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专题05 导数
9大高频考点概览
考点01导数概念、求导法则
考点02原函数与导函数图像
考点03切线方程
考点04单调性
考点05极值、最值
考点06构造函数
考点07零点问题
考点08恒成立、存在问题
考点09证明类问题
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B． C． D．
2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·辽宁普通·期中)已知函数，则的值为（ ）
A．-1 B．3 C．8 D．16
4．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）下列求导运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．
D．设函数且，则
11．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
12．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数，则=______．
一、多选题
1．(24-25高二下·辽宁普通·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点
C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值
2．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若直线是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B．3 C． D．2
5．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)过点可作曲线的切线的条数最多为______.
四、解答题
8．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数，且．
(1)求a的值；
(2)若曲线在点处的切线与函数的图象也相切，求b的值．
10．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过原点的切线方程.
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁普通·期中)已知函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数满足，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C． D．
二、解答题
4．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）函数的极小值是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)若函数无极值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·辽宁普通·期中)随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ）
A．17万条 B．16万条 C．15万条 D．14万条
二、填空题
4．(24-25高二下·辽宁普通·期中)函数的极小值点为________．
5．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)函数的极值点是______．
6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知成等差数列，函数在时有极值0，则______．
7．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知函数在处取得极值0，则______．
8．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为 ________．
三、解答题
9．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当有极大值，且极大值小于时，求的取值范围.
10．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的极值与最值．
11．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求在区间上的值域.
12．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最小值．
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知实数分别满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·辽宁沈阳第一二0中学·期中)设，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
一、多选题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ）
A． B． C．0 D．
2．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，过原点与曲线相切的直线为
C．若不等式在时恒成立，则
D．若函数恰有1个零点，则
二、填空题
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)若函数，且在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是___________.
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上存在极大值
B．为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
三、填空题
3．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知恒成立，则正数的取值范围为__________.
4．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）若在曲线（e为自然对数的底数）存在点，使其关于轴的对称点在曲线上，则实数的取值范围是__________.
5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．
四、解答题
6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)设函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
7．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设，不等式对恒成立，求整数的最大值；
(3)当时，不等式对恒成立，求的取值范围．
8．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)悬链线的原理运用于悬索桥 架空电缆 双曲拱桥 拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的两种性质：①平方关系：②导数关系：，定义双曲正弦函数.
(1)直接写出具有的类似① ②的两种性质（不需要证明）；
(2)已知函数，若实数满足，求实数的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
一、解答题
1．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)设函数.
(1)证明：当时，；
(2)令，证明：数列递减且.
2．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：对且，都有．
3．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知函数，
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有最大值，求证：．
4．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值；
(3)若为函数的极值点，求证：．
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专题05 导数
9大高频考点概览
考点01导数概念、求导法则
考点02原函数与导函数图像
考点03切线方程
考点04单调性
考点05极值、最值
考点06构造函数
考点07零点问题
考点08恒成立、存在问题
考点09证明类问题
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平均变化率的定义列式计算．
【详解】函数在区间上的平均变化率为.
故选：C.
2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数运算公式求导数，逐项判断即可.
【详解】因为，所以，A错误；
因为，，且，所以，B正确；
因为， 故C错误，
因为，D错误，
故选：B.
3．(24-25高二下·辽宁普通·期中)已知函数，则的值为（ ）
A．-1 B．3 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】根据题意，，则，
由导数的定义知，．
故选：C．
4．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解.
【详解】因为，所以，令，得，
即该运动员在时的瞬时速度为.
故选：C.
5．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得，得到，，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，则，，
所以，即质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的.
故选：A.
6．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】通过对求导，结合赋值法求得，从而求得，再求结果即可.
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得，
则，所以.
故选：A.
7．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）下列求导运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为是常数，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
8．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由基本初等函数的导数公式及运算逐项判断即可．
【详解】，故A不正确；，故B不正确；
，故C不正确；，故D正确.
故选：D.
二、多选题
9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，因为是常数，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：BCD.
