，即，
构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，又，所以，其中，令，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，即，故实数的最小值为．故选：A
4．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，又，因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，故有两实根，即有两实根，则，记二次函数的零点为，且，则在，上单调递增，在上单调递减，当时，，因为是最小值，所以，即，解得，故，故选：B．
5．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【详解】A选项，，定义域为，，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，函数在时取得极大值也是最大值，故A对，B选项，时，，，当时，如下图所示：函数有且只有唯一一个零点，故B错，C选项，当时为单调递减函数，，
，，故C对，D选项，，故，由于函数在上恒成立，，设，定义域为，则，设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对.故选：ACD.
6．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．不等式的解集为
C．若恒成立，则 D．若，则
【答案】ACD
【详解】由可得，设，则，所以（为常数），所以因为，所以，即
对于A，因为，所以时，，单调递减；时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确；对于B，当时，，不合题意；
当时，，不合题意；当时，，且由A可知，在单调递增.所以，解得，故B不正确；对于C，若即，当时，恒成立；
当时，等价于，即，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，，所以，故C正确；对于D，，即，因为当时，，当时，在单调递增，且，所以，且，则，又因为，所以，即，故D正确.故选：ACD.
二、填空题
7．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______.
【答案】
【详解】的定义域为，，因为在上为增函数，故在上恒成立，且不恒为零.在上恒成立等价于在上恒成立，故即，而当，当且仅当时有，故不恒为零.
的最小值为. 填.
8．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为________．
【答案】3
【详解】由题，，因为，对恒成立，则对恒成立，令，则对恒成立，令，则，令，则当时，，所以在上单调递增，又，，，当，，则，此时单调递减；当，，则，此时单调递增，则，
又，代入，则整数.故答案为：3
9．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)若恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【详解】因为，所以,即.
设函数，因为，导函数为，令，解得.所以在上， ，单调递减，在上，，单调递增.
所以，所以在上单调递增.又因为，所以，即，令，所以，令，解得.所以在上， ，单调递增，在上，，单调递减.所以，所以.
故答案为：.
10．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【详解】对于任意的都有恒成立，等价于在上恒成立.令，则，，当时，，即在上递增，故，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.
11．已知函数，若，则的取值范围为_______．
【答案】
【详解】等价于，令，则．当时，,单调递增；当时，,单调递减．所以.
故转化为，即恒成立.令，，则，则，因为恒成立，所以.
故的取值范围为．故答案为：.
12．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数，则下列命题叙述正确的是______.（填写番号）
①当时，；
②若不等式至少有3个正整数解，则；
③过点作函数图象的切线有且只有一条；
④设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是.
【答案】①③④
【详解】对于①：当，∴，，∵，∴，故①正确；对于②：由，得，画出与的图象，根据函数的图象， 要想至少有3个正整数解，要满足，∴，故②错误；对于③：设切点，则，∴，即，设，求导得，当时，，
∴是单调递增函数，∴最多只有一个根，又，∴，由得切线方程是，故③正确；对于④.：由题意.设，则，于是在上是增函数.因为，所以，即对任意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即的最大值是，故④正确；故答案为：.①③④.
三、解答题
13．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)若对，恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）因，
由可解得，或；由可解得，.
故函数的单调递增区间为：和；
函数的单调递减区间为：.
（2）因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值.
由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，所以.
即实数的取值范围为.
14．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)若对一切的，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，
所以对一切的，恒成立，即恒成立，
可得，即，
令，其中，则，
则当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
所以，则，解得，所以的取值范围为.
15．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知函数，．
(1)若的最大值是0，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且．
若，则，在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
其最大值为，解得，
显然符合题意，所以的值为1．
（2）解：对任意，恒成立，即在上恒成立，
设，可得，
设，可得，
所以在上单调递增，且，，
所以有唯一零点，且，
所以，
构造函数，则．
又由函数在上是增函数，所以，
由在上单调递减，在上单调递增，
可得，
所以，解得，所以的取值范围是.
