资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 三角恒等变换（5大考点，65题）
5大高频考点概览
考点01二倍角的正弦公式
考点02二倍角的余弦公式
考点03二倍角的正切公式
考点04 辅助角公式
考点05 三角恒等变换的化简问题
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得到、且，进而有，应用换元法，令，则，结合二次函数的性质求范围.
【详解】由三角形为斜三角形且，故，
又，，，
则，而，
所以，则，
所以
令，则，
所以，故.
故选：D
2．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由，得，然后利用三角函数恒等变换公式及同角三角函数的关系对化简变形，再代入计算即可.
【详解】由，得，
.
故选：B
3．(24-25高一下·江苏高邮·期中)的值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先利用二倍角公式化简以及，再利用诱导公式化简即可代入化简.
【详解】，
，
因，则，
则.
故选：A.
二、多选题
4．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)下列式子中正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
5．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式判断A、C，根据两角差的正切公式判断B，利用辅助角公式判断D.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确.
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：BD
6．(24-25高一下·江苏连云港·期中)下列式子中成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，由二倍角正弦公式即可计算求解；对于B，由两角和正切公式即可计算求解；对于C，根据两角和的正切公式即可计算求解；对于D，由二倍角正余弦公式和正切的定义即可计算求解.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，因为，
所以，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对．
故选：BCD．
7．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)下列各式的值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用两角和的正切公式判断A，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用诱导公式及两角和的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：BC
8．(24-25高一下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案.
【详解】由，且，
则，故A对；
由，故B正确；
由，故C错；
由，故D对；
故选: ABD
三、填空题
9．(24-25高一下·江苏连云港·期中)已知，则______.
【答案】
【分析】利用二倍角公式与同角的三角函数关系式建立齐次式，化弦为切即可.
【详解】.
故答案为：
10．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)若，，则的值是_____．
【答案】
【分析】根据正弦的二倍角公式计算可得，再由半角公式计算并结合角的范围可得结果.
【详解】由可得，
又，所以，因此可得；
又，所以，
因此，易知，
即.
故答案为：
11．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知，，则______．
【答案】
【分析】先根据的范围求出的范围，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后结合二倍角公式和诱导公式求出的值.
【详解】已知，则，所以.
又因为，所以.
根据三角函数平方关系，可得：
可得：
因为，所以.
再根据二倍角公式，可得：
①
又因为 ②
联立①②求解，因为，所以，.
由①得，代入②可得：
设（），则，两边同时乘以得：
，解得或，即或.
由于，则可以再缩小，因此.
因此.由于，
而 ，
，
则.
故答案为：.
12．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)若，则_______．
【答案】
【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】.
故答案为：.
四、解答题
13．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案；
（2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，故，
故；
（2）由于，且，则，
结合，可得，
结合（1）可得，
而，
故，
由于，故.
14．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知，均为锐角，且，．
(1)求和值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据，均为锐角，得到，从而利用同角基本关系式即可求出值；根据二倍角的正弦公式及同角基本关系式即可求出值；
（2）结合（1）及两角和的正切公式得到，再根据的取值范围即可求得答案．
【详解】（1）依题意可得，，则，
又，则，所以，
又，所以．
（2）结合（1）可得，
又，，则，所以．
15．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知 ，
(1)求tanα的值;
(2)若在角终边上，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和差公式得出，再利用解方程组，结合的范围即可求出，最后利用即可求得；
（2）根据三角函数的定义写出，再利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的余弦公式计算即可.
【详解】（1）由题意可得，，
则，
因，则或，
因，则，则，
则.
（2）因点在角终边上，则
则 ，
，
则.
16．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)在中，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由同角的三角函数关系求出余弦值，再利用二倍角公式化简所求式代入求解即可；
（2）根据角的正弦值和角的范围，确定角的范围，求出其余弦值，再利用和角的余弦公式计算即得.
【详解】（1）因，，则，
则
；
（2）由，且，结合正弦函数的图象，可得，
又由，，结合正弦函数的图象，可得或，
当时，，显然不合题意，故，
则，
于是
.
17．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)已知角，满足，，且，.
(1)求的值；
(2)求的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角的三角函数的基本关系式、倍角公式结合两角差的正弦可求的值；
（2）先求出的正弦与余弦，再由两角和的余弦可求的大小.
