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专题06 等差数列
高频考点概览
考点01等差数列的基本量运算
考点02等差数列前n项和的运算
考点03等差数列性质的运用
考点04等差数列的函数特征
考点05等差数列的判断与证明
一、选择题
1．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知等差数列中首项，公差，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知等差数列，其中，则（ ）
A． B．4 C．5 D．12
3．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)在等差数列中，，，则（ ）
A．0 B．5 C．10 D．15
4．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知在等差数列中，，，则等于（ ）
A．-2 B．4 C．6 D．8
5．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)等差数列的公差为2，且，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
7．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)数列是首项为1且公差不为0的等差数列，若，则 （ ）
A．20 B．39 C．41 D．58
二、解答题
8．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
9．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)在等差数列中，为其前n项和，若，则
A．60 B．75 C．90 D．105
4．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)记等差数列的前n项和为.若，，则（ ）
A．49 B．63 C．70 D．126
5．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
7．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
8．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)等差数列的前项和记为，且，则______．
三、解答题
10．(24-25高二下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)记是等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.
11．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)若数列是等差数列，是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)等差数列中，若，为方程的两根，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
3．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)设等差数列的前项和分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
6．(24-25高二下·四川泸州合江马街中学校·期中)若两个等差数列，的前项和分别为，，若对于任意的都有，则__________．
一、选择题
1．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)等差数列单调递增，且满足，则公差为（ ）
A．1 B．2 C．0或1 D．0或2
2．(24-25高二下·四川泸州合江马街中学校·期中)等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知数列为等差数列，且数列的前项和有最大值，若，，则取得最小正值时，的值为（ ）
A．1013 B．1014 C．2024 D．2025
4．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题：
5．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则，； B．若，则使的最大的n为15；
C．若，，则中最大； D．若，则.
6．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则是中的最小项
7．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)（多选）已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A．满足的最小值为 B． C． D．时，取得最小值
8．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)（多选）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．使>0成立的的最大值为14 D．为的唯一最大值
9．(24-25高二下·四川达州·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．数列中最大 D．数列中最小
三、填空题
10．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)首项为的等差数列，当且仅当时取最小值，则公差的取值范围是______
四、解答题
11．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列为等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和的最大值．
12．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.
已知等差数列的前项和为，且___________，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)若表示大于的的最小整数，如，．数列满足，，记，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发多少升大米？
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球.
A．55 B．66 C．110 D．136
二、多选题
5．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等差数列
C．数列为等差数列 D．数列的最小项为1
6．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（ ）
A． B．数列为周期数列 C． D．数列为递增数列
7．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知数列满足，数列的前项和为，则 （ ）
A． B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列 D．数列前200项和为
8．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)（多选）记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为
9．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知数列满足，前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．的解有3个 C． D．
三、解答题
10．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知数列满足：，．
(1)证明：是等差数列；
(2)设，记数列的前项和．
11．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，证明：数列的前n项和.
12．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的前n项和为，，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
13．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)若各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）判断数列是否为等差数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
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专题06 等差数列
高频考点概览
考点01等差数列的基本量运算
考点02等差数列前n项和的运算
考点03等差数列性质的运用
考点04等差数列的函数特征
考点05等差数列的判断与证明
一、选择题
1．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知等差数列中首项，公差，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【详解】因为等差数列的首项，公差，所以.故选：D.
2．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知等差数列，其中，则（ ）
A． B．4 C．5 D．12
【答案】C
【详解】由等差中项可得，故选：C
3．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)在等差数列中，，，则（ ）
A．0 B．5 C．10 D．15
【答案】A
【详解】，又，，成等差数列，，.故选：A
4．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知在等差数列中，，，则等于（ ）
A．-2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】在等差数列中，，解得，公差，所以.
故选：C
5．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】，所以，，所以，所以.故选：A.
6．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)等差数列的公差为2，且，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【详解】由条件可知，等差数列的公差，
则.故选：C
7．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)数列是首项为1且公差不为0的等差数列，若，则 （ ）
A．20 B．39 C．41 D．58
【答案】B
【详解】由题意，设等差数列的公差为，其中，因为，且，可得，解得，所以.故选：B.
二、解答题
8．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，故，
所以；
（2），所以.
9．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
【详解】解：（1）设数列的公差为，∴，故.
（2），∴
解得或（舍去），∴
一、选择题
1．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为等差数列的前项和为，且，则.
故选：C.
2．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【答案】C
【详解】由，解得，所以，故选：C.