16．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知．
(1)讨论函数在的单调性；
(2)当时，若恒成立，求b的取值范围．
【详解】（1）由题可得，令，得．
①若，则，即，
故当时，，在上单调递减．
②若则，即，
当时，，故在上单调递增，
当时，，在上单调递减．-
（2）法一：当时，即恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以存在唯一的，使得（☆），
当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，则在上单调递增，
则．
由（☆）得，
设，则，易知在上单调递增，所以，得，
由，得，故，
故，
因此，故b的取值范围为．-
法二：当时，即恒成立，令，则，
而，令，则，
令，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，故，即，当且仅当时取等号．
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立．
令，则在上单调递增，又，
所以存在，使得，当时，取得最小值1．
因此，故的取值范围为．
17．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式恒成立，且，求的最小值．
【详解】（1）因为，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以当时，函数取得极大值，无极小值.
（2）因为不等式恒成立，即恒成立，
由于，则，设，
则，
设，则，所以在上单调递减，
又，，
所以存在，使，即．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.
所以．
又，则，由于恒成立，，且
所以的最小值为1．
18．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数，.
(1)若，求m的值及函数的极值；
(2)讨论函数的单调性：
(3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.
【详解】（1）的定义域为，
因为，，则，解得.
当时，，.
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
所以在时取得极大值且极大值为，无极小值．
（2）因为，
当时，在上恒成立，此时在上单调递增；
当时，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
（3）解法一：若对定义域内的任意x，都有恒成立，
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则.
设，则，所以在上单调递减，
因为，，
所以，使得，即.
当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
因为，所以，故整数m的最小值为1
解法二：若对定义域内的任意x，都有恒成立，
由（2）可知，当时，在上单调递增，
因为，显然不符合对定义域内的任意x，都有恒成立
由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值.
若对定义域内的任意x，都有恒成立，只需要即可.
设，显然在上单调递减，
因为，，
所以要使，只需要整数，
故整数m的最小值为1
19．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，函数的图像与的图像关于直线对称.若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
则切线方程的斜率，切点，
故切线方程为，即.
（2）当时，，则，，
，当时，
x 0
小于零 等于零 大于零
单调递减 极小值 单调递增
则单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，
x 0
小于零 等于零 大于零 等于零 小于零
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
则单调递增区间为，单调递减区间为、；
当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，
x 0
小于零 等于零 大于零 等于零 小于零
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
则单调递增区间为，单调递减区间为、，
综上：当时，则单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，则单调递增区间为，单调递减区间为、；
当时，则单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，则单调递增区间为，单调递减区间为、.
（3）当时，，
因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以，
因为对恒成立，
所以对恒成立，
整理可得对恒成立，
令，，则，
由有且仅有唯一的根为，
则所以，则，
x
大于零 等于零 小于零
单调递增 极大值 单调递减
则，解得.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，①当时，由可得，令，则，由，可得或（舍），当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，且，无解；②当时，由可得，令，则，
由，可得（舍）或，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，因为，因为，，如下图所示：因为有且只有两个整数解使成立，
所以，，即.综上所述，.故选：A.
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数，其中是自然对数的底数.，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为不等式等价于，所以使得不等式成立，等价于，即.当时，，所以在上单调递增，故；当时，，令，则，所以在上单调递减，则，即，所以在上单调递减，得，所以，即.故选：B
3．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．存在，使得成立 D．恒成立，则
【答案】ABC
【详解】选项A，因为，所以，则，且，由，得，当时，，则在上递增，所以当时，有唯一解，故，所以，故A正确；选项B，由A正确，得，令，则，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，所以，所以，故B正确；选项C，由，，得，
又验证知，故存在，使得，故C正确；选项D，由，恒成立，即恒成立，令，则，由在上递增，又，，存在，使，所以在上递减，在上递增（其中满足，即）.所以，要使恒成立，所以，所以存在满足题意，故D错误.故选：ABC..
二、填空题
4．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
【详解】当时，，显然成立，符合题意；当时，由，，可得，即，，令，，在上单增，又，故，即，即，，即使成立，令，则，当时，单增，当时，单减，故，故；综上：.故答案为：.
5．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________.
【答案】/
【详解】由得，显然，所以有解，令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即的最小值是.故答案为：
三、解答题
6．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，使得，求实数a的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立，
所以，易知在上单调递减，故，
所以.
（2）因为，使得，所以能成立，
则能成立，又，故能成立，
令，则，，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，注意到，
所以当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
所以，
故，即实数a的取值范围为.
【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转换上的区别：
恒成立问题：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
有解问题：
（1）有解；有解．
（2）有解；有解．
（3）有解；有解．
7．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知函数，在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
【详解】（1）∵，则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，且，
令，解得：，则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，
得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
8．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知函数和
(1)若，证明：
(2)若，试判断和的公切线条数
【详解】（1）令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，等号成立时；
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，等号成立时；
则当时，，
但因等号成立条件不同，故当时，，即成立.
