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专题01 导数基础篇（7大考点65题）（解析版）
7大高频考点概览
考点01导数的概念
考点02导数的运算
考点03切线问题
考点04 单调性
考点05 极值问题
考点06 最值问题
考点07 导数与不等式
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．2
2．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)设函数在处存在导数为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，则当自变量由1变化到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3
二、填空题
5．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设定义在R上的函数的导函数为_________．
6．(24-25高二下·江苏镇江·期中)已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个______．
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)如果质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则该质点在的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．81
2．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
4．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)已知函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
6．(24-25高二下·江苏徐州·期中)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)定义方程的实数根x叫做函数的“新驻点”.若函数. h(x)= lnx的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则__________．
11．(24-25高二下·江苏扬州第一中学·期中)若函数，则__________.
12．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知函数满足，则________．
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
2．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)若函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
4．(24-25高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数______.
5．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)已知函数，则在处的切线方程为__________.
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·江苏镇江·期中)已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)已知函数 在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．(24-25高二下·江苏高邮·期中)若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．过点作函数的切线，有且只有三条
C．若，则有
D．
13．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
14．(24-25高二下·江苏睢宁县菁华高级中学·期中)已知，且，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
15．(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．在与处的瞬时增长率相同
B．在上不单调
C．可能为奇函数
D．
三、填空题
16．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)设函数，则满足的x的取值范围是__________.
17．(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为______．
18．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·)已知函数，且，则实数的取值范围是_______________.
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若函数在处取得极小值，则实数a的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或9
2．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设定义在上的函数的导函数为，若对，均有，且，则（ ）
A． B．
C． D．是函数的极小值点
二、解答题
6．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数在处的切线垂直于直线．
(1)求的值；
(2)求的极值．
7．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知函
(1)若为的一个极值点，求的值；
(2)若，求的极值；
(3)若函数的图象关于点对称，求的值.
8．(24-25高二下·江苏苏州苏州工业园区星海实验高级中学·期中)设函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．

0
单调递减 极小值 单调递增
9．(24-25高二下·江苏睢宁县菁华高级中学·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的极值点．
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
2．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若恒成立，则实数a的取值范围为________.
6．(24-25高二下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数，的导函数为，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_____.
7．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________.
8．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为______．
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·江苏常州·期中)设，则（ ）
A．的极大值为1 B．与有不同的极大值
C．时， D．时，
二、多选题
3．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有三个零点
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数关于点对称
D．当时，若，则
4．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)已知函数的两个零点分别为且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
5．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B．为定值
C．为定值 D．
三、填空题
6．(24-25高二下·江苏徐州·期中)若恒成立，则实数______．
四、解答题
7．(24-25高二下·江苏扬州邗江区·期中)已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)若是函数的极值点，求证：．
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专题01 导数基础篇（7大考点65题）
1．D
2．C
3．C
4．B
5．4050
6．（答案不唯一）
1．C
2．C
3．D
4．C
5．A
6．C
7．D
8．C
9．ABD
10．
11．
12．
1．B
2．C
3．
4．
5．
1．A
2．D
3．B
4．D
5．D
6．B
7．D
8．B
9．B
10．B
11．C
12．ACD
13．BC
14．BCD
15．ACD
16．
17．
18．
1．A
2．D
3．B
4．B
5．C
6．(1)
(2)极大值为，极小值为
7．(1)
(2)，
(3)
8．(1)；
(2)单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值.
9．(1)
(2)由，，得，
当时，，函数在上单调递增，无极值点；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，无极大值点.
综上所述，当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有极小值点，无极大值点.
1．C
2．B
3．B
4．B
5．
6．
7．
8．
1．D
2．D
3．BCD
4．ACD
5．ACD
6．/
7．(1)
(2)
(3)解：由，可得，
令，可得在上恒成立，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
因为是的极值点，所以存在使得，即，
又由，所以，
则，
所以.
