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专题10 期中复习填选压轴题综合（4大考点29题）
4大高频考点概览
考点01三角恒等变换
考点02解三角形
考点03平面向量
考点04 立体几何
一、单选题
1．(23-24高一下·江苏海门中学·期中)在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B．为锐角三角形
C． D．
6．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
三、填空题
7．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则_______.
8．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知，，则______．
9．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则______．

一、单选题
10．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
13．(24-25高一下·江苏沭阳高级中学等四校·期中)在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高一下·江苏常州·期中)在中，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ）
A．为锐角三角形 B．若，则
C．的最小值为 D．
16．(24-25高一下·江苏沭阳高级中学等四校·期中)如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题
17．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______
18．(24-25高一下·江苏句容·期中)已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______.
19．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________.
20．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______
21．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)在等腰中，，在内一点满足，则的值为_______．
一、多选题
22．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
二 、填空题
23．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则___________．（注：）

24．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)在中，为中点，，设与交于点，则_____．
25．(24-25高一下·江苏泰州中学·期中)已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________．
26．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____.
27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（ ）

A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C．当时，取得最小值
D．的最小值为
28．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使与平面相交 B．
C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为
29．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．当时，的最小值为
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专题11 期中复习解答题综合压轴题（5大考点38题）
5大高频考点概览
考点01平面向量综合压轴题
考点02三角恒等变换综合压轴题
考点03解三角形综合压轴题
考点04 复数综合压轴题
考点05 立体几何综合压轴题
1．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角.
(1)若非零向量满足，且，求的取值范围；
(2)若向量，且，求正数的值；
(3)已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求.
2．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心．
(1)求的值；
(2)点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围；
②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．
3．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P．
(1)求CM的长度；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值，并求此时的余弦值．
4．(23-24高一下·江苏苏州常熟·期中)如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．

(1)求向量，的仿射坐标；
(2)当时，求；
(3)设，若对恒成立，求的最大值．
5．(23-24高一下·江苏盐城东台第一中学·期中)定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
6．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)设单位圆上三点、、等分圆周，为圆上一点，定义：为“距积”，为“距和”．
(1)为便于解答（2）、（3），请你选择合适的变量表示出、、；
(2)求“距和”的最大值；
(3)求“距积”的最大值．
7．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)已知函数．
(1)求的对称中心；
(2)若，求的值；
(3)记，集合，试判断集合Q中最多有几个正整数元素，并求正整数元素最多时实数m的取值范围．
8．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示；
(2)求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为且，求证：．
9．(24-25高一下·江苏苏州·期中)已知函数是正整数，.
(1)求函数的值域；
(2)记，解不等式；
(3)当时，求的最大值和最小值.
10．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有相异两解，.
①求实数m的取值范围；
②当时，函数取最大值，设，求.
11．(24-25高一下·江苏南京、镇江、徐州联盟校·调研)定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
(1)若，，求最大值及对应的取值集合；
(2)若向量的“积函数”满足，求的值；
(3)已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
12．(23-24高一下·江苏扬州中学·期中)已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)当时，设，求证：函数有且只有一个零点；
(3)当时，若实数使得对任意实数恒成立，求的值.
13．(23-24高一下·江苏泰州中学·期中)由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求的值；
(2)化简；并利用此结果求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.
14．(23-24高一下·江苏沭阳高级中学·期中)由倍角公式 ，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有. 可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 多项式使得使得 ，这些多项式称为切比雪夫(P. L. Tschebyscheff)多项式.
(1)请求出， 即用一个的四次多项式来表示;
(2)利用结论，求出的值；
(3)证明: .
15．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到．
(1)若，求的值；
(2)射线上的点满足．
①求；
②求的最小值．
16．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
17．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.