（2）设曲线的切点为，因，则切线斜率为，
故切线方程为，即；
设曲线的切点为，因，则切线斜率为，
则切线方程为，即；
由题意得，得，
则，即，
设，则，
设，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
因，，
则由零点存在性定理可知，使得，即，
又时，，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因，，
则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点，
则方程存在两个根，
所以和存在两条公切线.
一、选择题
1．已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．有极小值点
【答案】C
【详解】由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点且，
对A，则，且，所以，解得，所以A项正确；
对B，，且，，故，，所以，所以B正确；
对C，由，则，但不能确定，所以C不正确；
对D，由函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，且，所以D正确；
故选：C.
2．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】A选项，，令得，令，，则与有两个不同的交点，，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，当时，恒成立，
要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确；BC选项，因为，所以，画出与的图象如下：
令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，B错误，C正确；D选项，，故，先证明，理由如下：
因为，不等式变形为，即，令，则，令，，则恒成立，故在上单调递减，故，所以，结论得证，故，结合A选项，，D正确.故选：
二、填空题
3．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为______
【答案】
【详解】由关于的方程，令，则有，令函数，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，且时，，其图象如下：
要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，
且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，，由韦达定理知，，，所以，又，
可得.故答案为：．
三、解答题
4．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．
【详解】（1）由题意得：定义域为，；
当时，，，在上恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知：；
要证，只需证，即证；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
又，，即.
（3）不妨设，则由得：，即，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，
即，又，；
令，则，
令，解得：（舍）或，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：；
的取值范围为.
5．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数.
(1)时，求函数的极值；
(2)时，讨论函数的单调性；
(3)若对任意，当 时，恒有 成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）当=时， = ，∴ ，
令 =得，=，
当时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减，
∴函数的极大值为=，无极小值；
（2）当 时，函数= ，
，
①当时，，令 =，得=，
∴当时， ，函数单调递增；当 时， ，
函数单调递减；
②当时，令 =，得=或，
若，则，
∴当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减，
当时， ，函数单调递增；
若时，则 恒成立，∴函数在 上单调递增，
若，则，∴当时， ，函数单调递增；当时， ，
函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增；
（3）当时，由（2）可知，函数在 上单调递增，
∴ ，
∵ 对任意的，当 时恒成立，
∴ 对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
∵当时，=，∴，故实数的取值范围为： ；
综上，的极大值为=，无极小值，单调性见解析，的取值范围为：.
6．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知曲线与直线有且仅有两个不同的交点，，且.（其中是自然对数的底数）
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
【详解】（1）因为曲线与直线有且仅有两个不同的交点，
所以关于的方程有且仅有两个不同的实数根，
即有且仅有两个不同的实数根.
令，则，又，由得，
所以时，，单调递减；时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，要使有两个零点，
则，即，解得，
当时，得，则在区间上有且只有一个零点；
当时，，
设，则，所以在上单调递增，
则，所以，
则在上有且只有一个零点，故有且仅有两个零点，
实数的取值范围为：.
（2）由（1）可知：，分别为函数的两个零点，不妨设，
要证，即证，因为，所以，
由（1）知在上单调递增，故只需证明，而，
所以只需证，令，且
所以，，
所以在上单调递减，，
所以在上恒成立，即，
综上所述：.
7．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)已知函数，．
(1)设，求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若直线l与曲线分别相切于点，且．求证：．
【详解】（1）因为，则，
则，令，解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得极小值，为；无极大值.
（2）由题意，
① 当时，，所以恒成立；
② 当时，不等式变为，即为，
此时，由（1）知在单调递增，
所以的解为，即恒成立.
令，，，令，解得
所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为
所以.
（3）直线l与曲线分别相切于点，
因为，，，，
则直线l与曲线相切的切线方程为，即为，①
直线l与曲线相切的切线方程为，即为，②
联立①、②，有
法一，由③得 ，即，⑤
将③⑤代入④，得，即，又，
所以，
令，则，
令，则，当时，，
所以函数，在上单调递增，所以，
所以，所以.
法二，由③式可得，代入④式可得，
，即，又，
则，所以.