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专题01 导数基础篇（7大考点65题）（解析版）
7大高频考点概览
考点01导数的概念
考点02导数的运算
考点03切线问题
考点04 单调性
考点05 极值问题
考点06 最值问题
考点07 导数与不等式
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据条件，利用导数的定义，即可求解.
【详解】根据导数的定义可知，
，
故选：D
2．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)设函数在处存在导数为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义直接求得.
【详解】.
故选：C.
3．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据平均变化率公式计算可得.
【详解】因为，则，，
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
4．(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，则当自变量由1变化到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3
【答案】B
【分析】利用平均变化率的定义求解即可.
【详解】当自变量由1变化到1.1时，
，，
则，则平均变化率是.
故选：B
二、填空题
5．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设定义在R上的函数的导函数为_________．
【答案】4050
【分析】根据导数的定义得到.
【详解】.
故答案为：4050
6．(24-25高二下·江苏镇江·期中)已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用平均变化率的定义计算即可.
【详解】设，
则，
令，解得.
所以可以取任意实数，不妨取，
则从1到的平均变化率为.
故答案为：（答案不唯一）.
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)如果质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则该质点在的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．81
【答案】C
【分析】利用导数的物理意义求解.
【详解】因为，.
又瞬时速度就是位移对时间的导数.
所以该质点在的瞬时速度为 m/s.
故选：C
2．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意可得，即可求出，从而求出切点坐标，再代入切线方程计算可得.
【详解】由，则，设切点为，则，解得，
所以切点为，则，解得.
故选：C
3．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】设切点，求导，根据导数几何意义得到方程，求出，得到切线方程，故，所以，求出最小值.
【详解】设切点为，，
故，所以，
所以切线方程为，
又，故切线方程为，即，
所以，
所以，
故当时，的最小值为2.
故选：D
4．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算法则逐一验证即可.
【详解】由，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
5．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)已知函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】求导再求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A.
6．(24-25高二下·江苏徐州·期中)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先对函数求导，结合已知定义即可求解．
【详解】因为，，
所以，，，
若，
由，解得
故选：C
7．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)定义方程的实数根x叫做函数的“新驻点”.若函数. h(x)= lnx的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出给定的各函数的导数，再根据给定条件确定，，的值或所属区间即可得解.
【详解】由得，解方程，即，即；
由得，解方程，即，得，即；
由得，解方程，即，令，显然在单调递增，
，则存在，使得，即；
所以.
故选：D
8．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，可得，
令，解得或（舍去），则，
所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
所以点到直线的距离的最小值为.
故选：C.
二、多选题
9．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
10．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则__________．
【答案】
【分析】利用题中给出的定义，得到的拐点为，从而得到的对称中心为，即，由此分析计算即可．
【详解】因为函数，
则，，
令，解得，且，
由题意可知，的拐点为，
故的对称中心为，
所以，
所以．
又，
所以
故答案为：.
11．(24-25高二下·江苏扬州第一中学·期中)若函数，则__________.
【答案】
【分析】根据导数的加法法则得出，再求其在处的函数值.
【详解】因，则，
则.
故答案为：
12．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知函数满足，则________．
【答案】
【分析】先求，将代入可求解，进而得到的解析式，令即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，解得，
所以，所以.
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求导函数，把点的横坐标代入导函数即可求解．
【详解】由，
可得，
故在点P处切线的斜率为
故选：B
2．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数导数的几何意义，逐一判断选项即得.
【详解】由直线可知，其斜率为.
对于A，由可得，即该曲线上的任何点的切线斜率均为非负数，故A错误；
对于B，由可得，原因同上可知B错误；
对于C，由可得，因有解，故C正确；
对于D，由可得，即无解，故D错误.
故选：C.
二、填空题
3．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)若函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】利用导函数求得即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果.
【详解】由，得，
则点处的切线的斜率，
故曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：
4．(24-25高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数______.
【答案】
【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.
【详解】易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，
解得.
故答案为：
5．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)已知函数，则在处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】先求函数定义域，再用导数几何意义求出切线斜率，之后求出点坐标，点斜式解出切线方程并化为直线的一般式即可.
