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专题04 导数及其应用
5大高频考点概览
题型01导数的概念及其几何意义
题型02导数的运算
题型03函数单调性的判断及应用
题型04利用导数研究函数的极值与最值
题型05 函数的单调性、极（最）值与不等式等知识的交汇问题
(
地
城
考点01
导数的概念及其几何意义
)
1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导可得，结合题意，当代入，即可求得答案.
【详解】因为，则，故，即该质点在时的瞬时速度为，
2．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【详解】由得，则，即直线的斜率为，根据直线倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为.故选：D
3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义即可求解．
【详解】，又因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以切线斜率，解得．故选：D．
4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】由导数的定义化简已知，即可求解.
【详解】已知函数可导，
，所以.故选：A
5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）某正方形的边长以米/秒的速度在减小，则当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为（ ）
A．平方米/秒 B．平方米/秒
C．平方米/秒 D．平方米/秒
【答案】C
【分析】将给定的时刻设为初始时刻，确定，再利用正方形面积公式确定，最后结合导数的定义求解即可.
【详解】设初始正方形的周长为40米，则边长为10米，且设现在边长为，运动时间为，得到，
由正方形面积公式得面积为，则，而初始时刻，易得，综上可得当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为平方米/秒，故C正确.故选：C
6．（24-25高二下·河南·期中）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，得关于的方程，可求出的值.
【详解】函数的导函数为 ，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有 ，可得 .故选：C
7．（24-25高二下·山西长治·期中）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率.
【详解】由，求导得，所以所求切线的斜率为.故选：B
8．（24-25高二下·云南曲靖·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由导数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，则切点坐标为，，则，则切线斜率为，故所求的切线方程为，即，故选：A.
9．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程，进而的出截距计算面积即可.
【详解】，则，故，所以曲线在点处的切线为，令，解得，令，解得，故所求三角形的面积为．故选：A．
10．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离.
【详解】直线的斜率，而曲线，即函数定义域为，
设，对函数求导得，令，而，解得，此时，则曲线上与直线平行的切线的切点为，
所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离
为.故选：B.
11．（25-26高二上·北京·期中）若函数在处的切线与直线垂直，则________．
【答案】0
【分析】对函数求导，结合垂直关系有，即可求.
【详解】由题设，又在处的切线与直线垂直，所以切线斜率为2，则，可得.
12．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与曲线相切，则________.
【答案】
【分析】对进行求导得，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即可求出答案.
【详解】由得，设直线与曲线相切于点，则，解得，所以.
13．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________．
【答案】
【分析】在等式两边求导，令，可求出的值，即可得出函数的解析式，再求出切点坐标，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】因为，所以，令可得，解得，故，所以，即切点坐标为，因此函数在处的切线方程是，即.
14．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________.
【答案】
【分析】根据导数的定义和几何意义即可求解.
【详解】根据导数的定义可知，所以，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为.
15．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得.
【详解】因为，所以
，又曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即，所以，
16．（24-25高二下·云南·期中）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____________.
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由，得，，故曲线在处的切线方程为；由，得，设切线与曲线相切的切点为，，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，故切线方程为，即因两切线重合，则，解得．
17．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若曲线与轴相切，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出、后可得切线方程；
（2）设曲线与轴相切于，由题设可得，故可求的值.
【详解】（1）若，则，故，而，
故曲线在点处的切线方程为.
，设曲线与轴相切于，则，
解得故.
18．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程；
（2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）设公共点为，由求得后，再由求得．
【详解】（1），则，时，，，
所求切线方程为，即；
（2），，又，
设公共点为，由题意，解得，则，
从而，所以．
19．（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．
(1)分别求和在交点处的切线方程；
(2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．
【答案】(1)；；
(2)；.
【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得；
（2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果.
【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为．
对求导，可得，将代入，得切线斜率．切线方程，
即.对求导，，将，得切线斜率．
切线方程，即.所以交点处的切线方程为，.
（2）设公切点．对求导，根据求导公式，可得，
则在点处的切线斜率．对求导，可得，则在点处的切线斜率.
因为两函数在点处存在公切线，所以，即①．又因为点在两函数图象上，
所以②．由①得，将其代入②可得：，即，解得.
将代入（1）得：，解得.
将代入得.所以，点的坐标为．
20．（24-25高二下·重庆·期中）设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．
(1)求k的取值范围；
(2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，所以先对函数求导，再根据二次函数的性质求导函数的值域，从而得到切线斜率的取值范围.
