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专题09 立体几何初步（5大考点50题）
5大高频考点概览
考点01基本立体图形
考点02直线与平面的位置关系
考点03平面与平面的位置关系
考点04 空间图形的表面积
考点05 空间图形的体积
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)一个边长为2的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是（ ）
A． B．4 C． D．6
2．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)用斜二测法画水平放置的边长为的正三角形，所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
二、多选题
6．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)下列结论正确的是（ ）
A．半圆绕其直径旋转一周后形成的几何体为球
B．棱柱至少有5个面
C．任意面体都可以分割成个棱锥
D．棱，，延长后交于一点的多面体一定是三棱台
7．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．当时，的最小值为
三、填空题
8．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______.
9．(24-25高一下·江苏无锡第三高级中学·期中)已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______.
一、单选题
10．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ）
A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面
B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果，那么m平行于经过n的任何平面
11．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
12．(24-25高一下·江苏无锡青山高级中学·期中)已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（ ）
A．相交 B．或 C． D．
13．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)下列命题中正确的是（ ）
A．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行
B．如果直线和平面满足，那么
C．如果直线和平面满足，那么
D．，，那么
二、多选题
14．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)若直线不平行于平面，则下列结论错误的是（ ）
A．内的直线都与相交 B．内的所有直线都与异面
C．直线与平面有公共点 D．内不存在与平行的直线
三、填空题
15．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________.
四、解答题
16．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点．
(1)若的中点为，求证：平面；
(2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：．
17．(24-25高一下·江苏梅村高级中学空港分校·期中)如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)证明：．
18．(24-25高一下·江苏无锡新吴区梅村高级中学·期中)如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面．
(1)证明：平面PAC；
(2)证明：；
(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
一、单选题-考点3：平面与平面的位置关系
19．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
20．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、解答题
21．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
22．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图在四棱锥中，，分别是的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若点F在棱上且满足，平面，求的值．
23．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在三棱锥中，底面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
24．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明.
25．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且.
(1)记平面平面，证明：；
(2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
26．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在正三棱柱中，分别为中点．
求证：
(1)平面；
(2)平面．
27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.

(1)求证：；
(2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动．
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度的最小值．
28．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值．
一、单选题
29．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知圆锥的高为1，母线长为2，则底面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
30．(23-24高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．
31．(23-24高一下·江苏如皋·调研)如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（ ）
A．5 B． C．10 D．
32．(23-24高一下·江苏无锡堰桥高级中学·期中)已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
33．(24-25高一下·江苏锡东高级中学·期中)已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
34．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)如图，在正四棱锥中，，E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，则（ ）
A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．四棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
36．(24-25高一下·江苏无锡青山高级中学·期中)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______.
四、解答题
37．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示．
(1)该山的高度为多少千米？
(2)已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？
一、单选题
38．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（ ）

A．9π B．10π C．12π D．14π
39．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
40．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥外接球体积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
41．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．取得最小值
C．当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时，
D．对任意点，平面平面
42．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为
43．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使与平面相交 B．
C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为
44．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（ ）