10．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．
D．设函数且，则
【答案】AC
【分析】结合导数的求导法则依次求解．
【详解】对于A项，，则，故A项正确；
对于B项，，故B项错误；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，由，得，故D项错误；
故选：AC
11．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
【答案】ABD
【分析】通过导数的概念可判断A，对复合函数求导后计算可判断B，利用导数的运算法则求解判断C，求导然后代数解方程即可判断D.
【详解】对于A，因为函数在上可导，且，
所以，故A正确；
对于B，因为，若则，即，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为,故，故，故D正确.
故选:ABD.
12．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项.
【详解】A.定义域为，，，故A正确.
B.定义域为，，，故B正确.
C.定义域为，，，故C正确.
D.定义域为，，，
当时，，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数，则=______．
【答案】
【分析】求导，即可代入求解的值，进而根据导数的定义即可极限的运算性质即可求解.
【详解】，故，
故，
故答案为：
一、多选题
1．(24-25高二下·辽宁普通·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点
C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值
【答案】ABC
【分析】利用导函数的正负来判断原函数的单调性，利用导函数的变号零点来判断原函数的极值点即可．
【详解】
根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确；
根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误；
故选：ABC．
2．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特剑桥中学·期中)函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用导数的几何意义，结合图象，判断求解即可．
【详解】由题图知函数是单调递增的，则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零，故选项D错误；又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以，故选项A正确；
记，则直线的斜率，表示函数在区间上的平均变化率，
由函数图象知，即，故选项B错误，C正确；
故选：AC．
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】,
过点，，
，，
，.
故选：B
2．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)若直线是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点坐标为，则利用结合导数的几何意义求得，再将点坐标代入直线和曲
线方程，即可求解.
【详解】，则，设切点坐标为，则，解得，
又点在直线上，又在曲线上，
即，又，解得.
故选：B
3．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算.
【详解】设切点为，
由可得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
由点在切线上代入可得，
即三次方程有三个不同的实数根，
令，则，
所以极值点为和，
又极值点处函数值为，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以，解得.
故选：B
4．（24-25高二下·辽宁省七校协作体·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.
【详解】设是图象上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，
所以.
故选：D
5．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可
【详解】由题知，，令，又，解得，因为，
所以切线的方程为.，设函数与直线切于点，
所以，故，
即，，解得或.
故选：D
二、多选题
6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由因式分解即可判断CD；利用基本不等式可判断AB.
【详解】因为，所以，
又在两点处的切线相互平行，所以，
整理得，因为，所以，C对D错；
又，且，所以，A错B对.
故选：BC
三、填空题
7．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)过点可作曲线的切线的条数最多为______.
【答案】
【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出结果.
【详解】设切点坐标为．
因为，所以，则切线斜率为，
所以切线方程为．
又点在切线上，所以，解得，
故过点可作条切线与曲线相切．
故答案为：.
四、解答题
8．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）求导，通过赋值即可求出，进而可求的值；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积.
【详解】（1）由题可知，
令，则，解得．
因为，所以．
（2）由（1）可知，，
则所求的切线方程为，即，
所以该切线与坐标轴的交点为和，
则所求三角形的面积为．
9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数，且．
(1)求a的值；
(2)若曲线在点处的切线与函数的图象也相切，求b的值．
【答案】(1)2
(2)1或5
【分析】（1）求导，计算，得解；
（2）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，再与联立方程组，由得解.
【详解】（1）因为，所以，解得.
（2）由（1）可得，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
联立，得，
由题意可得，解得或，
所以的值为1或5.
10．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）已知.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过原点的切线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)求出函数的导数并求出在点e处的导数值，再利用导数的几何意义即得；
(2)由(1)的信息，设出切点坐标，写出切线方程并将代入计算即可得解.
【详解】（1）由求导得：，当时，，
由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程；
（2）由题意知，点不在曲线上，设切点为，由(1)知曲线在点B处切线斜率为，
切线方程为，即，而切线过点，即，解得，
于是得所求切线方程为，
所以曲线过原点的切线方程为.
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁普通·期中)已知函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数判断函数单调性即可得解.
