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专题06 正余弦定理（5大考点65题）
5大高频考点概览
考点01正弦定理解三角形
考点02正余弦定理边角互化的应用
考点03余弦定理解三角形
考点04 正弦定理判定三角形解的个数
考点05 三角形面积公式及其应用
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，若，则的值为（ ）.
A． B． C． D．1
3．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（ ）
A．320m B．340m C．360m D．380m
6．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知在中，角所对的边分别为，满足
，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
8．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段，和以为直径的半圆弧组成，其中为4百米，,为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，，，再修两条栈道，使. 记．
(1)试用表示的长；
(2)试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.
9．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)如图，在中，已知为边上一点，．

(1)求的面积；
(2)若，求的长．
一、单选题
10．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
12．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)在中， 若， 则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
13．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
14．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有一解，则的取值范围为
C．若，且，为的内心，则
D．若，则的取值范围为
16．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ）
A． B．
C． D．
17．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
三、填空题
18．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________．
19．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：
，现有的三边满足，则的最大值______．
20．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，若且，则________.
四、解答题
21．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
22．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)若，求；
(2)求的取值范围；
(3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值．
23．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，平分，求的值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
24．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答，
问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______．
(1)求角B；
(2)已知，D为线段AC上的一点．
①若BD是边AC上的高，求BD的最大值；
②若，求BD的最大值．
25．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若锐角的内角的对边分别为，且，，
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求面积的取值范围．
26．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)求的最大值.
一、单选题
27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
28．(24-25高一下·江苏连云港·期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（ ）

A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米
29．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
30．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
31．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（ ）
A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得
C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得
三、填空题
33．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为_____.
34．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为_______．
35．(24-25高一下·江苏江阴六校·期中)如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点，则______________；则_________________.
36．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______
37．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则_______.
四、解答题
38．(24-25高一下·江苏扬州第一中学·期中)在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若的面积为是上的点，且，求的长.
39．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
(1)求角的值；
(2)若，的面积为，求的值；
(3)若，，求的值.
40．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)“堆云积雪，芳华绝代”，春天的南京，是玉兰花的盛宴.清凉山公园，灵谷寺，朝天宫，总统府……处处繁花似锦，处处风姿卓越，处处雅致茂盛.除白玉兰外，南京还有黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰.已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且.
(1)当米时，求的长；
(2)问：点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值.
41．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求.
一、单选题
42．(24-25高一下·江苏常州·期中)中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
43．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
44．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
45．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
46．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
47．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
48．(24-25高一下·江苏徐州·期中)尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有限次的操作步骤完成几何图形的构造.已知中，，现需用尺规作图作出该三角形，下列说法正确的有（ ）
A．可以作出两个不同的三角形
B．作出的三角形中没有锐角三角形
C．作出的三角形中，三角形的面积不变
D．作出的三角形中，可能为锐角，也可能为钝角
49．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)设中角所对的边为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则满足条件的三角形有且只有一个
C．面积的最大值为
D．周长的最大值为
50．(24-25高一下·江苏连云港·期中)已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当，，时，满足条件的三角形共有1个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，则三角形为等腰三角形
三、填空题
51．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是_______
一、单选题
52．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
53．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
54．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
55．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（ ）
A．的最长边长为14 B．的三个内角满足
C．的三条高的和为 D．的中线的长为
三、填空题
56．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
57．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在中，角的平分线交于，则_____________．
58．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________.
四、解答题
59．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求A的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围；
(3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围．
60．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，已知为边上一点，满足，.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的长.
61．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
在中，内角，，的对边分别为，，，______.
(1)求角的大小；
(2)若，，为的重心，求的长；
(3)求的取值范围.
62．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)在 中， 内角的对边分别为，且．
(1)求角B；
(2)若边的面积为角A的平分线交边于点D，求．
63．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)复兴中学有一直径为8米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角.

(1)若喷灌的有效覆盖区域面积为，求；
(2)设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积.
64．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)设的内角的对边分别为，是边的中点，.
(1)若，求面积的最大值；
(2)若的面积为且 ，求的值;
(3)若，求的取值范围.
65．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若且，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围.