（2）先根据（1）求出取最小值时点的坐标，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再根据点斜式写出切线方程，最后将点坐标代入切线方程求出切点坐标，进而得到切线方程.
【详解】（1）已知，对求导，可得：.
因为，所以，则，即.所以的取值范围是.
（2）当取最小值时，，解方程可得.将代入可得，所以.设切点为，对求导可得：，则切线斜率.由点斜式可得切线方程为.
因为切线过点，将代入切线方程可得：，
即，即，解得或.
当时，，切线方程为，即.
当时，，切线方程为，即.
所求切线方程为或
(
地
城
考点02
导数的运算
)
1．（24-25高二下·山东聊城·期中）若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，所以.
2．（24-25高二下·北京顺义·期中）下列函数中，在处的导数值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据简单复合函数求导方法，对各选项求导，计算导函数值，判断正误.
【详解】函数，，则，所以A错误.函数在不可导，所以B错误.函数，，则，所以C错误.函数，，则，故选：D.
3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数，则（ ）
A． B．10 C． D．11
【答案】D
【分析】求出导函数，代入数值即可求解.
【详解】因为，所以，所以.故选：D.
4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，为的导函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求导公式求出函数的导函数，再将代入导函数中，从而求得的值.
【详解】对求导可得： ，将代入导函数中，可得：.
综上，.故选：C.
5．（24-25高二下·北京通州·期中）下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值，逐一验证各选项的正确性.
【详解】选项A: ，故A错；选项B: ，故B对；
选项C：，故C对；选项D: ，故D对.故选：A.
6．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解.
【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确；对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误；对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误；对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误.故选：A.
7．（24-25高二下·广东·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求导法则及求导公式判断ABC，再由复合函数的求导判断D.
【详解】因为，，，，所以ACD错误，B正确.故选：B
8．（24-25高二下·海南·期中）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，故.故选：C.
9．（多选）（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据求导公式和求导法则逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.
10．（多选）（24-25高二下·山东聊城·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A项：，所以A错；对于B项：，所以B对；对于C项：，所以C错；对于D项：，所以D正确．
11．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项．
【详解】选项A∶，故选项A错误；
选项B∶，故选项B正确；
选项C∶，故选项C正确；
选项D∶，故选项D正确．
故选：BCD
12．（多选）（25-26高二上·浙江宁波·期中）下列导数计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据导数运算公式计算判断各个选项.
【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；
对于C，，C错误；对于D，，D正确；故选：AD.
13．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断.
【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；
对于C，，C正确；对于D，.故选：BC
14．（24-25高二下·云南保山·期中）已知函数，则__________.
【答案】
【分析】求导，再把代入得，即可得到所求.
【详解】因为，所以，所以，
即，所以，所以.
15．（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数的导函数为，，则______.
【答案】/0.5
【分析】先利用函数求导后代入，求得，回代入导函数得，再求即可.
【详解】由求导得：，则，解得，则，故.
16．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知，则_________________.
【答案】
【分析】将函数求导后代入，计算即得.
【详解】因，
，将代入上式，可得，解得.
17．（24-25高二下·广东江门·期中）求下列函数的导数
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】利用基本初等函数的导数和求导法则直接求导即可.
【详解】（1）.
（2）.
(
地
城
考点0
3
函数单调性的判断及应用
)
1．（24-25高二下·江苏常州·期中）函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，又，
令，解得，函数的单调减区间是，故选：A
2．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
【答案】B
【分析】求出函数的导数，利用导数不小于0建立不等式并分离参数求出最大值即可.
【详解】函数是增函数，由，得，由，求导得，由函数在上单调递增，得，，
而，则，所以实数的最小值为.故选：B
3．（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围.
【详解】易知，依题意可得在上有解，即方程在上有解，显然当时，，因此实数a的取值范围为.
4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可.
【详解】由，得，若在区间上存在单调递减区间，
则在区间上有解，可得在区间上有解，又因为在区间上单调递增，则，可得，所以实数的取值范围是.故选：D．
5．（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解.
【详解】函数，其定义域为，对求导得，令，可得. 当时，，单调递减；当时，，，单调递增.因为函数在区间上不单调，所以，所以的取值范围是，故选：A.
6．（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可.
【详解】令，则，令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，而，所以，即，故选：B
7．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，判断函数单调性后即可求解.
