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专题08 数列求和问题
高频考点概览
考点01裂项相消求和
考点02错位相减求和
考点03分组、并项求和
考点04数列求和与不等式综合
一、选择题
1．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川达州·期中)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川西充中学·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）．
A． B． C． D．
二、解答题
4．设数列是等差数列，已知，．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前项和．
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列中，，为数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列总满足，求数列的前n项和．
6．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列为其前n项和，若______________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列的前项和为，且.
（1）若数列是等比数列，求的取值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和.
8．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知是数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
一、选择题
1．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（ ）
A．99 B．100 C．199 D．200
二、填空题
2．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)设数列的前项和为，且，则数列的前项和为___________.
三、解答题
3．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)设数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.
（1）求数列的通项公式
（2）记,求数列的前项和.
7．(24-25高二下·四川西充中学·期中)已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前n项和．
8．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式．
(2)求数列的前项和．
9．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
10．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知等差数列的前项和满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和.
11．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列；
(2)求数列的前项和为
(3)若，求正整数的所有取值．
12．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的5G+技术领先世界．目前某区域市场中5G+智能终端产品的制造只由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G+商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中恰有转而采用A公司技术，采用A公司技术的恰有转而采用B公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)求与的递推关系式
(2)求数列的通项公式
(3)设，求的前项和
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列满足则其前9项和等于（ ）
A．150 B．180 C．300 D．360
二、多选题
3．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列满足，，的前n项和为，则（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
4．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：）
A． B．是等比数列
C．函数单调递增 D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180
三、填空题
5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知数列满足的前项和为，若，则_____．
6．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)已知数列的前n项和为，，且，若，则______．
四、解答题
7．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知等差数列的前项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
8．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为.
(1)求和；
(2)设，求数列的前2022项的和.
9．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
(1)求、的通项公式：
(2)求数列的前项和．
10．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
一、多选题
1．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．数列是递减数列 B． C．时，n的最大值是18 D．
2．(24-25高二下·四川雅安中学·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．数列中最大 D．数列中最小
3．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．数列的通项公式 B．数列的通项公式
C． D．
二、填空题
4．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____.
5．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____.
6．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ；记，则的值为 （其中[x]为不超过实数的最大整数，如）．
7．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 __________.
三、解答题
8．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式和；
(2)若，若数列的前项和为，求证．
9．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)已知数列的前项和为，，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围.
10．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式和前项和；
(3)记，求数列的前项和，并证明.
11．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
12．(24-25高二下·四川达州·期中)已知正项数列的前项和为，且，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围．
13．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知数列满足，其中．
(1)设，求证：数列是等差数列；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和；
(3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
14．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
(1)证明：数列是“平方递推数列”；
(2)设，数列的前项和为
①求；
②若恒成立，求实数的最大值．
15．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
16．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求出的通项公式；
(3)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
17．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知数列满足：，正项数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)记为数列的前项积，证明：.
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专题08 数列求和问题
高频考点概览
考点01裂项相消求和
考点02错位相减求和
考点03分组、并项求和
考点04数列求和与不等式综合
一、选择题
1．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以当时，，，…，，累加可得，
因为，所以，当时，，满足上式，所以，故选：B．
2．(24-25高二下·四川达州·期中)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，且，所以，，，上述各式相加得.故选：D
3．(24-25高二下·四川西充中学·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意可知：，于是有，，即，由累加法可知，
显然可得： ，A选项正确，，B选项不正确；，由裂项相消法可得，C选项正确；
令，∵，即，∴，即，D选项错误.故选：AC.
二、解答题
4．设数列是等差数列，已知，．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即：，解得：，
所以，即：.
（2）由（1）知，，
所以.
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列中，，为数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列总满足，求数列的前n项和．
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，由，当时，，符合
综上所述，；
（2），
则；
故.
6．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列为其前n项和，若______________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【详解】（1）若选①：在等差数列中，，
当时，，
也符合，∴；
若选②：在等差数列中，，，解得
；
若选③：在等差数列中，，解得
；
（2）证明：由（1）得，
所以
7．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列的前项和为，且.
（1）若数列是等比数列，求的取值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和.
【详解】（1）由，得，
当时，，即，所以，，
依题意，，解得.
（2）有（2）知，所以，又因为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以.
（3）由（2）知，
则.
8．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知是数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【详解】（1）由，
当时，，当时，可得，
两式相减得：，所以有，
也符合上式，所以；
（2）当时，有
当时，有，
所以有
.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（ ）
A．99 B．100 C．199 D．200
【答案】C
【详解】由，得，则数列为常数列，，因此，，由数列是等比数列，得数列的公比为2，，又，则，，，两式相减，得，则，
不等式，解得，所以不等式成立的整数n的最小值为199.故选：C
二、填空题
2．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)设数列的前项和为，且，则数列的前项和为___________.
【答案】
【详解】由，得，当时，，解得；
当时，，整理得，
则，数列是常数列，因此，
，，设数列的前项和为，
，
于是，
两式相减得，
则，所以数列的前项和为.