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专题06 正余弦定理（5大考点65题）
5大高频考点概览
考点01正弦定理解三角形
考点02正余弦定理边角互化的应用
考点03余弦定理解三角形
考点04 正弦定理判定三角形解的个数
考点05 三角形面积公式及其应用
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理直接求解即可.
【详解】因为，，所以，
由正弦定理，即，解得.
故选：D.
2．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，若，则的值为（ ）.
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由正弦定理可得答案.
【详解】由正弦定理得，则.
故选：C
3．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】运用正弦定理即可求出，进而可求的值.
【详解】由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
所以，
所以或，
故选：D
4．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.
【详解】在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：A
5．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（ ）
A．320m B．340m C．360m D．380m
【答案】B
【分析】在中，根据题意可得.在中，利用正弦定理可求出的值，然后在中即可求解的值.
【详解】在中，，，∴.
在中，，，
，，
∴由正弦定理可得，∴.
在中，，，∴.
故选：B.
6．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在中，根据正弦定理得，在直角中，由勾股定理得，即可得，再将代入方程，化简即可.
【详解】
在中，由正弦定理得：.
所以，又，
所以，又，即，
所以，化简得，
则，故塔顶距离地面高度必定可以表示为.
故选：A.
7．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知在中，角所对的边分别为，满足
，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据余弦定理以及面积公式得出，A选项可判断为直角三角形；B根据余弦定理得出，可利用勾股定理判断；C利用正弦定理求出，再结合角的范围即可判断；D利用正弦定理求出，再结合角的范围即可判断.
【详解】因，
则在中利用余弦定理可得，，则，
因，则；
若，则为直角三角形，故A错误；
若，则由余弦定理可得，
则，则，
故为直角三角形，故B错误；
若，则由正弦定理可得，，
则，
因，则角在和内分别存在一值，
则可能为钝角三角形，故C错误；
若，则由正弦定理可得，，
则，
因，则，则，故为锐角三角形，故D正确.
故选：D
二、解答题
8．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段，和以为直径的半圆弧组成，其中为4百米，,为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，，，再修两条栈道，使. 记．
(1)试用表示的长；
(2)试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.
【答案】(1)
(2)与重合.
【分析】（1）连接，在解出，根据为直角三角形解得关于的函数；（2）在应用正弦定理，再使用二倍角公式与诱导公式化简，根据的取值范围解得栈道长度之和的最大值.
【详解】（1）由题意，连接．在中，
为4百米，，，
∴，，，
∵为直径，
∴，
∴.
（2）由题意及（1）得，
在中，
，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当，即时，有最大值10百米，此时与重合，
∴与重合时，栈道长度之和最大，最大值是10百米.
9．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)如图，在中，已知为边上一点，．

(1)求的面积；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）法一：在中，利用正弦定理，求得，得到和 ，再由正弦定理，得到，即可求解；
法二：设，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：在中，因为，
由余弦定理，可得，
又由，所以．
所以的面积为．
（2）解：法一：在中，可得，
由正弦定理得，即，所以，
又由，所以，所以，
因为，且，
由正弦定理得，
可得.
法二：设，
在中，因为且，
由余弦定理，可得，
即，所以，解得．
一、单选题
10．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式.
【详解】因为，由余弦定理知，
所以，
整理得，
即的形状是直角三角形.
故选：B.
11．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得.
【详解】由，则，
所以，可得，不能确定是否成立，
所以一定是直角三角形.
故选：B
12．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)在中， 若， 则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式可得，即可得求解.
【详解】由正弦定理和可得，
故,
由于，故,结合为三角形的内角，故，
故三角形为直角三角形，
故选：A
13．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可求解.
【详解】在中，由正弦定理可知：，
∴，，∴.
故选：C.
14．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦定理可得，又因为，所以，即可得，再根据特殊角正切值求解即可.
【详解】因为，由正弦定理得：
，因为，
所以,
，因为，
所以，即，因为，所以.
故选：A.
二、多选题
15．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有一解，则的取值范围为
C．若，且，为的内心，则
D．若，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断C；由正弦定理得，再求出角的范围判断D.
【详解】对于A，由，得，
即，而，因此，A正确；
对于B，由余弦定理得，整理得，
由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或，
解得或，B正确；
对于C，由，得，又，则，
即，
而，解得，由，得为锐角，则，
因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为，
则，，
因此，C错误；
对于D，由正弦定理可得， ，即,
在中，，解得，，则，D正确.