【详解】令，则，
因为，所以，所以函数在上单调递增，因为，所以．
故选：B
8．（24-25高二下·山西·期中）已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，求得，再令，求得，结合，求得函数的单调性，再由，结合函数在上单调递增，列出不等式组，即可求解.
【详解】令函数，可得，
令，可得，所以函数在上单调递增，且，所以当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增，且．要使得函数在上单调递增，则，解得或，即实数的取值范围是.故选：D.
9．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用构造法求导可知是在上单调递增．然后再利用单调性即可解不等式.
【详解】令，因为，所以，所以在上单调递增．又，所以，因此不等式可化为，
所以，解得，即不等式的解集为．故选：B.
10．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案.
【详解】构造函数，则.
，即在上单调递减.故有，即，即①.
对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误；
对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确；
对于D：由①式可知，即，故D错误.故选：C.
11．（24-25高二下·天津西青·期中）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造，根据已知及奇偶性定义判断奇偶性，再对其求导判断上的单调性，结合对称性确定单调区间，进而判断区间符号，即可得.
【详解】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即为奇函数，
当，有，所以在上单调递减，由奇函数的性质，在上单调递减，且，由，则，即，综上，上，上，所以不等式的解集是.故选：A
12．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意有解，分离参数利用有解法则化为，结合，利用二次函数性质求得，即可得解.
【详解】因为，所以，
因为函数在存在单调减区间，所以有解，
即有解，则，又，且，当时，，所以，解得，即实数a的取值范围为.故选：B
13．（多选）（24-25高二下·重庆·期中）已知实数有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】举例说明判断AD；构造函数利用导数探讨单调性判断BC.
【详解】对于A，取，，A错误；
对于B，令函数，求导得，在上单调递增，
由，得，即，因此，B正确；
对于C，令函数，，函数在上单调递增，
由，得，则，，因此，C正确；
对于D，取，则，D错误.故选：BC
14．（多选）（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）是定义在上的奇函数.当时，，则下列说法中正确的是（ ）
A．令函数，则在上单调递增
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】构造函数，求导可得到在上的单调性，由可得到答案.
【详解】对求导得：，
得不到在上恒大于0，故A选项错误；
构造函数,求导得，
由可知；在上恒大于0，在上单调递增，
，，,故B选项正确；
由于,,故C选项正确；由于是奇函数，所以，所以,,故D选项错误.故选；BC
15．（多选）（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数（ ）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C．当，在区间上不单调，则实数的取值范围是
D．若的单调递减区间为，则．
【答案】AD
【分析】先利用导数工具分和两种情况研究函数的单调性，再逐一根据各选项条件和·单调性定义列得方程或不等式即可求解判断 .
【详解】由题可得，所以当时恒成立，此时函数在定义域上单调递增；当时，满足，则令，得（舍去），所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；
对于A，由上可得当时符合条件，当时，则，所以若在上单调递增，则实数的取值范围是，故A正确；
对于B，由上可得，若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是，故B错误；
对于C，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上不单调，则，所以实数的取值范围是，故C错误；
对于D，若的单调递减区间为，则，故D正确.
故选：AD
16．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解.
【详解】∵，∴.
当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
∵函数在上不单调，∴，解得.
17．（24-25高二下·河北保定·期中）定义在上的函数满足且，则满足的的取值范围为________．
【答案】
【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，在结合函数的定义域，可求所给不等式的解集.
【详解】设函数，，则.所以在上单调递增.又当时，，所以当时，即.
18．（24-25高二下·甘肃张掖·期中） 已知函数.
(1)若在处的切线斜率为，求切线方程.
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解，然后求出，即可写出切线的点斜式方程；
（2）求出导函数，分、两类情况进行讨论，根据导数的正负确定单调性.
【详解】（1）因为，所以，则，所以，
所以，所以，切线方程为：，即．
（2）因为，所以，
若，由，得；由，得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，由，得；由，得，
此时，函数的单调递减区间为，递增区间为．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，递增区间为．
19．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数值得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程；
（2）先求出导函数，再根据，分类，分别讨论导函数正负得出函数的单调性即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，则 则，，
所以曲线在处的切线方程为， 即.
（2）函数的定义域为， ，
①当时，因为， 所以， 所以函数在上单调递增.
②当时，令， 则 当或时，.
当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
20．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数，，其中实数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上单调递增，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：若且，都有．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性；
（2）求出及导数，利用给定的单调性出的范围.
