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专题05 空间向量与立体几何压轴题综合（30题）
1．（24-25高二下·江苏南京5校联盟·期中）如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解.
【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设A关于平面的对称点为，，
则，．
设平面的法向量，则，
令，则，，所以，
所以A与到平面的距离，
即 ①．
又，所以，即 ②．
由①②得，由可得，，，
所以，
所以，
当且仅当，，三点共线时取等号，
所以的最小值为．
故选：C.
2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值．
【详解】取BD中点O，连接AO，CO，，
则，且，于是是二面角的平面角，
显然平面，在平面内过点作，则，
直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，设二面角的大小为，，
因此，，，
于是，
显然，则当时，，
所以的最大值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键.
二、多选题
3．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．三棱锥的体积是定值
D．不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量方法，证明线线垂直关系，空间中点与点的距离问题，以及点到面的距离，和线线夹角的余弦值，逐一判断各选项正误.
【详解】以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设，则；
因为，故，所以正确.
因为 所以，
，
当时，取得最小值为，所以B错误.
因为，平面平面，则平面
所以三棱锥的体积为，故C正确.
因为，
所以，
设与的夹角为，
则
因为，所以，故不存在点P使直线与直线夹角的余弦值为 故正确.
故选：ACD.
4．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】由正方体的结构特征，根据线面垂直的判定和性质证明线性垂直判断A；由已知证明平面，再由棱锥的体积求法判断B；由已知得异面直线与所成角为直线与直线的夹角，即可判断C；构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角正弦值判断D.
【详解】A：连接，由正方体的结构特征得，
平面，平面，则，
而都在平面内，则平面，
而平面，则直线直线，正确；
B：由题设，易知四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，正确；
C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角．
易知为等边三角形，当为的中点时；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为．
故异面直线与所成角的取值范围是，错误；
D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
所以，，又平面，平面，
所以，又，都在平面内，则平面，
平面，则，同理，都在平面内，
所以平面，则是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确．
故选：ABD
5．（24-25高二下·江苏无锡·期中）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A选项；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B选项；连接、、，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C选项；利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D选项.
【详解】以为坐标原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，，；
对于A选项，假设存在点，使得，
则，又，
所以，解得，
即点与重合时，，A正确；
对于B选项，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，
因为，，
所以，方程无解；
所以不存在点满足题意，B错误；
对于C选项，连接、、，设，
因为，
所以当，即点与点重合时，取得最大值；
又点到平面的距离，
所以，C正确；
对于D选项，由上分析知：，，
若是面的法向量，则，
令，则，
因为，设直线与平面所成的角为，，
所以，
当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大，
因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.
故选：ACD.
6．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（ ）
A．为的中点时，平面平面
B．为的中点时，异面直线与之间的距离为
C．存在点，使得直线与平面所成的角为
D．为所在直线的动点，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】由几何体性质利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B正确，由线面角的向量求法得到方程，根据方程无解可判断C错误，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值为，可判断D正确.
【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面，
又平面，，
为的中点，，
，，，，即，
又，是平面内的相交直线，平面，
又平面，平面平面，故A正确；
对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
当为中点时，，，，
设平面的一个法向量为，则；
取，则，，所以，
所求异面直线与之间的距离为，故B正确；
对于C，设点，，，其中，0，
由射影定理知，，即，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，
若直线与平面所成的角为，
则，
由知，代入上式整理得，此方程无解，
所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项C错误；
对于D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则中点（即弧所在圆的圆心）的坐标为，
如图，
以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面，且，，
则由三角形两边之差小于第三边可知，当，（在延长线上）三点共线时取得最大值为，
又弧所在圆圆心为，半径为2，
，故D正确．
故选：ABD.
7．（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ）
A．点E到平面的距离为
B．若平面，则F是棱AD的中点
C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点
D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为
【答案】AD
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；B选项，设，，求出平面的法向量，根据线面平行得到方程，求出，F的轨迹为连接的中点的一条线段，B错误；C选项，求出平面的法向量，若平面，则，从而得到方程，求出，C错误；D选项，设，点F到直线的距离为，求出最小值.
【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
，
点E到平面的距离为，A正确；
B选项，设，，
则，
设平面的法向量为，
，
则，
令，则，所以，
其中，
故，F的轨迹为连接的中点的一条线段，
所以F不一定是棱AD的中点，B错误；
C选项，设平面的法向量为，
，
则，
令，则，故，
若平面，则，
设，
所以，解得，
故，则F是AC上靠近C的四等分点，C错误；
D选项，若F在棱AB上运动，设，
则，
，设，
，
故点F到直线的距离为，
当时，点F到直线的距离取得最小值，最小值为，D正确.
故选：AD
8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（ ）
A．若，，则平面
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则点到直线的距离的最小值为
D．若，，则二面角的正弦值的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据共线定理可知三点共线，再由面面平行性质可判断A正确，利用共面定理以及面面平行并求得点到平面的距离可知三棱锥的体积为定值，可得B错误，再利用点到线的距离的向量求法计算可得C正确，利用二面角的向量求法得出其正弦值的表达式，再由的范围即可求得D正确.
【详解】对于A，由可得，且可知三点共线；
可知点在线段上，连接，如下图所示：
由正方体性质可知，又平面，平面，
所以平面；
同理可得平面，
又，且平面，
因此可得平面平面，又因为平面，
所以平面，即A正确；
对于B，若，可知四点共面，即点在平面内，
由A选项中的分析可知，平面平面，如下图所示：
此时点到平面的距离为正方体对角线的三分之一，即；
又三角形是边长为的正三角形，其面积为，
则三棱锥的体积为定值，即B错误；
对于C，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以，，，；
又，因此，即；
所以，
则点到直线的距离为，
显然当时，距离最小为，即C正确；
对于D，若，，由选项C分析可知；
则，又；
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
因此；
易知平面的一个法向量为，
则二面角的正弦值为，
又因为，，可知，当时信任不是最小值，
所以时，，
易知当时，，
即二面角的正弦值的最小值为，可得D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间直角坐标系，将二面角的正弦值表示成关于的表达式，再结合其范围利用不等式性质可求出结果.
9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当，，时，则P到平面的距离的最小值是
C．当，时，的最小值为
D．当，且时，则P的轨迹总长度为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，计算，可判断A；利用点到平面的距离的向量公式，即可判断B；将折线距离和转化为平面内两点间距离即可判断C；利用点到平面的距离公式，结合点的轨迹，利用数形结合，即可判断D.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则
因为，∴
对于A，当时，，此时,，，得，，
所以直线与平面垂直，故A正确；
对于B，由选项A知，向量也是平面的一个法向量，当，，时，，，则点到平面的距离，所以P到平面的距离的最小值是，故B不正确；
对于C，当，时，，，
故，
故
令，则
如图所示，，
显然当三点共线时，取得最小值，
最小值为，当且仅当，即时，等号成立，此时
则的最小值为，故C正确；
对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），设点在平面内的投影为点，
因为，所以点是的中心，
，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
若，则，
即点落在以为圆心，为半径的圆上，
点到三边的距离为，
此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，故D正确.
故选：ACD.
10．（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（ ）