【详解】（1）因为，，所以；
因为，，所以
所以，，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，，所以，，
，得，，
，因为
所以.
18．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示；
(2)求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为且，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式可证明三倍角公式；
（2）利用（1）的结果可得，故可求的值；
（3）令，结合（1）中恒等式对方程变形可得，故可求原方程的解，结合三角变换公式可证.
【详解】（1）
（2）由（1）得，
而，所以，
所以，即，
所以．
（3）因为，所以
令，因为，所以，取
所以，
由（1），得
又因为，所以
所以，
所以
所以
.
故.
一、单选题
19．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】，
，
，
由于在上单调递增，所以，
即，
故选：D
20．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求值.
【详解】由题意，.
故选：C.
21．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦的二倍角公式，结合二次方程求解即可.
【详解】因为，且，
所以由余弦的二倍角公式得，
即，解得或（舍）.
故选：B.
22．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别平方后相加即可求，再用二倍角公式求解即可.
【详解】
①
②
①＋②得：
，
，
故选：
二、多选题
23．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用二倍角的余弦公式化简判断A，利用两角差的正切公式化简判断B，结合诱导公式，利用两角差的余弦公式求解判断C，通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断D.
【详解】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确，
对于B，由两角差的正切公式得，故B正确，
对于C，由题意结合两角差的余弦公式得，故C错误，
对于D，由诱导公式得，
可得，故D正确.
故选：ABD
24．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)以下正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的最大值为2
D．
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等变换公式逐项计算可得结论.
【详解】对于A，
，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，
当且仅当时，等号成立，故函数的最大值为2，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
25．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知，则______.
【答案】/0.28
【分析】逆用两角差的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】∵，
∴.
故答案为：.
26．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)函数的值域为______．
【答案】
【分析】由二倍角公式化简，运用换元法利用二次函数的单调性可得.
【详解】，
设，则，，
则在上单调递减，，
故函数的值域为，
故答案为：
27．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知，则_________.
【答案】
【分析】将两边平方，即可求出，再由二倍角公式及诱导公式计算可得.
【详解】
因为，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
四、解答题
28．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)已知，，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角的余弦公式即可求值；
（2）先求出，再利用即可求解.
【详解】（1）因为，，所以
又因为，所以，
所以.
（2）因为，，所以，所以
又因为，
所以，，
因为
所以
因为，所以
29．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)在中，.
(1)求的值；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系，二倍角公式，结合两角和的余弦公式即可求解；
（2）利用三角形的内角之间关系及范围与同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）在中，因为，又，
则，，
，
所以.
（2）在中，因为，则是锐角，
又，则，
因为，，则是锐角，
所以，
在中，，
所以
.
30．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)已知为锐角，为钝角，且，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角的平方关系与商数关系求得，利用，进而利用两角和的正切公式即可求解；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求得，进而可求得，可求解.
【详解】（1）因为为锐角，，所以，所以，
（2）因为为锐角，，由，
可得，
所以．
，
又因为，所以，而，
可得，所以．
31．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)已知．
(1)求的值；
(2)求的大小．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出、，从而求出、，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）首先求出，再由及两角和的正弦公式计算可得.
【详解】（1）因为，所以，解得（负值舍去）；
所以，
所以．
（2）因为，所以，
又因为，所以，
所以
，
又因为，所以．
32．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)已知锐角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出，利用两角差的正弦公式即可求得；
（2）由（1）解出，由均为锐角以及的取值情况，解出的取值范围，即可求得的值.
【详解】（1）因为，，所以，
因为，，所以，
则，又，所以，则，
所以.
（2）由（1）得，
因为，，，所以，
由（1）知，所以，
则，所以.
一、多选题
33．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】将弦化切，即可求出，即可判断A，再由同角三角函数的基本关系求出，即可判断B，利用二倍角公式判断C，D.
【详解】对于A ：因为，所以，解得，故A正确；
对于B：因为，解得或，故B错误；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：
或，故D正确.
故选：ACD
二、填空题
34．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知 则______________________
【答案】/0.68
【分析】根据正切的和差角公式得，进而根据正切的二倍角公式解得或，进一步弦切互化齐次式得，即可求解.
【详解】由于，故，
因此，
所以，故，
，故或，
当时，，
当时，，
故，
故答案为：
三、解答题
35．(24-25高一下·江苏扬州第一中学·期中)已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和的范围可得，再利用二倍角的正切公式即可；
（2）利用和的范围可得，再利用即可求得.
