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专题04 数列通项，数列求和
8大高频考点概览
考点01数列通项
考点02数列求和之分组求和
考点03数列求和之裂项相消
考点04数列求和之错位相减
考点05数列求和之放缩求和
考点06数列奇偶项问题
考点07数列不等式问题
考点08数列与概率交汇问题
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知中，为数列前项和，对都有，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】令，得，即，令即可求解.
【详解】由题意有：令得，即得.
令得.
故选：B
2．(24-25高二下·辽宁普通·期中)若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用递推思想，结合累加法和裂项相消法即可求解.
【详解】由，可得：
，累计可得：，
故选：D.
3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值.
【详解】因为，等式两边同时除以，
得到.
设，则，且.
所以是以0为首项，为公差的等差数列.
所以该数列的通项公式为.
所以.
所以.
故选：B.
二、多选题
4．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是
【答案】ACD
【分析】根据前项和公式求出通项公式即可判断A，根据等差的定义结合特例判断B，结合二次函数性质求解最值判断C，根据对勾函数的单调性求解最值判断D.
【详解】A，当时，，
当时，，不满足上式，故，故A正确；
B，由A可知，显然，所以不是等差数列，故B错误；
C，，故当或6时，有最大值2，C正确；
D，，
根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且，，
所以的最大值是，D正确，
故选：ACD
5．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若是等比数列，则
B．若，则
C．若是等差数列， ，若，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求.
【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列，
所以，即，解得，故A错误；
对于B，因为，所以，所以是等差数列，
由得，
所以
，故B正确；
对于C，设等差数列的公差为，
因为，所以，故C正确；
对于D， 因为，所以，
所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
6．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是单调递增数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ABD
【分析】由题干等式变形得出，可判断A选项；求出的值，当时，由与的关系得出，结合等比数列的定义可判断C选项；由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可判断D选项；求出数列的通项公式，结合数列单调性的定义可判断B选项.
【详解】对于A选项，由得，A对；
对于C选项，，
当时，由得，
上述两个等式作差得，所以，
故当时，，且，
所以，数列不是等比数列，C错；
对于D选项，由可得，
且，所以，故数列是以为首项，公比为的等比数列，D对；
对于B选项，由D选项可知，所以，
所以，
令，故，即，
所以，数列为单调递增数列，即数列为单调递增数列，B对.
故选：ABD.
7．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知数列满足，，则（ ）
A．， B．，
C．，为完全立方数 D．，数列的前项和
【答案】ABD
【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，作差判断A，根据数列的增减性判断B，利用判断C，利用数学归纳法，假设数列的前项和成立判断D.
【详解】由题意可得，，
所以当时，，…，，，
以上个式子左右两边分别相乘得，
即，将代入解得，
当时满足，所以数列的通项公式为，
因为对恒成立，
所以对恒成立，A说法正确；
易知数列是递增数列，且，，所以，，B说法正确；
因为，所以不存在使得为完全立方数，C说法错误；
下证，数列的前项和，
当时，成立，
假设当时，成立，
则当时，
成立，
所以，数列的前项和，D说法正确；
故选：ABD
8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列满足，，则（ ）
A．是递减数列
B．
C．当的前n项和取得最小值时，
D．对任意，不等式，则
【答案】ACD
【分析】对A，由题得，利用数列单调性定义判断；对B，由题，当时，，利用累乘法求出通项；对C，由题得，可得数列的前6项均小于0，从第7项开始大于0，得解；对D，对分奇数和偶数讨论，将原不等式转化为恒成立，求出最值得解.
【详解】对于A，由题，，
又，由递推式可得，所以是递减数列，故A正确；
对于B，由上面可知，当时，，
将上式累乘得，，
整理得，又，所以，故B错误；
对于C，设，则，，
，，，，，
由指数函数与函数的增长速度可知，当时，，
所以当数列的前n项和取得最小值时，，故C正确；
对于D，当为偶数时，不等式转化为，又，
所以，
当为奇数时，不等式转化为，又，
所以，
综上，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列前项和满足，则________.
【答案】
【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案.
【详解】因为，所以，
当时，，
当时，，
因为，
故，
故答案为：
10．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由求出数列的通项公式，根据通项公式可知，当时，数列递减，因此只需使即可.
【详解】①当时，，
②当时，，
∴当时，，数列递减，
综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，
解得，
故答案为：.
一、解答题
1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解.
【详解】（1）在等差数列中，，，公差，
所以数列的通项公式为；
在等比数列中，，由，得，
解得，，而，因此，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，
.
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题结合累加法可得通项公式；
（2）由（1）结合分组求和法可得答案.
