资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 数列
4大高频考点概览
考点01数列的概念与简单表示法
考点02等差数列
考点03等比数列
考点04数列求和、放缩求和
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)已知数列满足，则是它的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
3．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·吉林四平梨树县梨树一中等7校联考·期中)以下三个结论中正确的个数为（ ）
①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的.
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知数列满足，且，则_____
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．当时，取得最大值
C． D．使得成立的最大自然数是15
4．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
7．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）等差数列中，，则的值为（ ）
A．236 B．216 C．204 D．196
8．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知等差数列，其前项和为，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
二、多选题
9．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知等差数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．若为递增数列，则公差
B．公差时，有最大值
C．若中有不同的四项满足，则
D．为等差数列
10．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)设等差数列的前项和为．若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与等差中项为6
C． D．
12．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )
A．
B．
C．对于任意的正整数，总存在正整数，使得
D．一定存在三个正整数，，，当时，，，三个数依次成等差数列
三、填空题
13．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列．则数列的通项公式__________
四、解答题
14．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在等差数列中，已知公差．
(1)判断和是否是数列中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
(2)求数列的前项和．
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
2．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在等比数列中，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
3．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
4．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列无最大值
C．是数列中的最大值 D．
6．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：，，
A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6
7．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则（ ）

A．第个圆的面积为 B．这个圆的半径成公比为的等比数列
C．第一个圆的面积为 D．前个圆的面积和为
三、填空题
9．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________.
10．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为______________.
11．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)赵爽是我国古代的数学家 天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”.第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图，四边形是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，再以正方形为“小”正方形向外作“弦图”，得到正方形……按此作法进行下去，记，，正方形的面积为.若，则___________.
一、多选题
1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
2．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)已知数列的前n项和，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是公差为1的等差数列
C．数列的前2025项和为
D．数列的前n项和
二、解答题
3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
(1)求的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
4．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知数列的前n项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设，是数列的前n项和，求.
5．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式.
(2)记数列的前项和为，证明.....
6．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
7．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知数列的前项和为，满足，.
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式．
(2)设数列的前项和为，求．
(3)数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由．
8．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在前项和为的等比数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记，求数列的前项和；
(3)若，记，且，求数列的通项公式．
9．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式和前项和；
(3)记，求数列的前项和，并证明.
10．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知等差数列的前n项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求证：
11．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）已知数列的前n项和为，，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 数列
4大高频考点概览
考点01数列的概念与简单表示法
考点02等差数列
考点03等比数列
考点04数列求和、放缩求和
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时的值.
【详解】设，，解得：，
当和时，，所以取得最小值时，.
故选：C
2．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)已知数列满足，则是它的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【答案】B
【分析】根据项与项数的关系代入计算即可.
【详解】因为，解得，
所以是它的第7项.
故选：B.
3．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】代入逐项求解，可得数列的周期为3，继而求得.
【详解】，，数列的周期为3，，
故选：D.
4．(24-25高二下·吉林四平梨树县梨树一中等7校联考·期中)以下三个结论中正确的个数为（ ）
①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的概念判断①②③即可.
【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义；
②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列；
③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的.
故选：B.
二、填空题
5．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知数列满足，且，则_____
【答案】1011
【分析】化简的递推关系，可以判定为常数列，从而求得的通项公式，进而求出
【详解】因为，所以
所以
所以数列为常数列
又，所以
所以，所以
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】利用等差数列通项公式可得，再建立不等式可求n的范围得到最小值.
【详解】设使用n年后，这台设备的价值为万元，则数列满足.
可得数列是一个公差为的等差数列，因为购进设备的价值为230万元，
这样，于是，
根据题意得：，
故选：B.
2．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．
【详解】由题意，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
故选：B.
3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．当时，取得最大值
C． D．使得成立的最大自然数是15
【答案】D
【分析】根据等差数列定义及其通项可判断公差，得出数列中各项的符号可得B正确，再由等差数列性质可判断C正确，由等差数列前项和公式可判断D正确.
【详解】对于A，因为等差数列中，，，
所以，，，A正确；
对于B，由题意可知数列为递减数列，且当时，，当时，；
所以可得时，取得最大值，B正确；
对于C，由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确；
对于D，易知，，
故成立的最大自然数，D错误．
故选：D．
4．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等差数列前项和与等差数列的性质求，由求公差，再应用性质转化为代入求解可得.
【详解】由，
有，
可得
．
故选：A．
5．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】设等差数列的前项和为，则.
故选：C.
6．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【分析】利用等差数列的等差中项结合前项和公式求解即可.
【详解】因为所以
又因为
故选：C.
7．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）等差数列中，，则的值为（ ）
A．236 B．216 C．204 D．196
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解.
【详解】因为数列为等差数列，所以，即.
所以.
故选：C
8．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知等差数列，其前项和为，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
【答案】B
【分析】根据题意，结合等差数列的性质，求得，再由，即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，且，
由等差数列的性质，可得，所以，
又由.