A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C．当时，取得最小值
D．的最小值为
三、填空题
45．(24-25高一下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知正四棱台的体积为14，若，，则该正四棱合的高为______．
46．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________.
47．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________．
四、解答题
48．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线交于一点.
49．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点．
(1)求该几何体的体积；
(2)求证：平面ABEF；
(3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值．
50．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面.
(1)求的值；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围.
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专题09 立体几何初步（5大考点50题）
5大高频考点概览
考点01基本立体图形
考点02直线与平面的位置关系
考点03平面与平面的位置关系
考点04 空间图形的表面积
考点05 空间图形的体积
一、单选题
1．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)一个边长为2的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【分析】由原图与直观图的关系，代入计算，即可得到结果.
【详解】原图为正方形，在其直观图中平行于轴的边长长度不变，仍为2，
平行于轴的边长长度减半，即变为1，
故直观图是边长分别为的平行四边形，
则直观图的周长为.
故选：D
2．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】根据平面图形和直观图的关系，即可求解.
【详解】画出原平面图形，
根据平面图形和直观图的关系可知，，
则，则，，
所以这个平面图形的面积为.
故选：C
3．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)用斜二测法画水平放置的边长为的正三角形，所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出直观图，求出直观图三角形的高，结合三角形的面积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，
在等边三角形中，为的中点，则，且，
在其斜二测直观图中，，则点到的距离为，
所以的直观图面积为.
故选：A.
4．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知求出直观图的面积，进而根据直观图与原图的关系，即可得出答案.
【详解】由已知可得，在中，有且，，
所以有，
所以，
所以，的面积为.
根据直观图与原图的关系可知，
的面积为.
故选：D.
5．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
【答案】D
【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D．
【详解】
图1 图2
对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误；
对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误；
对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；
对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，
这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形，
故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确．
故选：D．
二、多选题
6．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)下列结论正确的是（ ）
A．半圆绕其直径旋转一周后形成的几何体为球
B．棱柱至少有5个面
C．任意面体都可以分割成个棱锥
D．棱，，延长后交于一点的多面体一定是三棱台
【答案】ABC
【分析】A根据球的定义可判断；B以三棱柱为例；C在其内部任取一点即可以为顶点以面体的个面为底面构成三棱锥；D用不与底面平行的平面截三棱锥即可.
【详解】A，根据球的定义可知A正确；
B，面最少的棱柱为三棱柱，其共有5个平面，故B正确；
C，任意面体，在其内部任取一点，则以点为顶点，以面体的个面为底面即可构成个棱锥，故C正确；
D，用一个平面去截三棱锥，要求该平面与侧棱均相交，但不与底面平行，所形成的多面体不是三棱台，故D错误.
故选：ABC
7．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．当时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解.
【详解】对A，当时，，为中点，
∵是中点，∴ ，又，所以，
即可得平面，故A正确；
对于B，如图延长交与H，连接交与I，
易知当时，I在线段上，截面如图为梯形，
当时，I在延长线上，截面如图为五边形，
所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形，
故B正确；
对于C，当时，为中点，
∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形，
正方体边长为1，故截面正六边形边长为，
面积，
故C错误；
对于D，当时， ，∴ 四点共面，
如图对平面和平面沿进行展开，
四边形为等腰梯形，，
∴高，
又三角形为等腰三角形，，
∴高，
∴，又，所以的最小值为，故D正确；
故选：A B D.
三、填空题
8．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______.
【答案】8
【分析】利用斜二测画法还原直观图即得.
【详解】由题可知，
∴，还原直观图可得原平面图形，如图，
则，
∴原平面图形的面积为.
故答案为：.
9．(24-25高一下·江苏无锡第三高级中学·期中)已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______.
【答案】
【分析】运用斜二测画法画出原图，进而求出四边形面积即可．
【详解】如图，运用斜二测画法画出原图.
在轴位置不变，，点在轴上，由得，
则，且，．
则四边形为平行四边形，面积为：．
故答案为：．
一、单选题
10．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ）
A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面
B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果，那么m平行于经过n的任何平面
【答案】C
【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.
【详解】对于A，当l与相交与点时，在平面内，过点的直线与l都是共面的，故A错误；
对于B，如图1，可能是，故B错误；

对于C，设m、n共面于平面，由，可得,
由，则根据线面平行的性质可得，故C正确；
对于D，若，则m平行于经过n的任何平面或m在经过n的平面内，故D错误．
故选：C.
11．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
【答案】C
【详解】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错；
对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错；
对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确；
对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错.
故选：C
12．(24-25高一下·江苏无锡青山高级中学·期中)已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（ ）
A．相交 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据线面平行的位置关系判断即可.
【详解】如果，且，那么或.
故选：B
13．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)下列命题中正确的是（ ）
A．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行
B．如果直线和平面满足，那么
C．如果直线和平面满足，那么
D．，，那么
【答案】D
【分析】在正方体中取满足条件的线面，举反例排除ABC，对于D，由线面平行判定定理证明，再根据线面平行性质定理证明，由此判断D.
【详解】对于A，在正方体中，设直线为直线，平面为平面，
则，但直线与直线异面，A错误；