【详解】（1）因，则，，
则；
（2）因，则，
因，则，则，
则
.
36．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知，，其中，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系求，再利用二倍角的正切求的值.
（2）结合，利用两角差的正弦公式求值.
【详解】（1），，
.
（2），，所以
37．(23-24高一下·江苏常州教育学会·)已知为钝角，．
(1)求的值；
(2)若锐角满足，求的值．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）根据二倍角的正切公式及两角差的正切公式得解；
（2）先求出，再由二倍角的正切公式及两角和的正切公式求出，
根据角的范围求出角即可.
【详解】（1），
.
（2）由可得，
由锐角知，，
所以，
所以，
由，则，又，
所以，又，
所以，又，
所以.
一、单选题
38．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【详解】依题意，，解得，
所以．
故选：C
39．(23-24高一下·江苏徐州铜山区·期中)设，，，则有（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角恒等变换结合同角三角函数关系及三角函数值运算判断即可.
【详解】由题意可得：，
，
，
则可得，
所以.
故选：C.
40．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)若，其中，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】经过换元，二倍公式，降幂公式得到，然后利用正弦函数的有界性求出最值
【详解】设，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，
将方程两边除以得，
所以，
令，，
所以，
其中，又，
所以，
则的最大值为.
故选：D
二、多选题
41．(24-25高一下·江苏南通海安高级中学·期中)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】ABD
【分析】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，设 ，可得，由，结合题中条件可判断A，B；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D．
【详解】如图，作 ，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则 ，
设 ，则，
由可得 ，且 ，
若，则，
解得 ，（负值舍去），故，A正确；
若，则，，故B正确；
，
由于，故，故，故C错误；
由于，
故
，而，
故（取等号），故D正确，
故选：ABD.
42．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知函数，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABD
【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简的表达式，结合正弦函数的有界性可判断A选项；利用诱导公式、三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的有界性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；解出、的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则
，
所以，，A对；
对于B选项，因为，则，
所以，
所以
，
为锐角，且，所以，B对；
对于C选项，因为，为锐角，且，
不妨取，，
则，，
此时，但，C错；
对于D选项，因为，即，
所以，，
因为，为锐角，则，
不妨设，则，所以，
所以，故，D对.
故选：ABD.
三、填空题
43．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______．
【答案】
【分析】根据两角和与差的三角函数公式，化简得，其中，，结合题意推导，由此算出，根据三角函数的诱导公式求出的值．
【详解】由题意得，
结合，可得，
其中锐角θ满足，.
因为关于的方程在内有两个不同的解、，
所以方程，即在内有两个不同的解、.
根据，，
满足，
可得，
结合正弦函数的性质，可知，，
所以，即，
可得．
故答案为：．
44．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答.
【详解】因为，
函数的单调区间为，
由，
所以函数在上单调，
因为在区间内没有最值，则函数在上单调，
所以，则，
取时，且，所以，
取时，且，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
45．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)函数，的值域为______．
【答案】
【分析】令，利用换元法将原函数转化为含未知量的函数，求解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，则.
，，，
∴，
故函数，的值域为.
故答案为：.
46．(24-25高一下·江苏苏州·期中)钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，将正切化成正余弦，再利用辅助角公式变换即可.
【详解】依题意，
，而是钝角，
所以.
故答案为：
四、解答题
47．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用切化弦与二倍角公式，以及辅助角公式，化为正弦型函数，根据x的取值范围求的范围即得；
（2）根据三角恒等变换和二倍角公式，利用同角的三角函数关系，求解即可．
【详解】（1）＝
＝＝＝，
因为，所以，所以，
即函数的值域为.
（2）由，，
得，
所以
＝.
48．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知函数．
(1)设，f（x）为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围；
(2)已知函数f（x）的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，从而可得，分离参数得，求出函数在上的最大值即可得答案；
（2）由题意求得，求出函数f（x）在上的最大值、h（x）在上的最大值，利用求解即可．
【详解】（1）因为为偶函数，
所以，，
所以
，
当时，，
所以，
所以，
又因为存在，使不等式成立，
即成立，
因为，所以，
即实数m的取值范围为.