【详解】因为，
所以在上单调递增，
所以，
故选：D
2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用导数研究的单调性，结合及充分、必要性定义即可
答案.
【详解】对应，有，故在R上单调递增，
若，即，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数满足，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数，再进行赋值求解，然后根据导数的正负来求单调区间即可．
【详解】求导得：，再令得：，
再由，令得;
，联立上两式可得：，
故，
由，满足解得：或，
所以的单调递增区间为，，
故选：B．
二、解答题
4．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）根据题意，求得，分和，两种情况，再结合两根得到大小，分三种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）当时，函数，可得
且，
故曲线在点处的切线方程.
（2）由函数，其定义域为，
且，
① 若，可得
当时，可得；当时，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
② 若时，则，令，可得或，
当时，即时，令，可得或；
令，可得，所以在上递增，在上递减；
当时，即时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，即时，令，可得或；
令，可得，所以在上递增，在上递减；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上递增，在上递减，
综上可得：当时，在上递增，在上递减；
当，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上递增，在上递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上递增，在上递减.
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）函数的极小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对函数求导，研究其区间单调性，进而求极小值即可.
【详解】由题设，当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
故选：A
2．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)若函数无极值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得恒成立，求解即可.
【详解】的导数为，
函数不存在极值点，
在R上恒成立，
即恒成立，
，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：D.
3．(24-25高二下·辽宁普通·期中)随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ）
A．17万条 B．16万条 C．15万条 D．14万条
【答案】C
【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解.
【详解】设收益为y元，则，
，当时，；当时，，
所以函数y在上单调递增，在上单调递减，
即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益.
故选：C.
二、填空题
4．(24-25高二下·辽宁普通·期中)函数的极小值点为________．
【答案】
【分析】根据题意，求导可得，令，再由极值点的定义，即可得到结果.
【详解】由可得，
令可得，即，解得，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以是的极小值点.
故答案为：
5．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)函数的极值点是______．
【答案】3
【分析】先求出导函数，然后根据极值点的定义可得
【详解】的定义域为，所以，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以是的极大值点，无极小值点.
故答案为：3
6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知成等差数列，函数在时有极值0，则______．
【答案】21
【分析】由，求得，并验证，再结合等差数列概念即可求解.
【详解】，
由题意，
即，解得：或，
当时，，，
此时函数单调递增无极值，舍去，
经验证符合题意，
因成等差数列，所以.
故答案为：
7．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知函数在处取得极值0，则______．
【答案】2
【分析】根据函数在处取得极值0，可得，，进而求解即可.
【详解】由，得，
因为函数在处取得极值0，
所以，解得或，
当时，，则，
此时函数在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，则，
令，得；令，得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极小值.
综上所述，.
故答案为：2.
8．（24-25高二下·内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学·期中）若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为 ________．
【答案】
【分析】设，利用点到直线的距离可得，令，利用导数求出，即可得到答案
【详解】因为点是曲线上的一点，故设，
所以到直线的距离为，
令，则
当单调递增；当单调递减；
所以，
所以
所以的最小值为
故答案为：
三、解答题
9．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当有极大值，且极大值小于时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的导函数，利用导数的几何意义及点斜式方程即可求解切线方程；
（2）求导，对分类讨论，利用导数求出极大值，由极大值小于时，即可求解的取值范围．
【详解】（1）当时，，，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即为；
（2），，
当时，，单调递增，无极值，不符合题意；
当时，时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是极大值点，
所以的极大值为，
因为的极大值小于，
所以，即，
设，易知函数在上是增函数，而，
所以由，得，即的取值范围是．
10．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的极值与最值．
【答案】(1)
(2)极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为．
【分析】（1）由导函数求得函数在切线的斜率，由直线平行得到的值；
（2）将的值代入原函数，求出导函数，令导函数为0，求得极值点.然后求出函数的极值和端点的函数值，从而得到函数的极值和最值.
【详解】（1）由，得，．
所以．
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得．
（2）由（1），得，
令，解得，或．
当变化时，的变化情况如下表所示：
1
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为．
又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为．
11．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求在区间上的值域.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2).