（3）设，要证，即证，进而证明函数在上单调递增即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得或；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）依题意，在上单调递增，
则，恒成立，而当时，，当且仅当时取等号，则，所以a的取值范围为.
（3）不妨设，则，要对，都有，
只需恒成立，即恒成立，
因此不等式恒成立，即函数在上为增函数，由（2）知，
而，则函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有.
(
地
城
考点0
4
利用导数研究函数的极值与最值
)
1．（24-25高二下·河北保定·期中）函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的极小值，从而得到结果.
【详解】函数定义域为，，令可得，当时，，即函数单调递减，当时，，即函数单调递增，所以时，取得极小值，即最小值，且.故选：A
2．（24-25高二下·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由题意可得，利用导数求解即可.
【详解】由题意可知此容器为长方体，底面为正方形，边长为，高为，
所以，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取最大值.故选：B.
3．（24-25高二下·天津·期中）函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，再构造函数利用导数证明恒成立，即可得解.
【详解】函数的定义域为，又，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以在上单调递增，则不存在极值点.
故选：A
4．（24-25高二下·云南·期中）已知是函数的极值点，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】先求出导函数，再根据极值点处导数值为0，计算求参，最后代入检验即可.
【详解】因为，由是函数的极值点，得，
经检验，时，单调递增，得，单调递减；单调递增；是函数的极值点，符合题意；故选:B．
5．（24-25高二下·四川成都·期中）函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由导函数图象可判断的正负性，进而得出函数的单调性，即可判断函数的极值点个数.
【详解】设的零点从左到右依次为，则当或时，；当或时，，则在和上单调递减，在和上单调递增，
则的极小值点为，，极大值点为，故函数的极值点个数为.故选：C
6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．e D．
【答案】A
【分析】根据恒成立确定的关系式，从而将转化为只有的式子，再利用导数讨论单调性求最值即可.
【详解】因为，且函数和都是上的增函数，故若恒成立，
则函数和的零点相同，所以，则，设，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，所以最大值为，故选：A.
7．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D.
【详解】因为函数，所以单调递增，,
选项A：计算 而在时趋向，故A错.
选项B：因为 得B错.
选项C：计算 C错.选项D：计算 ，
函数，
所以，得D正确.故选：D.
8．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在处取得极小值，则实数a的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或9
【答案】A
【分析】先求，由题意得解得，根据的值检验在处取得极小值即可.
【详解】由得
函数在处取得极小值， 解得或
①当时， 则当或时，，当时，，
所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为，所以当时，函数取得极小值，所以符合题意.
②当时，则当或时，，当时，，
所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为，所以当时，函数取得极大值，不合题意.故选：A.
9．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题知，函数的定义域为，，因为有两个极值点，所以，，则，①，令，因为，所以，将代入①整理可得，，所以，令，则，设，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以故选：D
10．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】A
【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解.
【详解】，由题意得，即，
解得或，当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以时，取得极小值，符合题意；当时，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，，
所以时，取得极大值，不符合题意；所以，.故选：.
11．（24-25高二下·四川成都·期中）已知定义在的函数，其导函数为，若，且，则（ ）
A．仅存在最小值 B．仅存在最大值
C．既存在最小值，又存在最大值 D．既无最小值又无最大值
【答案】D
【分析】将题中等式变形为，可得出，设，为常数，结合可得出，然后利用导数分析函数的单调性，即可得出结论.
【详解】因为函数的定义域为，在等式两边同除可得，即，设，为常数，因为，即，故，所以，故，
则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递减，故函数既无最大值，也无最小值，故选：D.
12．（多选）（24-25高二下·广东·期中）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的极小值点为
【答案】ABD
【分析】求出函数的导数，利用所给极值点及极值求得，再由极值的定义验证并判断.
【详解】函数，求导得，由，得，解得，，当时，有，有，是的极小值点，不符合题意；当时，由，得或；由，得，
因此是的极小值点，是的极大值点，符合题意，ABD正确，C错误.故选：ABD
13．（多选）（24-25高二下·云南·期中）设函数，则（ ）
A．当时，有两个零点
B．当时，是的极小值点
C．当时，点为曲线的对称中心
D．当时，在上无最大值，则的取值范围为
【答案】AD
【分析】对于选项A，求出函数的导数，判断单调性画出图象即可判断该函数的零点个数；对于选项B，对函数求导，判断单调性，令导数为0，求出判断极值点；对于选项C，根据函数的对称中心的定义进行判断；对于选项D，对函数求导，根据函数的单调性、极值、端点值进行比较判断即可.