故答案为：
三、解答题
3．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【详解】（1）由，
所以是首项、公比均为3的等比数列，故
所以.
（2）由（1）有，则，
所以，
两式相减，得
所以.
4．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因，，则，得，
所以，所以，，
因数列为单调递增的等比数列，则可设数列的公比为，
因为，所以，得或（舍），
所以，解得， 所以，
则数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以．
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)设数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
【详解】（1）当时，；
当时，即，而，故，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以经验证满足通项，所以.
（2）由（1）得，则，
，
两式做差可得，
所以.
6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.
（1）求数列的通项公式
（2）记,求数列的前项和.
【详解】（1）由题意，得.又，
∴，∴，
∵，∴或，
∵，∴.
∴.
（2）由（Ⅰ），知.∴.
∴.
∴.
∴ .
∴.
7．(24-25高二下·四川西充中学·期中)已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前n项和．
【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，，
由，得，
由成等比数列，得，即，
则，整理得，而，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则，
因此，
两式相减得，
则，
所以的前n项和.
8．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式．
(2)求数列的前项和．
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，由，可得，
因为，可得，
可得，即，
整理得，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当，可得，所以数列的通项公式为，则.
又由，且数列是公差为1的等差数列，
可得，即，解得，
所以故数列的通项公式为．
（2）由（1）知：，，可得，
因为数列的前项和为，可得，则，
两式相减，可得，
所以．
9．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）,所以
故所以
，
.
10．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知等差数列的前项和满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和.
【详解】（1））设等差数列的公差为，
由，，可得，，即，，
解得，，则；
（2），则，
所以．
（3），
①，
②，
①②得：，
整理得：．
11．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列；
(2)求数列的前项和为
(3)若，求正整数的所有取值．
【详解】（1）当时，有，解得.
当时，有，，
作差可得，所以有，
所以有.又，
所以数列为以为首项，为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）可知，，则.
所以，，
则，
作差可得，，
所以，.
（3）由（1）（2）可知，，.所以，，.
由可得，，整理可得.
令，
易知在上单调递增，在上单调递增，
所以，在上单调递增.
又，
，，，
所以，当时，有，即在时不成立.
所以可取1，2，3.
12．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的5G+技术领先世界．目前某区域市场中5G+智能终端产品的制造只由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G+商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中恰有转而采用A公司技术，采用A公司技术的恰有转而采用B公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)求与的递推关系式
(2)求数列的通项公式
(3)设，求的前项和
【详解】（1）由题意可知经过次技术更新后，
则，即，
（2）由题意，可设，所以，
又，所以
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以
（3）又，则，
所以：，
两式相减得：
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
故，
因此，.故选：C.
2．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列满足则其前9项和等于（ ）
A．150 B．180 C．300 D．360
【答案】B
【详解】因为所以所以其前9项和等于，故选:B.
二、多选题
3．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列满足，，的前n项和为，则（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
【答案】AB
【详解】对于A，由，则，故A正确；对于B，由，则，故B正确；对于C，由B可知数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，即，故C错误；对于D，，故D错误.故选：AB.
4．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：）
A． B．是等比数列
C．函数单调递增 D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180
【答案】ACD
【详解】依题意，每层的果子数分别为，则数列的通项， A，，A对；B，时，，所以，则为等差数列，B错；C，
，则，单调递增，C对；D，，D对.故选：ACD
三、填空题
5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知数列满足的前项和为，若，则_____．
【答案】2
【详解】由，可知：当为偶数时，，当为奇数时，，所以，即，化简可得，由此解得.故答案为：
6．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)已知数列的前n项和为，，且，若，则______．
【答案】25
【详解】当时，，，，，，，，，，则数列从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7．因为；所以，由，，得，所以，所以．故答案为：25．
四、解答题
7．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知等差数列的前项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以.
8．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为.
(1)求和；
(2)设，求数列的前2022项的和.
【详解】（1）因为为和的等比中项，所以，
又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列，
则，所以，，.
（2）因为
所以数列的前2022项的和为：
.
9．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
(1)求、的通项公式：
(2)求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，
因为，所以，即，
，即，则，
所以，整理可得即，
解得或（舍去）.
所以，则，解得或（舍去），故.
所以，.
（2）由（1）知，，则.
.
10．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
一、多选题
1．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．数列是递减数列 B． C．时，n的最大值是18 D．
【答案】BC
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，因为，所以.A：由，可得，所以等差数列为递增数列，故A错误；
B：，故B正确；C：，
由可得，所以，又，所以n的最大值是18，故C正确；D：，，由，得，故D错误.故选：BC.
2．(24-25高二下·四川雅安中学·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．数列中最大 D．数列中最小
【答案】BCD
【详解】因为，所以.因为，所以，所以，故B正确. 所以，数列为递减数列，A错误；又，所以，所以时，，时，，所以数列中最大，因为，所以，所以，故D正确.故选：BCD.