A．若，则
B．若，则直线平面
C．若，则点到平面的距离为
D．若，则平面与平面所成角的取值范围为
【答案】AB
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、
、、，
对于A选项，当时，，
则，，
所以，，故，A正确；
对于B选项，当时，则，
所以，，
则，则，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，，即，
因为平面，所以直线平面，B正确；
对于C选项，，其中，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
则点到平面的距离为，C错误；
对于D选项，若，其中，
，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，所以，，
当时，
当时，则，
，
综上，，与矛盾，D错误.
故选：AB.
【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
11．（24-25高二下·江苏通州·期中）如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）．

A．当M为的中点时，异面直线与所成角为
B．当平面时，点M的轨迹长度为
C．当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为
D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是
【答案】ACD
【分析】对于A，建立适当的空间直角坐标系，求得，判断它是否为0即可；对于B，通过分析得知点M的轨迹是过点O与平行的线段，比较的长度和即可；对于C，点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），只需比较弧上点到距离的最小值和的大小即可判断；对于D，，根据的最大值即可判断.
【详解】因为底面是边长为4的正方形，，，
则都是正三角形，所以，
所以在底面上的射影为直角的外心，
即是的中点，也是正方形的中心，所以四棱锥为正四棱锥，
对于A，连接， 则，，两两垂直，
故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
N为的中点，则．
当M为的中点时，，，，