【详解】对于选项A：当时，.对函数求导得：.
当时，，此时在上单调递减；当或时，，此时在上单调递增.因为，，画出图象为：
由图象可知函数有两个零点，所以A正确.
对于选项B：对函数求导得：.因为，所以当时，，所以函数在上单调递减；当或时，，所以函数在上单调递增.又，所以不是函数的极值点.所以B错误.
对于选项C：当时，，.
所以点是曲线的对称中心，而不是，所以C错误.
对于选项D：因为，因为，所以当时，，所以函数在上单调递减；当或时，，所以函数在上单调递增.
因为，.所以要使得在上无最大值，则.所以D正确.故选：AD.
14．（24-25高二下·河北·期中）已知函数．若不等式的解集为且，则（ ）
A．
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．过原点且与曲线相切的直线有2条
【答案】ABD
【分析】利用三次函数图象的特征，结合不等式的解集可判断三次方程的根的分布，从而确定参数，再结合导数来研究三次函数的极值，来判断ABC选项，最后利用导数思想来求过点的切线，通过方程解的个数来判断满足条件的切线条数，从而可判断D选项.
【详解】由的解集为且，得方程的根为和（二重根），得，即，得则，A正确．
由，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以是的极大值点，是的极小值点，B正确，C错误．设在点的切线方程为，由切线经过原点，得，即，解得或0，D正确．故选：ABD.
15．（24-25高二下·福建福州·期中）已知为函数的极小值点，则______.
【答案】
【分析】利用导数判断函数的单调性可知结果.
【详解】，令，则；令，则，所以函数在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点，所以.
16．（24-25高二下·宁夏·期中）若在处有极值，则______．
【答案】
【分析】先对函数求导，再根据函数在某点处有极值的条件，即该点处导数为，求出的值，最后进行检验.
【详解】已知，，因为函数在处有极值，所以，将代入中，得到，解得，当时，，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以是函数的极小值点，符合题意.
17．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）已知函数在区间上存在极小值点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】求出导函数，令，显然按照和分类讨论，分析函数的单调性，结合极小值点的概念列不等式求解即可.
【详解】由得，令，则其对称轴方程为，因为函数在区间上存在极小值点，所以不符合题意；若，则，解得；若，由于，在区间上单调递减，且，所以函数在区间上不存在极小值点；综上所述，实数的取值范围为.
18．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数，则的极小值点是_____；若在区间的极小值也是最小值，则的取值范围是_____.
【答案】 3
【分析】利用导数求出函数的单调性，求得的极小值点及极小值，再求出大于等于极小值的的范围即可.
【详解】函数定义域为R，，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极小值，因此的极小值点是3；由在区间的极小值也是最小值，得，即，解得，所以的取值范围是.
19．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)；(2)最大值为1，最小值为.
【分析】（1）利用极值定义得，可解出解析式；
（2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，列表分析可得结论.
【详解】（1）依题意可得，又当时，取得极值，
所以，即，解得，经验证符合题意，所以.
（2）可知，.令，则得或
0 2
+ 0 - 0 +
极大值1 极小值
，，所以在区间上的最大值为1，最小值为.
20．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数.
(1)求单调区间及极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值，极小值.
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答.
（2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，
因此，，
所以函数在上的最大值为，最小值为.
21．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中．
(1)若，求函数的极值点和极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值；
（2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值.
【详解】（1）若，则的定义域为，且，令，解得或；令，解得；可知函数在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为.
（2）因为函数的定义域为，且，，
令，解得或，若，则，可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为；若，则，
当时，；当时，；可知函数在内单调递减，在内单调递增，所以函数在内的最小值为；且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为.
22．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2)
【分析】(1)利用导数，再构造函数二次求导，即可判断一次导数的正负，确定原函数的单调性；
(2)求导数，再分四类进行讨论，即可判断处是否取到极小值点，最终可得参数取值范围.