（2）因为函数f（x）的图象过点，且，
所以，解得，
所以，
所以当时，，
所以，
又，
当时，，
令，则h（x）即为，
因为φ（t）的开口向下，对称轴为，
当，，
由，解得，所以；
当时，，
由，解得，所以；
当时，，
由，解得，所以；
综上，，
即实数a的取值范围为．
49．(24-25高一下·江苏苏州·期中)已知函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的值域.
（2）由（1）的信息，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦求解.
【详解】（1）依题意，，
由，得，则，
所以函数的值域是.
（2）由（1）得，而，则，
因此，，
，
所以
.
50．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量，函数.
(1)求函数的周期，最大值，最小值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)周期为，最大值为2，最小值为；
(2).
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求解.
（2）由（1）求得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
【详解】（1）向量，
则，
所以函数的周期为，最大值为2，最小值为.
（2）由，得，
所以.
一、单选题
51．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先对函数化简变形为，令，解得或，由，求出范围，再由在上恰有1个零点，得，从而可得的取值范围.
【详解】
令，则，所以或，
因为，所以，
因为在上恰有1个零点，所以，解得．
故选：B
52．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)下列函数的最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简各选项中函数的解析式，再结合三角函数的周期公式逐项判断即可.
【详解】对于A选项，，该函数的最小正周期为，A不满足要求；
对于B选项，，
该函数的最小正周期为，B不满足要求；
对于C选项，，
该函数的最小正周期为，C满足要求；
对于D选项，，
该函数的最小正周期为，D不满足要求.
故选：C.
二、多选题
53．(24-25高一下·江苏常州·期中)已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的有（ ）
A．的一个对称中心为
B．若实数满足，则
C．函数的最大值为
D．若平面向量，则的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据，计算的值，结合正弦型函数的对称性，即可判断A；结合三角恒等变换化简，根据方程，即可得，由同角三角函数关系，即可判断B；结合辅助角公式进一步化简函数，根据余弦型函数的最值即可判断C；根据平面向量坐标运算的模长公式，利用三角恒等变换化简函数，结合正弦型函数的取值范围即可判断D.
【详解】因为函数，所以，
对于A，，所以不是的对称中心，故A不正确；
对于B，，
若实数满足，则，
所以，即，故B正确；
对于C，由B选项可得，
由于，则函数的最大值为，故C正确；
对于D，由平面向量，可得：
由于，则，所以，即的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
54．(24-25高一下·江苏宿迁沭阳华冲高级中学·期中)已知，且，则_________.
【答案】/
【分析】首先根据角的变换，再根据两角和差的余弦公式，即可求解.
【详解】由条件可知，，
即，
得，且
所以.
故答案为：
四、解答题
55．(24-25高一下·江苏扬州邗江区·期中)已知函数.
(1)将函数化简为的形式；
(2)求函数的最小正周期及在区间上的最大值；
(3)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)，2
(3)
【分析】（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到结果；
（2）由正弦型函数的周期性以及值域，代入计算，即可得到结果；
（3）由，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，.
（2）所以函数的最小正周期为.由可知，
则当，即时，取得最大值为.
（3）∵，∴.又，
∴，∴.
∴
.
56．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知向量，，.
(1)若，求的值：
(2)记，
（i）若对于任意，，而恒成立，求实数的最小值；
（ii）关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）由向量平行的坐标表示得，再应用三角恒等变换化简得，即可得；
（2）（i）应用三角恒等变换化简函数式得，再求其区间值域，根据不等式恒成立求参数范围；（ii）由已知及三角恒等变换得，令，化为能成立，即可求范围.
【详解】（1）由，则，可得，
所以，又，故；
（2）由
,
当，，则，
对于任意，，而恒成立，
所以，故最小值为；
（ii）由题设，
所以，，
所以，，
所以，则，
而，当且仅当取等号，
由不等式有解，则.
57．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知函数的最大值为．
(1)求实数的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合可得出关于的等式，解之即可；
（2）由三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据的奇偶性以及的取值范围可得出的值，化简函数的解析式，再结合余弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最小值.
【详解】（1）因为
，
其中满足，，
所以，，解得.
（2）由（1）知，，
将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，
则，
由题意可得，，可得，
因为，故，故，
当时，，故.
故当时，函数的最小值为.