设异面直线与所成角为，
，，故，A正确；
对于B，设Q为的中点，N为的中点，

则，平面，平面，则平面，
又平面，，平面，
又，设，
故平面平面，平面平面，
平面平面，则，
则H为的中点，点M在四边形内（包含边界）运动，则，
点M的轨迹是过点O与平行的线段，长度为4，B不正确；
对于C，即点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），
K到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为，
因为，所以存在点M到的距离为，C正确；
对于D，，的最大值，D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，准确画出图形，利用向量方法解决几何问题.
12．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，（与三点不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，平面平面
D．当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
【答案】ABD
【分析】A根据空间向量分析可知点在平面内，利用面面平行证明线线平行，即可求解；B根据空间向量分析可知点在直线上，根据线面垂直的判定定理分析判断；C根据空间向量分析可知点为取的中点，建立空间直角坐标系，利用向量法从而可求解；D根据空间向量分析可知点在平面内，根据线面夹角的定义结合基本不等式分析判断.
【详解】A，当时，即，则，
可得，则，
所以点在平面内，如图，因为，，
面，面，故面，
面，面，故面，
，面，所以面面，又面，
所以平面.故A正确；
B，当时，，则，故点在直线上，直线与直线共线，
如图，，，，平面，
所以平面，即平面，故B正确；
C，当 当时，，所以，故为的中点，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
则，所以平面与平面不垂直，故C错误；
D，当，时，则，可知点在平面内，
因为面面，则直线与面所成角即为直线与面所成的角，
因为面，则直线与面所成的角为，得，
又，即，则，得，
当且仅当，即时等号成立，知的最小值为，则的最大值，
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
13．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在棱长为2的正方体中，点满足，则（ ）
A．当时，平面平面．
B．任意，三棱锥的体积是定值．
C．存在，使得与平面所成的角为．
D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为．
【答案】BC
【分析】确定为二面角的平面角，结合勾股定理可得即可判断A；根据到平面的距离为定值且的面积也为定值，即可判断B；根据线面垂直的判定定理可得当时与平面所成的角为，当时，即可判断C；利用空间向量法求出球心到平面的距离，进而求出截面圆的半径，即可判断D.
【详解】A：当时，与重合，又均是等边三角形，
设，则为的中点，所以，
所以为二面角的平面角，
在中，由正方体的棱长为2，得，
所以，则，所以平面与平面不垂直，故A错误；
B：因为平面，，
所以对于，到平面的距离为定值，又的面积也为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
C：当时，与重合，由三垂线定理得，
又平面，所以平面（即平面），
此时与平面所成的角为；
当时，与重合，此时易知平面，
设，，则为的中点，
所以在平面（即平面）内的射影为，
故即为与平面所成的角，
又，所以.
综上，存在，使得与平面所成的角为，故C正确；
D：因为正方体的外接球的球心为正方体的体心，且外接球的直径为正方体的体对角线，
所以，解得，
当时，为靠近的三等分点，建立如图空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，所以，故球心到平面的距离为，
所以平面截正方体的外接球所得截面小圆半径为，
得该小圆面积为，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查面面垂直、棱锥的定值问题、求线面角问题和几何体与球的问题，平面截正方体问题，关键是：⑴利用空间向量法求出店面距；⑵确定平面截正方体所得截面的形状.
14．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A．当点为三角形的重心时，
B．当时，的最小值为
C．当点在平面内时，的最大值为2
D．当时，点到的距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】将用表示，再结合求出，即可判断A；将平方，将代入，再结合基本不等式即可判断B；当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，再根据即可判断C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，当点为三角形的重心时，，
所以，又因为，
所以，所以，故A错误；
对于B，
，
因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，所以的最小值为，故B正确；
对于C，当点在平面内时，
则存在唯一实数对使得，
则，又因为，
所以，所以，
因为，所以，所以的最大值为2，故C正确；
对于D，当时，由A选项知，
，
在方向上的投影为，
所以点到的距离，
因为，所以，当且仅当时，取等号，
所以点到的距离的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，是解决C选项的关键.
15．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为
D．若直线与BC所成的角为，则
【答案】ACD
【分析】A选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，，当时，平面，证明出线线垂直，进而得到线面垂直，得到；BCD选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用线线角的夹角公式得到，B错误；C选项，确定当时，体积最大，利用点到平面向量距离公式进行计算；D选项，计算出.
【详解】A选项，连接，取的中点，的中点，
连接，则，
故即为二面角的平面角，即，
当时，平面，
因为平面，所以，
因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点，
所以，故为等腰直角三角形，
故，⊥，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
存在，使得，A正确；
B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
当时，，
此时，，
故，
故不存在，使得，B错误；
C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大，
此时，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
故点到平面的距离，C正确；
D选项，，，
故
，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两异面直线所成的角为，；
②直线与平面所成的角为，；
③二面角的大小为，.
16．（24-25高二下·江苏连云港·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则下列说法正确的是（ ）

