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专题05 数列
3大高频考点概览
考点01 等差数列
考点02 等比数列
考点03 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长，，，，（单位：）成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，，则（ ）
A．64 B．96 C．108 D．128
2．（安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（D））已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知是公差不为0的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·安徽·期中）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·安徽·期中）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·安徽六安·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，……，则此数列的第2025项为（ ）

A． B． C． D．
8．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）在等差数列中，，则（ ）
A．45 B．9 C．18 D．36
9．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
二、填空题
10．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____.
三、解答题
11．（24-25高二下·安徽宿州·期中）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和.
(3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：.
（参考数据：）
12．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知两个数列与，满足，且
(1)求证：是等差数列.
(2)记，求数列的前项和
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽·期中）记是等比数列的前项和，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ）
A．是等比数列 B．是等差数列
C．是等比数列 D．是等比数列
3．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．
D．若，则数列的前项和
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知各项非零的递增数列满足：，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ）
A． B．和的等比中项为
C．当时， D．
二、填空题
7．（24-25高二下·安徽合肥·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则10次传球后球在甲手中的概率为________.
8．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知某等比数列的首项为5，其前三项和为15，则该数列前六项的和为____.
三、解答题
9．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足，求数列的前n项的和.
10．（安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）在数列中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由；
(2)若，试判断数列是否为“数列，并说明理由；
(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式.
11．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知是正项等比数列，且和是方程的两个不等实根．
(1)求的通项公式；
(2)若是递增数列，设，求数列的前项和．
12．（24-25高二下·安徽·期中）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”.
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由；
(2)若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式.
13．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知正项数列满足，且（）.
(1)求的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立 若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由.
14．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知数列的首项，且满足.
(1)求，；
(2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(3)记数列的前项和为，证明：.
15．（24-25高二下·安徽·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且．
(1)证明：数列是“平方递推数列”；
(2)设数列的前项乘积为，即．若，数列的前项和为，求使得的的最小值．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知无穷等差数列为递增数列，为数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．数列不存在最大项
C．数列为递增数列
D．存在正整数，当时，
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·安徽·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·安徽·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是曲线的对称中心
D．
二、填空题
5．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则数列的前2025项和______.
6．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为__________．（注：）
三、解答题
7．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的值；
(3)已知数列满足，，证明：．
8．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知数列满足，.
(1)写出，，；
(2)若，求数列的前项和．
9．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)当，时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
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专题05 数列
3大高频考点概览
考点01 等差数列
考点02 等比数列
考点03 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长，，，，（单位：）成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，，则（ ）
A．64 B．96 C．108 D．128
【答案】D
【分析】利用等差数列公式可求出，再利用长与宽之比相等，可求.
【详解】由题意，五种规格党旗的长，，，，（单位：）成等差数列，
设公差为，因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，
所以.
故选：D.
2．（安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（D））已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，则，则，当且仅当时取等号．
故选：B．
3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知是公差不为0的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用等差数列的下标和性质求解.
【详解】由等差数列的性质知，结合题设有.
故选：D
4．（24-25高二下·安徽·期中）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设方程的两个根为、，方程的两个根为、，不妨设，，且，则必有，求出这四个数的值，结合韦达定理求出、的值，即可得解.
【详解】由，得或．
设方程的两个根为、，方程的两个根为、，
由韦达定理可得，，
不妨设，，且，则必有，
所以，，，故数列、、、的公差为，
所以，，
由韦达定理可得，，因此.
故选：C.
6．（24-25高二下·安徽·期中）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题中等式变形得出，由累加法求出数列的通项公式，利用对勾函数的单调性可求出的最小值.
【详解】因为数列满足，，即，
当时，则有，
所以，，，，
上述等式全部相加得，
所以，
也满足，故对任意的，，
所以，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，因为，，故，
所以的最小值为.
故选：B.
7．（24-25高二下·安徽六安·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，……，则此数列的第2025项为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形判定每行数字个数成等差数列，结合等差数列求和公式确定第2025项是第64行的第9个数字，结合二项式定理计算即可.
【详解】由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二行2个数，．．．，第行个数，
所以前行共有：，当时，，
所以第2025项是第64行的第9个数字，即为.