58．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)最小正周期为；最大值为4
(2)
【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及诱导公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解；
（2）由已知得，再根据诱导公式及二倍角公式即可求解．
【详解】（1），
所以函数的最小正周期为；
当且仅当，即时，函数的最大值为4．
（2）因为，所以，即，
所以
．
59．(24-25高一下·江苏镇江实验高级中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)若，且，求的值；
(3)在中，若，求的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用诱导公式及二倍角正余弦公式、和角正弦公式化简函数式得，进而求其最小正周期、单调增区间；
（2）由已知得，结合平方关系和角的范围求函数值；
（3）由已知得，结合三角形内角的性质、三角恒等变换得且，即可求范围.
【详解】（1）由
，
所以的最小正周期，
令，则，
所以单调增区间为；
（2）由，则，
所以，又，
所以，则，
所以，又，则（负值舍）；
（3），，可得，
，
又，则，故，
所以.
60．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)已知函数（其中常数）的最小正周期为．
(1)求函数的表达式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；
（2）令由得，问题转化为在上有解,通过求函数值域即可.
（3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可.
【详解】（1），
因为的最小正周期为，且，
所以即，所以．
（2）因为，所以．
所以，令．
又在上有解，
所以在上有解，
所以．
（3）由题意可知：，
因为，
所以中有一个为1，另一个为，
因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是，
所以，所以，或，
因此的值为或．
61．(24-25高一下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知函数
(1)化简
(2)在锐角中，内角满足，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简，
（2）将代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果.
【详解】（1）
，所以，
（2），
因为，
所以，
因为，所以，所以
故
62．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，，，均为锐角，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式，二倍角公式及辅助角公式求得，再根据正弦函数的周期公式即可求解；
（2）由（1）及求得，再由及同角三角函数的平方关系求得，根据两角和的余弦公式即可求解．
【详解】（1），
所以．
（2），则，
因为，所以，又，
所以，则，
所以
，所以，
由，为锐角，所以，解得，
由，均为锐角，则，
，
所以．
63．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数，，．
(1)求的值；
(2)设函数，求的值域；
(3)本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数的零点个数，并说明理由；
②判断函数的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)0
(2)
(3)答案见解析.
【分析】（1）由题意写出函数解析式，根据正弦函数的和差公式，可得答案；
（2）由题意写出函数解析式，根据正弦函数的和角公式与二倍角公式，整理函数解析式，利用换元，结合三角函数与二次函数的性质，可得答案；
（3）由三角函数的诱导公式，可得函数的周期性，利用积化和差公式，可得函数值与零的大小关系，可得答案.
【详解】（1）由题意可，
.
（2）由题意可得，，
，
，
令，则，即，值域为.
（3）选①
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得
由得，即
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
选②
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得
由得，即
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
64．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.
(1)写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；
(2)求函数的伴随向量的模.
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
【分析】（1）先得到伴随函数，由辅助角公式得到最大值；
（2）利用三角恒等变换得到，得到伴随向量，利用模长公式得到答案.
【详解】（1）向量的伴随函数为，
，当，
即时，取得最大值，最大值；
（2）
，
故伴随向量，故.
65．(24-25高一下·江苏苏州·期中)已知函数是正整数，.
(1)求函数的值域；
(2)记，解不等式；
(3)当时，求的最大值和最小值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）利用二倍角公式化简函数解析式，利用换元法得到二次函数，利用函数单调性求值域；
（2）利用三角恒等变换化简不等式，降次解不等式即可；
（3）先分析时，利用函数的单调性求最大值和最小值，再分类讨论为奇数和偶数时，利用函数单调性结合倍数关系求最大值和最小值.
【详解】（1）由题意，，
记，有开口向下，对称轴为，
所以，时，单调递增，时，单调递减，
故的最大值等于的最小值等于，
所以的值域为.
（2）由题意，
，
于是，
解得因为，所以
则或者，
所以，即，
所以原不等式的解集为.
（3）当时，函数在上单调递增，
所以的最大值为，最小值为.
当时，函数所以函数的最大，最小值均为1.
当时，函数在上单调递增，
所以的政大值为，最小值为.
当时，函数在上单调递减，
所以的最大值为，最小值为.
下面讨论正整数的情形：
当为奇数时，，
对任意且，
由于，
以及，
所以，从而.
所以在上单调递增，则的最大值为，最小值为.
经验证，时，也适合上述结论.
当为偶数时，
一方面因为则有.
另一方面，由于对任意正整数，因为，，
则有
，
，
.