A．直线到截面的距离是定值
B．点到截面的距离是
C．的最大值是
D．的最小值是
【答案】ABC
【分析】由截面，可得直线到截面的距离即为点到截面的距离，利用空间向量法求出点到平面的距离，即可判断A、B，取的中点为，取的中点为，取的中点为，即可证明平面平面，则线段扫过的图形是，求出的取值范围，从而判断C、D.
【详解】因为截面，是的中点，
所以直线到截面的距离，即为点到截面的距离，为定值，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
所以点到截面的距离，
所以点到截面的距离是，故A、B正确；

取的中点为，取的中点为，取的中点为，如图所示

因为是的中点，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面.
又平面，线段扫过的图形是，
即点的轨迹为线段，
由，得，,
，，
所以，即为直角，
所以线段长度的取值范围是，即，
所以的最大值是，的最小值是，故C正确，D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：求点到平面的距离关键是利用空间向量法，当然也可利用等体积法，C、D主要是确定动点的轨迹，从而确定的取值范围.
三、填空题
17．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________.

【答案】 /
【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解.
【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第一空：因为分别为的中点，所以，
因为，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为，所以，即四点共面，
所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形，
因为正方体棱长为4，
所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为，
所以梯形的高为，
故所求截面面积为；
第二空：由题意，且，
所以，
在中，当时，，
所以表示经过点且法向量为的平面，
即点在平面上，
由以上分析可知，，
若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有，
由题意设，而，
设平面的法向量为，
所以，令，解得，
所以可取，
显然平面的一个法向量可以是，
二面角的余弦值为.
故答案为：18，.
【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证.
四、解答题
18．（24-25高二下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点N（不包含端点），使平面BMN与平面CBM夹角正切值为 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）折叠性质可证，再结合根据线面垂直判定定理可得平面，进而证得平面平面；
（2）通过建系法求出和平面的法向量，设线面角为，结合公式求解即可；
（3）假设存在点，使平面与平面成角的正切值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程求解即可得.
【详解】（1）因为在中，，，所以，
因为折叠前后对应角相等，所以平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面；
因为平面，所以平面平面.
（2）因为DE经过的重心，故，
由（1）知平面BCDE，
如图以为原点建立空间直角坐标系，因为，
故，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
设CM与平面所成角的大小为，
则，
故，即CM与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角正切值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角正切值为，
则平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得（舍去）或，即，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角正切值为，此时的长度为.
19．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点.
(1)求证：；
(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值；
(3)记点到平面的距离分别为，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得.
（2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值.
（3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值.
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面.
所以.
（2）如图：
取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形，所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，取，可得
故.
设平面的法向量为，
则，取，得，
得.
所以.
所以二面角的正弦值为：.
（3）设，（），，则，，.
设平面的法向量为，则
，
令，则，取.
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以
设，则
那么（当且仅当即时取“”）
所以.
20．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）在平面图形中，先证，则折叠后，，，利用线面垂直的判定定理判定线面垂直.
（2）根据两两垂直，故可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值.
（3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根据二面角的正弦值求的值.
【详解】（1）在图1中，连接，交于点，，.
因为，，，，且，
所以，，.
因为，所以.