【详解】（1）由题意，当时，，
相加得
所以
时，符合上式，所以
（2）
3．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推式子即可求通项公式；
（2）易知的周期为4，故构造构数列，易证数列为常数列，故题目所求可化为.
【详解】（1）①
当时，，即；
当时，②
①－②得
因为时，也满足上式，
故．
（2）记，
则
（常数）
数到为常数列，
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由求出，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】当时，；
当时，；
也满足；故的通项公式为.
所以，
则.
故选：D
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】首先根据累加法得到的通项公式，并对进行放缩得到，进而采用裂项相消法解得结果即可.
【详解】由得，
因此数列为首项为，公比为的等比数列，故，
进而根据累加法得：
，
所以，
由，
因为，
又，
所以，令，
所以，
所以，
所以，
代入得，所以.
故选：C.
二、填空题
3．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________.
【答案】7
【分析】利用数列和与项的关系、裂项法求数列通项公式、累加法求数列前项和的知识解答即可.
【详解】当时，
故即，
又当时，，则，
故数列为首项为,公比为的等比数列，故的通项公式为
故，
则，
故当时，即，即又可得的最小值为.
故答案为：
三、解答题
4．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知是等差数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)已知数列满足，为的前项和，若，求整数的最小值．
【答案】(1)
(2)99
【分析】（1）根据的关系求解即可；
（2）求出数列的通项，利用裂项求和求出，再解不等式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为．
由，可得，
两式相减可得，
所以，即．
当时，，解得，
所以，故的通项公式为．
（2），
所以．
由，可得，解得，故整数的最小值为99．
5．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通项公式，再由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为．
由，得，
解得：，所以．
（2）由（1）知，，
即，，，……，，
利用累乘法可得：
，也符合上式，
所以．
6．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，；正项数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列、的通项公式；
(3)设是数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推公式通过构造得到，即可求证；
（2）由（1）可求，由，通过因式分解得到，即可求解；
（3）通过裂项相消法求和，进而可求证.
【详解】（1）证明：由得
进而
又
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列
（2）由（1）得
所以
由得，
因为，所以
又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以
（3）
所以
因为，所以
易知是关于的增函数，所以
综上
7．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果；
（2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
，
当时，；
当时，，
且满足上式，所以.
（2）
，
，
数列的前项和为.
8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用与关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）得，利用裂项相消法求和，得证.
【详解】（1）由，当时，，
两式相减得，整理得，
又数列的各项均为正整数，则，即，，
又，解得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，所以，
所以.
9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列公式即可求解；
（2）利用韦达定理可直接得到；
（3）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1）数列是等差数列，设公差为，
由根与系数关系得，
于是有，则，
故，则；
（2）由（1）知，故，
由根与系数关系知；
（3）由（2）得，
所以
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列 B．为递增数列
C．的前项和 D．的前项和
【答案】BCD
【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和．
【详解】对于选项A：由，得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；
对于选项B：因为，即，
显然，且，即，
所以为递增数列，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
两式相减得，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，
所以的前项和，故D正确．
故选：BCD．
二、解答题
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）等比数列中，，数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据求出公比，再代入求出，即可求出的通项公式，再根据作差即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可
【详解】（1）设等比数列的公比为，
在等比数列中，，，
所以，
所以，所以，所以，
又数列的前项和，
当时，
当时，
经检验当时也成立，所以.
（2）因为，所以，
所以，
，
两式相减得，
即，
也即
.
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)记为数列的前项和，已知，是等差数列，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)，，
(2).
【分析】（1）由条件，结合关系，当时，可求，设数列的公差为，结合关系化简条件求，再求，
（2）利用错位相减法求.
【详解】（1）因为，
所以当时，，又，所以，
当时，，
又，所以，
所以数列的通项公式为，
设数列的公差为，
因为，
所以，
又，，
所以，所以，
故，即数列的通项公式为，
（2）因为，
由（1）①
所以②
①②得：，
所以，
所以.
4．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义可得数列是首项、公比均为3的等比数列，即可求解；
（2）由错位相减求解.
【详解】（1）由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列，
故，
（2）由（1）可得，
则，
所以，
两式相减得，
所以
5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设是数列的前n项和，若，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，由题可得，两式相减得，据此可得通项公式；
（2）由（1）结合错位相减法可得，则，然后由单调性可得答案.
【详解】（1）当时，，两式相减可得：
.
中令，得，注意到
符合上式，所以数列是以为首项，为公比得等比数列．
所以
（2）
，相减得
所以，则
从而恒成立．即
令，
则当为奇数时，随着n增大而减小，当为偶数时，随着n增大而增大，
又注意到，则
所以，从而
6．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为．
①求；
②若，成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
（2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可.