故选：ABD
16．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件，利用正弦和差角公式，即可求解；对于B，根据条件，利用正弦定理边转角和余弦定理，即可求解；对于C，根据条件得，再利用辅助角公式，即可求解；对于选项D，利用、和差角公式及倍角公式，得到，从而有，构造函数，，求出的取值范围，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，又，
所以，得到，
又三角形为锐角三角形，所以，，
则，得到，所以选项A正确，
对于选项B，由，得到，
整理得到，所以选项B正角，
对于选项C，因为，又由选项A知，
所以，得到，所以，
又，所以，
则，所以选项C错误，
对于选项D，由选项C知，，
又
则，
设，令，
则，易知在上单调递增，
所以，即，
则，所以的取值范围是，故选项D正确，
故选：ABD.
17．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D.
【详解】由正弦边角关系有，
所以，又且，
所以，A对；
由上，可得，B错；
对于C，如下图示，设，则，，
由，则，且，则，
所以，
而，且，则，所以，C对；
由，
而，且在上单调递增，则值域为，D对.
故选：ACD
三、填空题
18．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________．
【答案】
【分析】由正弦定理边角互化，再化简求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理可得：
即
所以
又，所以，
又，，
解得或，
又，所以．
故答案为：．
19．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：
，现有的三边满足，则的最大值______．
【答案】
【分析】先利用正弦定理得，再设，则可化简得，再计算的范围，即可求最值.
【详解】在中利用正弦定理，可化简为，
设，则，则，
则，
则，
则，
因，则，得，
得，
则当时，有最大值.
故答案为：
20．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，若且，则________.
【答案】/
【分析】由正弦定理边化角得出，再结合三角形面积公式得出，由余弦定理即可求得的值，即可求解．
【详解】，
因为，所以，
由，
由余弦定理得，，
因为，所以，则，
设，整理得，，解得或（大于1，舍去），
所以，
故答案为：．
四、解答题
21．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解；
（2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，可得，所以，
若，则，不合题意，故，所以，
又因为，所以.
（2）因为的面积为，可得，可得，
又因为，所以，由余弦定理，
可得，所以，
所以的周长为.
22．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)若，求；
(2)求的取值范围；
(3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由和差化积公式及中角之间的关系化简已知等式，可得，得，再由，，即可求出；
（2）（1）知，中角之间的关系求得，利用正弦定理可得的取值范围；
（3）利用已知条件和三角形的面积公式化简，即可求得的值．
【详解】（1）因为在中，，
由和差化积公式得，
又在中，，则，
因为，所以，
则，
所以或（舍去），所以，
已知，所以，则.
（2）由（1）知，
在三角形中，所以，即，
则，
所以，由正弦定理，
即的取值范围为.
（3）
由（1）知，又，
则，，
在中，由正弦定理得，，
所以
又，
所以.
即.
23．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，平分，求的值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解；
（2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算；
（3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域.
【详解】（1）由得，
由正弦定理得，
即，
得，
因为，为三角形内角，所以或（舍去），
所以，
因，则．
（2）由（1）得，平分，则，
设，因，则，
因为平分，则由角平分线定理得，
则，
在等腰中，，在中由余弦定理得，，
由，得，，
又因为，则，，所以．
（3）在中由正弦定理得，
得，，所以，
又因为，
所以
因为为锐角三角形，则，且，
则，，解得，则，
所以，
所以周长的取值范围为．
24．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答，
问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______．
(1)求角B；
(2)已知，D为线段AC上的一点．
①若BD是边AC上的高，求BD的最大值；
②若，求BD的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）选①时，用正弦定理把边化为角，约去不为的，得到与关系，进而求出，确定的值.
选②时，根据三角形面积公式化简条件，同样得到与关系，求出确定.
选③时，利用三角函数的两角和正切公式，结合已知条件求出，从而得到的值.
（2）①通过三角形面积公式得出BD与ac的关系，再利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，进而得到BD的最大值；
②先根据正弦定理求出外接圆半径，再利用向量关系得到的表达式，通过三角函数的恒等变换化简，最后根据的取值范围求出的最大值，从而得到BD的最大值.
