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专题07 解三角形的应用（5大考点30题）
5大高频考点概览
考点01正、余弦定理判定三角形形状
考点02求三角形中的边长或周长的最值或范围
考点03求三角形面积的最值或范围
考点04 距离测量问题
考点05 高度测量问题
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
二、多选题
2．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定是锐角三角形
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则有两解
3．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
4．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是钝角三角形
D．“”是“为等边三角形”的充要条件
5．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若是锐角三角形，则
6．(24-25高一下·江苏盐城五校联考·期中)的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．若为钝角三角形，则
B．若，则
C．若，，，则有两解
D．，则为等腰三角形或直角三角形
三、填空题
7．(24-25高一下·江苏如东高级中学·期中)在中，已知，则的形状为______
一、多选题
8．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为
C．的面积最小值为 D．的周长范围为
9．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
二、解答题
10．(24-25高一下·江苏梅村高级中学空港分校·期中)在中，．
(1)若的面积为，求；
(2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
11．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)如图，某学校有一块边长为的正方形实验田用地，在此正方形的边、上分别取点、（均不与正方形的顶点重合），用栅栏连接、、，设，，.

(1)当，时，求所用栅栏的总长度；
(2)当时，在内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值；
12．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，平分，求的值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
13．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
(1)若，求；
(2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
14．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)如图，已知在平面四边形中，，，．

(1)若平分，求的长；
(2)设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
15．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)求；
(2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值．
16．(23-24高一下·江苏扬州江都区·期中)如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m.
(1)求两区域边界的长度；
(2)区域为锐角三角形.
①若，求面积的最大值；
②若，求面积的取值范围.
17．(23-24高一下·江苏无锡堰桥高级中学·期中)从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答．
在中，三边分别是角的对边， 若______.
(1)求C；
(2)若，求的面积的最大值．
18．(23-24高一下·江苏连云港七校·期中)在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB BC CD DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
(1)若米，求烧烤区的面积？
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
一、单选题
19．(24-25高一下·江苏东台·期中)如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）

A．200 m B．400 m C． D．
20．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（ ）
A． B． C． D．
21．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（ ）
①②③
④
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
22．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米.
A． B． C． D．3
二、填空题
23．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长_______m．
24．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则_____．
三、解答题
25．(24-25高一下·江苏南京临江高级中学·期中)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为．为钝角，且．
(1)求小岛A与小岛D之间的距离；
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积．
26．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m．

A． B． C． D．
27．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（ ）
A． B． C． D．
28．(24-25高一下·江苏镇江句容碧桂园学校·期中)雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）（参考数据：）
A．68m B．70m C．72m D．74m
29．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（ ）
A． B．
C． D．
30．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
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专题07 解三角形的应用（5大考点30题）
5大高频考点概览
考点01正、余弦定理判定三角形形状
考点02求三角形中的边长或周长的最值或范围
考点03求三角形面积的最值或范围
考点04 距离测量问题
考点05 高度测量问题
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果.
【详解】由，可得，
，，
所以，，
因为，所以，即，
所以是等腰三角形.
故选：C.
二、多选题
2．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定是锐角三角形
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则有两解
【答案】AC
【分析】应用正弦定理计算判断A，D，应用余弦定理计算判断B，C.
【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A选项正确；
对于B，若满足，则不是锐角三角形是直角三角形，B选项错误；
对于C，若，则所以为钝角，所以一定是钝角三角形，C选项正确；
对于D，若，则，所以，只有一个解，有一个解，D选项错误；
故选：AC.
3．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】BC
【分析】利用余弦定理和面积公式求出角，利用内角和定理可判断A；利用余弦定理可逐项判断BCD.
【详解】由余弦定理和面积公式可得，，整理得，
因为，所以，
对A，若，则，为直角三角形，A错误；
对B，若，，则由余弦定理得，
易知此时角最大，因为，所以角为锐角，B正确；
对C，若，，则，解得（负根已舍去），
易知此时角最大，因为，所以角为锐角，C正确；
对D，若，，则，无实数解，D错误.
故选：BC
4．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是钝角三角形
D．“”是“为等边三角形”的充要条件
【答案】BCD
【分析】由正弦定理边角互化及两角和差正弦公式可判断A；由余弦定理可判断B；由同角三角函数的关系，正弦定理边角互化及余弦定理可判断C；由余弦定理，两角和差正弦公式和基本不等式可判断D.
【详解】对于A，
或，故是等腰三角形或者直角三角形，故A错误；
对于B,，又，所以，即，
所以最大角C为锐角，故B正确；
对于C，
，故C为钝角，故C正确；
对于D，，
，
又，要等式成立则需且，故D正确．
故选：BCD.
5．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若是锐角三角形，则
【答案】ACD
【分析】A选项，由正弦定理得到，从而，得到A正确；B选项，由同角三角函数关系，正弦定理和二倍角公式得到，所以或，B错误；C选项，由大角对大边得到，由正弦定理得到；D选项，根据锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式比较出大小
【详解】A选项，由正弦定理得，
故，
故
，
所以，即，
则为直角三角形，A正确；
B选项，若，则，
由正弦定理得，
又，故，
所以，即，，
所以或，所以或，
为等腰三角形或直角三角形，B错误；
C选项，若，则，
由正弦定理得，又，，
故，C正确；
D选项，若是锐角三角形，则，则，
其中，，
又在上单调递增，
故，故D正确.
故选：ACD
6．(24-25高一下·江苏盐城五校联考·期中)的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．若为钝角三角形，则
B．若，则
C．若，，，则有两解
D．，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】BCD
【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D.
【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得，
所以，A错误；
对于B，若，则，由正弦定理得，B正确；
对于C，若，，，由正弦定理得，
而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确；
对于D，因为，所以，所以，
即，则或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，D正确.
故选：BCD
三、填空题
7．(24-25高一下·江苏如东高级中学·期中)在中，已知，则的形状为______
【答案】等腰或直角三角形
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可.
【详解】在中，由及余弦定理，得，
整理得，即，
而，因此或，
所以或，即为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
一、多选题
8．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为
C．的面积最小值为 D．的周长范围为
【答案】ABD
【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围.
【详解】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得，故A正确；
对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即，
由A可知：，故，故，故B正确；
对C：由正弦定理，也即可得：，
故△的面积，
由A可知：，故，故，故，没有最小值，故C错误；
对D：由C可知：，，
设△的周长为，则
也即，由A可知：，故，则，
则，故，故D正确；
故选：ABD.
9．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D.
【详解】由正弦边角关系有，
所以，又且，
所以，A对；
由上，可得，B错；
对于C，如下图示，设，则，，
由，则，且，则，
所以，
而，且，则，所以，C对；
由，
而，且在上单调递增，则值域为，D对.
故选：ACD
二、解答题
10．(24-25高一下·江苏梅村高级中学空港分校·期中)在中，．
(1)若的面积为，求；
(2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对于，先利用正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式展开，即可求出角，再由三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理即可；
（2）先利用正弦定理表示出，即可得到周长的表达式，再由是锐角三角形得到角范围，即可借助三角函数求出周长的取值范围．
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
，
又因为在中，，
所以，
整理可得，又因为，，
所以，因为，所以.
因为，所以.
因为，所以由余弦定理可知，，
所以.
（2）因为，又由（1）可知，所以，
由正弦定理可知，
所以，
所以的周长
.
因为为锐角三角形，所以，
解得，所以，
所以，
所以，
即周长的取值范围为.
11．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)如图，某学校有一块边长为的正方形实验田用地，在此正方形的边、上分别取点、（均不与正方形的顶点重合），用栅栏连接、、，设，，.