【详解】由题意知：，，
，则切线斜率，
又，所以，
所以在点处的切线方程为：，
即.
故答案为：.
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，解得，
函数的单调减区间是，
故选：A
2．(24-25高二下·江苏镇江·期中)已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，不等式对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数在区间上为增函数，
所以，不等式对任意的恒成立，即，
当时，，所以，，
即实数的取值范围是.
故选：D.
3．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，利用导数可判断函数得单调性，由已知条件可得函数的零点，由此可解得不等式.
【详解】令，则，
因为，
所以，
所以，即在上单调递增，
又，所以，
故当时，，即，
整理得，两边同除以，即可得，
所以当且仅当时，，
所以的解集为.
故选：B.
4．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设函数，结合导数与单调性关系先判断的单调性，然后判断奇偶性，即可求解．
【详解】设函数，则，
因为是上的奇函数，所，
所以是上的偶函数，，
因为当时，，
所以，即在上单调递减，
因此在上单调递增，
所以，，
当，原不等式可化为，即，解得，
当，原不等式可化为，即，解得，
综上所述，.
故选：D
5．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)已知函数 在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本道题目先计算导数，然后结合题意，构造新函数，计算最大值，即可．
【详解】，在恒成立，
故得到在上恒成立，故单调递减，.
所以，故的范围为，
故选：D．
6．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
由函数在区间上单调递减，可得在上恒成立，
则要使在上恒成立，只需，
即，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
7．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件考虑构造函数，利用导数证明函数在上单调递增，结合单调性判断BD，因为，由此可得，取，判断的单调性，判断A，取，判断的单调性，判断C.
【详解】因为，
又，
所以，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，所以，B错误，
因为，所以，所以，D正确，
因为，
故， 又，
所以，
所以 ，故，
所以，
当时，，所以函数在上单调递增，
又，所以，所以，所以A不一定正确；
因为，所以，
所以，
设，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以若，则，
取，可得当时，，
所以当，时，，函数在上单调递减，
所以，所以C不一定正确；
故选：D.
8．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，则在上恒成立，结合指数函数的性质计算可得.
【详解】因为，所以，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，
又在上单调递增，当时，
所以，即的取值范围是.
故选：B
9．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用公切线与隐零点，将问题转化为关于公切点的对勾函数求值域问题，即可得到答案.
【详解】原不等式等价于，由图可知

若满足题意，只需小于与两个函数相切时的的值即可，
设公切点为，因为，，
所以，所以，所以，
令，所以，所以单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
所以，令，则，
根据对勾函数的性质知单调递减，
所以，所以正整数的最大值为.
故选：.
10．(24-25高二下·江苏高邮·期中)若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意有解，分离参数利用有解法则化为，结合，利用二次函数性质求得，即可得解.
【详解】因为，
所以，
因为函数在存在单调减区间，所以有解，
即有解，则，
又，且，
当时，，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故选：B
11．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，求出导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】因为，所以，
令，则，所以在上单调递减，
不等式，
当时，等价于，即，
所以，解得；
当时，等价于，即，
所以，解得；
当时，即成立；
综上可得不等式的解集是.
故选：C
二、多选题
12．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．过点作函数的切线，有且只有三条
C．若，则有
D．
【答案】ACD
【分析】A通过导函数研究函数单调性，结合图象即可判断；B设切点，求出切线方程，将点代入，求其方程根的个数即可判断；C计算即可判断；D化简即可判断
【详解】，则，
则或；，
故在上单调递增，在单调递减，
，
因为直线与函数的图像有3个不同的交点，所以，故A正确；
设切点为，斜率，
则切线方程为，
将点代入得，得或，
则过点作函数的切线有2条，故B错误；
，则C正确；
由题意得的三个不同的根为，
，
则，故D正确.
故选：ACD
13．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【答案】BC
【分析】构造，根据条件，判断函数的单调性，再结合函数的单调性得到相应的不等式以判断各个选项的正确性.