【详解】（1）由，得，
因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，，
所以数列的通项公式.
（2）①由（1）得，，
，
于是，
则，
，
所以.
②由，，得，
令，不妨设的第项取得最大值，
由，解得，即数列的最大值为，
所以，即的取值范围是.
一、解答题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前n项和；
(3)令，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据和关系求得，即可求出公比，再利用条件求出，即可求解通项公式.
（2）利用错位相减法求和即可.
（3）通过变形得，结合等比数列求和公式及数列的有界性证明即可.
【详解】（1）由，得，
两式相减，得，
即，又是等比数列，故公比，
由，知，则．
（2）由题，
则，
，
两式相减，得，
即．
（3），由，
得：
则.
2．（24-25高二下·辽宁省县域重点高中·期中）数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用累加法计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）因为，即，
所以当时，，
将以上各式相加，得，则，
当时也符合上式，故.
（2）由题意.
所以
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C选项由即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.
【详解】，故选项A正确；
对于，有，
两式相加，得，则，故选项B正确；
由，知，
则，故选项C错误；
由偶数项均为，可得为偶数时，，
则
，
则，故选项D正确.
故选：ABD.
2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据数列的递推公式可证明A正确；由等比数列通项公式计算可得B正确；采用分组求和以及等比数列前项和公式计算可得C错误；对为奇数和偶数进行分类讨论，再结合数列单调性解不等式即可求得D正确.
【详解】对于A，由题可知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确；
对于B，，
，B正确；
对于C，，
所以
，
则，
故不是等比数列，C错误.
对于D，由题可知
易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且；
若恒成立，则当为奇数时，，所以；
当为偶数时，，所以.
综上，的取值范围为，D正确.
故选：ABD.
二、解答题
3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求的前2n和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）对于，由与的关系，通过作差即可求解，对于，通过的奇偶，分别确定递推公式即可求解；
（2）由等比数列的求和公式及错位相减法，分别计算奇数项、偶数项的和，即可.
【详解】（1）由，当，可得，当，解得，
所以，所以，
即，而，所以从第二项起为等比数列，∴
因为数列满足
因为所以，
当，时，，
当，时，，
所以，所以n为奇数时，
当，时，，
所以，所以，所以n为偶数时，，
所以
（2）
∴
∴
∴，
∴
4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)在数列中，，，求的通项公式；
(3)记数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解；
（2）累加法求数列通项公式；
（3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算.
【详解】（1），
变形得：，
又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即.
（2）由题意可得，
所以当时，，，，，
上式累加可得，
，
又，所以，
当时，满足上式，所以
（3）由（1）、（2）知，
则在前项中，
,
,
作差得
.
.
从而.
5．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，由此可得结论；
（2）先求，再分别确定为偶数时的通项和为奇数时的通项，再利用分组求和法结合裂项相消法和等比数列求和公式求结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
得，所以
解得，
所以，，
（2）由（1）知，，
因此当为偶数时，
当为奇数时，，
所以
.
6．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公差，进而求得通项公式.
（2）由（1）的结论，按奇偶分类，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，，
由，，成等比数列，得，而，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以.
7．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式；
（2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围.
【详解】（1）时，，解得或，因为，所以，
时，，得，
因为，所以，又，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为；
（2）解法一：由，所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以，
因为对任意的，成立，
所以，当为奇数时，即，所以，
不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，
因为为奇数，所以时，，则
当为偶数时，，所以，
同理可得，因为为偶数，所以时，，则，
综上，.
解法二：由，
当为偶数时，
.
当为奇数时，
，
所以（下同解法一）
解法三：因为对任意的，成立，
则，即求的最小值，令，
当为奇数时，
则，所以最小值一定在为奇数时取到，
当为奇数时，
，
当时，，当时，，
所以当为奇数时，，
则的最小值为，
所以.
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ）
A． B．数列的前n项和为
C． D．实数k的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A，由已知递推关系可构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；对于B，由数列的通项公式，再利用分组求和即可求出数列的前n项和；对于C，先写出数列的通项公式，再得到其前项积的表达式，即可判断C选项；对于D，由已知可得得，令，利用作商法分析数列的单调性，由此可判断D选项.
【详解】由，得，又，
所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，
所以，即，故A正确；
数列的前n项和为，故B错误；
因为，所以，故C错误；
由，得，令，
所以，，
，所以数列单调递减，
当时，的最大值为，
所以，即实数k的最小值为，故D正确，
故选：AD．
二、填空题
2．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由递推公式可得数列是常数列，即可得到的通项公式，结合裂项相消法即可得到，然后结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列，
，
，，，
当且仅当，即时取等号，
，则的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
3．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）由题干等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，进而可求得数列的通项公式；
（2）根据解出满足条件的正整数的个数，可得出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得的表达式；
（3）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，求出数列最大值和最小值，结合已知条件可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1），即，
又，为等差数列，其首项为，公差为.
