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专题05 数列的概念
高频考点概览
考点01数列的定义及通项公式
考点02数列的递推关系
考点03数列的函数特征与分段数列
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
2．(24-25高二下·四川达州·期中)已知数列，则该数列的第99项为（ ）
A． B．197 C． D．199
3．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)数列1，，4，，的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)数列1，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．数列的第2024项为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)（多选）已知数列，则下列说法正确的是 （ ）
A．此数列的通项公式是 B．是它的第23项
C．此数列的通项公式是 D．是它的第25项
10．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．； B．1225既是三角形数，又是正方形数；
C．； D．总存在，使得成立；
三、填空题
11．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)数列中，满足，，则______．
一、选择题
1．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知数列满足，则这个数列的第4项是（ ）
A．10 B．17 C．26 D．37
2．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)已知数列中，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知数列满足，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川达州·期中)若数列满足，则（ ）
A．8 B． C． D．
5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知数列满足，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足是数列的前项和，则（ ）
A．64 B．75 C．128 D．32
7．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知为数列的前n项和，且，，则的值为（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
8．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列的前项和为，设，，则（ ）
A． B． C． D．1012
9．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知数列满足条件，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．(24-25高二下·四川西充中学·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
11．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知数列的前项和满足，则的通项公式为________.
12．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)数列中，若，则数列的通项公式为__________．
13．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知数列中，，且满足，则______.
14．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列的前项和______．
15．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________.
16．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知数列满足，则的通项公式为______.
17．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式______．
四、解答题
18．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列的前n项和为.
(1)求的值；
(2)求的通项公式；
(3)设，是数列的前n项和，求.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
2．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知数列的前项和，则下列正确的是（ ）
A． B． C．取最小值时， D．为递增数列
3．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知，且满足，则（ ）
A．29 B．31 C．59 D．61
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知数列的首项为1，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)数列满足，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、多选题
7．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为________．
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专题05 数列的概念
高频考点概览
考点01数列的定义及通项公式
考点02数列的递推关系
考点03数列的函数特征与分段数列
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【详解】显然是斐波那契数列，所以，则，故选：B.
2．(24-25高二下·四川达州·期中)已知数列，则该数列的第99项为（ ）
A． B．197 C． D．199
【答案】B
【详解】通过观察，该数列的通项公式为，所以.故选：B.
3．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，A不符合题意；对于B，，B不符合题意；
对于C，，C符合题意；对于D，，D不符合题意.故选：C
4．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)数列1，，4，，的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】数列1，，4，，中，，，，，，……，
故选：.
5．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以.故选：C.
6．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)数列1，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，对于B中，
当时，对于C中，对于D中，
四个选项中只有同时满足，，.故选：A
7．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，所以，所以.故选：A.
8．数列的第2024项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】观察可知数列的构成规律为个，个，个，，个，因为，而，所以数列的第项为，故选：B.
二、多选题
9．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)（多选）已知数列，则下列说法正确的是 （ ）
A．此数列的通项公式是 B．是它的第23项
C．此数列的通项公式是 D．是它的第25项
【答案】AB
【详解】数列，所以，A选项正确，C选项错误.，B选项正确，，D选项错误.故选：AB
10．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．； B．1225既是三角形数，又是正方形数；
C．； D．总存在，使得成立；
【答案】ABD
【详解】由题意有数列中，，所以，当时，得也满足，故，
数列中，，所以满足上式，所以，
对于A：，
所以，故A正确；
对于B：因为，所以，又，故B正确；
对于C：由
，故C错误；
对于D：取，所以，
所以总存在，使得成立，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)数列中，满足，，则______．
【答案】/
【详解】因为，所以.所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，显然满足上式，则，
所以数列的前项和为，
所以.故答案为：.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知数列满足，则这个数列的第4项是（ ）
A．10 B．17 C．26 D．37
【答案】C
【详解】由题设有，，，故选：C.
2．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)已知数列中，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】由题，，故选：C.