3．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．数列的通项公式 B．数列的通项公式
C． D．
【答案】ACD
【详解】依题意，，设，由为正三角形，直线的方程为，由，得，则，由，则的横坐标为，纵坐标为，
且在曲线上，则，又，即，得，则，当时，，两式相减得，，因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列，对于A，，A正确；对于B，由，得
，B错误；对于C，正面积，则，C正确；对于D，由，得，，当时，，则
，D正确.故选：ACD
二、填空题
4．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【详解】由，，，
，则，由函数在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以当时，取最小值的取值范围是.故答案为：.
5．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【详解】当时，，因为，当时，，
两式相减可得，即，当时不适合此式，所以，所以，当时，，当时，，
若对任意恒成立，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.
6．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ；记，则的值为 （其中[x]为不超过实数的最大整数，如）．
【答案】 18
【详解】因为，所以，，又，所以，，所以当时，，当时，，综上所述，，，注意到，，
所以，
故.故答案为：，18.
7．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 __________.
【答案】
【详解】设等差数列的首项为，公差为.由，得：由，得：将代入上式：化简得：因此，公差，通项公式为：在与之间插入个数，构成项的等差数列，其公差为：设，则
故，所以单调递增，最小值为.数列的最小值：，当时，.对任意，存在，使得.由于且，只需保证，即.故答案为：.
三、解答题
8．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式和；
(2)若，若数列的前项和为，求证．
【详解】（1），，
联立，解得，
所以的通项公式，前项和.
（2），
所以，时，，
时，符合上式，所以
因为，所以.
9．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)已知数列的前项和为，，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）法1：由，得，而，当时，
，
而满足上式，所以.
法2：由，得，则，
因此数列是常数列，则，即，
所以.
（2）由（1）得，当时，，
则，而满足上式，
所以的通项公式.
（3）由（2）得，依题意，对任意的都成立，
设函数，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
而，因此当时，，则，
所以的取值范围是.
10．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式和前项和；
(3)记，求数列的前项和，并证明.
【详解】（1）证明：因为数列满足，可得，
又因为，可得，从而可得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，所以，
则数列的前项和为.
（3）解：由（2）知：，可得，
所以，
所以，
当时，易知关于是单调递增数列，
当时，取得最小值，最小值为，
又因为，可得，所以.
11．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则.
（2）由（1）可得，所以
所以
（3）由（1）可得
易知在上单调递增，且恒成立，所以
故得证.
12．(24-25高二下·四川达州·期中)已知正项数列的前项和为，且，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围．
【详解】（1）由，得，
两式相减得，即．
因为，所以，即．
当时，，解得或（舍去），
所以是首项为7，公差为3的等差数列，故，
因为，①
所以当时，，②
①-②得，也满足．
故的通项公式为，的通项公式为．
（2）因为，
所以，当时，取得最小值．
因为对任意，恒成立，所以，
整理得，解得．
13．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知数列满足，其中．
(1)设，求证：数列是等差数列；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和；
(3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【详解】（1）证明：，
数列是首项为2，公差为2的等差数列，
（2），，
，，
得：，其中，是首项，
公比的等比数列的前项和，根据等比数列的前项和公式，
这里的首项，公比，项数为， ，
所以，.
（3）存在，理由如下：
则，
若对任意的，都有，则等价于恒成立，
即恒成立，，
当为偶数时，，则，
当为奇数时，时，则
综上，存在，使得对任意的，都有．
14．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
(1)证明：数列是“平方递推数列”；
(2)设，数列的前项和为
①求；
②若恒成立，求实数的最大值．
【详解】（1）由题知，，即，
当时，，所以，
所以数列是“平方递推数列”.
（2）①由（1）知，数列是“平方递推数列”，且，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
两式相减得，，
则，
当时，，符合上式，
当时，，符合上式，
所以.
②由①知，，则，
所以恒成立，
可得恒成立，即，即，
令，则，所以，当且仅当，即时，取等，
所以，即实数的最大值为.
15．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1），，又，
所以，
又， ，
数列中任意一项不为0，，
数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则. .
（2）(ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为，
所以①，②，
所以①-②可得：，
所以. .
(ⅱ)由，得，化简得.
当为奇数时，有，即，而，所以；
当为偶数时，有，而，所以.
综上，的取值范围为.
16．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求出的通项公式；
(3)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）数列是首项为3，公比为3的等比数列，，
（2）当时，，
即，，.
又也满足上式，数列的通项公式为
（3）由（1），可得，
①，②，
由①-②，得，
，
不等式可化为，即对任意的恒成立，
令且为递增数列，即转化为.又，所以，
综上，λ的取值范围是
17．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知数列满足：，正项数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)记为数列的前项积，证明：
【详解】（1），
当时，，即，，
等式两边同除以得①，
当时，②，两式相减有：，
，经检验，也满足上式，故.
因为，则当时，，
累加可得：，且，
.
经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故.
（2），
，
令，则，
两式相减可以得到：，.
令，
当为偶数时：；
当为奇数时：；
故当为偶数时，，当为奇数时：，
.
（3）因为，所以，
证明不等式左边：
，
证明不等式右边：
，得证.
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