8．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求证：函数存在两个零点（记为），且．
【详解】（1）由
设，
因此当时，函数单调递增，，
当时，，因此，所以单调递增；
当时，，因此，所以单调递减，
因此当时，有最小值，即；
（2）由（1）可知：在时，单调递减，在时，单调递增，
，因为，，
所以函数在内有且只有一个零点，不妨设，在内有且只有一个零点，设为，即，即函数有两个零点， 即
构造函数
，当时，单调递减，
因此有，即，
因为，所以，
而，因此，
因为，所以，因为在时，单调递减，
所以由.
9．(24-25高二下·四川达州·期中)已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.
(1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.
(2)已知函数.
①若是上的凹函数，求实数的取值范围；
②若在内有两个不同的零点，证明：.
【详解】（1）因为，定义域为，
所以，.
因为是上的凸函数，所以在上恒成立，
即当时，恒成立.
函数图象的对称轴为直线，
当，即时，只需时，即可，所以，
当，即时，只需时，即可，所以，
综上可得.
（2）①因为，，所以，.
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，则.
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减.
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，，
所以方程在内有两个根，，即.
因为在上单调递增，在上单调递减，所以.
欲证，即证.
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证.
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立.
欲证，即证.
因为，所以只需证，
即证，即需证.
令，，则，
所以在上单调递增，所以，则原不等式得证.
故.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据选择项只要判断当时，即可，函数的导数．若，当或，，当，，即当时，函数取得极小值，当时函数取得极大值，要使函数的图象经过四个象限，则有，且（1），
，即函数的图象经过四个象限的充要条件为，故选D.
2．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，，由图可知，，，，则，故C错误；，，两式相减得，即，，则，所以，则，所以，故AB正确；则，故D正确.故选：ABD.
3．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)（多选）已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（ ）
A．或 B．函数有且仅有一个零点
C．函数恰有两个极值点 D．函数在有最小值，无最大值
【答案】BC
【详解】对于A项，由已知.又函数在处取得极小值，
所以有，解得或.当时，有.
解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，函数在处取得极小值，满足条件；当时，有.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去.故.A项错误；对于B项，由A知，，且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.又，，根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上没有零点，在上没有零点.又，根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上有一个零点，在上没有零点.综上所述，函数有且仅有一个零点.故B正确；对于C项，由A可知在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，所以，在处取得极大值，在处取得极小值.故C正确；对于D项，由A知，在上单调递增，在上单调递减.所以，在处取得最大值，无最小值.故D错误.故选：BC.
4．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．函数有三个零点
C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切
【答案】ACD
【详解】，因为函数有极小值点，所以，解得，所以，，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，又，所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；对于C，由，得，所以函数的图象关于对称，故C正确；对于D，设切点为，则，故切线方程为，又过点，所以，整理得，即，解得或，所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.故选：ACD.
5．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是中心对称图形 B．有两个零点
C．过点只能做一条直线与相切 D．在上最大值为2，则
【答案】AD
【详解】对于A，易知，则，令，可知，又，
所以函数的图象关于成中心对称，即A正确；对于B，令，解得或，
因此当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；因此在处取得极小值，在处取得极小大值；画出函数图象如下图所示：
由图易知有三个零点，即B错误；对于C，设过点与相切的切点坐标为；
易知切线斜率为，此时切线方程为，即；
将点代入切线可得，即，解得或；
因此过点能做两条直线与相切，即C错误；对于D，由B选项分析可知在上的最大值为2，又，因此当时，在上最大值为2，即D正确.故选：AD
6．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．是的极大值点 B．的图象关于点对称
C．若关于的方程有一解，则 D．当时，
【答案】ABD
【详解】对于A，，则，
所以当或时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，故A正确；对于B，，因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，由A可知的图象如下所示：由图可知，当或时，和有一个交点，即方程有一解，故C错误；
对于D，当时，，由在上单调递减，则，即，故D正确.故选：ABD.
7．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减，则
B．当时，若有2个零点，则实数或
C．当时，若，则
D．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
【答案】ABD
【详解】对于A，由函数在上单调递减，得，，则，而函数在上单调递增，当时，，因此，A正确；对于B，当时，，当或时，；当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，又有2个零点，因此或，即或，B正确；对于C，由选项B知在上单调递增，，则，C错误；
对于D，
，则函数的图象关于点成中心对称，由直线与曲线有3个不同的交点，且，得点，即，，D正确.故选：ABD
二、解答题
8．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数
(1)求函数的极值
(2)求函数在上的最大值与最小值
【详解】（1）根据题意可得，令，则，．
和上，，在、上单调递增．
上，，在上单调递减．
当时，有极大值，极大值为．
当时，有极小值，极小值为．
（2）由（1）可知，在区间上单调减，在区间上单调增．且，，
故在上最大值为，最小值为．
9．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程
(2)若，求函数的最大值与最小值.