3．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知数列满足，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，，，，所以是周期为3的数列，则.故选：C
4．(24-25高二下·四川达州·期中)若数列满足，则（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以是周期为4的数列，故.故选：D
5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知数列满足，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，，，，所以是周期为3的数列，则.故选：C
6．已知数列满足是数列的前项和，则（ ）
A．64 B．75 C．128 D．32
【答案】B
【详解】由，可得：，得，，得，，得，所以，故选：B
7．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知为数列的前n项和，且，，则的值为（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】D
【详解】由题意可得，，，，则数列是以为一个周期的周期数列，且，因，
所以.故选：D
8．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列的前项和为，设，，则（ ）
A． B． C． D．1012
【答案】C
【详解】易知，由得.又，所以，，，故数列是以3为最小正周期的周期数列，所以.故选：C.
9．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)已知数列满足条件，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可设①，当时，，∴；当时，②，①－②相减可得，，∴．当时，不满足上式．综上可知，数列的通项公式为．
故选：B．
二、多选题
10．(24-25高二下·四川西充中学·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意可知：，于是有，，即，由累加法可知，
显然可得： ，A选项正确，，B选项不正确；，由裂项相消法可得，C选项正确；
令，∵，即，∴，即，D选项错误.故选：AC.
三、填空题
11．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知数列的前项和满足，则的通项公式为________.
【答案】
【详解】因为，当时，；当时，，
所以，当时不满足，所以.
故答案为：
12．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)数列中，若，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【详解】因为，所以，所以数列为常数列，且，
所以.故答案为:.
13．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知数列中，，且满足，则______.
【答案】
【详解】由可得，故为等差数列，且公差为2，首项为2，
故，故，故答案为：
14．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列的前项和______．
【答案】162
【详解】由，可得，所以，故.故答案为：162.
15．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________.
【答案】
【详解】由题意时，，又也满足上式，所以．故答案为：.
16．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知数列满足，则的通项公式为______.
【答案】
【详解】对两边取倒数得，即，
当时，，，，，，
将以上各式累加得，又，
所以，所以，当时，也满足，所以.
故答案为：
17．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式______．
【答案】
【详解】当时，有，则当时，有，两式相减可得，即，又，，所以，所以时，数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以.故答案为：
四、解答题
18．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列的前n项和为.
(1)求的值；
(2)求的通项公式；
(3)设，是数列的前n项和，求.
【详解】（1）因为数列的前n项和为，所以；
（2）当时，，
又适合上式，所以；
（3）由（2）知：，
所以.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【详解】数列的通项公式为，则
，
由，，解得，而,
因此当时，，即，当时，，即，
所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，.故选：C
2．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知数列的前项和，则下列正确的是（ ）
A． B． C．取最小值时， D．为递增数列
【答案】AD
【详解】因为，令得，当时，①，②， 由①②可得：，因当时，，故，A对B错；因时，单调递增，且，故为递增数列，D对；因为，故当或时，取最小值，C错.故选：AD.
3．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知，且满足，则（ ）
A．29 B．31 C．59 D．61
【答案】B
【详解】因为，且满足，当为偶数时，，所以，
当为奇数时，，所以奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，
所以.故选：B.
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知数列的首项为1，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【详解】当时，∵，∴，当时，∵，∴，
当时，∵，∴.故选：A.
5．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)数列满足，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】因为：，所以，故选：C.
6．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】,可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列，因为，所以，故选：B
二、多选题
7．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】A： 由题意， ， ，则 ，故A正确；B： ，结合A的计算，可得数列 的周期为3，即 ，因为 ，所以 ，故B错误；C： 一个周期的和为 ，而 ，故C正确；D： 由于 ，所以 ，
所以，故D错误.故选：AC.
8．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为数列满足，，
所以
，
所以，所以AB正确，C错误，
因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而，
所以，所以D正确，故选：ABD
三、填空题
9．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为________．
【答案】6
【详解】因为，由有：或，由有：或，由有：，因为，数列的正项为：；数列的负项为：；且，则取得最小值时的值为6.故答案为：6.
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