【详解】（1）当时，函数，则，
令，易知函数在上是减函数，且，
所以当时，有，即，当时，有，即，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）由已知得：，且，
令，则，
当时，，则在上是减函数，又，
所以当时，有，即，当时，有，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在时取到极大值，不符合题意，故舍去；
当时，则，令得，，
故在上单调递减，又，且，
所以当时，有，从而，即在上单调递增，
当时，有，从而，即在上单调递减，
即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去；
当时，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即在时取到极小值，也是最小值，所以，
从而有，所以在上单调递增，又不符合题意，故舍去；
当时，则，令得，，故在上单调递增，又，且，所以当时，有，从而，即在上单调递增，当时，有，从而，即在上单调递减，
即在时取到极小值，符合题意，故；综上所述可得实数m的取值范围是
(
地
城
考点0
5
函数的单调性、极（最）值与不等式等知识的交汇问题
)
1．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题.
【详解】由题意得在区间上有解，可转化为，令，则，当时，，在区间上单调递减，当时，，所以在区间上单调递增，因此要使得在区间上有解，只需满足，即.故选：B.
2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象可得，则，则，据此可得解集.
【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，则，解得，当时，；当时，，则是函数的极小值点，满足图象.则，，不等式，解得或，所以不等式的解集为.故选D．
3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围.
【详解】由及，得，
令函数，有，，则函数在上为增函数，，，当时，，当且仅当时取等号，则，所以实数的取值范围是.故选：A
4．（24-25高二下·四川广元·期中）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式.
【详解】令，∵函数在上是可导的偶函数，∴在上也是偶函数又当时，，∴，∴，
∴在上是增函数∵，由得，即不等式转化为，∴x不为0时有，而x为0时，不等式显然成立，∴不等式的解集为.故选：C.
5．（24-25高二下·河北承德·期中）关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”，数形结合可得，解之即得.
【详解】由题意知，所以
，令，则得，从而可转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”.而，当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，又∵，；当时，，
需使，即，从而实数的取值范围为.故选：D.
6．（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，分得和，求得函数 的单调性，以及最小值，结合，即可求解.
【详解】由函数，可得，
若，，在单调递增，此时至多有一个零点，舍去；
若，令，解得，当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，所以当时，函数取得极小值，也时最小值，又由时，，且时，，要使得函数恰有两个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.
7．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，分、、、四种情况说明函数的单调性，结合函数的单调性，求出在上的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】由函数，其中，可得，
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，令，解得或，令，解得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，恒成立，所以的单调递增区间为；
当时，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，在单调递增，所以，令，可得，所以；
当时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以，令，可得，
令，可得，所以为单调递减，
所以，所以，所以在上单调递减，因为且，所以，综上可得：实数的取值范围为.故选：A
8．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若关于x的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程有三个根转化为两个函数有三个交点的问题，参变分离得到，再构造函数，利用导数求函数的单调性并作出图象，即可得到满足条件的实数的取值范围.
【详解】对于方程，当时，不成立，所以不是方程的解.由题意关于x的方程存在三个不等的实数根，等价于存在三个不等的实数根.
令，则，所以在上，，单调递减；
在上，，单调递增.当时，；，当时，；当时，，
函数图象如图所示，
令，则，所以在上，，单调递增；在上，，单调递减.当时，；，当时，；当时，，
图像如图，
令，则，由于在上恒成立，所以在上，，单调递减；在上，，单调递增，且.从的函数图象可以看出，当时，；当且时，.函数的大致图象如图所示，
则存在三个不等的实数根，可得.故选：D.
9．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【答案】BCD
【分析】构造，根据条件，判断函数的单调性，再结合函数的单调性得到相应的不等式以判断各个选项的正确性.
【详解】设，.
则.
所以在上单调递增.对A：由，故A错误；
对B：由，故B正确；
对C：由，故C正确；对D：当时，，所以，故D正确.故选：BCD
10．（24-25高二下·重庆巴南·期中）已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由可得或，利用导数分析函数单调性和极值情况，作出图象，结合零点要求即可确定参数范围.
【详解】由，可得或.
而函数的定义域为，且，则当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，，当时，，当时，，当，当，当，当，作出函数的图象如下：
由上分析，结合函数图象，要使函数恰有两个不同的零点，需使，即，故的取值范围是.
11．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数为自然对数的底数，的零点分别为，，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用同构化得出，的关系：，则，然后引入函数，由导数求得函数范围即可．
【详解】由已知，即，又，即，令，则，又函数是R上的增函数，所以，即，因此，所以，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，，又因为当时，；当时，；当时，，所以的值域为即的取值范围为
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________.
【答案】
【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式.
【详解】设，对求导可得.已知，所以.可得（为常数）.因为，所以，则.