对于B，在正方体中，设直线为直线，设直线为直线，
平面为平面，
则，，但直线与直线相交，B错误；

对于C，在正方体中，设直线为直线，设直线为直线，
平面为平面，
则，，但，C错误；

对于D，因为，，，
所以，又，，
所以，又，
所以，

故选：D.
二、多选题
14．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)若直线不平行于平面，则下列结论错误的是（ ）
A．内的直线都与相交 B．内的所有直线都与异面
C．直线与平面有公共点 D．内不存在与平行的直线
【答案】ABD
【分析】根据直线与平面的位置关系，结合选项，逐项分析判定，即可求解.
【详解】若直线不平行于平面，根据直线与平面的位置关系，可得直线在平面内或直线与平面相交，结合选项，可得A、B、D均不正确.
故选：ABD.
三、填空题
15．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________.
【答案】/
【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】取的中点，连接、，因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角，
又平面，平面，所以，所以，
所以，则，
即直线与平面所成角的大小为.
故答案为：
四、解答题
16．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点．
(1)若的中点为，求证：平面；
(2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得.
【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，
因为为的中点，可得且，
又因为为平行四边形，可得且，
所以且，
又因为为的中点，可得且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）证明：连接与交于点，且为的中点，
由点为的中点，所以，
因为平面，且平面，所以平面，
又因为平面，且平面平面，所以.
17．(24-25高一下·江苏梅村高级中学空港分校·期中)如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)证明：．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明.
【详解】（1）
设，连接，
，Q为侧棱的中点，为的中点，
又是正四棱锥，为的中点，
在中有，
平面，平面，
平面；
（2）在正四棱锥中，有，
平面，平面，平面；
又平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可得．
18．(24-25高一下·江苏无锡新吴区梅村高级中学·期中)如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面．
(1)证明：平面PAC；
(2)证明：；
(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）由为中位线知，即可证明线面平行.
（2）证明平面SDC，再利用线面平行的性质证明.
（3）建立空间直角坐标系，设从而写出E点的坐标，求出平面PAC的法向量，若平面PAC则，列方程求出即可.
【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OP，
因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点，
所以，因为平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC.
（2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC，
又因为平面SAB，平面平面，
所以.
（3）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，
则，
，
设，则，即，
易得，
设为平面PAC的一个法向量，，
，令，得，
可得，
若平面PAC，则，即，解得，
所以当时，平面PAC.
一、单选题-考点3：平面与平面的位置关系
19．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】根据已知条件判断线线、线面、面面位置关系，可判断ABC选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，，则或，A错；
对于B选项，若，，则或、异面，B错；
对于C选项，若，，，则、平行或相交（不一定垂直），C错；
对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，则，D对.
故选：D.
20．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据线面平行可判断A；根据线面垂直可判断B，根据面面平行可判断CD.
【详解】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误；
对于B，如图，设，，点是平面内一点，
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
因为，且，，
且，，
所以，.又，
则，.又，所以，故B正确；

对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误；
对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误.
故选：B
二、解答题
21．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连结交于，连结，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】（1）连结交于，连结，
在正三棱柱中，且，
所以四边形是平行四边行，则为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）在正三棱锥柱中，且，
，，所以四边形是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以是的中位线，
所以，又因为，所以，
在正三棱柱中平面，平面，所以，
在正三角形中，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
22．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图在四棱锥中，，分别是的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若点F在棱上且满足，平面，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行；
（2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值.
【详解】（1）取的中点，连接.
因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，.
又因为平面，平面，所以平面

又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到，
又因为平面，平面，所以平面.
并且，平面，则平面平面，且平面，
所以平面.
（2）连接交于点，连接.
因为，所以.由，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得.
因为平面，平面，平面平面，
根据直线与平面平行的性质所以.
所以在中，.
因为，则.
又因为，即，所以.
23．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在三棱锥中，底面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①②
【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，利用面面垂直的性质可得出平面，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）①由（1）知为与平面所成角，计算出的长，即可求出的正切值，即为所求；
②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，推导出平面，设，求出，利用勾股定理可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出取最小值时对应的的值，求出、的值，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出其正切值即可.
【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）得平面，
所以为在平面的射影，为与平面所成角，
在中，，
在直角中，，
所以与平面所成角的正切值为.
②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
设，，且，则，所以，，
所以，，，
因为平面，平面，所以，，
因为为的中点，则，所以，，
所以，，
所以，，
在直角中，，其中，
因为二次函数在上单调递增，
当时，，即，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，故二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，即为的中点，所以，，
，故二面角的正切值为.
24．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)平面，证明见解析
【分析】（1）取N为线段的中点，连接，根据已知可得出.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.即可根据面面平行的性质定理，得出证明；
（2）根据已知可得出平面，根据（1）结合面面平行的性质定理即可得出证明.
【详解】（1）如图，取N为线段的中点，连接
因为N为线段的中点，
所以.
又，
所以，四边形为平行四边形，.
因为平面，平面，
所以有平面.
又点E为棱的中点，
所以有.
因为平面，平面，
所以有平面.
又，平面，平面，
所以平面平面.
又平面，
所以有平面.
（2）平面
由（1）知，当N为线段的中点时，有平面平面.
因为M为上的动点，平面，
所以，平面，
所以，平面.
25．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且.
(1)记平面平面，证明：；
(2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证.
（2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论.
【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面，
则平面，而平面，平面平面，
所以.
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足.
理由如下：连接交于，连接，则为中点，
取中点，又，则，
过作的平行线交于，连接，在中，有，
由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则，
又，平面，平面，则平面，
又，平面，因此平面平面，
又，得平面，所以存在，且.
26．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在正三棱柱中，分别为中点．
求证：
(1)平面；
(2)平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定证明结论；
（2）由题设先证明得，再由正三棱柱的结构有平面平面且，应用面面、线面垂直的性质得，最后由线面垂直的判定证明结论.
【详解】（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点，
又分别为中点，则，
由平面，平面，则平面；
（2）由分别为中点，则，
在正三棱柱中且，则，
所以，则，
由为正三角形，为中点，则，
而平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，则，
由且都在平面内，则平面.
27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.