【详解】（1）选择①：条件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，，
所以，且，即，所以
选择②：条件即，
即，
在中，，所以，则，所以，所以
选择③：条件即，
所以，
在中，，所以．
（2）①因为的面积，所以
在中，由余弦定理得：
所以，从而
当且仅当取等．所以BD的最大值为
②由正弦定理得：，R为外接圆半径，
因为，
则
因为，故当，即时，取得最大值
则BD的最大值为
25．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若锐角的内角的对边分别为，且，，
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求面积的取值范围．
【答案】(1)．
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；
（2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知；
（ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围．
【详解】（1），
由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，
所以．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）（ⅰ）已知，由，得，
由正弦定理，得，，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，
，
由△ABC是锐角三角形，有，得，，
则，所以，
即面积的取值范围是．
26．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将题设条件合理变形，结合正弦定理与两角和的正弦公式化简即可.
（2）利用正弦定理得到，由题可得，再利用余弦定理即可求得的值.
（3）结合已知结论得到，设，再对其合理变形得到，利用正弦函数的值域建立不等式，求解即得的最大值.
【详解】（1）因为，
可得，
由正弦定理，，
则得，可得，即，得证.
（2）由（1）和正弦定理，可得，又，则，
由余弦定理，.
（3）由已知得，则，
可得(*)，
，则得，因，则，此时，不合题意，
故，将（*）两边同除以，可得，解得，
令，则，
化简得，则，其中,
可得，故，
，则，
得到，解得，
综上，的最大值为.
一、单选题
27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理可求得的值.
【详解】因为，，，
由余弦定理可得，故.
故选：D.
28．(24-25高一下·江苏连云港·期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（ ）

A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米
【答案】B
【分析】根据余弦定理即可求得.
【详解】由余弦定理，，解得.
故选：B.
29．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理可得：
，
所以，
所以，
故选：C
30．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出角，再利用角平分线性质和三角形面积公式得到bc的值，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的周长.
【详解】已知，移项可得.
因为（若，则，不满足），所以，即.
又因为，所以.
因为AD是角的平分线，所以.
根据三角形面积公式，可得.
可得：，即
两边同时约去可得.
由余弦定理，将，代入可得：
，即，即.
根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得：
，
将代入上式可得：，解得（负值舍去）.
的周长为.
故选：A.
31．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，求得，在中，由余弦定理，求得，再由，得到，得出，结合基本不等式，求得，即可得到答案.
【详解】由，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
又由，
则，
所以，
令，可得，则，
因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立，
则，所以，所以，
即的最大值为.
故选：B.
二、多选题
32．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（ ）
A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得
C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得
【答案】ACD
【分析】由题意设，，，结合倍角公式及余弦定理逐个判断即可.
【详解】设，，，且，
由于边c最长，所以需满足，即，解得，故A正确；B错误；
由得，即，即，
因此有，即，所以，
代入本题数据有，解得，故C正确；
由得，即，
即，即，
即，即，
化简有，整理得，又，，
即，由求根公式可得：，
故无解，D正确．
故选：ACD
三、填空题
33．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为_____.
【答案】
【分析】由条件可得的值，再由余弦定理可得的值，代入完全平方公式即可得到，从而得到结果.
【详解】因为，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
则，则，
所以的周长为.
故答案为：
34．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据重心、外心的性质，由平面向量数量积的运算化简可得，再利用余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图，
因为O是的外心，所以，
又G是的重心，所以为的中点，则，
则
，
又，所以，即，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
则的最小值为.
故答案为：.
35．(24-25高一下·江苏江阴六校·期中)如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点，则______________；则_________________.
【答案】
【分析】在中，由余弦定理可得的值；由与的夹角即为，利用数量积求夹角的方法计算即可.
【详解】，，
在中，由余弦定理得：，
.
，
，
，
，，
与的夹角即为，
.
故答案为：；.
36．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______
【答案】
【分析】在三角形中过作于，求出，再利用余弦定理解出，进而可求解.
【详解】
如图，过作于，的最小值为，
，得到，
又为锐角，，
，不妨设，
则，
，.
故答案为：.
37．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则_______.
【答案】
【分析】设，，根据已知构建合适的直角坐标系，得，若轴，，得，应用差角正切公式列方程求得，再应用余弦定理、三角形面积公式得，即可得.