【分析】（1）求出函数的定义域，求出，列出变化时，，的变化情况表，由表即可得其单调区间；
（2）由（1）可知在上的极值，再求出在区间端点处的函数值，其最小者为最小值，最大者为最大值，从而得值域；
【详解】（1）函数的定义域是，
.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如下表：
x 1 2
+ 0 0 +
极大值 极小值
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
由（1）可知在区间内，
当时，取得极小值.
由，，，
得，
所以在区间上的值域为.
12．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）求出导函数，分类讨论的正负确定和的解，得单调性；
（2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值．
【详解】（1）由，，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，有，，，，即在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1），当时，函数在上单调递减，，
当，即时，函数在上单调递减，，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
.
综上，当时，，当时，.
一、单选题
1．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数并求出导数，判断函数的单调性，进而求解不等式.
【详解】令，求导得，而，
则，函数在上单调递减，
不等式，即，
因此，解得，所以所求解集为.
故选：A
2．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知实数分别满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导结合不等式判断即可．
【详解】设，（），则，
则函数在上单调递减，所以，则；
设（），则，
则函数在上单调递减，所以，则.
所以；
设函数（），对其求导，
当时，，所以函数在上单调递增.
所以，
所以，即.
综上可得：．
故选：D
3．(24-25高二下·辽宁沈阳第一二0中学·期中)设，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知有、，分别构造、及并利用导数研究其在上的单调性，即可比较大小.
【详解】由，且，
将代换，则，，，
令且，则，
所以在上单调递增，故，即在上恒成立，
由且，则，即在上单调递增，
所以，即，故，即，
令且，则，
所以在上单调递减，故，
即在上恒成立，故，
综上，.
故选：B
4．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据要求解的不等式可变形为，构造函数，并结合已知可得，从而得，利用求得参数c的值，由此可将不等式 化为，即可求得答案.
【详解】令 ①,则 ，
∵，
∴ ，即 ，
∴（c为常数）②，
由①②知， ，
∴ ，又，
∴ ，即 ，
，
不等式 即，
∴ 或，
即不等式的解集为，
故选：A.
一、多选题
1．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】AD
【分析】将可得，构造函数，利用导数求解单调性，即可结合函数的图象求解.
【详解】令，得，
令，则，
故当且时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递增，
且，当时，，当时，，
作出的大致图象如下，
恰有1个零点，即方程只有一个解，
则与只有一个交点，观察图象可知，或，
结合选项可知，选项A和选项D符合题意.
故选：AD
2．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，过原点与曲线相切的直线为
C．若不等式在时恒成立，则
D．若函数恰有1个零点，则
【答案】AB
【分析】对于A利用导数研究单调性求出最小值即可判断，对于B设切点求出切线方程解出即可判断，对于C由有，令，则在上单调递增，即在上恒成立，即可求解，对于D由，令有，解得或，令，利用导数研究零点即可判断.
【详解】对于A：当时，，所以，令有，
由有，有，所以在单调递增，在单调递减，
所以，故A正确；
对于B：当时，，设切点，，，，
所以切线方程为，又切线过原点，所以，即，解得，
所以，所以切线方程为，故B正确；
对于C：由有在上恒成立，令，则在上单调递增，
即在上恒成立，所以，即，令，即，
所以，令，当时，，所以在单调递减，所以，所以，即，故C错误；
对于D：由，令有，解得或，令，
所以，令得，由有，有，
所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，
当时，无解或有一解为0，所以函数恰有1个零点0，所以，故D错误；
故选：AB.
二、填空题
3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)若函数，且在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】条件可转化为方程在上有且只有一个根，设，，可得函数的图象与的图象有且只有一个交点，利用导数分析函数的单调性，作函数的大致图象，观察图象列关系式求结论.