(1)求证：；
(2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动．
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明；
（2）①根据（1）的结合，结合线面角的定义，即可求解；
②首先利用面面平行的性质定理，构造平面，设，通过几何关系表示，即可求解线段长度的最小值.
【详解】（1）证明：作
因为平面平面PBC，平面平面平面PAC
所以平面PBC
因为平面PBC
所以
因为平面平面ABC，所以

因为平面PAC
所以平面PAC，
又平面PAC，所以
（2）①由（1）得平面PAC
所以为在平面的射影，为与平面所成角
在中，，
在直角中，
所以与平面所成角的正切值为
②过作的垂线，垂足为，过作，交于
因为平面平面，所以
又因为平面
所以
因为平面平面PAC，所以平面PAC
同理平面
因为平面FQN，所以平面平面
因为平面，所以平面
设
所以
在直角中，
当时，

28．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用面面垂直的性质得出平面，可得出直线与平面所成角，求出、的长，即可求解；
（2）取的中点，连接、，则，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立；
（3）过点在平面内，作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，计算出三边边长，即可求得的余弦值.
【详解】（1）连接交于点，连接，
不妨设，
因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则，
因为为的中点，且，
因为，所以，即点为的中点，
翻折前，，翻折后，则有，则，即，
因为，为的中点，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，故直线与平面所成角，
易知，，，
故，即，
所以，故.
（2）取的中点，连接、，则，
因为，则，
因为平面，则平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面，
因为平面，故.
（3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，故，
因为，，、平面，故平面，
因为平面，故，故二面角的平面角为，
因为，为的中点，故，
在平面内，，，则，
所以，故，所以，
故，
，
由勾股定理可得，
故，
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦直线为.
一、单选题
29．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知圆锥的高为1，母线长为2，则底面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得圆锥的底面半径即可求解.
【详解】圆锥的底面半径为，
所以底面圆的周长为，
故选：D.
30．(23-24高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解.
【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，
则石磨的侧面积为，解得.
故选：B.
31．(23-24高一下·江苏如皋·调研)如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用圆台的侧面积公式计算即得.
【详解】依题意，圆台的母线长，而，因此，
所以.
故选：A
32．(23-24高一下·江苏无锡堰桥高级中学·期中)已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据题意，列出方程，求得，进而求得圆锥的高，得到答案.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，
可得，解得，所以圆锥的高为.
故选：B.
33．(24-25高一下·江苏锡东高级中学·期中)已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球，由球的表面积求出半径，根据长方体的体对角线长的公式列方程，即可解得侧棱长.
【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体，
则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球.
所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为，
则，解得，
设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为.
故选：C.
34．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，
因为，，则，，
因为圆锥顶点到直线的距离为，所以，
因为圆锥底面半径，故，又，
所以为等腰直角三角形，为斜边，
因为为线段的中点， 故，
因为平面，平面，，，
在中，，
在中，，
所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，
因此，该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
二、多选题
35．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)如图，在正四棱锥中，，E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，则（ ）
A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．四棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】由已知中点，即可得出，，判断A项；进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出B项；根据面面平行的性质可知，点到平面的距离等于点到平面的距离.进而求出四棱锥的体积，即可根据等体积法得出的体积，即可判断C项；由已知可知，点即为四棱锥外接球的球心，求出半径，根据圆的表面积公式求解即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，
所以有，.故A正确；
对于B项，由A知，
平面，平面，
所以，平面.
平面，平面，
所以，平面.
又，平面，平面，
所以有平面平面.故B正确；
对于C项，如图，设，，
则平面，且.
由B知平面平面，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离.
即.
连接，
因为，所以，
根据正四棱锥的性质可知平面.
又平面，
所以，.
又，
所以，.
所以，.故C错误；
对于D项，由C知，，，，
所以有，
所以，点即为四棱锥外接球的球心，半径，
表面积为.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
36．(24-25高一下·江苏无锡青山高级中学·期中)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______.
【答案】/
【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是球的直径，求出球的表面积和正方体的表面积，即可得解.
【详解】正方体的体对角线就是球的直径，设正方体棱长为，则正方体的体对角线长为，
则正方体的外接球的半径为，则球的表面积为：，
而正方体的表面积为：，所以球的表面积与这个正方体的表面积之比为.
故答案为：
四、解答题
37．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示．
(1)该山的高度为多少千米？
(2)已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度；
（2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可.
【详解】（1）由题意可知，
∴，在中，由正弦定理，，
所以，即，
又∵N点观测A时仰角的正切值为，，
所以该山的高度为千米．
（2）设的外接圆为圆O，∵，，
又由题意可知，所以，
所以，
所以，
所以根据圆的性质，，，M，N四点共圆，
在中，由正弦定理圆O直径为，
在中，由正弦定理，
延长与圆台交于C点，由题意下底面圆半径为km，
圆台的母线长BC可在直角中由勾股定理得：
．
圆台的侧面积，
圆台的上底面面积，
所以侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．
一、单选题
38．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（ ）