，.
（2）由得，，
，满足不等式的正整数的个数为，
，，
①，
②，
①②得：，
.
（3）由已知可得，
当为奇数时，，
因为数列为递增数列，所以当时，取最小值，此时，
当为偶数时，，
因为数列为递减数列，所以当时，取最大值，此时，
所以且，所以，解得.
因此，实数的取值范围为.
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由，可判定A正确；再由，得到，得出数列为等比数列，求得，可判定B、D不正确；结合等比数列的求和公式，可判定C正确.
【详解】解：由题意得，所以A正确；
蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则它前一步只有两种情况：
①本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率为；
②若上一步在下底面，第步不在上底面的概率为，
如果爬上来，其概率应为，
所以，整理得，即，
所以数列构成首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以，所以B、D不正确；
因为数列构成首项为，公比为的等比数列，
所以，所以C正确.
故选：AC.
二、解答题
2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）甲 乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲 乙的概率各为.
(1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；
(2)求第2次答题的人是乙的概率；
(3)求第次答题的人是甲的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用全概率公式求解即可；
（2）利用全概率公式求出乙答对题目的概率，再根据独立事件与互斥事件的概率公式求解；
（3）先根据全概率公式求出递推关系，再构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可.
【详解】（1）甲答对题目的概率为.
（2）乙答对题目的概率为.
记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件，
所以
.
（3）设，依题可知，，则，
即.
设，解得，则.
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
即.
3．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)前关湿地有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．
(1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的数学期望．
(2)若某居民每天都去湿地散步，记第天选择路线的概率为．
①请写出与的递推关系；
②设，求证：
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；
（2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；
（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证.
【详解】（1）记附近居民第天选择路线，分别为事件，，
依题意，，，，，，
则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率
；
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，，
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
故的数学期望．
（2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率；
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
所以
（ii）由（i）知，
则，而，，
于是数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，即，
，
当时，，而，
所以；
当时，，
而，
所以，
所以．
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专题04 数列通项，数列求和
8大高频考点概览
考点01数列通项
考点02数列求和之分组求和
考点03数列求和之裂项相消
考点04数列求和之错位相减
考点05数列求和之放缩求和
考点06数列奇偶项问题
考点07数列不等式问题
考点08数列与概率交汇问题
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知中，为数列前项和，对都有，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
2．(24-25高二下·辽宁普通·期中)若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是
5．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若是等比数列，则
B．若，则
C．若是等差数列， ，若，则
D．若，，则
6．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是单调递增数列
C．是等比数列 D．是等比数列
7．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知数列满足，，则（ ）
A．， B．，
C．，为完全立方数 D．，数列的前项和
8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列满足，，则（ ）
A．是递减数列
B．
C．当的前n项和取得最小值时，
D．对任意，不等式，则
三、填空题
9．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列前项和满足，则________.
10．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________.
一、解答题
1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求.
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2023 D．2024
二、填空题
3．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________.
三、解答题
4．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知是等差数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)已知数列满足，为的前项和，若，求整数的最小值．
5．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．
6．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设数列满足，；正项数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列、的通项公式；
(3)设是数列的前n项和，证明：．
7．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
(3)设，求数列的前项和.
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列 B．为递增数列
C．的前项和 D．的前项和
二、解答题
2．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）等比数列中，，数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求.
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)记为数列的前项和，已知，是等差数列，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，求.
4．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期中)设是数列的前n项和，若，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值．
6．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为．
①求；
②若，成立，求的取值范围．
一、解答题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前n项和；
(3)令，证明：．
2．（24-25高二下·辽宁省县域重点高中·期中）数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
二、解答题
3．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求的前2n和．
4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)在数列中，，，求的通项公式；
(3)记数列满足，求数列的前项和.
5．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
6．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
7．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ）
A． B．数列的前n项和为
C． D．实数k的最小值为
二、填空题
2．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________．
三、解答题
3．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围.
一、多选题
1．（24-25高二下·辽宁大连第二十四中学·期中）设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
2．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）甲 乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲 乙的概率各为.
(1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；
(2)求第2次答题的人是乙的概率；
(3)求第次答题的人是甲的概率.
3．(24-25高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)前关湿地有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．
(1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的数学期望．
(2)若某居民每天都去湿地散步，记第天选择路线的概率为．
①请写出与的递推关系；
②设，求证：
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