所以图2中，，，平面，所以平面.
平面.所以.
（2）又因为，由，即，所以.
所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为为中点，所以.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）因为，所以
所以，即.
则，，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设平面的法向量为，
则,
取.
设二面角为，由得：.
即，
整理得：，
解得：或.
21．（24-25高二下·江苏阜宁·期中）如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系）
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)若，求动点的轨迹形状和长度；
(3)若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示）
【答案】(1)
(2)圆；
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用面面夹角的向量求法求解即可.
（2）设出动点，利用空间向量垂直的坐标表示求解轨迹方程，进而得到形状是圆，再结合圆的弧长公式求解轨迹长度即可.
（3）利用三角形面积公式分析出面积最大时点到直线的距离最大，再利用点到直线的距离公式将表示为一元函数，再结合二次函数的性质求解的坐标即可.
【详解】（1）由题意得，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为圆柱的底面半径和母线长均为4，，
所以，，，则，，
设平面的法向量为，得到，
，令，解得，，
故平面的法向量为，易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则.
（2）设，则，，
因为，所以，则，
化简得，即，
即动点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，轨迹长度为.
（3）由已知得，，
由模长公式得，
由题意得圆的方程为，故设，
设到的距离为，而，
故当最大时，只需要保证最大即可，而，
则，
，，
故，
由点到直线的距离公式得，
，
，
，
令，则，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，则值最大，的面积最大，此时，
由同角三角函数的基本关系得，故.
22．（24-25高二下·江苏通州·期中）如图，在四棱台中，底面是梯形，，，，，且.
(1)求证：平面平面.
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可；
（2）利用面面垂直的性质定理和勾股定理证明，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可.
【详解】（1）连交于点，由，设，
由余弦定理得，解得，，
因为，所以和相似，
又，
所以，故，
再由余弦定理，所以，，
于是.
由四棱台可知，与交于一点，所以共面，
因，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）过点作的垂线，由（1）知，平面平面.
且平面平面,
所以该垂线为平面的垂线，所以直线与平面所成角为，
于是，，
由余弦定理，得，
所以，即，
平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
以所在直线建立如图所示的坐标系，
则，，，，又，
所以，，
所以，，，，
设平面与平面的法向量分别为与，
所以，即，
则，令，则，所以，
且，即，令，则，
则，
所以，
于是，
由图形可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
23．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面PAD，．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为．
（ⅰ）求PF；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直；
（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点是上的一点得到进而得到平面的法向量的坐标，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一个法向量，利用两平面夹角的余弦值求得的值，进而得到；
（ⅱ）利用平面的法向量，确定点的坐标，从而得到的坐标，由点M在平面PBC上，可设，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用表示出EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围.
【详解】（1）因为平面PAD，平面PAD，所以．
又，平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
（ⅰ），，，
，，，设，
则．
设平面AEF的法向量为，则即，
取，得，，
所以是平面AEF的一个法向量，
因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．
因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，
所以，得，所以．
（ⅱ）设，则．
因为为平面AEGF的一个法向量，所以，
所以，即，得，
所以，．
，，，，，，
因为M在平面PBC上，所以，
所以．
设平面MAD的法向量，则即，
取得，所以是平面MAD的一个法向量，
设EG与平面MAD所成角为，则
因为，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．
24．（24-25高二下·江苏江阴·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，M为棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)已知.
（i）求平面与平面夹角的余弦值.
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）作的中点，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，可证得结论.
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离得向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示，
为棱的中点，，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
（2）平面，，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
为棱的中点，，
（i），，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
取的中点，连接，易知平面，
即是平面的一个法向量，，
设平面与平面夹角为，
，
平面与平面夹角的余弦值为；
（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，，则，，
由（i）知平面的一个法向量为，，
点Q到平面的距离是，
，，所以存在点Q满足题意，此时.
25．（24-25高二下·江苏南通附中·期中）如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处
【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解；
（3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解.
【详解】（1）取BD中点，连接PO，
是BM的中点，，且，
在线段CD上取点，使，连接OF，QF，
，，且，
，四边形POFQ为平行四边形，，
又平面平面，平面.
（2），则，，
取BD中点，则，又平面，平面BCD，
以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则，，，
，所以，
故，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，
，
点为内动点且平面QGM，
又平面ABD，平面平面，
，故点在OM上，
设，又，，，
则，
，
易知平面的一个法向量为，
设QG与平面所成角为，则最大时，最大，
，
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
26．（24-25高二下·江苏徐州·期中）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）线线平行得到线面平行；
（2）证明三条线两两垂直，从建立空间直角坐标系，得到点的坐标后得到向量坐标，然后求得面的法向量，由投影得到点到面的距离；
（3）以点为原点建立空间直角坐标系，设动点坐标，然后得到向量的坐标，由得到向量数量积为0，求得点的坐标，由直线外一点及其在直线上的投影和直线上的点建立等式，求得点的坐标，然后由向量和平面的法向量，求得线面角正弦值，平方后构造双勾函数，函数的单调性得到函数最小值，从而求得线面角正弦值的范围.
【详解】（1）在四棱锥中，，而平面平面，
所以平面
（2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，，
由二面角是直二面角，即平面平面，
平面平面，平面，平面，
∵平面，∴
以分别为轴建立空间直角坐标系，则
，
设平面法向量为，则，
令，得，
所求点面距为.
（3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
设，显然，
，
，得出，则，
则，
点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形，
则，即，且且，即，
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，
，
则，
令，函数在上递减，，
因此，则，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.
27．（24-25高二下·江苏无锡·期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；
（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
28．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；
(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1．
【分析】（1）取的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；
（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设 ，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点坐标，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解；法三：一作二证三求，设，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.
【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．
在四棱台中，四边形是梯形，，，
又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．
在正方形ABCD中，，，又，所以．
从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）在平面中，作于O．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．
以为正交基底，建立空间直角坐标系．
因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．
易得，，，，，所以，，．