【详解】因为函数，且在上有且只有一个零点，
所以方程在上有且只有一个根，
所以方程在上有且只有一个根，
所以方程在上有且只有一个根，
所以方程在上有且只有一个根，
设，，
则函数的图象与的图象有且只有一个交点，
又，令可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，当时，，当时，，
由，
当，且时，，
当时，，
所以函数，的大致图象如下：
又，故，
所以由图象可得或，
所以或，
所以的取值范围是，
故答案为：.
一、单选题
1．（24-25高二下·辽宁省东北育才中学·期中）若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设有，令，则，所以，当时，，在为增函数；当时，，在为减函数，所以，注意到当时，，故选D.
二、多选题
2．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上存在极大值
B．为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】利用导数探讨的单调性判断A；求出并利用导数探讨其性质，结合函数零点判断B；利用函数的单调性脱去法则“f”，再利用的单调性求出最小值判断C；由已知结合同构思想得，再利用导数求出的最小值判断D.
【详解】对于A，，令，则，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
于是，因此在上单调递增，在上无极值点，A错误；
对于B，，令，则，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
则，即，显然当时，恒有，
方程有两个不同实根，即直线与函数的图象有两个交点，
因此，B正确；
对于C，由选项B知，在上恒成立，则函数在上单调递增，
于是，不等式，
则有，，由选项A知，函数在上单调递增，
因此，即，所以实数a的最大值为，C正确；
对于D，若，则，
即，由，得，
由选项A知，函数在上单调递增，于是，，
因此，令，则，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，从而，
所以的最大值为，D正确.
故选：BCD
三、填空题
3．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知恒成立，则正数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意有，即，令即，利用单调性得即，令，即，利用导数研究单调性求最大值即可求解.
【详解】由有，
令，即，由，当时，，
所以在上单调递增，由有，
即，令，所以，
所以，令有，由有，有，
所以单调增区间为，单调减区间为，
所以，所以，即，
故答案为：.
4．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）若在曲线（e为自然对数的底数）存在点，使其关于轴的对称点在曲线上，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】通过函数图象上存在关于轴对称的点这一条件，逐步转化为函数方程有解， 再通过构造新函数，利用导数研究函数单调性和最值，进而确定参数的取值范围.
【详解】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，那么有解，即在上有解，
首先对进行变形：.
设（），则原方程变为.
进一步转化为在上有解.
设，对求导，可得.
然后分析的单调性：令，即，解得.
当时,所以，在上单调递增.
当时，所以，在上单调递减.
所以在处取得极大值，也是最大值，.
当时，，，所以；
当时，增长速度远小于的增长速度，所以.
因为在上有解，所以的最大值满足方程有解的条件.
再回到：
由有解且，，因为有解，所以有解.
即有解，两边同时取对数得，即在上有解.
设，对求导，则.
然后分析的单调性：
令，即，解得.
当时， ，在上单调递减.
当时， ，在上单调递增.
在处取得极小值，也是最小值，.
当时，；当时，.
因为在上有解，所以.
故答案为：.
5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案.
【详解】，设，则，
所以，，所以，
因为与的图象若恰有3组对称点，
所以有三组解，可得即有三个解，
令，即函数与的图象有3个不同的交点，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)设函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）先求，进而求切线斜率，再用点斜式求方程即可；
（2）分和两种情况，分别研究的正负性即可；
（3）利用参变分离，构造函数，求其最小值即可.
【详解】（1）由题意，得，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，即，
则在处的切线方程为.
（2）由，则，，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，得；得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记，，则，
令得；可得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
则实数a的取值范围为．
7．（24-25高二下·辽宁省名校联盟·期中）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设，不等式对恒成立，求整数的最大值；
(3)当时，不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
(3)
【分析】（1）对求导，得到，进而求出的单调区间，再利用极值的定义，即可求出结果；
（2）根据条件，将问题转化成对恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可求出结果；
（3）根据条件得到对恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得到，从而有，即可求出结果.
【详解】（1）当时，，易知，又，
所以当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数在处取到极大值，无极小值.
（2）因为，由，
得到，所以不等式对恒成立，
即对恒成立，整理得到对恒成立，
令，则，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
又，，由零点存在性原理知，，使，
所以当时，，得到时，，
当时，，得到时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，又，
所以整数的最大值为.
