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专题08 两个计数原理与排列组合
高频考点概览
考点01两个计数原理
考点02排队与排数问题
考点03分配问题与涂色问题
考点04二项式求特定项及其系数
考点05二项展开式系数和问题
一、选择题
1．(24-25高二下·四川南部中学·期中)现有3个班分别从3个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）
A．27 B．9 C．3 D．1
2．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)集合，，从集合中取一个元素作为点的横坐标，从集合中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有（ ）种
A．6 B．5 C．4 D．3
3．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被3整除的个数为（ ）
A．5 B．7 C．15 D．26
二、多选题
6．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有80种
C．若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
D．若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有60种
三、填空题
7．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有__________种不同的走法．
8．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)1800有__________个不同的正因数．
9．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果.李老师的果蓝里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果，小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果，小华拿到两种不同的水果的情况有_________种.
10．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)7个停车位连成一排，有4辆不同的车要停到车位上，恰有两个空车位相邻的不同方法数为______．
四、解答题
11．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．140种 B．120种 C．35种 D．34种
2．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．20 B．26 C．32 D．36
3．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D．种
5．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
D．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
6．(24-25高二下·四川南部中学·期中)用五个数字，可以组成无重复数字的三位偶数个数为（ ）
A．36 B．30 C．18 D．12
7．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)从这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
8．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A．48 B．60 C．72 D．120
9．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己6位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这6位专家的不同发言顺序共有 （ ）
A．240种 B．280种 C．480种 D．720种
10．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)某班级举行活动，同学们准备了四个节目：二胡、相声、小品、舞蹈，现对这四个节目的出场先后进行编排，要求相声和小品相邻，则不同的编排方式有（ ）种
A．6 B．12 C．24 D．32
11．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（ ）
A．1860 B．1320 C．1140 D．1020
12．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．384 B．486 C．216 D．208
二、多选题
13．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)（多选）从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）若五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排或，最右端不能排，则不同的排法共有42种
C．不相邻的排法种数为72种
D．按从左到右的顺序排列的排法有120种
15．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种
C．甲乙不相邻的排法种数为70种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
16．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)（多选）到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ）
A．所有不同的排法种数为120种
B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
17．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种
C．若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12
D．不等式的解集为
三、填空题
18．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________．
19．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数的个数为__________．
20．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______.
21．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种．
四、解答题
22．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
23．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.
(1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；
(2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
(3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（ ）
A．90种 B．120种 C．150种 D．18种
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（ ）
A．240种 B．180种 C．150种 D．540种
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村 口寨村 忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．900 B．600 C．450 D．150
4．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（ ）
A．42种 B．36种 C．6种 D．12种
5．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ）
A．24 B．80 C．72 D．96
6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．72 B．96
C．108 D．120
7．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．48 B．56 C．72 D．256
8．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ）
A．120 B．160 C．180 D．240
9．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对
二、多选题
10．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三人，每人各2本，有540种分法；
B．分给甲 乙 丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
11．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的四个区参加规培工作，下列选项正确的是（ ）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.
C．若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.
D．若这4名医生只能去两个区参加工作，且这两个区都必须有人去，则共有14种不同的安排方法.
三、填空题
12．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种．
13．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)将5本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到1本书，且甲同学只得到1本书，则不同的分法总数为________.
14．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有____种不同的分配方案.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．90 D．270
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．28 D．56
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则项的系数为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)二项式的展开式中含的系数为_____（用数字作答）.
6．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)在的二项展开式中，的系数为______.
7．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为_____
8．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)在的展开式中，常数项是______.
三、解答题
9．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知二项式（）.
(1)若，求展开式中的第项；
(2)若展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求展开式中的有理项.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)的展开式的二项式系数和为（ ）
A．1 B． C． D．
2．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知二项式，则 （ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知，则为（ ）
A．180 B．150 C．120 D．200
二、多选题
4．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有项 B．二项式系数最大的项是第项
C．展开式的常数项为 D．展开式中各项的系数和为
5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第3项的二项式系数为 B．常数项为160
C．所有项的系数之和为 D．所有项的二项式系数之和为64
6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)（多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)（多选）若，则下列选项是正确的有（ ）
A．二项式系数之和为128 B．展开式中含的系数为
C． D．展开式中系数的绝对值最大是672
三、填空题
9．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为______．
四、解答题
10．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知．
(1)求的值；
(2)求的值（结果用数字表示）．
11．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256.
(1)求的值；
(2)求展开式中含项的系数.
