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专题03 空间向量与立体几何小题综合（6大考点60题）（答案版）
1．C
2．B
3．B
4．A
5．
6．1
7．
8．
9．C
10．B
11．B
12．B
13．D
14．AC
15．
16．4
17．A
18．C
19．D
20．AC
21．ACD
22．BCD
23．
24．D
25．C
26．A
27．D
28．A
29．C
30．D
31．A
32．A
33．A
34．C
35．D
36．
37．
38．
39．
40．
41．A
42．A
43．ABD
44．ACD
45．ACD
46．ABC
47．
48．
49．
50．/
51．A
52．D
53．B
54．D
55．ABD
56．AD
57．AD
58．ACD
59．ABD
60．BCD
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题03 空间向量与立体几何小题综合（6大考点60题）
6大高频考点概览
考点01空间向量的数量积
考点02共面向量定理
考点03空间向量基本定理
考点04 空间向量的坐标表示
考点05 空间角的计算
考点06 空间距离的计算
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
4．(24-25高二下·江苏南京·期中)若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．23
二、填空题
5．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为______.
6．(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学·期中)已知正方体的棱长为1，则的值为_____．
7．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，，则向量在向量上的投影向量是_________
8．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是__________.
一、单选题
9．(24-25高二下·江苏高邮·期中)对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A． B．
C． D．
10．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．(24-25高二下·江苏淮安高中校协作体·期中)已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）.
A．9 B．10 C．11 D．12
12．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
13．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（ ）
A．为等边三角形
B．
C．EM与底面ABCD所成的角是
D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为
二、多选题
14．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)关于空间向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在实数，，使得，则与，共面
B．若与，共面，则存在实数，，使得
C．若，，共面，则存在实数，，，使得
D．若存在实数，，，使得，则，，共面
三、填空题
15．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)已知点在平面内，并且对平面外任意一点，有，则＝___________.
16．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______________.
一、单选题
17．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)在平行六面体中，，，，则棱的长度是（ ）
A． B． C． D．5
18．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
19．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
20．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，共面
B．若，，共面，则
C．若，，不共面，则，，
D．若，，共面，则
21．(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面
22．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
23．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________.
一、单选题
24．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)设向量则（ ）
A． B． C． D．
25．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
26．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)已知，则（ ）
A．11 B． C．45 D．3
27．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
28．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，，若，则x的值为（ ）
A．7 B．-8 C．6 D．-5
29．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
31．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
32．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知向量，且，那么（ ）
A． B． C． D．
33．(24-25高二下·江苏南京燕子矶中学·)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
34．(24-25高二下·江苏扬州新华中学·期中)已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若与关于平面对称，则
B．若，则，，，共面
C．若，则，，，共面
D．若，，三点共线，则
35．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)若，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
36．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________.
37．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知，，且，则 ________________ ．
38．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______.
39．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为_________．
40．(24-25高二下·江苏常州·期中)如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______．
一、单选题
41．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
42．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
43．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
44．(24-25高二下·江苏盐城五校联盟·期中)在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．与共面
B．与夹角为
C．平面与平面夹角的正弦值为
D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离
45．(24-25高二下·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·期中)如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ）
A． B．
C．侧棱与底面所成角的余弦值为 D．直线AM与CN所成角的正弦值为
46．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ）
A．三个向量，，不可以构成空间的一组基底
B．四面体的外接球的表面积为
C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题
47．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为______.
48．(24-25高二下·江苏淮安高中校协作体·期中)在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______
49．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为_______
50．(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______．
一、单选题
51．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
52．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
53．(24-25高二下·江苏扬州新华中学·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
54．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
55．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（ ）
A．为的中点时，平面平面
B．为的中点时，异面直线与之间的距离为
C．存在点，使得直线与平面所成的角为
D．为所在直线的动点，则的最大值为
56．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ）
A．点E到平面的距离为
B．若平面，则F是棱AD的中点
C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点
D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为
57．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（ ）
A．平面的一个法向量为
B．若 且 ，则
C．点到直线的距离为
D．四点共面
58．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（ ）
A．若，，则平面
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则点到直线的距离的最小值为
D．若，，则二面角的正弦值的最小值为
59．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
60．(24-25高二下·江苏南京·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.（ ）
A．与平面所成角的正弦值为
B．与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．和平面的距离为
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专题03 空间向量与立体几何小题综合（6大考点60题）
6大高频考点概览
考点01空间向量的数量积
考点02共面向量定理
考点03空间向量基本定理
考点04 空间向量的坐标表示
考点05 空间角的计算
考点06 空间距离的计算
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量及向量模长公式计算求解得出球的方程，再应用三角换元结合值域计算求解.