(1)若，，求线段的长度;
(2)若，求线段的最大值;
(3)若平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
18．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)在中，角A，B，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)点在边上，，．
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值．
19．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)如图，已知在平面四边形中，，，．

(1)若平分，求的长；
(2)设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
20．(24-25高一下·江苏常州高级中学、江苏溧阳中学·期中)在锐角中，记的内角，，的对边分别为，，，，点为的所在平面内一点，且满足．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
21．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在中，角所对的边分别为．已知．
(1)求角；
(2)设为边上一点，记，的面积分别为，若，且．
①求；②求的值．
22．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)已知锐角三角形的内角所对的边分别为，若向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若点在边上，平分，.试求长的最大值.
23．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若且，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围.
24．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，
(1)当时，求四边形的周长；
(2)用表示四边形的面积，并求其面积的最大值；
(3)求的最大值，并指出此时的值．
25．(24-25高一下·江苏东台·期中)在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，为的重心，已知，.
(1)求的大小；
(2)若，求；
(3)求的取值范围.
26．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)如图，已知的三边，，所对的角分别为，，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结.

(1)若.求证：；
(2)若，，求：
（i）的值；
（ii）面积的最大值.
27．(24-25高一下·江苏苏州苏州工业园区星海实验高级中学·期中)法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，的内角的对边分别为，，以为边向外作三个等边三角形，其中心分别为.
(1)求角；
(2)若，且的周长为9，求；
(3)若的面积为，求的角平分线的最大值.
28．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，，为边上两点，，，．
(1)若，，，用，，的三角函数值表示的值；
(2)若，，求的值；
(3)若，．
①求的值；
②求面积的最大值．
29．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角和；
(2)已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且.
①若，求的周长；
②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
30．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：

(1)当，且时，求；
(2)角，，所对的边分别为，，，，求证：；
(3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域．
31．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)记的面积为S，且满足．
①求角B；
②若为锐角三角形，且，求的取值范围．
(2)对于，若存在，使得，，则称为的伴随三角形．若存在伴随三角形，试求出三个内角中的最大值．
32．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）
(1)若，且，求的值；
(2)求证：；
(3)是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.
33．(24-25高一下·江苏高邮·期中)“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若，求的值；
(3)若，，求实数的最小值.
34．(24-25高一下·江苏常州·期中)对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”.
(1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围；
(2)若，，复数组是否存在“长复数” 给出你的结论并说明理由；
(3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数” 若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.
35．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值．
36．(23-24高一下·江苏无锡江阴四校·期中)如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，．
(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)证明：平面；
(3)求三棱锥的体积．
37．(23-24高一下·江苏如皋·调研)如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点．
(1)证明：；
(2)若，直线与直线所成角的余弦值为．
（ⅰ）求直线与平面所成角；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
38．(23-24高一下·江苏无锡第一中学·期中)在直四棱柱中，底面为平行四边形， ，分别为线段的中点.