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专题08 两个计数原理与排列组合
高频考点概览
考点01两个计数原理
考点02排队与排数问题
考点03分配问题与涂色问题
考点04二项式求特定项及其系数
考点05二项展开式系数和问题
一、选择题
1．(24-25高二下·四川南部中学·期中)现有3个班分别从3个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）
A．27 B．9 C．3 D．1
【答案】A
【详解】现有3个班分别从3个景点中选择一处游览，每个班都有种选择，按照分步乘法计数原理可知不同选法有种.故选：A
2．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)集合，，从集合中取一个元素作为点的横坐标，从集合中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有（ ）种
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】第一象限内的点的横坐标是正数，纵坐标是正数．从集合取一个正数作为点的横坐标有1，3两种不同的选法，从集合取一个正数作为点的纵坐标有5，6两种不同的选法，
由分步乘法计数原理可得总的方法数有种不同的选法.故选：C.
3．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【答案】B
【详解】根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）．故选：B
4．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有个.故选：D．
5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被3整除的个数为（ ）
A．5 B．7 C．15 D．26
【答案】B
【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；
“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205，610、650、601、605；
“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155；
520、502、506、560、511、551、515、555.
其中能被3整除的三位整数为：300、210、201、120、102、111、555.
所以共有7个.故选：B.
二、多选题
6．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有80种
C．若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
D．若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有60种
【答案】BCD
【详解】选项A：每名同学有5个社区可选，总共有 种方法，A错误.
选项B：同学A有4种选择），同学B有4种选择，同学C有5种选择，总数为，B正确.
选项C：总情况数 ，减去都不去甲的情况数 .结果为，故选项C正确.
选项D：满足要求的安排方法可以分为三步完成：
第一步：从5个社区中选两个不同的社区（该步的完成方法数为），
第二步：从3名同学中选2人分配到第一个社区（该步的完成方法数为 ），
第三步：安排所选的第三名同学，此步的完成方法数为.
总数为，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
7．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有__________种不同的走法．
【答案】11
【详解】直接从甲地不经过乙地到、到丙地有3种走法,经过乙地到丙地有种走法,所以合计有种走法故答案为：11
8．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)1800有__________个不同的正因数．
【答案】
【详解】，每一个正因数都可表示为，其中，且均为非负整数，对有种可能选法，即，对有种可能选法，即，对有种可能选法，即，由分步乘法计数原理可得，的正因数有个.故答案为：
9．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果.李老师的果蓝里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果，小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果，小华拿到两种不同的水果的情况有_________种.
【答案】11
【详解】王老师有3种水果，李老师有4种水果，其中苹果是重复的，所以应该先分类后分步.第一类，如果小华在王老师那里拿到苹果，那么在李老师那里只能从剩下的3种水果中拿，共有种情况；第二类，如果小华在王老师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，在李老师那里有4种情况，共有种情况.根据分类加法计数原理，小华拿到两种不同水果总共有种情况.故答案为：11
10．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)7个停车位连成一排，有4辆不同的车要停到车位上，恰有两个空车位相邻的不同方法数为______．
【答案】480
【详解】由7个停车位依次编号，两个空车位的情况有、、、、、，
当两个空车位为时，第三个空车位可选，共4种，
当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种，
当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种，
当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种，
当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种，
当两个空车位为时，第三个空车位可选，共4种，
所以三个空车位共有种，其它四个车位4辆不同车的停法数有种，
所以所求不同的方法数有种.故答案为：
四、解答题
11．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
【详解】（1）现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看，
每位同学都有4种观看方法，所以不同的选择方法共有种；
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以只需确定其余2人观看影片的不同方法，共有种 ；
（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片,
先选两名同学看同一部电影，再选看哪一部电影，
最后两名同学在剩余的三部电影中分别选一部观看，
所以不同的选择方法有种.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．140种 B．120种 C．35种 D．34种
【答案】D
【详解】由题意得：选出4人参会，总的选法共有种，选出4人均为男生的选法有种，则4人中既有男生又有女生的选法共有种，故选：D.
2．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．20 B．26 C．32 D．36
【答案】B
【详解】从个球中任取个球的取法共有种，两个球都不是红球的取法有种，所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为.故选：B.
3．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：两个女生必须相邻，捆绑，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，，所以不同的排法种数为：．
4．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D．种
【答案】D
【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法，接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法，最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法，
所以总的不同的安排方法有种.故选：D
5．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
D．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
【答案】D
【详解】A. 如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个整体，此时有种不同排法，选项A正确.B. 如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个整体，此时有种不同排法，选项B正确.C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，
此时有种不同排法，选项C正确.D. 如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时有种不同排法，选项D错误.故选：D.