【详解】以为原点建立空间直角坐标系，则，
点，，
因为，所以，
化简得：，表示以为球心，半径为的球.
设，
，，
所以的取值范围为，
向量 ，故的范围为.
故选：C.
2．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得.
【详解】取的中点，连接，
由图形可得，
所以
，
所以.
故选：B
3．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由投影向量的计算公式即可求解.
【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为，
因为为单位向量，，，
所以，
所以，
故选：B
4．(24-25高二下·江苏南京·期中)若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．23
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得.
【详解】由是一个单位正交基底，得，
所以.
故选：A
二、填空题
5．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为______.
【答案】
【分析】由空间向量的线性运算可知，两边平方，再利用向量的数量积公式即可得解．
【详解】设平面于F，
平面，
，又与平面成角，
，
与的夹角为，
又平面，平面，，
又，
，
．
故答案为：.
6．(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学·期中)已知正方体的棱长为1，则的值为_____．
【答案】1
【分析】由及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，
又，，所以，
所以.
故答案为：
7．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，，则向量在向量上的投影向量是_________
【答案】
【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果.
【详解】由，可得，
易知向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
8．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解.
【详解】如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设，
其中，
，
当，且或时，取最大值4，
当，且时，取最小值2，所以的取值范围为.
故答案为：.
一、单选题
9．(24-25高二下·江苏高邮·期中)对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由不共线的三点A，B，C，推出不共线，由四点共面，推得存在唯一的一组实数，满足，即，以此为依据，逐一检验各选项即可.
【详解】因A，B，C三点不共线，则不共线，
则点P在平面ABC内，即四点共面，
也即存在唯一的一组实数，满足，
即，
整理得：.
对于A，因，可得，
因，故此时点P不在平面ABC内，故A错误；
对于B，因，可得，
因，故此时点P不在平面ABC内，故B错误；
对于C，因，可得，
因，故点P在平面ABC内，故C正确；
对于D，由可得，
整理得：，因，故点P不在平面ABC内，故D错误.
故选：C.
10．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由，则，
由共面，则，解得，
所以
.
故选：B.
11．(24-25高二下·江苏淮安高中校协作体·期中)已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）.
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解.
【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得.
则可得.
由，可列出方程组.
由可得，将其代入中，得到.
去括号得，移项合并同类项得，解得.
将代入，可得.
将，代入，可得.
故选：B.
12．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理易求得的值.
【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.
故选：B.
13．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（ ）
A．为等边三角形
B．
C．EM与底面ABCD所成的角是
D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为
【答案】D
【分析】根据共面向量的推论得到四点共面，再结合最小得到点的位置，然后根据正棱锥的性质判断AB选项；C选项，根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后求线面角即可；D选项，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，根据四棱锥的特点得到为四棱锥外接球的球心，然后根据角的比值求体积即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以四点共面，
所以当为四边形的中心时，最小，
对于A：根据正棱锥的性质可得平面，
因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错；
对于B：在直角三角形中，，，
所以三角形为等腰直角三角形，
因为是的中点，所以，故B错；
对于C：因为平面，所以点在底面的投影落在上，
所以为直线与平面所成角，
因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C错；
对于D：根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以，
因为平面平面，所以为二面角的平面角，
因为，
所以为四棱锥外接球的球心，为直径，
所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D正确.
故选：D.
二、多选题
14．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)关于空间向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在实数，，使得，则与，共面
B．若与，共面，则存在实数，，使得
C．若，，共面，则存在实数，，，使得
D．若存在实数，，，使得，则，，共面
【答案】AC
【分析】对于AC：根据平面向量基本定理分析判断；对于BD：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面；
若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面；
综上所述：与，共面，故A正确；
对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误；
对于选项C：若向量共线，则取，可得；
若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得，
即，可得；
综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确；
对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立，
此时无法判断，，是否共面，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
15．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)已知点在平面内，并且对平面外任意一点，有，则＝___________.
【答案】
【分析】由空间向量基本定理可得，解之即得.
【详解】因点在平面内，根据空间向量基本定理，
由可得，，解得，.
故答案为：.
16．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______________.
【答案】4
【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果.
【详解】，故，，
不妨令，则，又，故点共面，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积.
一、单选题
17．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)在平行六面体中，，，，则棱的长度是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】设，分别求出的模长和两两之间的数量积，将用表示，并利用向量数量积的运算律求其模长即可.
【详解】

如图，不妨取，则，，，
，，.
因为，
则
，故.
故选：A.
18．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值.