(1)证明：；
(2)证明：平面//平面；
(3)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积．
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专题10 期中复习填选压轴题综合（4大考点29题）
4大高频考点概览
考点01三角恒等变换
考点02解三角形
考点03平面向量
考点04 立体几何
一、单选题
1．(23-24高一下·江苏海门中学·期中)在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得.
【详解】因为，则由正弦定理得，
又，
所以，
则，
又，，则
所以或，即或（舍去），
则，
所以，解得，则，
所以
，
所以的取值范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到、，最后将转化为关于的三角函数.
2．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先对函数化简变形为，令，解得或，由，求出范围，再由在上恰有1个零点，得，从而可得的取值范围.
【详解】
令，则，所以或，
因为，所以，
因为在上恰有1个零点，所以，解得．
故选：B
3．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角.
【详解】由余弦定理得，即，
∵，∴，∴，
由正弦定理得，
∴，
即，
∴，
∵，∴，∴，∴，
又，
即，由得，
∵，，所以，即，
由，即，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角.
二、多选题
4．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件，利用正弦和差角公式，即可求解；对于B，根据条件，利用正弦定理边转角和余弦定理，即可求解；对于C，根据条件得，再利用辅助角公式，即可求解；对于选项D，利用、和差角公式及倍角公式，得到，从而有，构造函数，，求出的取值范围，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，又，
所以，得到，
又三角形为锐角三角形，所以，，
则，得到，所以选项A正确，
对于选项B，由，得到，
整理得到，所以选项B正角，
对于选项C，因为，又由选项A知，
所以，得到，所以，
又，所以，
则，所以选项C错误，
对于选项D，由选项C知，，
又
则，
设，令，
则，易知在上单调递增，
所以，即，
则，所以的取值范围是，故选项D正确，
故选：ABD.
5．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B．为锐角三角形
C． D．
【答案】ABD
【分析】先根据二倍角公式化简已知条件，再结合三角函数,正余弦定理的性质逐一分析选项.
【详解】已知，根据二倍角公式，可得，则，即.
因为，所以，可得.
则，可得.
因为，所以，，两边同时除以，可得，故A选项正确.
由，可知与同号，又因为，所以B,C都是锐角.
，所以也是锐角，因此为锐角三角形，故B选项正确.
因为，所以（当且仅当时取等号）.
，因为在上单调递增，且，所以，故C选项错误.
根据余弦定理，由，可得.
，因为（当且仅当时取等号），所以.
又因为，所以，当且仅当且时取等号，而不成立，所以，故D选项正确.
故选：ABD.
6．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D.
【详解】由正弦边角关系有，
所以，又且，
所以，A对；
由上，可得，B错；
对于C，如下图示，设，则，，
由，则，且，则，
所以，
而，且，则，所以，C对；
由，
而，且在上单调递增，则值域为，D对.
故选：ACD
三、填空题
7．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则_______.
【答案】
【分析】设，，根据已知构建合适的直角坐标系，得，若轴，，得，应用差角正切公式列方程求得，再应用余弦定理、三角形面积公式得，即可得.
【详解】设，，构建如下图示直角坐标系，其中为原点，
且，若轴，，如上图示，
易知，则，
由，
所以，整理得，解得，
所以，，
由，即，
，，
所以.
故答案为：
8．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知，，则______．
【答案】
【分析】先根据的范围求出的范围，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后结合二倍角公式和诱导公式求出的值.
【详解】已知，则，所以.
又因为，所以.
根据三角函数平方关系，可得：
可得：
因为，所以.
再根据二倍角公式，可得：
①
又因为 ②
联立①②求解，因为，所以，.
由①得，代入②可得：
设（），则，两边同时乘以得：
，解得或，即或.
由于，则可以再缩小，因此.
因此.由于，
而 ，
，
则.
故答案为：.
9．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则______．

【答案】
【分析】取中点，连，，设，，有，，，，根据已知及和角正弦公式得，再应用平方关系、二倍角余弦公式得，最后用余弦定理求线段长度.
【详解】取中点，连，，易知，，
设，，故，，

则，，，，，
所以，，
平方后求和，得，，
所以，则，
.
故答案为：
一、单选题
10．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题设，结合辅助角公式求出，由余弦定理得到，由题干条件结合余弦定理表示出，对转化成，然后三角代换后即可求解.
【详解】根据，由辅助角公式，，即，
又，则，即，
在中，由余弦定理可得，
如图可知，，
在中，由余弦定理，，
由可得，
设，则，
不妨取，由图可知，
又，进而解得，
由代入的表达式中可得，
.
当时，，
则
故选：B