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)在等差数列中，为其前n项和，若，则
A．60 B．75 C．90 D．105
【答案】B
【详解】，即，而，故选B.
4．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)记等差数列的前n项和为.若，，则（ ）
A．49 B．63 C．70 D．126
【答案】B
【详解】因是等差数列，故，于是故选：B
5．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.
6．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
【答案】B
【详解】设等差数列的首项为,公差为，则，所以，
故选：B.
7．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】C
【详解】解：设的公差为，依题意可得，即，解得，所以；故选：C.
8．(24-25高二下·四川南部中学·期中)已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得，解得，故，故，
因此的前2025项和为，故选：C
二、填空题
9．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)等差数列的前项和记为，且，则______．
【答案】
【详解】设数列的公差为，根据题意可得，即，
解得：，，故.故答案为：.
三、解答题
10．(24-25高二下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)记是等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.
【详解】（1）因为数列为等差数列，设其首项为，公差为，
由可得，解得，
则.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，，设，
则
由等差数列与等比数列的前n项和公式可得.
11．(24-25高二下·四川泸州龙马潭田家炳中学联考·期中)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【详解】（1）设等差数列公差为，则，解得：，
；
（2）由（1）得：，
，当或时，；
则，的最小值为.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)若数列是等差数列，是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】数列是等差数列，，则；当，数列是等差数列，则，不一定满足；则是的必要不充分条件.故选：B.
2．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)等差数列中，若，为方程的两根，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
【答案】B
【详解】∵，为方程的两根，∴，由等差数列的性质得，即，∴.故选：B
3．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，因为是等差数列前项和，是等差数列前项和，所以，，则，，故选：B.
4．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)设等差数列的前项和分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由等差数列的性质可得：，，
则，即，，故选：C.
二、填空题
6．(24-25高二下·四川泸州合江马街中学校·期中)若两个等差数列，的前项和分别为，，若对于任意的都有，则__________．
【答案】
【详解】由等差数列的性质可得：．对于任意的都有，
则．故答案为：．
一、选择题
1．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)等差数列单调递增，且满足，则公差为（ ）
A．1 B．2 C．0或1 D．0或2
【答案】B
【详解】设单调递增的等差数列的公差为，且，因为， 所以，
又，则，即，解得，或（舍去）.故选：B.
2．(24-25高二下·四川泸州合江马街中学校·期中)等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵等差数列中，，∴，即．又，∴的前项和的最小值为．故选：B
3．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知数列为等差数列，且数列的前项和有最大值，若，，则取得最小正值时，的值为（ ）
A．1013 B．1014 C．2024 D．2025
【答案】D
【详解】因为数列的前n项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，又，，所以，即数列的前1013项为正数，从第1014项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知，，，
所以当取最小正值时，．故选：D.
4．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】由可知，数列是等差数列，公差，由，解得．则故当取得最小值时，的值是6．故选：A．
二、多选题：
5．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则，； B．若，则使的最大的n为15；
C．若，，则中最大； D．若，则.
【答案】ABD
【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，
根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD
6．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则是中的最小项
【答案】AC
【详解】对于A，因为，所以，得，所以A正确，对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误，故选：AC
7．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)（多选）已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A．满足的最小值为 B． C． D．时，取得最小值
【答案】AC
【详解】由题意知：，，，选项A中：，，所以满足的最小值为，故选项A正确；选项B中：，即，故选项B错误；选项C中：由，可知公差，则所以，故选项C正确；选项D中：当时，，当时，，所以当时，，；，，当时，，所以，；当时，，
，所以，所以当时，取得最小值，故选项D不正确，故选：AC.
8．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)（多选）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．使>0成立的的最大值为14 D．为的唯一最大值
【答案】ABC
【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；对于C，因为，，故C正确；对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D不正确．故选：ABC
9．(24-25高二下·四川达州·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．数列中最大 D．数列中最小
【答案】BCD
【详解】因为，所以.因为，所以，所以，故B正确. 所以，数列为递减数列，A错误；又，所以，所以时，，时，，所以数列中最大，因为，所以，所以，故D正确.故选：BCD.
三、填空题
10．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)首项为的等差数列，当且仅当时取最小值，则公差的取值范围是______
【答案】
【详解】设等差数列为，若公差，则等差数列为递减数列，由可知，恒成立，则无最小值，不符合题意；若公差，则等差数列每项均为，则无最小值，不符合题意；
若公差，则等差数列为递增数列，又当且仅当时取最小值，则，，解得，则公差的取值范围是.故答案为：
四、解答题
11．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列为等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和的最大值．
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）由，解得，而，数列是单调递减数列，
所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数，
所以时，数列前项和的最大值为.