故选：B．
8．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）在等差数列中，，则（ ）
A．45 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质，即可求解.
【详解】因为，所以，.
.
故选：C.
9．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
【答案】C
【分析】根据已知可得为等差数列且，结合求参数值.
【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则，
由.
故选：C
二、填空题
10．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____.
【答案】11
【分析】设的公差为，有，根据已知有且，结合求基本量，进而写出的通项公式，即可求项.
【详解】设的公差为，则，
又是等差数列，，所以，则，且，
所以，可得，故，
所以，则.
故答案为：11
三、解答题
11．（24-25高二下·安徽宿州·期中）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和.
(3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：.
（参考数据：）
【答案】(1)证明见解析.
(2).
(3)证明见解析
【分析】（1）由数列新定义求解即可；
（2）由等差数列的基本量法求出数列的通项，再由错位相减法求和即可；
（3）先由数列新定义证明数列是以为首项，为公比的等比数列，得到通项，然后表达出再结合所给不等式变形即可.
【详解】（1）由题意知：，，
又，，即，
所以是数列的生成函数；
（2）由（1）知：，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
所以
，
两式相减得：，
所以.
（3）由题意知：，，
，
，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
又，，，
则当时，，
即，.
12．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知两个数列与，满足，且
(1)求证：是等差数列.
(2)记，求数列的前项和
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后结合等差数列的定义代入计算，即可证明；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由知.
则，
，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
，
，
相减得：，
，
得.
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽·期中）记是等比数列的前项和，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式求解.
【详解】在等比数列中，，而成等比数列，
因此，所以.
故选：B
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ）
A．是等比数列 B．是等差数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ABD
【分析】A选项，，故，为等比数列；B选项，计算出，故，为等差数列，B正确；C选项，计算出，，C错误；D选项，，满足，D正确.
【详解】A选项，由题意得，故，
其中，故为等比数列，A正确；
B选项，，故，
又，故是等差数列，B正确；
C选项，，，
，其中，故不是等比数列，C错误；
D选项，，故，
故，所以为等比数列，D正确.
故选：ABD
3．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．
D．若，则数列的前项和
【答案】BCD
【分析】A构造即可；B构造即可；C利用AB选项求出的递推关系可得，即可计算；D利用裂项相消求和.
【详解】对于A选项，由条件可得，，且，
所以，则数列是首项和公比均为2的等比数列，
故，故A错误；
对于B选项，由已知等式变形得，且，
所以，则数列是首项和公比均为1的等比数列，
则，故B正确；
对于C选项，由，可得，
所以，故C正确；
对于D选项，若，
则数列的前项和为，故D正确.
故选：BCD
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【分析】根据等比数列定义推导关系，再由得到关系，最后通过化简变形和基本不等式求解即可.
【详解】因为数列是公比为的等比数列，则，
即，所以.
又因为，，则.
.
（当且仅当，即时等号成立.）
则的最小值为.
故选：D.
5．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知各项非零的递增数列满足：，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先取倒数，，再利用换元，转化为递推关系求通项公式，再讨论得到取值范围，结合数列是各项非零的递增数列，即可求解.
【详解】因为，，所以，
设，则，所以，
若，则，，矛盾，所以，故，
所以数列为以为首项，公比为2的等比数列，
所以，故，
若，则，数列为递增数列，且，
所以数列为递减数列，与已知矛盾；
若，则，所以数列为递减数列，
且，所以数列为递增数列，满足条件；
当时，，故，所以数列为递减数列，
令，可得，
所以当，且时，，
当，且时，，与条件矛盾，
所以的取值范围是，
故选：A
6．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ）
A． B．和的等比中项为
C．当时， D．
【答案】ACD
【分析】由等比中项的性质可得A正确；由题意可得B错误；由等比数列的性质可得C正确；由等比中项结合基本不等式可得D正确.
【详解】对于A，由题意可得，故A正确；
对于B，和的等比中项为，根据题意无法得知其值，故B错误；
对于C，当时，由等比数列的性质可得，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ACD
二、填空题
7．（24-25高二下·安徽合肥·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则10次传球后球在甲手中的概率为________.