故选：B.
二、多选题
9．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知等差数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．若为递增数列，则公差
B．公差时，有最大值
C．若中有不同的四项满足，则
D．为等差数列
【答案】ABD
【分析】由可判断A；表示出，由二次函数的性质可判断B；举反例可判断C；由可判断D.
【详解】对于A，为等差数列且递增，所以，故A正确；
对于B，等差数列的前n项和为，
当时，有最大值，故B正确；
对于C，当为常数列时，任意四项满足，
但不一定成立，故C错误；
对于D，因为，则
所以，
所以是公差为的等差数列，故D正确.
故选：ABD.
10．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)设等差数列的前项和为．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前项和公式即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
．
故选：BD.
11．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与等差中项为6
C． D．
【答案】AD
【分析】由题意是等差数列，可求出通项与前n项和判断选项AD；求两项的等差中项判断选项B；由裂项的结果判断选项C.
【详解】，，所以数列是首项为1公差为1的等差数列，得，
，A选项正确；
等差数列中，与等差中项是，，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确.
故选：AD
12．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )
A．
B．
C．对于任意的正整数，总存在正整数，使得
D．一定存在三个正整数，，，当时，，，三个数依次成等差数列
【答案】AC
【分析】对等式左边同分，结合即可求出，从而判断A选项；再结合公差即可求出和，从而求出d、、，从而对B和C进行判断；对于选项D，根据等差中项的性质表示出m、n、k三者的关系，根据方程成立的条件即可判断．
【详解】由得，，故A正确；
，故B错误；
，，结合及可得：，，
故，，，则即为，
∵n是正整数，∴也是正整数，故对于任意的正整数，总存在正整数，使得，故C正确；
成等差数列，
∵均为偶数，∴等式左边为偶数，右边为奇数，左右不可能相等，故D错误；
故选：AC．
三、填空题
13．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列．则数列的通项公式__________
【答案】
【分析】由题意写出数列的递推关系得，再由等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】由题意可知，，，…，，
故，
所以数列的一个通项公式为.
故答案为：
四、解答题
14．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在等差数列中，已知公差．
(1)判断和是否是数列中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)不是数列中的项，理由见解析；是数列中的项，它是第21项
(2)
【分析】（1）由等差数列性质可得其通项公式，再分别验证是否存在正整数，使得或成立即可得；
（2）借助等比数列求和公式计算即可得.
【详解】（1）∵是等差数列，∴，
令，得，
∴不是数列中的项；
令，得，
∴是数列中的项，且它是第21项；
（2）∵，∴，．
一、单选题
1．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质求出，根据等比数列通项列方程求解即可.
【详解】由题意得，，
又
设公比为，则，解得或.
故选：C.
2．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在等比数列中，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值.
【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；
所以，因为，所以.
故选：C.
3．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】利用算出通项，再结合该数列为等比数列可求.
【详解】因为，故，
因为为等比数列，故即，故，
此时即，即为等比数列.
故选：D.
4．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等比数列的前n项和公式及，结合充分、必要性定义判断条件的关系.
【详解】若的公比为，则，
若时，不单调，充分性不成立；
若单调递增，则恒成立，故，必要性成立，
所以“”是“单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
5．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列无最大值
C．是数列中的最大值 D．
【答案】D
【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误.
【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误；
BC选项，若，则，与矛盾，不合要求，
当时，，又，
所以，即，
又，故满足要求，
故当时，，当时，，
故有最大值，最大值为，BC错误；
D选项，当时，，当时，，
故，，
所以，D正确.
故选：D
6．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：，，
A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6
【答案】C
【分析】本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元，
2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元，
2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元，
所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
7．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的等比中项性质即可求解.
【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则，
由等比数列的等比中项性质可得：.
因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则,
所以.
故选：B.
二、多选题
8．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则（ ）

A．第个圆的面积为 B．这个圆的半径成公比为的等比数列
C．第一个圆的面积为 D．前个圆的面积和为
【答案】ABD
【分析】设第个正三角形的内切圆半径为，从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，则可得内切圆半径是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项、求和公式，即可得解.
【详解】设第个正三角形的内切圆半径为，
因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
即这个圆的半径成公比为的等比数列，故B正确；
因为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
则第个圆的面积为，第一个圆的面积为，故A正确，C错误；
设前个内切圆的面积和为，
则
，
即前个圆的面积和为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
9．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________.
【答案】3或
【分析】由等比中项及等差数列前项和性质，列出等式求解即可.
【详解】由，可得，
即，即，
又成等比数列，
可得：，联立，消去，
可得：，可得：或，
当时，，易得，
当时，，可得，
所以3或，
故答案为：3或
10．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为______________.
【答案】4
【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到也成等比数列，列出方程，即可求解．
【详解】由正项等比数列满足，
当等比数列的公比时，，解得，
则，，故不满足题意；
所以，根据等比数列的性质，可得也成等比数列，
即，
得，
解得或（舍去）．
故答案为：4.