对求导，可得.已知，将代入可得：
，所以.求解不等式，即.当时，与都大于，令，对求导得.再令，对求导得.当时，，所以在上单调递增，则.因为，所以，即在上单调递增.又.所以由可得.故不等式的解集是.
13．（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数．
(1)当时，求在点处切线方程；
(2)若在上有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据,进行求导,求出,进而求出切线方程;
（2）根据在具有两个零点，转化为的图象与有两个交点，利用导函数分析函数的单调性和最值，即可求解的范围.
【详解】（1）由，则，故，，
则切线方程，即.
（2）由在具有两个零点，则具有两个零点，设，
则，令则，所以，，在单调递增，
，，在单调递减，所以，又，，因为的图象与有两个点，所以.
14．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数．
(1)若当时，，求的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造，并求导，分和两种情况分别讨论单调性即得结果；
（2）当时，令，可得，赋值并结合裂项相消证明.
【详解】（1）构造．
当时，有，当时，有，于是在单调递减，
所以，即，所以在上不恒成立．
当时，有，当，有，于是在单调递增，
所以，即，满足题意．综上所述，的取值范围是．
（2）由（1）可知，当时，有．当且仅当时等号成立，
令，有，当且仅当时等号成立，
令，可得．
则，
即，
即
于是．
15．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 .
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由恒成立可得在上恒成立，令，对求导，求出，即可得出答案.
（3）利用导数分析函数的单调性、极值，并求出、，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，则，，
所以，函数的图象在处的切线方程，即；
（2）若恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.
即实数的取值范围为.
（3），则.
，当时，.当时，；当时，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
故在处取得极大值.又，，
，则，在上的最小值是.
又在上有两个零点，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
16．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）设函数，为实数.
(1)当时，求的极值；
(2)已知，若在上单调递增，求的最大值；
(3)已知，设为的极值点，求的最大值.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
(3)
【分析】（1）对函数求导得出其单调性可求出极值；
（2）解法一：依题意可得恒成立，构造函数，求出其最小值可得结果；解法二：依题意恒成立，可得，当时对函数进行验证即可；
（3）当时由零点存在定理即可得存在使得，可得为的极小值点，构造函数，即可求出的最大值.
【详解】（1）当时，，则，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
（2）解法一：由，若在上单调递增，必有恒成立；
令，有，
当时，由已知在单调递增，但，不合题意；
当时，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为，有，
又由函数单调递减，且.又由，故a的最大值为.
解法二：，依题意恒成立，
所以，故，因为，所以，当时，，
设，则，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，所以
所以满足题意，即的最大值为；
（3）当时，易知单调递增.
易知，，
所以存在使得，即，为的极小值点，
所以，其中，
设，则
整理得，因为，，
所以当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，所以，即的最大值为.
17．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，直接写出的单调区间；
(3)当时，，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，利用点斜式方程即可求解；
（2）对函数求导，令，即可求得的单调递增区间；令，即可求得的单调递减区间；
（3）当时，，原不等式可化为，故即可.设，对求导，研究函数的单调性，求的最小值即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，∴，，∴.∴曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，∴.
令，解得；令，解得，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）当时，，∴.
∵对恒成立，∴对恒成立，
即对恒成立，∴.
设，则.
∵，∴，.令，，则，
∴在上单调递增.又，，
∴由零点存在性定理可知：，使得，即，
∴时，，，在上单调递减；
时，，，在上单调递增.
∴当时，取得最小值.
∴，即的取值范围为.
18．（24-25高二下·山西长治·期中）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值．
【答案】(1)答案见解析；(2)4
【分析】（1）求出导数，再按分类求出单调区间.
（2）把代入，等价变形不等式并构造函数。利用导数探讨其最小值取值情况即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的单调递减区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）当时，，
当时，不等式，
令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
，则存在，使得，
当时，，即；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
依题意，，而是整数，因此，所以t的最大值为4.
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专题04 导数及其应用
5大高频考点概览
题型01导数的概念及其几何意义
题型02导数的运算
题型03函数单调性的判断及应用
题型04利用导数研究函数的极值与最值
题型05 函数的单调性、极（最）值与不等式等知识的交汇问题
(
地
城
考点01
导数的概念及其几何意义
)
1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．3
5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）某正方形的边长以米/秒的速度在减小，则当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为（ ）
A．平方米/秒 B．平方米/秒
C．平方米/秒 D．平方米/秒
6．（24-25高二下·河南·期中）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
7．（24-25高二下·山西长治·期中）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．4
8．（24-25高二下·云南曲靖·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B．
C． D．
11．（25-26高二上·北京·期中）若函数在处的切线与直线垂直，则________．
12．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与曲线相切，则________.