法1：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角的平面角为θ，由题意得．
又，所以，
解得（舍负），因此，．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
法2：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角的平面角为θ，由题意得．
又，所以，
解得或6（舍），因此．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．

法3：在平面中，作，垂足为H．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以．
在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．
因为，，，PH，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，所以是二面角的平面角．
在四棱台中，四边形是梯形，
，，，点P是棱的中点，
所以，．
设，则，，
在中，，从而．
因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，
且二面角的正弦值为，所以，从而．
所以在中，，解得或（舍）．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
29．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.
(1)证明：无论取何值，总有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大 并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)存在；点的位置在
【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；
（2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值；
（3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，即，
，
∵，∴，
所以无论取何值，.
（2）∵是平面ABC的一个法向量.
∴
∴当时，取得最大值，此时，，.
（3）假设存在，则，因为，
设是平面的一个法向量.
则，解得，令，得，，
∴，
∴，
化简得，解得，
∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在.
【点睛】方法点睛：在求二面角时可用分别求出两个面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，进而求出角度.
30．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，四面体中，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角公式求解即可得出答案；②由题意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为，则，
所以，所以，所以，
又因为所以，
则，又因为，
所以，又因为，
平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
设，因为，
所以由可得：，
所以，
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为直线与平面所成角为30°，
所以
则，化简可得：，
解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，
因为，所以，
，所以，
即，所以，
所以，
三棱锥体积为：
，
因为，当时，三棱锥体积最大为，
此时分别为，的中点，所以，
设，设，
因为，
所以，所以，
因为在平面上，所以设，
所以，
所以，解得：，
所以，所以.
【点睛】关键点睛：本题第二问②的关键点在于且在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.
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专题05 空间向量与立体几何压轴题综合（30题）（答案版）
1．C
2．B
3．ACD
4．ABD
5．ACD
6．ABD
7．AD
8．ACD
9．ACD
10．AB
11．ACD
12．ABD
13．BC
14．BCD
15．ACD
16．ABC
17． /
18．(1)（1）因为在中，，，所以，
因为折叠前后对应角相等，所以平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面；
因为平面，所以平面平面.
(2)
(3)存在；
19．(1)因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面.
所以.
(2)
(3)
20．(1)在图1中，连接，交于点，，.
因为，，，，且，
所以，，.
因为，所以.