12．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.
已知等差数列的前项和为，且___________，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【详解】解：（1）若选择①，由与，
解得：或（由于，舍去）
设公差为，则，解得，所以数列的通项公式为
若选择②，设公差为，由，得；，则，解得
所以数列的通项公式为
若选择③，因为，解得，所以数列的通项公式为
（2）由题意得：
所以
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，所以，当时，，可得，即，即，即，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以，所以，所以.故选：.
2．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)若表示大于的的最小整数，如，．数列满足，，记，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故为公差为1的等差数列，其中，所以，所以，而当时，也符合该式，故，故，所以，当时，，所以，所以的前项和为.故选：D
3．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发多少升大米？
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】记第一天共分发大米为升，由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为，
因此，前天共分发大米为升.故选：A.
4．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球.
A．55 B．66 C．110 D．136
【答案】B
【详解】设“三角垛”每一层球的个数构成数列，由题意可知，，，，，…，，这11项加在一起，得.故选：B
二、多选题
5．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等差数列
C．数列为等差数列 D．数列的最小项为1
【答案】ABD
【详解】设等差数列的公差为，由，可得.
所以，，
对于A，，由为常数，故数列为等差数列，即A正确；对于B，，由为常数，故数列为等差数列，即B正确；对于C，，由不是常数，故数列不是等差数列，故C错误；对于D，因，因， ，则，即，当且仅当时，即时，等号成立，即数列的最小项为1，故D正确.故选：ABD.
6．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（ ）
A． B．数列为周期数列 C． D．数列为递增数列
【答案】AD
【详解】由，得，即，又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即，
所以，故A正确，C错误；对于D，因为，所以为递增数列，故D正确；对于B，，数列不具有周期性，故B错误．故选：AD．
7．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知数列满足，数列的前项和为，则 （ ）
A． B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列 D．数列前200项和为
【答案】AD
【详解】由，当时，，两式相减可得，所以，当，适合上式，所以；由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误；对于A，因为，所以当时，可得，故A正确；对于C，由可知，，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以，，，又，所以，
所以，，不构成等差数列，故C错误；对于D，，所以，故D正确.故选：AD.
8．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)（多选）记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为
【答案】ACD
【详解】数列的前项和，当时，，
而满足上式，因此.对于A，，A正确；对于B，，，则数列是公差为的等差数列，B错误；对于C，，数列的前项和为，C正确；对于D，，则数列的前2025项的和为，D正确.故选：ACD.
9．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知数列满足，前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．的解有3个 C． D．
【答案】ABD
【详解】由，可得，所以，显然，两边同除以，
可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，故A正确；所以，所以，解得，由，可得，所以，解得或，又，所以，故的解有3个，故B正确；，，当或时，的最大项为，故C错误；当时，， 所以，故D正确.故选：ABD.
三、解答题
10．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)已知数列满足：，．
(1)证明：是等差数列；
(2)设，记数列的前项和．
【详解】（1）由已知得，由
得，即，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，即；所以，
所以，，
两式相减可得，
可得．
11．(24-25高二下·四川嘉祥教育集团·期中)数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，证明：数列的前n项和.
【详解】（1）因为，，故，，
则，，为常数，
又因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）法一：由（1）知，，故，
，
令，恒成立，所以在单调递增.
又因为，所以，即恒成立，
所以，证毕.
法二：由（1）知，，故，
，
令，恒成立，所以在单调递增.
又因为，所以，即恒成立，
所以，证毕.
12．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的前n项和为，，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，即，
所以是公差为1的等差数列.
（2）①由（1）及已知得，，则，
，于是，
两边同乘以，得，
两式相减得，
，所以.
②不等式
依题意，对任意的恒成立，令，
则，
因此数列为递减数列，则当时，，则，
所以实数的取值范围是.
13．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)若各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）判断数列是否为等差数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
【详解】（1）因为，当时，，
两式相减得，即.
因为，所以，即.
所以，当时，是公差的等差数列.
因为所以，所以.
当时，，所以.
因为，
所以数列不是等差数列.
（2）由（1）知：数列从第二项开始是等差数列，当时，，
所以数列的通项公式
（3）
当时，，①
，②
②-①，得
.
当时，，满足上式，所以.
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