【答案】
【分析】通过定义事件和概率，利用事件之间的关系推导出概率的递推公式，再根据递推公式确定数列的性质，进而求出通项公式，最后代入具体的传球次数求出相应概率.
【详解】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为，
则有.
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
代入得.
故答案为：
8．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知某等比数列的首项为5，其前三项和为15，则该数列前六项的和为____.
【答案】或
【分析】根据等比数列通项公式表示出前三项和解出公比，将公比代入数列前六项的和计算即可.
【详解】设等比数列公比为，前项和为，根据题意，
所以，
由，得 ，即，
解得或，
当时，，
当时，.
故答案为：或.
三、解答题
9．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足，求数列的前n项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比中项可得，即可得公差和通项公式；
（2）由题意可得，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为成等比数列，则，
且，则，即，解得或（舍去），
所以.
（2）设数列的前n项的和为，
因为，则，
所以.
10．（安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）在数列中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由；
(2)若，试判断数列是否为“数列，并说明理由；
(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不是，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据数列定义直接判断即可；
（2）根据递推公式求出数列的前三项，根据前两项得到，发现，即可得出数列不是 “数列；
（3）设数列的公比为，根据题意求出，，结合，求出，然后求解即可.
【详解】（1）数列1，2，3，7，43是“数列”，理由如下：
由题意得，，
则1，2，3，7，43是“数列”.
（2）数列不是“数列，理由如下：
由，得，
由，得，
又，所以不是“数列.
（3）设数列的公比为.
由，得，
由，得，
，解得.
由，得，
中，令得，
.
由中，令得
，
则，
解得，
，，
11．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知是正项等比数列，且和是方程的两个不等实根．
(1)求的通项公式；
(2)若是递增数列，设，求数列的前项和．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解方程得到或，分两种情况，求出公比和通项公式；
（2）是递增数列，故，，错位相减法求和即可.
【详解】（1），解得或9，
故或，
设的公比为，
当时，，，解得，
所以；
当时，，，解得，
所以；
（2）是递增数列，故，
，
所以①，②，
式子①-②得，
故.
12．（24-25高二下·安徽·期中）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”.
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由；
(2)若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不是，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据“H(1)数列”的定义，判断所给数字是否满足后一项等于前面所有项乘积加 1 的规律.
（2）先根据求出、的值，再看是否满足“数列”的条件.
（3）先根据和，当时求出.再继续利用这两个等式求出、，然后代入，通过解方程求出，进而求出公比，最后得到的表达式.
【详解】（1）由题意得，，
则1，2，3，7，43是“数列”.
（2）由，得，
由，得，而，∴不是“数列”.
（3）设数列的公比为.
由，得，
由，得，
∴，解得.
由，得，
由，得，
∴，∴，∴.
由，得，
则，
解得，∴，∴，∵，∴.
13．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知正项数列满足，且（）.
(1)求的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立 若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在.
【分析】（1）根据已知可得，进而有，写出通项公式，即可得；
（2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求得，进而有恒成立，即可得结论并求出参数值.
【详解】（1）∵，
∴，则，
∴，又数列为正项数列，
∴，即，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，则；
（2）∵，则，
故
∴，
则，故恒成立，
∴，解得，
∴存在满足条件.
14．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知数列的首项，且满足.
(1)求，；
(2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(3)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)，.
(2)证明见解析，
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用递推关系式，即可求解；
（2）由递推关系式，构造等比数列的递推关系式，即可求解；
（3）根据（2）的结果，代入得到，利用等比数列求和公式，即可求解，即可证明.
【详解】（1），.
（2）由得，且，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，
所以数列的通项公式为.
（3）由（2）可知，，
所以，
又因为，所以.
15．（24-25高二下·安徽·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且．
(1)证明：数列是“平方递推数列”；
(2)设数列的前项乘积为，即．若，数列的前项和为，求使得的的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）左右两边同时加，即可依据定义判断；
（2）先求证数列是等比数列，再利用等比数列求和公式求，进而利用分组求和求出，最后通过数列的增减性来解不等式，求出的值.