【详解】设，.
则.
所以在上单调递增.
对A：由，故A错误；
对B：由，故B正确；
对C：由，故C正确；
对D：当时，，所以，故D错误.
故选：BC
14．(24-25高二下·江苏睢宁县菁华高级中学·期中)已知，且，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】原式变形为，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合不等式的性质逐项分析判断.
【详解】由，，得，则，
令函数，求导得，函数在上单调递减，
不等式，因此，
对于A，由，得，，A错误；
对于B，由，得，，B正确；
对于C，由，得，C正确；
对于D，，D正确.
故答案为：BCD
15．(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．在与处的瞬时增长率相同
B．在上不单调
C．可能为奇函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据给定的导函数图象及性质，结合瞬时增长率、单调性判断AB；举例说明判断C；借助导数在上的单调性质确定在上的凹凸性判断D.
【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得，
因此在与处的瞬时增长率相同，A正确；
对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误；
对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确；
对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数，
因此，即，D正确.
如图，在凹函数定义域内，观察图象得.
故选：ACD
三、填空题
16．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)设函数，则满足的x的取值范围是__________.
【答案】
【分析】构造函数，确定函数单调性及奇偶性，利用函数性质来解不等式即可得答案.
【详解】，
设，
又，为上的奇函数，
，
在上单调递增，
又，
，
，，
又∵为上的奇函数，
，
又在上单调递增，，即，
故的取值范围是．
故答案为：
17．(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为，
所以，
所以函数是上的增函数，
因为，所以，
则不等式等价于，
即，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
18．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·)已知函数，且，则实数的取值范围是_______________.
【答案】
【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可.
【详解】令，定义域为，
，
所以为奇函数，
又，
当时，令，
则有，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性.
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若函数在处取得极小值，则实数a的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或9
【答案】A
【分析】先求，由题意得解得，根据的值检验在处取得极小值即可.
【详解】由得
函数在处取得极小值， 解得或
①当时，
则当或时，，当时，，
所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为，
所以当时，函数取得极小值，所以符合题意.
②当时，
则当或时，，当时，，
所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为，
所以当时，函数取得极大值，不合题意.
故选：A.
2．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点.
【详解】由图知上，上且仅有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为.
故选：D
3．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意有两个不同正根，即有两个不同正根，则，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
又，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根（不妨设为），
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：B.
4．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数导数，将问题转化为存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】由题意知的定义域为，
则，
由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根，
即存在大于1的解，即存在大于1的解，
而时，随x增大而增大，故，
故，
故选：B
5．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设定义在上的函数的导函数为，若对，均有，且，则（ ）
A． B．
C． D．是函数的极小值点
【答案】C
【分析】由，取可求，当时，化简可得，由此可得，结合原式和求，再求导数判断B，求判断C，求极值点判断D.
【详解】因为，
所以当时，由可得，，A错误；
当时，，
所以当时，，
所以当时，，为常数，
所以当时，，
因为，所以，
所以，故当时，，
因为满足关系，
所以，，又，
所以，，
所以，故，B错误；
因为，，所以，，
所以，C正确；
因为，令可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以是函数的极小值点，D错误；
故选：C.
二、解答题
6．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数在处的切线垂直于直线．
(1)求的值；
(2)求的极值．
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）求直线的斜率，根据切线与直线垂直可得切线斜率，再结合导数的几何意义及导数运算列方程求.
（2）由（1）确定函数及其导函数，求的零点，分区间确定导数的取值规律，再确定极值.
【详解】（1）因为直线的斜率为，
又函数在处的切线垂直于直线，
所以函数在处的切线斜率为，
所以，
由，
所以，
解得；
（2）由（1）知，，
则，
令，可得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故当时，取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为．
7．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知函
(1)若为的一个极值点，求的值；
(2)若，求的极值；
(3)若函数的图象关于点对称，求的值.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，求出参数的值，再检验即可；
（2）求出函数的导函数，即可得到单调区间，从而求出函数的极值；
（3）依题意可得，从而得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为，所以，
依题意，解得，
此时，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递增，
所以在处取得极大值，符合题意；
（2）当时，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递增，
所以在处取得极大值，即，
在处取得极小值，即；
（3）因为，则，
又函数的图象关于点对称，
所以，即，
即，
所以，解得.