所以图2中，，，平面，所以平面.
平面.所以.
(2)
(3)或
21．(1)
(2)圆；
(3)
22．(1)连交于点，由，设，
由余弦定理得，解得，，
因为，所以和相似，
又，
所以，故，
再由余弦定理，所以，，
于是.
由四棱台可知，与交于一点，所以共面，
因，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
(2)
23．(1)因为平面PAD，平面PAD，所以．
又，平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
24．(1)取的中点，连接，，如图所示，
为棱的中点，，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
(2)（i）；（ii）存在，
25．(1)取BD中点，连接PO，
是BM的中点，，且，
在线段CD上取点，使，连接OF，QF，
，，且，
，四边形POFQ为平行四边形，，
又平面平面，平面.
(2)
(3)点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处
26．(1)在四棱锥中，，而平面平面，
所以平面
(2)
(3)
27．(1)因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
(2)
(3)存在，或
28．(1)证明：取的中点M，连接MP，MB．
在四棱台中，四边形是梯形，，，
又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．
在正方形ABCD中，，，又，所以．
从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
(2)1．
29．(1)证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，即，
，
∵，∴，
所以无论取何值，.
(2)；
(3)存在；点的位置在
30．(1)取的中点，连接，
因为，则，
所以，所以，所以，
又因为所以，
则，又因为，
所以，又因为，
平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
(2)①；②
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专题05 空间向量与立体几何压轴题综合（30题）
1．（24-25高二下·江苏南京5校联盟·期中）如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．三棱锥的体积是定值
D．不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为
4．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
5．（24-25高二下·江苏无锡·期中）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
6．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（ ）
A．为的中点时，平面平面
B．为的中点时，异面直线与之间的距离为
C．存在点，使得直线与平面所成的角为
D．为所在直线的动点，则的最大值为
7．（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ）
A．点E到平面的距离为
B．若平面，则F是棱AD的中点
C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点
D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为
8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（ ）
A．若，，则平面
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则点到直线的距离的最小值为
D．若，，则二面角的正弦值的最小值为
9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当，，时，则P到平面的距离的最小值是
C．当，时，的最小值为
D．当，且时，则P的轨迹总长度为
10．（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（ ）

A．若，则
B．若，则直线平面
C．若，则点到平面的距离为
D．若，则平面与平面所成角的取值范围为
11．（24-25高二下·江苏通州·期中）如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）．

A．当M为的中点时，异面直线与所成角为
B．当平面时，点M的轨迹长度为
C．当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为
D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是
12．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，（与三点不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，平面平面
D．当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
13．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在棱长为2的正方体中，点满足，则（ ）
A．当时，平面平面．
B．任意，三棱锥的体积是定值．
C．存在，使得与平面所成的角为．
D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为．
14．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A．当点为三角形的重心时，
B．当时，的最小值为
C．当点在平面内时，的最大值为2
D．当时，点到的距离的最小值为
15．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为
D．若直线与BC所成的角为，则
16．（24-25高二下·江苏连云港·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则下列说法正确的是（ ）

A．直线到截面的距离是定值
B．点到截面的距离是
C．的最大值是
D．的最小值是
三、填空题
17．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为__________.

四、解答题
18．（24-25高二下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点N（不包含端点），使平面BMN与平面CBM夹角正切值为 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点.
(1)求证：；
(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值；
(3)记点到平面的距离分别为，求的最小值.
20．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值.
21．（24-25高二下·江苏阜宁·期中）如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系）
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)若，求动点的轨迹形状和长度；
(3)若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示）
22．（24-25高二下·江苏通州·期中）如图，在四棱台中，底面是梯形，，，，，且.
(1)求证：平面平面.
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
23．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面PAD，．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为．
（ⅰ）求PF；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．
24．（24-25高二下·江苏江阴·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，M为棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)已知.
（i）求平面与平面夹角的余弦值.
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
25．（24-25高二下·江苏南通附中·期中）如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.
26．（24-25高二下·江苏徐州·期中）如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
27．（24-25高二下·江苏无锡·期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
28．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；
(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．
29．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.
(1)证明：无论取何值，总有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大 并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
30．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，四面体中，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
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