【详解】如下图所示：
因为、、、四点共面，且、不共线，
则存在、，使得，
即，
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，即，
所以，
设，则，
因为、、不共面，所以，解得，所以，
又因为，故，
故选：C.
19．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解.
【详解】
.
故选：D
二、多选题
20．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，共面
B．若，，共面，则
C．若，，不共面，则，，
D．若，，共面，则
【答案】AC
【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C.
【详解】对于A：因为，，
所以，
因为，所以，
所以向量，，共面，故A正确．
对于B、D：若，，，则，，共面，
令，则，，，可为任意实数，
此时由，，
得不到，也得不到，故B、D错误；
对于C：若，，不共面，由，，
则，，，故C正确；
故选：AC
21．(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面
【答案】ACD
【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据可得判断B；运用反证法思想说明不共面即可判断C；根据空间向量共面定理的推论即可判断D.
【详解】对于A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对于B，由，可得，因，则，故B错误；
对于C，假设共面，则存在，，
因向量组是空间的一个基底，故不存在使得成立，
故假设不成立，不共面，即也是空间的一个基底，故C正确；
对于D，因，且，故四点共面，即D正确.
故选：ACD.
22．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底；
对于B：设，所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确；
对于D：设，则，
所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
23．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________.
【答案】
【分析】设，结合题目条件，得到，由四点共面得到方程，求出答案.
【详解】设，
其中，为的中点，，
故,
所以，，
因为四点共面，所以，解得
故答案为：
一、单选题
24．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)设向量则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共线得，解出即可求解.
【详解】
故选：D.
25．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由投影向量的定义可求得结果.
【详解】向量在坐标平面上的投影向量是.
故选：C.
26．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)已知，则（ ）
A．11 B． C．45 D．3
【答案】A
【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：
27．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值．
【详解】由已知，，
所以，
又，所以.
故选：D.
28．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，，若，则x的值为（ ）
A．7 B．-8 C．6 D．-5
【答案】A
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求参.
【详解】已知，，
因为，
则，.
故选：A.
29．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
，，，
故，
，
则
，
因为，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
30．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解.
【详解】向量，，，
所以，解得，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
31．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的坐标表示列式求解.
【详解】向量，，由，得，
所以.
故选：A
32．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知向量，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得.
【详解】因为，，
所以可设，
则有，，，
解得，，，
故.
故选：A.
33．(24-25高二下·江苏南京燕子矶中学·)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的计算方法求解即可.
【详解】由题可知，，
向量在向量上的投影向量为.
故选：.
34．(24-25高二下·江苏扬州新华中学·期中)已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若与关于平面对称，则
B．若，则，，，共面
C．若，则，，，共面
D．若，，三点共线，则
【答案】C
【分析】利用对称求解判断A；利用共面向量定理及推论判断BC；利用向量共线求解判断D.
【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确；
对于B，由及共面向量定理得共面，B正确；
对于C，，则点不共面，C错误；
对于D，，由点共线，得，
则，解得，，D正确.
故选：C
35．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.
【详解】若，，则.
故选：D.
二、填空题
36．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________.
【答案】
【分析】根据题意，利用空间向量运算法则可求.
【详解】∵，∴，
即，解得.
故答案为：.
37．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知，，且，则 ________________ ．
【答案】
【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故，所以，故．
故答案为：．
38．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______.
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案.
【详解】由题意可得，设，
则，解得，所以坐标为.
故答案为：.
39．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为_________．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，由得，故的最小值为，进而由可得.
【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，
由得，得，
故，
故由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
根据正方体的性质可知平面，因平面，
故，故，
故的面积最小值为，
故答案为：
40．(24-25高二下·江苏常州·期中)如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标，
因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，
设，，则，
故，所以，
则，
因为为钝角，而三点不共线，
故，
解得，即的取值范围为.
故答案为：.
一、单选题
41．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求.
【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.
则平面的一个法向量为，
设正三棱柱中，，则，，
所以，所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
42．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题目定义得到直线的一个方向向量，和平面的法向量，由向量夹角的求解公式得出线面角的正弦值.
【详解】经过点的直线的方程为，即，
则直线的一个方向向量为.
又经过点的平面的方程为，
即，所以的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，则.
故选：A
二、多选题
43．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】由正方体的结构特征，根据线面垂直的判定和性质证明线性垂直判断A；由已知证明平面，再由棱锥的体积求法判断B；由已知得异面直线与所成角为直线与直线的夹角，即可判断C；构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角正弦值判断D.