【详解】设，，构建如下图示直角坐标系，其中为原点，
且，若轴，，如上图示，
易知，则，
由，
所以，整理得，解得，
所以，，
由，即，
，，
所以.
故答案为：
四、解答题
38．(24-25高一下·江苏扬州第一中学·期中)在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若的面积为是上的点，且，求的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值；
（2）由（1）求得，，，代入三角形的面积公式，计算即可；
（3）利用三角形的面积公式结合（1）和（2）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长.
【详解】（1）在中，因为，
所以，即，
因为，则，即，所以，
由余弦定理得.
（2）由（1）知，所以，
因为，，所以，
由（1）知，所以，
所以的面积.
（3）由（2）知，
因为，可得，
由（1）知，，故，，，
因为是上的点，且，则，，
由（1）知，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故.
39．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
(1)求角的值；
(2)若，的面积为，求的值；
(3)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在中，由及正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解；
（2）由（1）知，根据三角形面积公式可解出的值.再结合及完全平方公式可得，代入题中条件即可求解；
（3）由，利用辅助角公式可解出的值，利用三角形内角的关系可得的值，利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，，∴由正弦定理得，化简得，
∴由余弦定理可得.
又，所以.
（2）由（1）知.
因为的面积为，解得.
由（1）可得，所以，即，
所以，解得（舍去）.
（3）由（1）知.
由，得.
因为，所以，所以，即.
，
由正弦定理可知.
40．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)“堆云积雪，芳华绝代”，春天的南京，是玉兰花的盛宴.清凉山公园，灵谷寺，朝天宫，总统府……处处繁花似锦，处处风姿卓越，处处雅致茂盛.除白玉兰外，南京还有黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰.已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且.
(1)当米时，求的长；
(2)问：点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值.
【答案】(1)米
(2)当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米
【分析】（1）因为能得出的度数，在里用余弦定理列出关于的方程，求解方程并根据确定.
（2）设，由平行得，在用正弦定理求出，进而得到面积表达式.把面积表达式化简为含三角函数的形式，根据三角函数性质求最大值，确定值，得出的位置.
【详解】（1）由，故 ，
在中，由余弦定理可得： .
即，即 .
解得，因为，所以
答：长为米..
（2）设，，
由，故，又，
在中，由正弦定理得，，即，
则，
令
，
当，即时，，
所以 ，
此时位于的中点.
答：当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米.
41．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由，，利用同角三角函数的关系可求得和的值，结合题干条件即可求得，进而可得.利用三角形内角和定理及诱导公式即可求解；
（2）在中，由余弦定理结合可得.结合题干条件可解得.再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）在中，∵，，∴，.
∵，∴.
又，∴.
∴.
（2）在中，∵，∴由余弦定理可得.
∵，∴，解得.
∴.
一、单选题
42．(24-25高一下·江苏常州·期中)中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】利用正弦定理，结合大边对大角，小边对小角即可求解.
【详解】由正弦定理可得：，代入得：，
解得，因为，所以，
即，
故选：A.
43．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果.
【详解】由正弦定理可得，则，
因为，且满足条件的有两个，
所以，且（当时，三角形只有一解），
此时，则.
故选：B
44．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据得到答案.
【详解】有两组解，需满足，即，，
所以a的值可以为8，B正确，ACD错误.
故选：B
45．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解.
【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且，
因此，所以的取值范围为.
故选：C
46．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围.
【详解】已知，，，由正弦定理可得：
，即.
因为，所以.
要使有两解，则，且，此时的取值范围是.
由，且，可得.得到.
的取值范围是，
故选：B.
二、多选题
47．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABD
【分析】对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.
【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；
对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；
对于C，由正弦定理，即，所以，
因为，则,
因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；
对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.
故选：ABD.
48．(24-25高一下·江苏徐州·期中)尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有限次的操作步骤完成几何图形的构造.已知中，，现需用尺规作图作出该三角形，下列说法正确的有（ ）
A．可以作出两个不同的三角形
B．作出的三角形中没有锐角三角形
C．作出的三角形中，三角形的面积不变
D．作出的三角形中，可能为锐角，也可能为钝角
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用正弦定理确定三角形的个数，再逐项判断.