6．(24-25高二下·四川南部中学·期中)用五个数字，可以组成无重复数字的三位偶数个数为（ ）
A．36 B．30 C．18 D．12
【答案】B
【详解】若个位排0，则此时有种，若个位不排0，则个位有2种选择，此时百位有3种选择，十位有3种选择，故共有种，故总的个数有种，故选：B
7．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)从这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【详解】因为百位数字不能为0，所以百位数有种排法；十位，个位无条件限制，可从剩余的4个数字（包含0）中任选2个进行排列，有种排法.这是组成一个三位数的两个步骤，由分步乘法计数原理可得，所有满足条件的三位数的个数为：.故选：C
8．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A．48 B．60 C．72 D．120
【答案】A
【详解】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，所以偶数的个数为.
故选：A.
9．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己6位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这6位专家的不同发言顺序共有 （ ）
A．240种 B．280种 C．480种 D．720种
【答案】C
【详解】排除甲乙外的4位专家有种方法，再将甲乙插入每种排法形成的5个间隔中，有种，
所以这6位专家的不同发言顺序共有: 种.故选：C
.10．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)某班级举行活动，同学们准备了四个节目：二胡、相声、小品、舞蹈，现对这四个节目的出场先后进行编排，要求相声和小品相邻，则不同的编排方式有（ ）种
A．6 B．12 C．24 D．32
【答案】B
【详解】依题，可将相声和小品节目看成一个节目，与二胡，舞蹈进行全排，再考虑这两个节目的顺序，
故不同的编排方式有种.故选：B.
11．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（ ）
A．1860 B．1320 C．1140 D．1020
【答案】C
【详解】由题意可知分为两类：第一类，2位女嘉宾只有一位被选中，则还需从6位男嘉宾里选出3位，然后全排列，所以不同的演讲顺序有，第二类，2位女嘉宾同时被选中，则还需从6位男嘉宾里选出2位，所以2位女嘉宾的演讲顺序不相邻的不同演讲顺序有，综上，不同的演讲顺序的种数是，故选：C.
12．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．384 B．486 C．216 D．208
【答案】C
【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂．当4盏宫灯分成2，2两份插空时,有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时,有种挂法；当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时,有1种挂法，所以共有种不同的挂法．故选：C
二、多选题
13．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)（多选）从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，先从40个能歌善舞的人中选择15个人有种选择，再从15个人参加艺术节表演中选择7个人唱歌有种选择，剩下的8人跳舞，共有种选择方式，A选项正确；先从40个能歌善舞的人中选择7个人唱歌有种选择，再从剩下33个人中选择8个人跳舞有种选择，共有种选择方式，B选项正确；先从40个能歌善舞的人中选择8个人跳舞有种选择，再从剩下32个人中选择7个人跳舞有种选择，共有种选择方式，C选项正确；不能满足从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，D选项错误；故选：ABC.
14．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）若五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排或，最右端不能排，则不同的排法共有42种
C．不相邻的排法种数为72种
D．按从左到右的顺序排列的排法有120种
【答案】ABC
【详解】A选项：把绑在一起，且在的右边，有种，A正确；B选项：若在最左端，则有种，若在最左端，则有种，共有种，B正确；C选项：先排，再把插入空中，有种，C正确；D选项：有种，D错误.故选：ABC
15．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)（多选）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种
C．甲乙不相邻的排法种数为70种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】AD
【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，故A正确；对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，故B错误；
对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，故C错误；
对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确．故选：AD
16．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)（多选）到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ）
A．所有不同的排法种数为120种
B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
【答案】ABD
【详解】对于A，5名同学排一排共有种不同排法，故A正确；对于B，相邻问题捆绑法，共有种排法，故B正确；对于C，先排甲，有3个位置可选，再排另外4人有种，共有种排法，故C错误；对于D，先将除了甲丙之外的三人排好有种，再插空甲丙有种，共有种排法，故D正确.故选：ABD.
17．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种
C．若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12
D．不等式的解集为
【答案】ABC
【详解】A.根据排列数的定义可知，可表示为，故A正确；
B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，可能的错误共有种，故B正确；
C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数种方法，故C正确；
D. 不等式，则，即，即，得，
且满足，解得，综上可知，，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
18．(24-25高二下·四川内江第六中学·期中)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________．
【答案】48
【详解】从2，4这两个字数字中选一个排在个位数，有 种，然后将剩余4个数字在其他位置全排列，有 种，所以偶数的个数为个，故答案为：48 .