11．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，
由余弦定理可得，
所以，所以，
又，所以，
又，
所以，
所以
，
所以当，即时，取得最大值，且.
故选：D
12．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在图2中连接，在和中，分别利用余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，两式平方相加，由两角差的余弦公式，即可求出的余弦值.
【详解】如图，连接，
因为，
在中，由余弦定理得，
则，
在中，由余弦定理得，
则，
所以，
即，①
因为，
，
所以，②
则①式和②式分别平方并相加得：
，
则，所以，
即的余弦值为.
故选：A.
13．(24-25高一下·江苏沭阳高级中学等四校·期中)在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果.
【详解】依题意，由正弦定理可得，即；
所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
又，且，
可得，；
易知
；
显然，由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以可得.
故选：D
14．(24-25高一下·江苏常州·期中)在中，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解.
【详解】
由，，则，，
在中，有，
即，即，
有，
故，，
，
则
，
其中，，
则当，即时，有最大值，
由，则，由，则，
故可取，故有最大值.
故选：D
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
二、多选题
15．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ）
A．为锐角三角形 B．若，则
C．的最小值为 D．
【答案】BCD
【分析】由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D.
【详解】对于A，由可得，
则或，即或，
因为三角形为斜三角形，若，则，，
不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误；
对于B，由正弦定理可得，则，
所以，故B正确；
对于C，由，可得，
且，则，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由C可知，，
则，
令，
由可得，则，
所以，故，
且，
所以，
当时，取得最大值，
当或时，最小值为，
所以，故D正确；
故选：BCD
16．(24-25高一下·江苏沭阳高级中学等四校·期中)如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】在中利用余弦定理解方程可求得，即判断A正确，根据圆内接四边形的性质以及余弦定理可求得，分别求出即可得B正确，由余弦定理的推论计算可得C错误，利用三角恒等变换以及二倍角公式计算可得D正确.
【详解】对于A，在中，由可得;
由余弦定理可得，即；
整理可得，解得或（舍），即A正确；
对于B，由圆内接四边形的性质可知，
所以，
在中，由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍）；
易知，所以，即B正确；
对于C，在中，易知，
所以，即C错误；
对于D，易知，所以；
由C可知；
；
所以，即D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆内接四边形的性质以及余弦定理计算出线段长，再结合二倍角以及三角恒等变换计算即可.
三、填空题
17．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______
【答案】
【分析】在三角形中过作于，求出，再利用余弦定理解出，进而可求解.
【详解】
如图，过作于，的最小值为，
，得到，
又为锐角，，
，不妨设，
则，
，.
故答案为：.
18．(24-25高一下·江苏句容·期中)已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______.
【答案】
【分析】根据题意建系，设取，，由图可得，由题得，，由正弦定理可得，再利用向量数量积的定义将所求式化成关于角的正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可求得答案.
【详解】

如图，建立平面直角坐标系，设点取，
满足则，取，连接，则，依题意，
记中角所对的边分别为，由正弦定理，，
则得，
由
，因，故，
故当，即当时，取得最大值1，
此时取得最大值为.
故答案为：.
19．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________.
【答案】
【分析】根据给定条件，设，利用正弦定理把表示成的函数，再利用正弦函数的性质及三角形面积公式求出最大值.
【详解】由，，，得，
设，，当时，重合，，；
当时，重合，，；
当时，，，，
在中由正弦定理，即，则，
在中由正弦定理，即，则，
于是
（其中锐角由确定），
当且仅当时取等号，而，
因此，，
所以三角形的面积的最大值是.
故答案为：
20．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______
【答案】
【分析】设，，通过角平分线定理得出，再利用中垂线过点 M，可得出与相似，从而得出，结合三角形性质和余弦定理即可求解.
【详解】设，，根据角平分线定理得，
所以，，
因为线段AB的中垂线过点 M，所以，,
所以与相似，所以，即，化简为，
因为，所以，
所以，
.
故答案为：，
21．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)在等腰中，，在内一点满足，则的值为_______．
【答案】/
【分析】利用余弦定理求出，继而利用三角形相似求出,设，，在和中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求出t的值，即可求得答案.
【详解】在等腰中，,
则，
即，设，则；
，结合知,
可得，则∽，
故，而，，
故,
设，在和中，利用余弦定理可得：
，,
即，，
两式相减，则，
在中，利用余弦定理可得：,
即，
即得，则，
故答案为：
一、多选题
22．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
【答案】BCD
【分析】根据已知得是边长为2的等边三角形，且，由投影向量的定义及向量的线性关系判断A；由题设在中边的中线上，进而有判断B；应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化，进而得到，结合有，即可得判断D.
【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且，
A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错；
B：当时，，即在中边的中线上，
又为等边三角形，故，即，对；
C：当时，，则，
所以，
所以，即，又，故（负值舍），对；
D：,
由，即①，
所以，要使该值最大，只需最小，
由①得，则，所以，对.
故选：BCD
二 、填空题
23．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则___________．（注：）

【答案】
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，分别表示出的坐标，再由相似表示出的坐标，结合向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】