【详解】在中，，由正弦定理得，
由，得，由，得或，
因此可以作出两个不同的三角形，可能为锐角，也可能为钝角，AD正确；
当时，，是钝角三角形；当时，是钝角三角形，B正确；
当时，；当时，，
的面积有两个不同值，C错误.
故选：ABD
49．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)设中角所对的边为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则满足条件的三角形有且只有一个
C．面积的最大值为
D．周长的最大值为
【答案】ACD
【分析】由条件，利用余弦定理求，判断A，由 结合正弦定理求，由此判断B，由余弦定理可得的关系，结合基本不等式求面积的最大值，判断C，求周长的最大值，判断D.
【详解】对于A，由余弦定理可得，又，，，
所以，解得，A正确；
对于B，由正弦定理可得，
因为，，，所以，
所以，满足条件的角不存在，所以满足条件的三角形不存在，B错误；
对于C，因为，，
由余弦定理可得，即，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为，，
由余弦定理可得，即，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，故，
所以，当且仅当时等号成立，
所以周长的最大值为，D正确；
故选：ACD.
50．(24-25高一下·江苏连云港·期中)已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当，，时，满足条件的三角形共有1个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，则三角形为等腰三角形
【答案】BD
【分析】利用正弦定理和余弦定理逐一判断即可.
【详解】对于A，由正弦定理，，则，
故不存在满足条件的三角形，即A错误；
对于B，由正弦定理，，
设，则，由余弦定理，，
因，则，故这个三角形的最大角是，即B正确；
对于C，因，由余弦定理，，
因，故角为锐角，但不能说明为锐角三角形，故C错误；
对于D，由和正弦定理，可得，即，
因，故，所以，即，三角形为等腰三角形，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
51．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是_______
【答案】
【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可.
【详解】由正弦定理，可得，所以，
若满足条件的有两个，即三角形有两解，
所以，且，则，
即，解得，
则c的取值范围是.
故答案为：.
一、单选题
52．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式，结合等面积法可得，，解出，进而求解即可.
【详解】由题意，AD为的平分线，，
则，
由，
则，即，①
又，
则，
则，②
由①②可得，，
所以.
故选：C.
53．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题设条件，利用表示，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式，利用三角形面积公式得出所求比值为，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点，
则，
因为三点共线，所以可设，
设，则，
所以，即，
又因为为的重心，所以，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
54．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值.
【详解】
因为，，
所以.
又因为，
所以，.
根据等面积法可得：，即，
整理得.
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.
则，解得：，此时，时等号成立.
故.
故选：D
二、多选题
55．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（ ）
A．的最长边长为14 B．的三个内角满足
C．的三条高的和为 D．的中线的长为
【答案】ABD
【分析】由，得，则设，再结合面积公式及的面积可求出，从而可求出三边长，然后逐个分析判断即可.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
设，由的面积，得，
化简整理得，解得，则，
对于A，的最长边长为14，A正确；
对于B，由余弦定理得，
而，则，，B正确；
对于C，的三条高的和为，C错误；
对于D，由为的中线，得，
，D正确.
故选：ABD
三、填空题
56．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】/
【分析】由“三斜求积”公式求解三角形的面积即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
57．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在中，角的平分线交于，则_____________．
【答案】/
【分析】根据面积公式，再结合二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】设，
由，得，
得，
.
故答案为：
58．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________.
【答案】
【分析】根据给定条件，设，利用正弦定理把表示成的函数，再利用正弦函数的性质及三角形面积公式求出最大值.
【详解】由，，，得，
设，，当时，重合，，；
当时，重合，，；
当时，，，，
在中由正弦定理，即，则，
在中由正弦定理，即，则，
于是
（其中锐角由确定），
当且仅当时取等号，而，
因此，，
所以三角形的面积的最大值是.
故答案为：
四、解答题
59．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求A的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围；
(3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，所以，进而得到，即可求得的大小；
（2）由正弦定理化简得到，再由为锐角三角形，得到，求得的范围，进而得到的取值范围；
（3）由余弦定理得和，得到，化简，根据，得到，进而求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，
所以，
因为，
所以，
因为，可得，所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：由正弦定理，可得 ，
因为为锐角三角形，可得，解得，
则，可得，所以.
（3）解：由余弦定理，可得，即，
又由
则，
由 ，
因为为锐角三角形，可得，解得，
可得，则，即，
所以，即的取值范围为.