函数的最大值为，最小值为.
经验证，时，也适合上述结论.
综上所述，当为奇数时，函数的最大值为0，最小值为；
当为偶数时，函数的最大值为1，最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 三角恒等变换（5大考点，65题）
5大高频考点概览
考点01二倍角的正弦公式
考点02二倍角的余弦公式
考点03二倍角的正切公式
考点04 辅助角公式
考点05 三角恒等变换的化简问题
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高一下·江苏高邮·期中)的值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
4．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)下列式子中正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高一下·江苏连云港·期中)下列式子中成立的有（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)下列各式的值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
8．(24-25高一下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．(24-25高一下·江苏连云港·期中)已知，则______.
10．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)若，，则的值是_____．
11．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知，，则______．
12．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)若，则_______．
四、解答题
13．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知
(1)求的值；
(2)求的值.
14．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知，均为锐角，且，．
(1)求和值；
(2)求的值．
15．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知 ，
(1)求tanα的值;
(2)若在角终边上，求的值.
16．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)在中，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
17．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)已知角，满足，，且，.
(1)求的值；
(2)求的大小.
18．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示；
(2)求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为且，求证：．
一、单选题
19．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
20．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
21．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
23．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)以下正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的最大值为2
D．
三、填空题
25．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知，则______.
26．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)函数的值域为______．
27．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知，则_________.
四、解答题
28．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)已知，，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
29．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)在中，.
(1)求的值；
(2)若，求.
30．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)已知为锐角，为钝角，且，．
(1)求的值；
(2)求的值．
31．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)已知．
(1)求的值；
(2)求的大小．
32．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)已知锐角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
一、多选题
33．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
34．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知 则______________________
三、解答题
35．(24-25高一下·江苏扬州第一中学·期中)已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
36．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知，，其中，.
(1)求；
(2)求.
37．(23-24高一下·江苏常州教育学会·)已知为钝角，．
(1)求的值；
(2)若锐角满足，求的值．
一、单选题
38．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
39．(23-24高一下·江苏徐州铜山区·期中)设，，，则有（ ）.
A． B． C． D．
40．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)若，其中，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．(24-25高一下·江苏南通海安高级中学·期中)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
42．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知函数，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
三、填空题
43．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______．
44．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是________.
45．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)函数，的值域为______．
46．(24-25高一下·江苏苏州·期中)钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于__________.
四、解答题
47．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若，求的值．
48．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知函数．
(1)设，f（x）为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围；
(2)已知函数f（x）的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数a的取值范围．
49．(24-25高一下·江苏苏州·期中)已知函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)若，，求的值.
50．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量，函数.
(1)求函数的周期，最大值，最小值；
(2)若，求的值.
一、单选题
51．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
52．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)下列函数的最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
53．(24-25高一下·江苏常州·期中)已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的有（ ）
A．的一个对称中心为
B．若实数满足，则
C．函数的最大值为
D．若平面向量，则的取值范围为
三、填空题
54．(24-25高一下·江苏宿迁沭阳华冲高级中学·期中)已知，且，则_________.
四、解答题
55．(24-25高一下·江苏扬州邗江区·期中)已知函数.
(1)将函数化简为的形式；
(2)求函数的最小正周期及在区间上的最大值；
(3)若，，求的值.
56．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知向量，，.
(1)若，求的值：
(2)记，
（i）若对于任意，，而恒成立，求实数的最小值；
（ii）关于的不等式有解，求实数的取值范围.
57．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知函数的最大值为．
(1)求实数的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值．
58．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)若，求的值．
59．(24-25高一下·江苏镇江实验高级中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)若，且，求的值；
(3)在中，若，求的取值范围.
60．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)已知函数（其中常数）的最小正周期为．
(1)求函数的表达式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值．
61．(24-25高一下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知函数
(1)化简
(2)在锐角中，内角满足，求的值
62．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，，，均为锐角，求．
63．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数，，．
(1)求的值；
(2)设函数，求的值域；
(3)本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数的零点个数，并说明理由；
②判断函数的零点个数，并说明理由．
64．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.
(1)写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；
(2)求函数的伴随向量的模.
65．(24-25高一下·江苏苏州·期中)已知函数是正整数，.
(1)求函数的值域；
(2)记，解不等式；
(3)当时，求的最大值和最小值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