(1)当，时，求所用栅栏的总长度；
(2)当时，在内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值；
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】（1）在、中，分别求出、的长，然后在中利用余弦定理求出的长，可求出的周长，即为所求；
（2）求得，，利用三角形的面积公式得出，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质求出的最大值，即可得出面积的最小值.
【详解】（1）因为，，则，
在中，，
因为，
在中，，
所以在中由余弦定理得
所以，
所以，
所以栅栏总长度为米．
（2）在中，，在中，，
所以的面积，
，
因为，所以，
当即时，取得最大值，
此时的面积的最小值为，
所以植蔬菜的区域面积的最小值为平方米．
12．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，平分，求的值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解；
（2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算；
（3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域.
【详解】（1）由得，
由正弦定理得，
即，
得，
因为，为三角形内角，所以或（舍去），
所以，
因，则．
（2）由（1）得，平分，则，
设，因，则，
因为平分，则由角平分线定理得，
则，
在等腰中，，在中由余弦定理得，，
由，得，，
又因为，则，，所以．
（3）在中由正弦定理得，
得，，所以，
又因为，
所以
因为为锐角三角形，则，且，
则，，解得，则，
所以，
所以周长的取值范围为．
13．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
(1)若，求；
(2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)验证见解析，1
(3)14
【分析】（1）在中，由余弦定理求得,结合，得是等边三角形，即可求出；
（2）在与中，分别用余弦定理表示，即可证明；
（3）分别表示出，则，由（2）知：，代入消去角，利用三角函数求最值即可．
【详解】（1）由，．，
在中，由余弦定理得,
所以.
又，所以是等边三角形，
所以；
（2）在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得，
∴
所以为定值；
（3），
则，
由（2）知：，∴
代入上式得：，
配方得：，
∵
又,
所以当时，取到最大值14．
14．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)如图，已知在平面四边形中，，，．