A．9π B．10π C．12π D．14π
【答案】C
【分析】设圆柱的底面半径为，由于为定值，所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值，从而可求出，进而可求出其侧面积.
【详解】设圆柱的底面半径为，
因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为，
因为为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，
所以，
所以当点到平面的距离最大时三棱锥的体积取得最大值，
所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值，
所以，解得，
所以该圆柱的侧面积为.
故选：C
39．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先证明，当平面平面时，三棱锥的体积最大，由面面垂直的性质得到平面，求出截面圆的半径，即可得解.
【详解】依题意，所以梯形的高，
所以，则，又，
所以，即，
当平面平面时，三棱锥的体积最大，
又平面平面，平面，所以平面.
的中点为球心，取的中点，则为的中位线，
所以，平面.
以为直径的球被平面所截的截面为圆面，
由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径，
该圆面面积为.
故选：B
二、多选题
40．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥外接球体积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值.
【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误；
B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确；
C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确；
D. 若，则是等腰直角三角形，，，
所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面，
此时三点共线时，的最小值是，
中，，
由余弦定理可知，，故D正确.
故选：BCD
41．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．取得最小值
C．当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时，
D．对任意点，平面平面
【答案】ABD
【分析】A.作出平面截正方体所得的截面，即可说明；B.展开成平面，利用三点共线，即可求解；C.利用补体的方法求外接球半径，即可判断；D.证明平面，即可判断.
【详解】A.设是的中点，连结，设是的中点，连结，，
因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，
且，，所以，且，所以四边形是平行四边形，
而正方体的棱长为2，且分别是的中点，所以，
所以四边形是菱形，
所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故A正确；
B.如图，将和展开成一个平面，当三点共线时，最短，
，，
所以，故B正确；
C.如图，过点作平面，四面体和四棱柱是同一个外接球，
当时，，得，外接球的体积，故C错误；
D.如图，，且，，平面，
则平面，平面，所以，同理，
且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面，故D正确.
故选：ABD
42．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为
【答案】ACD
【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D.
【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确；
对于B，几何体的表面积为，故B错误；
对于C，该几何体的体积为，故C正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，
由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，
取中点，连接，则，而，
所以最短路程为，故D正确.
故选：ACD
43．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使与平面相交 B．
C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】证明平面平面，即可得平面判断A；应用线面垂直的性质和判断证明平面判断B；根据线面角的定义及平面，到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值为，确定最小值判断C；将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D.
【详解】由正方体知，则为平行四边形，故，
由平面，平面，则平面，
同理可得平面，且都在平面内，
所以平面平面，平面，则平面，A错；
由平面，平面，则，又，
由且都在平面内，则平面，平面，
所以，同理可证，而且都在平面内，
所以平面，平面，则，B对；
由上平面，而到平面的距离，
而，则到平面的距离，
所以与平面所成角的正弦值为，
要使正弦值最大，只需最小，当时，有最小，
所以最小正弦值为，C对；
将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示，
当且仅当共线时，最小，
而，，故，D对.
故选：BCD
44．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（ ）