【详解】（1）由题，则切线的斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，即为；
（2）∵，令，解得：或，
令，解得：，
∴在单调递增，在单调递减，在单调递增；
∴，，
又，，，，
所以在上的最大值为，最小值为.
10．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数，其导函数为，且.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程
(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1) .
(2) ，.
【详解】 (Ⅰ)，∵，∴.解得
∴，，∴，.
∴曲线在点处的切线方程为
(Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或
当变化时，，的变化情况如下表：
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
∴的极小值为
又，，∴，.
11．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数
(1)求的单调增区间和单调减区间
(2)若在区间上的最小值为，求实数的值
【详解】（1），令，得或，
如图，的变化关系如下表，
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）根据（1）的结果，得到如下表，
(-3,-1) (-1,3) (3,4) 4
0 0
9+a 单调递减 +a 单调递增 9+a 单调递减 +a
如表可知，的最小值为，得.
12．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)函数
(1)若在处取得极小值，求实数的取值范围，
(2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值.
【详解】（1）因为，令得或，
当时，
所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意；
当时，
在递减，在递增，则为极小值点，符合题意；
所以的取值范围为.
（2）当时，
在递增，在递减，又，，
，，，满足，则，
当时，在递减，在递增，
，，
，满足，则，综上：.
13．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)设
（1）求函数的单调递增、递减区间；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【详解】（1），令，解得或，
当或时，，为增函数，当时， ，为减函数
综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为.
（2）当时，恒成立，只需使在上最大值小于m即可
由（1）知最大值为、端点值中的较大者.
∴在上的最大值为,∴，所以实数m的取值范围是
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确；对于B，由A可得，故，又由题设得，故，即，故B正确；
对于C，D由已知和 A得，令得，
即，所以C，D错误；故选：AB.
二、解答题
2．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，证明：；
(3)设，证明：．
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，故的减区间为，增区间为．
（2）要证，只要证，令，则，
所以只需证成立，即对任意的恒成立．
设，则恒成立，
所以时，单调递减，所以，所以，
即证得.
（3）对任意的恒成立．所以对任意的，有，
所以，所以，
所以，
所以.
3．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知函数．
(1)若函数在单调递减，求a的范围；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)求证：．
【详解】（1）
由题意得对于任意恒成立，则恒成立，所以，从而．
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾
②当时，当时，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
因为恒成立，所以．记，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以．
又，所以，所以．
（3）先证，设，则，
所以在区间上单调递减，所以，即．
所以，再证．
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，即，
所以，
累加可得，
所以．
4．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
【详解】（1）当时，，，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，恒成立，所以恒成立.
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）取，由（2）得当时，，所以.
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.
5．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式．
(3)在（2）的条件下，证明：
【详解】（1）
①若，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
②若，则，则在R上单调递增，
③若，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：
①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，则在R上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，，切点，切线斜率：，
故切线方程为：，
联立得：，
化简得：，
因式分解得：．故
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故，
，则是以为首项，以为公比的等比数列,
故，故.
（3）构造，
，故在上单调递减，故
故当时，，
故，
则，，……，
将上式累加，得
，
故，
故.
6．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知函数，其中e为自然对数的底数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式在上成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：．
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以，
若时，在上单调递增；
若时，令，解得，
当单调递减；当单调递增；
若时，令，解得，
当单调递增；当单调递减；
（2）不等式在上成立，等价于在上成立，
即在上成立，
设函数，，.
（i）若，当时，
单调递减，，与题意矛盾，舍去；
（ii）若，.
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，单调递减，，与题意矛盾，舍去；
（iii）若，当时，，
故单调递增，；
综上所述，实数的取值范围为；
（3）由（2）知，当时，在恒成立，令（其中），
所以①恒成立，
因为，，所以①可化为②，
因为②都成立，所以累加之后也成立，即.
又因为，所以.