(1)若平分，求的长；
(2)设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长；
（2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解；
②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论.
【详解】（1）因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以.
（2）①在中，余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，所以，
因为，所以，
由四边形面积，
所以；
②在中，可得，
在中，可得，
所以，
所以，
设四边形的面积为，
则
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，，此时取最大值12，
此时有最大值，所以当四边形面积最大时．
15．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)求；
(2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②.
【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值；
（2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值；
②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值.
【详解】（1）由余弦定理可得，所以，，
由得，整理可得，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
所以，，
因为、、，所以，、、，有如下几种情况：
，即，矛盾；
，即，矛盾；
，可得，解得.
（2）①由余弦定理、基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为；
②因为为边的中点，则，即，
所以，，
所以，，
又因为，
所以，，由①知，
可得，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
16．(23-24高一下·江苏扬州江都区·期中)如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m.
(1)求两区域边界的长度；
(2)区域为锐角三角形.
①若，求面积的最大值；
②若，求面积的取值范围.
【答案】(1).
(2)①；②
【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可；
（2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将表示出来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）（1）在 中, ,
所以 ，
因为 ,
所以
即 是直角三角形,
所以
（2）①在 中, 由余弦定理知,
所以
即 ，当且仅当 时，等号成立,
所以 面积
故 面积的最大值为 .
②在 中, 由正弦定理知
所以
因为 为锐角三角形,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 面积
故 面积的取值范围为
17．(23-24高一下·江苏无锡堰桥高级中学·期中)从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答．
在中，三边分别是角的对边， 若______.
(1)求C；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）条件①，化简得到，求得，进而求得的值；
选条件②，由正弦定理得到，结合余弦定理，求得，即可求解；
选条件③：化简得到，求得，即可求解；
（2）由（1）和由余弦定理得，得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：若选条件①，由，
可得，即，
因为，所以，可得，
因为，可得，所以，所以，可得.
若选条件②，由，
根据正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以.
若选条件③：由，可得，
即，
因为，可得，
又因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）知：且，
又由余弦定理得，
即，
当且仅当时，等号成立，所以，
则，所以面积的最大值为.
18．(23-24高一下·江苏连云港七校·期中)在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB BC CD DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
(1)若米，求烧烤区的面积？
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)平方米
(2)米
(3)修建观赏步道时应使得，.
【分析】（1）由余弦定理求出，再利用面积公式即可求解；
（2）由三角形的面积公式解得，由是钝角，得，利用余弦定理即可求解；
（3）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式，利用三角函数性质即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可知，
所以
所以平方米.
（2），
解得，
因为是钝角，所以，
=，
故需要修建米的隔离防护栏.
（3），
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，，
解得：，
花卉观赏区的面积为
，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时
答：修建观赏步道时应使得，.
【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，利用正弦定理与三角恒等变换将花卉观赏区的面积转化为关于的表达式，从而得解.
一、单选题
19．(24-25高一下·江苏东台·期中)如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）

A．200 m B．400 m C． D．
【答案】C
【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得.
【详解】在中，
在中，
在中
．
故选：C
20．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解.
【详解】过向作垂线，垂足为，设，
则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知，
在直角三角形中可知，
因为，所以，即，
因此可得．
故选：A
21．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（ ）
①②③
④
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】根据题意，过M作于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
由题意可知，，，过M作于C，
设，根据正弦定理可得，，
又因为时没有触礁危险，
即，故（1）正确，
，（4）正确，
故选：C
22．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米.
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解.
【详解】在中，，，
则，，
在中，，，，
则，
，
，
在中，，，
则，
.
故选：D.
二、填空题
23．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长_______m．
【答案】
【分析】由题意，可得，再结合正弦定理求解即可.
【详解】由题意，可得，，
在中，由正弦定理得，
则，解得，
则坡底应延长.
故答案为：.
24．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则_____．
【答案】
【分析】由已知得，求得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解．
【详解】由，，得，，
所以，
在中，，
由正弦定理得，，则，
在中，由余弦定理得，，
解得，
故答案为：．
三、解答题
25．(24-25高一下·江苏南京临江高级中学·期中)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为．为钝角，且．
(1)求小岛A与小岛D之间的距离；
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积．
【答案】(1)2
(2)18
【分析】（1）利用平方关系求出，由余弦定理求解可得；
（2）利用圆的性质求出，由余弦定理求出，然后由三角形面积公式可得.
【详解】（1）因为为钝角，且，所以，
在中，，
由余弦定理，
可得，
整理得，解得（负值已舍去）.
（2）因为四点共圆，所以，且，
所以，
在中，，由余弦定理得，
整理得，解得（负值已舍去）.
所以四边形的面积平方海里.
26．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，得到，且，在中，利用正弦定理，得到，求得的值，即可得到答案.
【详解】如图所示，设，
因为从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，
可得，且，
因为，且，
在中，由正弦定理得，可得，
所以，解得m.
故选：A.

27．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中求得，然后在中，利用正弦定理求得即可求解.
【详解】在中，，所以，
在中，，
则，
由正弦定理得，即，解得，
在中，.
故选：C.
28．(24-25高一下·江苏镇江句容碧桂园学校·期中)雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）（参考数据：）
A．68m B．70m C．72m D．74m
【答案】C
【分析】结合几何图形，根据三角函数表示长度关系，即可求解.
【详解】令直线的延长线交于点，则．
依题意，，，而，
所以，解得，
又，所以，
而，
所以．
故选：C
29．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.
【详解】在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：A
30．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在中，根据正弦定理得，在直角中，由勾股定理得，即可得，再将代入方程，化简即可.
【详解】
在中，由正弦定理得：.
所以，又，
所以，又，即，
所以，化简得，
则，故塔顶距离地面高度必定可以表示为.
故选：A.
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