8．(24-25高二下·江苏苏州苏州工业园区星海实验高级中学·期中)设函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．
【答案】(1)；
(2)单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值.
【分析】（1）利用导函数求得切点处切线的斜率，结合切点坐标，可得切线的点斜式方程，整理成一般式方程即可；
（2）利用导函数值的正负得到函数的单调区间，并求出极值.
【详解】（1）
，又，
曲线在点处的切线方程为，即.
（2）令，得.
列表如下

0
单调递减 极小值 单调递增
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
的极小值为，无极大值.
9．(24-25高二下·江苏睢宁县菁华高级中学·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的极值点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）先求解函数的单调性，进而求解极值点．
【详解】（1）由，
得，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由，，得，
当时，，函数在上单调递增，无极值点；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，无极大值点.
综上所述，当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有极小值点，无极大值点.
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】通过分析与的符号情况，结合临界值，进行、、三类讨论，即可得出恒成立，等价于，然后构造函数，利用导数即可求解.
【详解】要使得在上恒成立，则，且无变号零点，
分析与的符号情况如下：
当时，，当时，，令，即，
①当时，，所以且，又，所以
所以，满足题意；
②当时，，所以且，又，所以
所以，满足题意；
③当时，，所以且，又，所以
所以，满足题意；
综上，当时，在上恒成立.
所以，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，即
故选：C
2．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先同构不等式，并构造函数，根据函数的单调性，转化为，再根据参变分离转化为最值问题.
【详解】由，可知，，，
则，即，
设，，得，
当时，，单调递增，
，，则，则，
则，恒成立，
设，，令，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
则.
故选：B
3．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】问题化为，构造并用导数研究函数的单调性得，将目标式化为，再构造，最后应用导数求其最大值，即可得.
【详解】因为，分别是函数与的零点，
所以，则，即，
又，，所以，．
设，则，
所以在上单调递增，所以，则，
所以，则．
设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，，
所以的最大值为．
故选：B
4．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意分离参数可得，设，，，利用导数求出函数的最大值即可得解.
【详解】由对于任意正实数，都有，
可得，
设，，，
则，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
故时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
故选：B.
二、填空题
5．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若恒成立，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围.
【详解】由，原不等式等价于
令 所以
设，
当单调递增；当单调递减；
且所以，所以，
所以当单调递增；当单调递减；
所以，所以.
故答案为：.
6．(24-25高二下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数，的导函数为，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】利用导数的运算法则对求导，设，由，只需，采用分离参数法可得，只需即可求解.
【详解】由
所以
根据题意，只需
，则
令，即，即在上单调递增，
令，即或，即在上单调递减，
又，故，所以，
故b实数的取值范围： .
故答案为：.
7．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由题意得到恒成立，通过参变分离，求最值即可求解.
【详解】∵在R上是增函数，
∴在R上恒成立，
∴，
令，则，
则
，
令，，
则，
易得时，，时，，
所以时，，
∴当，取得最小值为 ，
所以，取得最小值为 ，
∴，即.
故答案为：
8．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】先根据曲线的切线的求法，把问题转化为方程有两解.再利用导数分析函数单调性，根据函数零点个数求参数的取值范围.
【详解】因为，所以函数在点处的切线方程为：，即.
因为，所以函数在处的切线方程为：，即.
由曲线和曲线的公切线有两条，
则方程组有两组解.
即方程有两解.
设，.
则，
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，
当且时，，当时，.
所以方程有两解，可得，即.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D.
【详解】因为函数，所以单调递增，,
选项A：计算 而在时趋向，故A错.
选项B：因为 得B错.
选项C：计算 C错.
选项D：计算 ，
函数，
所以，得D正确.