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专题04 导数的综合应用
6大高频考点概览
考点01函数零点个数的判定与证明
考点02根据函数的零点个数求参数
考点03不等式恒成立求参
考点04不等式能成立求参
考点05 双变量问题
考点06 一元三次函数
考点07与数列结合的跨模块融合
一、选择题
1．(24-25高二下·四川南部中学·期中)（多选）已知函数.则下列说法不正确的是（ ）
A．函数有唯一极值点 B．函数有两个零点
C．若函数两个零点，则 D．函数的值域
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最大值为1
D．当时，方程有且只有两个实根
3．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)（多选）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)讨论在上的零点个数.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）
A．点是函数的零点；
B．，，使
C．若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是
D．函数的值域为
二、填空题
4．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)函数有两个不同零点，则实数的取值范围是_______
5．(24-25高二下·四川达州·期中)已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________．
6．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为_____．
三、解答题
7．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)已知函数，．
(1)讨论单调性；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
8．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知函数．
(1)当时，求在点处切线方程；
(2)若在上有两个零点，求的取值范围．
9．(24-25高二下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围；
(3)若有两个零点，求m的取值范围.
10．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数在的最大值和最小值；
(3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围．
11．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数 ．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若有两个零点，求的取值范围．
一、选择题
1．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
6．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．不等式的解集为
C．若恒成立，则 D．若，则
二、填空题
7．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______.
8．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为________．
9．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)若恒成立，则实数的取值范围为_____.
10．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为______.
11．已知函数，若，则的取值范围为_______．
12．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知函数，则下列命题叙述正确的是______.（填写番号）
①当时，；
②若不等式至少有3个正整数解，则；
③过点作函数图象的切线有且只有一条；
④设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是.
三、解答题
13．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)若对，恒成立，求实数的取值范围.
14．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)若对一切的，恒成立，求实数的取值范围．
15．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知函数，．
(1)若的最大值是0，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
16．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知．
(1)讨论函数在的单调性；
(2)当时，若恒成立，求b的取值范围．
17．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式恒成立，且，求的最小值．
18．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知函数，.
(1)若，求m的值及函数的极值；
(2)讨论函数的单调性：
(3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.
19．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，函数的图像与的图像关于直线对称.若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数，其中是自然对数的底数.，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．存在，使得成立 D．恒成立，则
二、填空题
4．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．
5．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________.
三、解答题
6．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，使得，求实数a的取值范围.
7．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知函数，在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
8．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知函数和
(1)若，证明：
(2)若，试判断和的公切线条数
一、选择题
1．已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．有极小值点
2．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为______
三、解答题
4．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．
5．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数.
(1)时，求函数的极值；
(2)时，讨论函数的单调性；
(3)若对任意，当 时，恒有 成立，求实数的取值范围.
6．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知曲线与直线有且仅有两个不同的交点，，且.（其中是自然对数的底数）
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
7．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)已知函数，．
(1)设，求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若直线l与曲线分别相切于点，且．求证：．
8．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求证：函数存在两个零点（记为），且．
9．(24-25高二下·四川达州·期中)已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.
(1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.
(2)已知函数.
①若是上的凹函数，求实数的取值范围；
②若在内有两个不同的零点，证明：.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)（多选）已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（ ）
A．或 B．函数有且仅有一个零点
C．函数恰有两个极值点 D．函数在有最小值，无最大值
4．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．函数有三个零点
C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切
5．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是中心对称图形 B．有两个零点
C．过点只能做一条直线与相切 D．在上最大值为2，则
6．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．是的极大值点 B．的图象关于点对称
C．若关于的方程有一解，则 D．当时，
7．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减，则
B．当时，若有2个零点，则实数或
C．当时，若，则
D．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
二、解答题
8．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知函数
(1)求函数的极值
(2)求函数在上的最大值与最小值
9．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程
(2)若，求函数的最大值与最小值.
10．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知函数，其导函数为，且.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程
(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.
11．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)已知函数
(1)求的单调增区间和单调减区间
(2)若在区间上的最小值为，求实数的值
12．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)函数
(1)若在处取得极小值，求实数的取值范围，
(2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值.
13．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)设
（1）求函数的单调递增、递减区间；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
2．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，证明：；
(3)设，证明：．
3．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知函数．
(1)若函数在单调递减，求a的范围；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)求证：．
4．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
5．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式．
(3)在（2）的条件下，证明：
6．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知函数，其中e为自然对数的底数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式在上成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：．
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