60．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，已知为边上一点，满足，.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得到，再由将两边平方，即可求出，再由计算可得；
（2）根据边长关系得到，结合三角形面积公式和即可得解；
【详解】（1）因为，，所以，且，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以，解得（负值已舍去），
所以;

（2）因为为上一点，满足，
所以，所以，
因为，所以，
所以，又，所以；

61．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
在中，内角，，的对边分别为，，，______.
(1)求角的大小；
(2)若，，为的重心，求的长；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)给出了三个不同的条件，分别通过三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理等知识来求解的度数.
(2)由余弦定理求出BC的长度，再求出cos B，然后在利用余弦定理求出AM的长度，最后根据重心性质求出AG的长度.
(3)利用正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，然后通过三角函数的恒等变换将表达式化简为只含有的形式，最后根据C的取值范围确定的取值范围，进而得出m的取值范围.
【详解】（1）方案一：选条件①.
由题意可得，.
为的平分线，，
，即
又，，即，
，，
，.
方案二：选条件②.
由已知结合正弦定理得，
由余弦定理得，
，.
方案三：选条件③.
由正弦定理得，，
又，
，
，
易知，
，，.
（2）法1 延长交于点，因为为三角形的重心，
所以为的中点，
所以，
.
法2 在中，由余弦定理可得，，
，.
延长交于点，
为的重心，为的中点，且.
在中，由余弦定理可得，，
，.
（3）
因为，所以，
从而
62．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)在 中， 内角的对边分别为，且．
(1)求角B；
(2)若边的面积为角A的平分线交边于点D，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，诱导公式即可求解；
（2）由余弦定理得出和，再根据等面积法和三角形面积公式即可求解．
【详解】（1），
所以或，即或（舍），
所以．
（2）因为的面积为
所以，
由余弦定理得，，
，
由得，，
解得．
63．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)复兴中学有一直径为8米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角.

(1)若喷灌的有效覆盖区域面积为，求；
(2)设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中求出，在再中利用面积公式表示出，利用余弦定理表示出，再结合完全平方公式可求得结果；
（2）在和中分别利用正弦定理表示出，然后表示出，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值.
【详解】（1）由已知得 为直角三角形， 因为 ，
所以，
设点到的距离为，则，
所以，得，
因为，
所以，得，
在中，由余弦定理得,
即，得，
所以，
所以；
（2）因为，所以 ，
所以，
则.
在中，由正弦定理得：，得，
所以，
在中，由正弦定理得：, 得，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以当，即时，取得最大值.
所以，喷灌的有效覆盖区域的最大面积为.
64．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)设的内角的对边分别为，是边的中点，.
(1)若，求面积的最大值；
(2)若的面积为且 ，求的值;
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将放在坐标系中，为原点，设，，利用，即可求得，得到的范围，利用面积公式表示出三角形的面积，即可求得最大值；
（2）由是中点，所以的面积是面积的一半，即可求得的长，利用余弦定理求出的长，即可利用正弦定理求出；
（3）以为原点建立坐标系，设，利用向量数量积的变形，表示出，即可求得结果.
【详解】（1）如图，将放在坐标系中，为原点，
设，，
因为，所以，
又，
所以，
解得，
即，即，又，
可得，
又面积，
所以当时，面积的最大，且为.
（2）在中，的面积为，
因为是中点，所以的面积是面积的一半，
即，所以，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，即，
所以.
（3）如图，以为原点，建立坐标系，
则，设，则，
又，
所以，
又，
所以，
因为，所以，
所以，，
即的取值范围为.
65．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若且，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）先根据两角差的正切公式结合可得，再结合同角三角函数的基本关系求得，进而求得，由正弦定理可得，进而根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据正弦定理可得，，进而根据三角恒等变换化简的周长为，再根据正切函数的性质求解即可.
【详解】（1）由，即，
根据正弦定理得，，
则，
则，
则，
因为，所以，
则，即.
（2）由（1）知，，
在中，由，
则，且，
则，即，
解得（舍去）或，
又，且，
解得，
所以
，
由正弦定理得，，
则，解得，
则.
（3）由正弦定理得，，
则，所以，，
则的周长为
，
由，则，即，
又，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.
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