19．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数的个数为__________．
【答案】
【详解】被整除的数个位为：或，个位数为时，符合题意的三位数有：个，个位数为时，符合题意的三位数有：个，符合题意的三位数共有个
20．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______.
【答案】720
【详解】由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，不同的安排方式有种，第二部对个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有种，故总的不同安排方式有种，故答案为720.
21．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种．
【答案】1440
【详解】先从剩余5种乐器中任选3种全排列，再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入全排的4个空中，
∴共有种．故答案为：1440
四、解答题
22．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
【详解】（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.即共有个.
（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个
（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个
23．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.
(1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；
(2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
(3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.
【详解】（1）先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法；
接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法；
最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法.
所以总的排法数为；
（2）从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2，
所以取法种数为；
（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3；
所以分堆种数为.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（ ）
A．90种 B．120种 C．150种 D．18种
【答案】A
【详解】由题意，先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班中，则不同的安排方法有(种).故选:A.
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（ ）
A．240种 B．180种 C．150种 D．540种
【答案】C
【详解】把5名学生分成2：2：1三组或3：1：1三组两种情况，
当5名学生分成2：2：1三组时，共有种结果，
当5名学生分成3：1：1三组时，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种.故选：C．
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村 口寨村 忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．900 B．600 C．450 D．150
【答案】C
【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生，所以可以分成1，2，3或2，2，2两类，
当6人分成1，2，3三组，有种分法，
当6人分成2，2，2三组，有种分法，
所以不同的安排方法种数为种，故选：C
4．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（ ）
A．42种 B．36种 C．6种 D．12种
【答案】B
【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种；
第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种；根据分类加法原理可得，共有种，故选：B.
5．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ）
A．24 B．80 C．72 D．96
【答案】D
【详解】至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：第一种，种植4种农作物，有种不同的种植方法；第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有种不同的种植方法．则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有种．故选：D.
6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．72 B．96
C．108 D．120
【答案】B
【详解】若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3＝72种涂色法；若1,3同色，有＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．
7．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．48 B．56 C．72 D．256
【答案】A
【详解】将四个区域标记为，如下图所示：，第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法.故选：A.
8．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ）
A．120 B．160 C．180 D．240
【答案】C
【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2=120种，C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3=60种，∴共有180种不同的涂色方案.故选：C.
9．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对
【答案】A
【详解】由题意，可得，，分别有4，3，2种方法，
（1）当与相同时，有1种方法，此时有2种，
①若与相同有有1种方法，同时有3种方法，
②若与不同，此时有2种方法，共有：种方法；
（2）当与相同时，有1种方法，此时讨论的3种方法，共有种方法；
（3）当既不同于又不同于时，有1种方法，共有种方法，
由分类计数原理，可得共有种方法．故选：A．
二、多选题
10．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三人，每人各2本，有540种分法；
B．分给甲 乙 丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
【答案】BD
【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故A错误；对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲 乙 丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确；对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法，
所以不同的分配方法有种，故C错误；对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故D正确.故选：BD.
11．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的四个区参加规培工作，下列选项正确的是（ ）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.
C．若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.
D．若这4名医生只能去两个区参加工作，且这两个区都必须有人去，则共有14种不同的安排方法.
【答案】ABD
【详解】对于A中，若四个区都有人去，共有种不同的安排方法，所以A正确；
对于B中，若恰有一个区无人去，共有种不同的安排方法，所以B正确；
对于C中，由甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，
若甲去区，则有种不同的安排方法；
若甲去区或区中的一个，此时乙有两种选项，则有种不同的安排方法，
由分步计数原理得，共有种不同的安排方法，所以C不正确；
对于D中，将4名医生分为两组，一组1个一组3个或一组2个一组2个，
再安排到两个区参加工作，共有，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．(24-25高二下·川泸州蔺阳中学·期中)甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种．
【答案】36
【详解】由题意可知，甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数有3，1，1和2，2，1两种可能，
①在3，1，1方案中，包含甲乙在内的3人到一所学校，另外两人各到一所学校，有种方案；
②在2，2，1方案中，甲乙去一所学校，其余3人中的1人去一所学校，剩余2人去另一所学校，有种方案，因此，所有的分配方案共有种，故答案为：36.
13．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)将5本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到1本书，且甲同学只得到1本书，则不同的分法总数为________.
【答案】
【详解】取1本书给甲，有种方法，再把余下4本书分成两组，不同分组方法有种，将分得的两组分给乙丙，有种方法，所以不同的分法总数为：.故答案为：70
14．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有____种不同的分配方案.