A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C．当时，取得最小值
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】A根据平面的基本性质画出截面，结合正方体的结构特征判断；B根据已知确定球心的位置并求得球体半径为3，再由几何关系判断的位置判断；C将面展开与面在同一平面上，利用平面上两点距离最短判断；D画出示意图，找到关于面对称的点在线段上，进而确定最小时对称点的位置，即可判断.
【详解】A：延长交于，连接并延长交于，连接交于，
连接，则平面截正方体的截面为，根据作图易知，
所以有，为线段中点，则为线段中点，
结合平面的基本性质及正方体的结构特征知且，则为平行四边形，对；

B：由外接球的球心必在正方体上下底面中心连线上，如下图示，

所以球体半径为，则，得，
则到下底面距离，又在线段上运动，
所以在下底面上方，则，显然不存在这样的点，错；
C：将面展开与面在同一平面上，如下图，

当为与的交点时，最小
，对；
D：如下图，线段关于面的对称线段为，它们的交点为，
则在平面中， 且，
则关于面对称的点在线段上，
若对称点为，连接，则，
若与的夹角为，则，所以，
若，则，此时不在线段上，不符；
所以，即最小为，错.

故选：AC
三、填空题
45．(24-25高一下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知正四棱台的体积为14，若，，则该正四棱合的高为______．
【答案】/1.5
【分析】根据棱台体积公式求解即可.
【详解】设正四棱台的高为，
则其体积为，解得.
故答案为：##.
46．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________.
【答案】
【分析】根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案.
【详解】
设中点为，
根据矩形的性质，可知，
所以，点即为四面体外接球的球心.
又，
所以，四面体外接球的半径，
所以该四面体外接球的体积为.
故答案为：.
47．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________．
【答案】
【分析】取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，根据题中信息求出圆台上、下底面半径，结合台体体积公式可求得该圆台的体积.
【详解】如下图所示，在圆台中，设该圆台上、下底面的半径分别为、，高为，
取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，
过点、在平面内作，，垂足分别为、，
由题意可知，，则、都为等腰直角三角形，
故，，则，，
在平面内，因为，，，
则四边形为矩形，故，
由题意可知，梯形的周长为，
即，解得，
故，
因此，该圆台的体积为.
故答案为：.
四、解答题
48．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线交于一点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出可得；
（2）利用基本事实3可证三线共点.
【详解】（1）连接，到平面的距离为，
因为，故.
故，故.
（2）在平面中，不平行，设，

则且，故平面 且平面，
故平面平面，
所以三线共点.
49．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点．
(1)求该几何体的体积；
(2)求证：平面ABEF；
(3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值．
【答案】(1)该几何体的体积为；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）由条件可得该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的，结合圆柱体积公式求结论；
（2）证明，由线面平行的判定定理可得；
（3）设平面平面，利用面面平行性质定理证明，由此可得为的中点，再利用面面平行性质定理证明，在中，由正弦定理求，再证明，由此可得结论.
【详解】（1）因为几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，
所以该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的，
所以该几何体的体积为，
（2）连接，
因为P是上的中点，则，是中点，
又Q是AC的中点，所以，
平面，平面，
所以平面；
（3）连接，
因为平面平面，
设平面平面，又平面平面，
则，因为是的中点，
所以为的中点，为的中点，
因为平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又，
所以，
因为，，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
50．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面.
(1)求的值；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围.
【答案】(1)2;
(2);
(3).
【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的性质定理得到，再由线段成比例可得；
（2）取的中点，的中点，连接，，，由面面垂直的性质定理得到平面，然后由三角形的面积公式和棱锥的体积公式可得；
（3）先由线面垂直的性质定理和判定定理得到，设，得到，再过作交于，连接，得到，然后由余弦定理和三角函数值求出的表达式，再由函数的单调性可得.
【详解】（1）连接交于，连接.
因为直线平面，平面，
平面平面，
所以，
因为，，所以根据相似的性质可得.
则.
（2）取的中点，的中点，连接，，.
因为是边长为6的等边三角形，则，.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
，，
由（1）可知，，所以.
（3）因为平面，平面，所以，.
又因为，分别为，的中点，所以，
而，所以，又，平面，
则平面，又平面，得，
所以是二面角的平面角，即.
设，则，得.
过作交于，连接，由于平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角，即.
，，.
因为，
在中，根据余弦定理，，
所以，
则.
因为，所以.
故的取值范围为.
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