【详解】（1）由题知，所以数列是“平方递推数列”．
（2）（i）由（1）知，又，有，
则，
因，则，则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，即，
则，
则，
因，则，
因为对任意的，，
所以数列是递增数列，
又知，当时，，
当时，，
故的最小值为．
一、选择题
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知无穷等差数列为递增数列，为数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．数列不存在最大项
C．数列为递增数列
D．存在正整数，当时，
【答案】BD
【分析】由等差数列的通项公式，前项和公式，递增数列的概念逐项求解判断即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，
因为为递增数列，所以，则.
对于A，因为，又的符号无法确定，故A错误；
对于B，因为，所以数列不存在最大项，故B正确；
对于C，因为，所以，
当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，故C错误；
对于D，因为为递增数列，所以，
若，则当比较大时，，即一定存在正整数，当时，，
若，显然存在正整数，当时，，故D正确.
故选：BD.
2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，计算出的值，与比较大小即可；对于B．利用导数推出的最小值，由此判断得到即可；对于C．根据与1的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将其等价转化为，即可推出结论.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，当时，，则在上单调递增，
故，因，故，所以，故B正确；
对于C，因，则，故C错误；
对于D，令，则，则在上单调递增，
故，即，故，从而，
即，也即，故得.故D正确.
故选：ABD.
3．（24-25高二下·安徽·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出数列从第二项开始为以为公差的等差数列，由此可求得的值.
【详解】因为正项数列的前项和为，且满足，，
当时，则有，即，解得（舍）或；
当且时，由可得，
上述两个等式作差得，整理得，
由题意可知，所以，且不满足，
所以，数列从第二项开始为以为公差的等差数列，故.
故选：B.
4．（24-25高二下·安徽·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是曲线的对称中心
D．
【答案】AD
【分析】对于A，求出导函数，由极大值的定义即可判断；对于B，求出极大值和极小值，分析函数在无穷远处的性态，由此可判断零点个数；对于C，由题设条件求出二阶导数的零点即可判断正误；对于D，由C可知是函数的对称中心，故，利用倒序相加法即可算出答案判断正误.
【详解】由题意得，，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值为，故A正确；
当时，取得极小值，极小值为，
且当时，当时，，
极大值，极小值，所以函数有3个零点，故B错误；
由，得，令，得，
又，
所以点是曲线的对称中心，故C错误；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
得
所以，
所以，即，故D正确.
故选：AD.
二、填空题
5．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则数列的前2025项和______.
【答案】
【分析】利用倒序相加法求和即可.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以，
所以，则.
故答案为：
6．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为__________．（注：）
【答案】5
【分析】根据和条件得到，构造，，求导得到其单调性，从而确定在处取得最大值，最大值为.
【详解】因为，，
所以，故，
令，,则，
因为，所以，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中，
故在处取得最大值，最大值为.
故答案为：5
三、解答题
7．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的值；
(3)已知数列满足，，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由恒成立，通过，两类情况讨论即可；
（3）由（2）得到，再结合，得到，累加求和即可求证；
【详解】（1）当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程：；
即；
（2）在上单调递增，
等价于恒成立，
令，
当时，易知在上单调递增，
当时，，故时，，
不符合题意，舍去；
当时，，由，可得，
易知当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
由题意得最小值，
即，
构造函数，
，易知时，，，，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，取得最大值，
也即要使得成立，需满足，即；
（3）由（2）知，当时，
在上单调递增，
又，所以当时，，
由，又，易知
可得：，
所以，即
累加求和可得：，
即，
即，又，
所以，又，
所以.
8．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知数列满足，.
(1)写出，，；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，，.
(2)
【分析】（1）根据数列的递推公式求数列的前几项.
（2）利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）由，，
可得，，.
（2）由题可得，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列；
可得，即，
，
，
前项和，
，
两式相减可得，
化简可得．
9．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)当，时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意得，令，求导后令，再次求导得，讨论，两种情况判断是否恒成立；
（2）由（1）得恒成立，取，再相加即可得证.
【详解】（1）不等式，
令，求导得，
令，求导得，
而，则当，即时，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，符合题意，因此；
当时，由，得，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，，
取，则，而，
因此，
所以.
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