（3）当时，由不等式，得到，
整理得到对恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，
令，则，，所以方程必有解，
所以当且仅当时，有最小值，且最小值为，
所以实数的取值范围为.
8．(24-25高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)悬链线的原理运用于悬索桥 架空电缆 双曲拱桥 拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的两种性质：①平方关系：②导数关系：，定义双曲正弦函数.
(1)直接写出具有的类似① ②的两种性质（不需要证明）；
(2)已知函数，若实数满足，求实数的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明；（2）判断为奇函数，判断单调性，进而求解不等式，（3）多次求导，结合（2）构造函数，分类讨论求解范围.
【详解】（1）平方关系：；
导数：.
理由如下（不计分数）：
；
导数：.
（2）因为且，
所以为奇函数
因为
所以在上单调递增
因为且在上单调递增
所以即为
解得，或
所以实数的取值范围为
（3）构造函数由（1）可知，
由,可知
当时，故，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，满足题意；
当时，令，
则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，即矛盾；
综上所述，实数的取值范围为.
一、解答题
1．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期中)设函数.
(1)证明：当时，；
(2)令，证明：数列递减且.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先证明函数在上单调递减，由此可得当时， ，又要证明当时，，只需证明当时，，设，利用导数证明，当且仅当取等号，由此证明结论；
（2）由条件，结合（1）证明若，则，结合条件，证明，，结合（1）证明，由此证明数列单调递减，设，，结合（1）利用导数，由此证明，再证明即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，
所以当时， ，
要证明，即证明，
只需证明，因为，所以，
所以只需证明当时，，
设，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，当且仅当取等号，
所以，当且仅当取等号，
所以当时， ，
所以当时，成立，
综上，当时，；
（2）因为，所以，
若，由（1），故，
则，则，
又，所以，
所以，，
由（1）当时，，
所以，故，又，
于是，
所以，所以，所以，所以数列单调递减，
设，，
则，
因为，由（1）可得当时，，所以，
所以函数在上单调递增，所以，
所以当时，，所以，
由题意，所以，又，
所以当时，，
所以，当且仅当时等号成立.
所以数列递减且.
2．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：对且，都有．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性；
（2）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可．
【详解】（1）
因为，定义域为，
所以．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）不妨设，则，要证对，都有，
只需证，即需证．
构造函数，则要证，需证函数在上为增函数，
因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有．
3．(24-25高二下·辽宁实验中学·期中)已知函数，
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有最大值，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数导函数，分，两种情况讨论函数的单调性，即可得到函数的最大值，依题意即证，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明.
【详解】（1）当时，．，
则，，
故曲线在点处的切线方程是．
（2）函数的定义域为，
又，
当时，，故在上单调递增，无最大值；
当时，令，则，
所以时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故的最大值是，
要证，
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，则．即，得证．
4．（24-25高二下·辽宁省沈阳市第一二0中学·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值；
(3)若为函数的极值点，求证：．
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出，然后对分类讨论求解函数的单调区间；
（2）由题意得即可求得，得到的解析式．对任意恒成立，即对任意恒成立，令，问题转化为求的最小值，利用导数求解即可；
（3）因为为函数的极值点，所以．要证明不等式成立，只需证．令，证得，．分两种情况证明：当时，由即证得结论；当时，得，只需证，即证对成立，构造函数，结合函数的单调性证明即可．
【详解】（1），定义域为，
所以，
当时，，故在上单调递增，
当时，由，得；由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，曲线在处的切线垂直于直线，
则在处的切线的斜率为，即，解得：，
则.
对任意恒成立，即对任意，
即对任意恒成立，
令，
，令，得，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
，
，则实数b的最大值．
（3）函数，
因为为函数的极值点，所以，所以，
要证明不等式：成立，只需证，
令，
当时，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即，所以，
当时，因为，所以．
当时，因为，所以，所以，
要证成立，只需证，
即证对成立．
令，因为，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，即时，成立．
综上所述，原不等式成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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