故选：D.
2．(24-25高二下·江苏常州·期中)设，则（ ）
A．的极大值为1 B．与有不同的极大值
C．时， D．时，
【答案】D
【分析】通过对函数求导，即可判断函数的单调性，进而可判断其极大值，可得A错误；由可得的解析式，求导判断其单调性，进而可得极大值与相同，故B错误；根据函数的单调性，可判断C错误，D正确.
【详解】由，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，故A错误；
由，得，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，
与的极大值相同，故B错误；
当时，函数单调递增，
又时，，所以，
而时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D正确.
故选：D.
二、多选题
3．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有三个零点
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数关于点对称
D．当时，若，则
【答案】BCD
【分析】对于A，利用导数分析函数的单调性，进而结合极值点的函数值及单调性判断即可；对于B，求导，由即可判断；对于C，利用验证即可判断；对于D，利用导数易得函数在上单调递减，可得时，，进而判断即可.
【详解】对于A，当时，，
则，令，得；令，得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，且时，，
则函数只有一个零点，故A错误；
对于B，由，，则，
由于，
则有两个不同的实数根，根据极值点的定义，
函数有两个极值点，故B正确；
对于C，当时，，则，，
则，
则，
所以函数关于点对称，故C正确；
对于D，当时，由，
则，
当时，，
则函数在上单调递减，
即时，，
若，则，则，故D正确.
故选：BCD.
4．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)已知函数的两个零点分别为且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据满足，数形结合分析判断AB；证明对数均值不等式，再化简判断C；根据有两根且判断即D.
【详解】对于A，，即，设相切时切点为，
则对求导有，又切点与原点确定直线的斜率与该点处的导数值相等，即，
解得，则切点，此时，当函数有两个零点时，，A正确；

对于B，由图象得，，B错误；
对于C，先证明：当时，，
构造函数，则，
函数在上单调递增，又，故，
即，化简可得，即，
又，则，于是，，
因此，即，C正确；
对D，依题意，即有两根且，令，则，
令函数，求导得，即在上递减，
又，因此，，D正确.
故选：ACD
5．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B．为定值
C．为定值 D．
【答案】ACD
【分析】对于A，构造函数，利用导数判断出单调性即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，即可判断；对于C，根据斜率相等可得，点为两切线的交点代入化简得，再计算可得答案；对于D，根据计算即可判断.
【详解】对于A，令，则，
故时，，单调递增；
时，，单调递减，
所以，且时，
因为直线与曲线相交于，两点，
所以与图象有2个交点，所以，故A正确；
对于B，，不妨设，可得，
在点，处的切线程分别为，
得，
即，
因为，所以，即是变化的，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，即
，所以，
所以
，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
又因为，，
所以，所以，
得，即，
因为①，所以，
所以，即，
故D正确.
其中不等式①的证明如下：不妨令，
由得，
，令，则即证，
构造函数，，
所以在上单调递减，所以，
所以不等式成立，即①成立.
故选：ACD.
三、填空题
6．(24-25高二下·江苏徐州·期中)若恒成立，则实数______．
【答案】/
【分析】设，则原式等价于，进而得到恒成立，再根据切线不等式得解．
【详解】因为恒成立，即恒成立，
即恒成立，
设，则恒成立，
又，则在上单调递增，
可得恒成立，即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立（当且仅当时取等号），
所以，解得
故答案为：
四、解答题
7．(24-25高二下·江苏扬州邗江区·期中)已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)若是函数的极值点，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，得出函数的单调区间，进而求得函数最小值；
（2）根据题意，转化为在恒成立，令，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可得到答案.
令，解得，
（3）由函数，求得，令，求得在上恒成立，得到函数在上单调递增，根据是的极值点，得到，结合，即可证得.
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以.
（2）解：由，其中
可得，即，
由对任意恒成立，即在恒成立，
令，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为.
（3）解：由，可得，
令，可得在上恒成立，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
因为是的极值点，所以存在使得，即，
又由，所以，
则，
所以.
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