【详解】A：连接，由正方体的结构特征得，
平面，平面，则，
而都在平面内，则平面，
而平面，则直线直线，正确；
B：由题设，易知四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，正确；
C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角．
易知为等边三角形，当为的中点时；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为．
故异面直线与所成角的取值范围是，错误；
D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
所以，，又平面，平面，
所以，又，都在平面内，则平面，
平面，则，同理，都在平面内，
所以平面，则是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确．
故选：ABD
44．(24-25高二下·江苏盐城五校联盟·期中)在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．与共面
B．与夹角为
C．平面与平面夹角的正弦值为
D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理，即可判断A；连接，利用△是等边三角形，求出的大小，即可判断B；利用向量法求平面与平面的夹角，即可判断C；采用等面积法，求解即可判断D．
【详解】选项A，因为，所以与，共面，即选项A正确；
选项B，连接，
因为，所以或其补角即为与的夹角，
因为，所以△是等边三角形，所以，
所以与夹角为，即选项B错误；
选项C，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则,,，，
所以,1,，,2,，
设平面的法向量为,,，则，
取，则，，所以,1,，
易知平面的一个法向量为,0,，
设平面与平面夹角为，
则,，
所以，即选项C正确；
选项D，由对称性知，，
由勾股定理知，，
设到直线的距离为，
因为，
所以，解得，
所以到直线的距离为，即选项D正确．
故选：ACD．
45．(24-25高二下·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·期中)如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ）
A． B．
C．侧棱与底面所成角的余弦值为 D．直线AM与CN所成角的正弦值为
【答案】ACD
【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C.
【详解】由正四面体ABCD，可得，
对于A，，
则，
所以，故A正确；
对于B，，
则
，故B错误；
对于D，，
则，
，
设直线所成角为，
则，
所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确；
对于C，连接，在上取点，使得，连接，
则平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
在中，，
则，
由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等，
所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确.
故选：ACD
46．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ）
A．三个向量，，不可以构成空间的一组基底
B．四面体的外接球的表面积为
C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
【答案】ABC
【分析】建系，由共面向量的坐标表示可判断A，确定球心位置，由距离公式求得球心坐标即可判断B，由点到面的向量距离公式即可判断C，由线面夹角的向量公式即可判断D.
【详解】
对于A：如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
故，
若向量，，共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
所以，解得：，
所以向量，，共面，
所以三个向量，，不可以构成空间向量的一组基，故A正确；
对于B：由，可知其中点坐标为，
因为三角形为直角三角形，所以其外接圆圆心坐标为，
由球的性质可知，球心一定在过且与坐标面垂直的直线上，
所以可设球心坐标为，
则由可得： ，
解得：，
所以球的半径为：，
所以四面体的外接球的表面积为正确；
对于C，设正方体内切球的球心为，则，，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以点到平面的距离，
又正方体内切球得半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故C正确.
对于D，直线与平面所成角的余弦值为，
，设平面的法向量为，
则，即，
令，可得：，
即，又，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以.故D错；
故选：ABC
三、填空题
47．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
因此，
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
故答案为：
48．(24-25高二下·江苏淮安高中校协作体·期中)在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______
【答案】
【分析】设异面面直线与所成角为,将用，表示,代入公式计算得出答案.
【详解】设棱长均为1,
因为，所以 ，所以，所以.
又.
设异面直线与所成角为,
则.
故答案为: .
49．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为_______
【答案】
【分析】将四面体补成长方体，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值.
【详解】在空间四面体中，，，
将四面体补成长方体，
则，解得，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为为的中点，则，由，可得，
所以，，
所以.
因此，直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
50．(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______．
【答案】/
【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
如图，分别取，则，
且，
而
由，
，
，
设与的所成角为，
则.
故答案为：.
一、单选题
51．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间中点到平面距离公式求解.
【详解】，
点到平面的距离，
故选：A.
52．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果.
【详解】设平面的一个法向量为，
则，令，可得，；
所以，
则点到平面的距离为.
故选：D
53．(24-25高二下·江苏扬州新华中学·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，平面的中心，平面的中心，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
则点B到平面APQ的距离为.
故选：B
54．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，根据空间点到线的距离公式计算即可.
【详解】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，所以，，
设与的夹角为，则，
所以，
所以点到直线的距离为.
故选：D.
二、多选题
55．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（ ）
A．为的中点时，平面平面
B．为的中点时，异面直线与之间的距离为
C．存在点，使得直线与平面所成的角为
D．为所在直线的动点，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】由几何体性质利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B正确，由线面角的向量求法得到方程，根据方程无解可判断C错误，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值为，可判断D正确.