11．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)赵爽是我国古代的数学家 天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”.第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图，四边形是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，再以正方形为“小”正方形向外作“弦图”，得到正方形……按此作法进行下去，记，，正方形的面积为.若，则___________.
【答案】
【分析】设，，当时，设，，则有，数列是以25为首项，25为公比的等比数列，由此求得答案.
【详解】解：设，，则，，所以.
当时，设，，则，，所以，，所以，
所以数列是以25为首项，25为公比的等比数列，所以，，所以.
故答案为：.
一、多选题
1．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
【答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D.
【详解】由题意设等差数列的公差为，则，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
解得：，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，的前项和为，故B错误；
对于C，因为，
所以的前2025项和为，故C正确；
对于D，因为，
所以的前10项和为，故D正确.
故选：ACD
2．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔第一中学·期中)已知数列的前n项和，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是公差为1的等差数列
C．数列的前2025项和为
D．数列的前n项和
【答案】ABD
【分析】利用前n项和求出通项判断A；利用等差数列定义没有烦恼B；利用并项求和法求和判断C；利用裂项相消法求和判断D.
【详解】数列的前n项和，
对于A，当时，，
满足上式，，所以，A正确；
对于B，，，数列是公差为1的等差数列，B正确；
对于C，因为，，
因此数列的前2025项和为，C错误；
对于D，，
则，D正确.
故选：ABD
二、解答题
3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔市第一中学·期中）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
(1)求的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比，可得其通项公式；
（2）代入得到的通项公式，利用分组求和计算可得结果.
【详解】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列，
所以.
设数列的公比为，则，
解得，或（舍），
所以.
（2）由（1）知，
因为，所以，
设数列的前项和为，
则
，
即数列的前项和.
4．(24-25高二下·吉林松原乾安县G35联合体吉林八校·期中)已知数列的前n项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设，是数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求解；
（2）利用裂项相消法求和．
【详解】（1）中，令得，
当时，，
又适合上式，所以；
（2）由（1）知：，
所以.
5．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)已知等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式.
(2)记数列的前项和为，证明.....
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式；
（2）求出，可求得，利用裂项求和法可证得结论成立.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由可得，解得，
.
（2）解：由（1）可得，
所以，，
因此，.
6．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为3的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可；
（2）根据裂项相消求和计算即可.
【详解】（1）由，
可得时，，
解得，
时，，又，
两式相减可得，
即有，
数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以；
（2）数列满足，
所以．
7．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知数列的前项和为，满足，.
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式．
(2)设数列的前项和为，求．
(3)数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）当时，由可得，两式作差变形得出，当时，求出的值，可得出，由此可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法、分组求和法可求出的表达式；
（3）假设中存在三项、、成等差数列，根据等差数列的定义得出，根据等式左边为奇数、右边为偶数可得出结论.
【详解】（1）当时，由可得，
两式相减得，即，从而，
当时，，所以，，
由得，从而，
故总有，，，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故.
（2）因为，
设数列的前项和为，则，①
所以，②
①②可得
，故，
所以，.
（3）假设中存在三项、、成等差数列，
则，
两边同时除以得：，而，，
所以、为偶数，的左边是奇数，右边是偶数，显然不可能成立，
故不存在不同的三项成等差数列.
8．(24-25高二下·吉林省四平市梨树县梨树一中等7校联考·期中)在前项和为的等比数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记，求数列的前项和；
(3)若，记，且，求数列的通项公式．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由，得或，再结合求解即可；
（2）由错位相减法即可求和；
（3）由递推公式构造等比数列，即可求解；
【详解】（1）设公比为，由，有，可得或，
①当时，由，有，可得，解得或2，
故数列的通项公式为或，
②当时，由，有，可得，方程无解，
由上知数列的通项公式为或；
（2）由，有，可得，
有，
两边乘以2，有，
两式作差，有，
有；
（3）由，有，可得，
有，有，
有，又由，
可得数列是公比为，首项为的等比数列，
有，
可得数列的通项公式为.
9．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期中）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式和前项和；
(3)记，求数列的前项和，并证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)；证明见解析
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1），得到，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解；
（3）由（2），求得，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得.
【详解】（1）证明：因为数列满足，
可得，又因为，可得，
从而可得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，所以，
则数列的前项和为.
（3）解：由（2）知：，可得，
所以，
所以，
当时，易知关于是单调递增数列，
当时，取得最小值，最小值为，
又因为，可得，所以.
10．(24-25高二下·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知等差数列的前n项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项公式求出首项和公差即可得解；
（2）根据，利用裂项相消法求和，即可得证.
【详解】（1）等差数列中，设公差为，
，
，
所以，故；
（2），
当时，成立；
当时，，
所以成立.
11．（24-25高二下·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学·期中）已知数列的前n项和为，，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得到当，时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果；
（2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式分组求和，即可求解．
【详解】（1）证明：因为，
所以当，时，，
即
又时，，
所以数列为首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知，所以，
又由，可得，
所以
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