【答案】150
【详解】将套不同的实验器材分成组，有两种分法：按1，1，3分组：从套器材中选套为一组，其余套各为一组，共有种分法. 按2，2，1分组：从套器材中选套为一组，再从剩下的套中选套为一组，剩下套为一组，但这里有重复情况，需要除以消除重复，所以共有种分法.则将套不同的实验器材分成组，共有种分法. 将分好的组全排列分配到三个年级，将分好的组全排列，对应高一、高二、高三三个年级，共有种排法. 所以不同的分配方案共有种. 故答案为：150.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．90 D．270
【答案】C
【详解】的展开式的通项,令，则，则的系数为
故选：C
2．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．28 D．56
【答案】B
【详解】由题知,展开式的通项公式为，将含项记为,则,故含项的系数为，故选：B
3．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】展开式的通项公式为，所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列，所以，，即，整理可得，由题意可知，且，解得，故解得，二项式系数的最大值为．故选：.
4．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则项的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则为偶数，最大项为，则，所以，又因为二项展开式的通项公式为：，令，得，所以项的系数为：.故选：C
二、填空题
5．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)二项式的展开式中含的系数为_____（用数字作答）.
【答案】240
【详解】的第项为，令，得.
故答案为：240.
6．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)在的二项展开式中，的系数为______.
【答案】40
【详解】的展开式的通项公式为：，令，解得，
所以的系数是.故答案为：.
7．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为_____
【答案】
【详解】根据 的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，可得，所以展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故答案为：
8．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)在的展开式中，常数项是______.
【答案】15
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.
三、解答题
9．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知二项式（）.
(1)若，求展开式中的第项；
(2)若展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求展开式中的有理项.
【详解】（1）因为所以，
所以展开式中的第项为：
（2）由，
，
展开式中的有理项即为，又，且，所以当时为有理项，
即.
一、选择题
1．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)的展开式的二项式系数和为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】的展开式的二项式系数和为.故选：C
2．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知二项式，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,令，则，即，又，
所以，故选：D.
3．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知，则为（ ）
A．180 B．150 C．120 D．200
【答案】A
【详解】因，其通项公式为：，令，可得：.
故选：A
二、多选题
4．(24-25高二下·四川成都田家炳中学·期中)已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有项 B．二项式系数最大的项是第项
C．展开式的常数项为 D．展开式中各项的系数和为
【答案】BD
【详解】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误，对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正角，对于选项C，二项式的展开式的通项公式为，由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误，对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确，故选：BD.
5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)（多选）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第3项的二项式系数为 B．常数项为160
C．所有项的系数之和为 D．所有项的二项式系数之和为64
【答案】BCD
【详解】对于A，第3项的二项式系数为，故A不正确；
对于B，展开式的常数项为，故B正确；
对于C，取得展开式的所有项的系数之和为，故C正确；
对于D，由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，故D正确．
故选：BCD
6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】令，则，所以A正确；令，则，又，所以，，所以B正确，C错误；，
令，则，故D正确；故选：ABD．
7．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)（多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，令，可得，故A错误；对于B，令，可得，又，所以，故B正确；对于C，令，则，故C错误；对于D，因为令，可得，令，可得，两式相减得：，
所以，故D正确.故选：BD.
8．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)（多选）若，则下列选项是正确的有（ ）
A．二项式系数之和为128 B．展开式中含的系数为
C． D．展开式中系数的绝对值最大是672
【答案】ACD
【详解】对于选项A，根据二项式系数之和为.在中，，所以二项式系数之和为，故选项A正确. 对于选项B，在中，其展开式的通项为.令，则，故选项B错误. 对于选项C，表示的各项系数之和.令，可得，即，故选项C正确. 对于选项D，设第项系数的绝对值最大，则.由得，即，解得.由得：，即，解得.所以，又因为，所以.当时，，其绝对值为672，故选项D正确.故选：ACD.
三、填空题
9．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为______．
【答案】
【详解】因为二项式系数之和为64，则，则.则二项展开式通项为，令，解得，则含的项的系数为.故答案为：.
四、解答题
10．(24-25高二下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知．
(1)求的值；
(2)求的值（结果用数字表示）．
【详解】（1）在中，
令，得，所以.
在中，
令，得，
所以.
（2）∵的展开式的通项公式为，
∴.
11．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256.
(1)求的值；
(2)求展开式中含项的系数.
【详解】（1）令可得，展开式中各项系数之和为，且展开式中的二项式系数之和为，
由题意可得，解得.
（2）的展开式的通项为：，
令，解得，所以展开式中含项的系数为.
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