【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面，
又平面，，
为的中点，，
，，，，即，
又，是平面内的相交直线，平面，
又平面，平面平面，故A正确；
对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
当为中点时，，，，
设平面的一个法向量为，则；
取，则，，所以，
所求异面直线与之间的距离为，故B正确；
对于C，设点，，，其中，0，
由射影定理知，，即，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，
若直线与平面所成的角为，
则，
由知，代入上式整理得，此方程无解，
所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项C错误；
对于D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则中点（即弧所在圆的圆心）的坐标为，
如图，
以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面，且，，
则由三角形两边之差小于第三边可知，当，（在延长线上）三点共线时取得最大值为，
又弧所在圆圆心为，半径为2，
，故D正确．
故选：ABD.
56．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ）
A．点E到平面的距离为
B．若平面，则F是棱AD的中点
C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点
D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为
【答案】AD
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；B选项，设，，求出平面的法向量，根据线面平行得到方程，求出，F的轨迹为连接的中点的一条线段，B错误；C选项，求出平面的法向量，若平面，则，从而得到方程，求出，C错误；D选项，设，点F到直线的距离为，求出最小值.
【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
，
点E到平面的距离为，A正确；
B选项，设，，
则，
设平面的法向量为，
，
则，
令，则，所以，
其中，
故，F的轨迹为连接的中点的一条线段，
所以F不一定是棱AD的中点，B错误；
C选项，设平面的法向量为，
，
则，
令，则，故，
若平面，则，
设，
所以，解得，
故，则F是AC上靠近C的四等分点，C错误；
D选项，若F在棱AB上运动，设，
则，
，设，
，
故点F到直线的距离为，
当时，点F到直线的距离取得最小值，最小值为，D正确.
故选：AD
57．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（ ）
A．平面的一个法向量为
B．若 且 ，则
C．点到直线的距离为
D．四点共面
【答案】AD
【分析】求出平面的一个法向量可判断A；设，利用求出可判断B；利用点到直线的距离向量求法可判断C；设，求出可判断D.
【详解】对于A，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，则，故A正确；
对于B，，因为，设，
若，则，解得，则或，故B错误；
对于C，，则点到直线的距离为
，
故C错误；
对于D，设，因为，
，
则有，
，解得，故，则四点共面.
故D正确.
故选：AD.
58．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（ ）
A．若，，则平面
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则点到直线的距离的最小值为
D．若，，则二面角的正弦值的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据共线定理可知三点共线，再由面面平行性质可判断A正确，利用共面定理以及面面平行并求得点到平面的距离可知三棱锥的体积为定值，可得B错误，再利用点到线的距离的向量求法计算可得C正确，利用二面角的向量求法得出其正弦值的表达式，再由的范围即可求得D正确.
【详解】对于A，由可得，且可知三点共线；
可知点在线段上，连接，如下图所示：
由正方体性质可知，又平面，平面，
所以平面；
同理可得平面，
又，且平面，
因此可得平面平面，又因为平面，
所以平面，即A正确；
对于B，若，可知四点共面，即点在平面内，
由A选项中的分析可知，平面平面，如下图所示：
此时点到平面的距离为正方体对角线的三分之一，即；
又三角形是边长为的正三角形，其面积为，
则三棱锥的体积为定值，即B错误；
对于C，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以，，，；
又，因此，即；
所以，
则点到直线的距离为，
显然当时，距离最小为，即C正确；
对于D，若，，由选项C分析可知；
则，又；
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
因此；
易知平面的一个法向量为，
则二面角的正弦值为，
又因为，，可知，当时信任不是最小值，
所以时，，
易知当时，，
即二面角的正弦值的最小值为，可得D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间直角坐标系，将二面角的正弦值表示成关于的表达式，再结合其范围利用不等式性质可求出结果.
59．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量关系证明线面平行判定A，证明线面垂直判断B，利用点面距离和线面距离求解判断CD.
【详解】，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，如图：
则，
，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
因为，又平面，
所以平面，故A正确；
所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
又，所以，所以平面，故B正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
则点到平面的距离为，故C错误.
故选：ABD
60．(24-25高二下·江苏南京·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.（ ）
A．与平面所成角的正弦值为
B．与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．和平面的距离为
【答案】BCD
【分析】建立如图空间直角坐标系，由线面角的正弦公式可得A错误；由异面直线夹角公式可得B正确；由空间点线距离公式可得C正确；由空间线面距离公式可得D正确.
【详解】
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，设平面的法向量为，
，设与平面所成角为
所以，故A错误；
对于B，，设与所成角为，
则，故B正确；
对于C，，
由点到直线的距离公式可得，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，，
则，
取，则，
由可得平面，所以和平面的距离即为点到平面的距离，
由点到直线的距离公式可得，故D正确.
故选：BCD
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