13．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________．
14．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________.
15．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________．
16．（24-25高二下·云南·期中）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____________.
17．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若曲线与轴相切，求实数的值.
18．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程；
（2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值.
19．（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．
(1)分别求和在交点处的切线方程；
(2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．
20．（24-25高二下·重庆·期中）设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．
(1)求k的取值范围；
(2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程．
(
地
城
考点02
导数的运算
)
1．（24-25高二下·山东聊城·期中）若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．（24-25高二下·北京顺义·期中）下列函数中，在处的导数值为1的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数，则（ ）
A． B．10 C． D．11
4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，为的导函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·北京通州·期中）下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二下·广东·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·海南·期中）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）（24-25高二下·山东聊城·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选）（25-26高二上·浙江宁波·期中）下列导数计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25高二下·云南保山·期中）已知函数，则__________.
15．（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数的导函数为，，则______.
16．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知，则_________________.
17．（24-25高二下·广东江门·期中）求下列函数的导数
(1)
(2)
(
地
城
考点0
3
函数单调性的判断及应用
)
1．（24-25高二下·江苏常州·期中）函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
3．（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·山西·期中）已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高二下·天津西青·期中）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．（多选）（24-25高二下·重庆·期中）已知实数有，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（多选）（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）是定义在上的奇函数.当时，，则下列说法中正确的是（ ）
A．令函数，则在上单调递增
B．
C．
D．
15．（多选）（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数（ ）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C．当，在区间上不单调，则实数的取值范围是
D．若的单调递减区间为，则．
16．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______.
17．（24-25高二下·河北保定·期中）定义在上的函数满足且，则满足的的取值范围为________．
18．（24-25高二下·甘肃张掖·期中） 已知函数.
(1)若在处的切线斜率为，求切线方程.
(2)求的单调区间.
19．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
20．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数，，其中实数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上单调递增，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：若且，都有．
(
地
城
考点0
4
利用导数研究函数的极值与最值
)
1．（24-25高二下·河北保定·期中）函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（24-25高二下·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（24-25高二下·天津·期中）函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（24-25高二下·云南·期中）已知是函数的极值点，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（24-25高二下·四川成都·期中）函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．e D．
7．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在处取得极小值，则实数a的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或9
9．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
11．（24-25高二下·四川成都·期中）已知定义在的函数，其导函数为，若，且，则（ ）
A．仅存在最小值 B．仅存在最大值
C．既存在最小值，又存在最大值 D．既无最小值又无最大值
12．（多选）（24-25高二下·广东·期中）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的极小值点为
13．（多选）（24-25高二下·云南·期中）设函数，则（ ）
A．当时，有两个零点
B．当时，是的极小值点
C．当时，点为曲线的对称中心
D．当时，在上无最大值，则的取值范围为
14．（多选）（24-25高二下·河北·期中）已知函数．若不等式的解集为且，则（ ）
A．
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．过原点且与曲线相切的直线有2条
15．（24-25高二下·福建福州·期中）已知为函数的极小值点，则______.
16．（24-25高二下·宁夏·期中）若在处有极值，则______．
17．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）已知函数在区间上存在极小值点，则实数的取值范围为______.
18．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数，则的极小值点是_____；若在区间的极小值也是最小值，则的取值范围是_____.
19．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值.
20．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数.
(1)求单调区间及极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
21．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中．
(1)若，求函数的极值点和极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
22．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数m的取值范围．
(
地
城
考点0
5
函数的单调性、极（最）值与不等式等知识的交汇问题
)
1．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·四川广元·期中）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·河北承德·期中）关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若关于x的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
10．（24-25高二下·重庆巴南·期中）已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是_____．
11．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数为自然对数的底数，的零点分别为，，则的取值范围为______.
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________.
13．（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数．
(1)当时，求在点处切线方程；
(2)若在上有两个零点，求的取值范围．
14．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数．
(1)若当时，，求的取值范围；
(2)证明：．
15．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 .
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围.
16．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）设函数，为实数.
(1)当时，求的极值；
(2)已知，若在上单调递增，求的最大值；
(3)已知，设为的极值点，求的最大值.
17．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，直接写出的单调区间；
(3)当时，，，求的取值范围.
18．（24-25高二下·山西长治·期中）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值．
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