建立如图所示平面直角坐标系，则，
由是边的两个三等分点，可得，即，
则，即，
则，，
则，
，
结合图像可知，且，
则，同理可得，
则，
，
且，，
则，同理可得，
则，
，
则，
，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的数量积运算，难度较大，解答本题的关键在于建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算解答.
24．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)在中，为中点，，设与交于点，则_____．
【答案】/
【分析】以、为基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论求出，即可求出，，即可得解.
【详解】因为，
所以，
由三点共线，可设，
所以.
又三点共线，所以，
又、不共线，所以，解得，
所以，又，
，
所以，即.
故答案为：
25．(24-25高一下·江苏泰州中学·期中)已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】根据已知可得出.进而作图推得，点的轨迹为以为圆心的圆.过点，作，垂足为，交圆于点，结合图象分析即可得出即为的最小值.根据已知条件计算即可得出答案.
【详解】由已知可得，所以.
设，，，，，，
则，，，
所以有，，则，
所以点的轨迹为以为圆心的圆.
过点，作，垂足为，交圆于点，
根据图象可得出即为的最小值.
在中，有，，
所以有.
又，所以.
故答案为：.
26．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____.
【答案】
【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可.
【详解】
如图，延长交于点，过点作于点，作于点.
因点，分别是知的重心和外心，则，,
则，则
，
即得，
又由和，可得，
整理得，解得，
因，
则，
即边的长为.
故答案为：.
27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（ ）

A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C．当时，取得最小值
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】A根据平面的基本性质画出截面，结合正方体的结构特征判断；B根据已知确定球心的位置并求得球体半径为3，再由几何关系判断的位置判断；C将面展开与面在同一平面上，利用平面上两点距离最短判断；D画出示意图，找到关于面对称的点在线段上，进而确定最小时对称点的位置，即可判断.
【详解】A：延长交于，连接并延长交于，连接交于，
连接，则平面截正方体的截面为，根据作图易知，
所以有，为线段中点，则为线段中点，
结合平面的基本性质及正方体的结构特征知且，则为平行四边形，对；

B：由外接球的球心必在正方体上下底面中心连线上，如下图示，

所以球体半径为，则，得，
则到下底面距离，又在线段上运动，
所以在下底面上方，则，显然不存在这样的点，错；
C：将面展开与面在同一平面上，如下图，

当为与的交点时，最小
，对；
D：如下图，线段关于面的对称线段为，它们的交点为，
则在平面中， 且，
则关于面对称的点在线段上，
若对称点为，连接，则，
若与的夹角为，则，所以，
若，则，此时不在线段上，不符；
所以，即最小为，错.

故选：AC
28．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使与平面相交 B．
C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】证明平面平面，即可得平面判断A；应用线面垂直的性质和判断证明平面判断B；根据线面角的定义及平面，到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值为，确定最小值判断C；将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D.
【详解】由正方体知，则为平行四边形，故，
由平面，平面，则平面，
同理可得平面，且都在平面内，
所以平面平面，平面，则平面，A错；
由平面，平面，则，又，
由且都在平面内，则平面，平面，
所以，同理可证，而且都在平面内，
所以平面，平面，则，B对；
由上平面，而到平面的距离，
而，则到平面的距离，
所以与平面所成角的正弦值为，
要使正弦值最大，只需最小，当时，有最小，
所以最小正弦值为，C对；
将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示，
当且仅当共线时，最小，
而，，故，D对.
故选：BCD
29．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．当时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解.
【详解】对A，当时，，为中点，
∵是中点，∴ ，又，所以，
即可得平面，故A正确；
对于B，如图延长交与H，连接交与I，
易知当时，I在线段上，截面如图为梯形，
当时，I在延长线上，截面如图为五边形，
所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形，
故B正确；
对于C，当时，为中点，
∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形，
正方体边长为1，故截面正六边形边长为，
面积，
故C错误；
对于D，当时， ，∴ 四点共面，
如图对平面和平面沿进行展开，
四边形为等腰梯形，，
∴高，
又三角形为等腰三角形，，
∴高，
∴，又，所以的最小值为，故D正确；
故选：A B D.
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