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专题06 排列组合与二项式定理小题综合（5考点55题）
5大高频考点概览
考点01 两个基本计数原理
考点02排列
考点03组合
考点04 二项式定理
考点05 二项式系数的性质及应用
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)乘积展开后共有（ ）项.
A．10 B．24 C．30 D．45
3．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．125种 D．243种
4．(24-25高二下·江苏高邮·期中)5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A．6 B．120 C．125 D．243
5．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)展开后，共有项数为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·江苏苏州·期中)某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)集合具有如下性质：若某集合内有n个元素，则该集合共有子集的个数为2n.现有集合M内含有3个元素，则其共有八个子集，分别为.甲、乙两同学依次各取一个子集分别记为，可以相同，中元素的个数为m，则的概率为______
8．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)除数函数（divisor function）的函数值等于的正因数的个数，例如，，则______；______.
一、单选题
9．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
10．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（ ）
A．120 B．60 C．48 D．36
11．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A． B． C． D．
二、多选题
12．(24-25高二下·江苏南京·期中)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（ ）
A．其中能被5整除的数有240个 B．其中偶数有312个
C．其中2，4相邻的数有192个 D．其中1，3不相邻的数有372个
13．(24-25高二下·江苏高邮·期中)满足不等式的x的值可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
三、填空题
14．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是___________．
15．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有________种．
16．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示）
17．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知，则______.
一、单选题
18．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)从1，2，3，，10这10个数中任取5个不同的数，，，，，则存在，，，使得的取法种数为（ ）
A．176 B．225 C．246 D．252
19．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)（ ）
A．120 B．360 C．720 D．840
20．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种
21．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（ ）种.

A．21 B．35 C．70 D．210
22．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)（ ）
A． B． C． D．
23．(24-25高二下·江苏南京·期中)如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（ ）种不同的方案.
A．10 B．12 C．16 D．24
24．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)若，则（ ）
A．30 B．120 C．360 D．720
二、填空题
25．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答）
26．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______.
27．(24-25高二下·江苏徐州·期中)在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种．
28．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知，则_________．（用数字作答）
一、单选题
29．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)若，则（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
30．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ）
A．6或7 B．6 C．8或9 D．9
31．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)已知，则为（ ）
A． B．1 C．32 D．243
32．(24-25高二下·江苏南京·期中)设，则的值为（ ）
A．128 B．-128 C． D．
33．(24-25高二下·江苏苏州·期中)的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（ ）
A． B．75 C．135 D．165
34．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)的值是（ ）
A． B．1 C．0 D．22024
35．(24-25高三下·河南焦作·)展开式中的常数项为（ ）
A．3 B．-3 C．7 D．-7
二、多选题
36．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)已知则（ ）
A．的值为2 B．的值为
C．的值为 D．
37．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)已知，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
38．(24-25高二下·辽宁沈阳同泽高级中学·调研)已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
39．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
40．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)若，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
41．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共5项 B．含项的系数为40
C．无常数项 D．所有项的系数之和为
三、填空题
42．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知的展开式中，的系数为80，则______________．
43．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)若，则的值为______．
44．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)若，则展开式中二项式系数和为________ ．（结果用数字作答）
45．(24-25高二下·江苏邗江中学·期中)已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则实数a的值为______．
一、单选题
46．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840 B． C． D．210
47．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)被5除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
48．(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学·期中)设，且，若能被整除，则（ ）
A． B． C． D．
49．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)若正整数，满足等式，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2023 D．2024
50．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
51．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)若展开式中的常数项为60，则（ ）
A．展开式中第4项的二项式系数最大 B．实数a的值为4
C．展开式中奇数项的二项式系数和为64 D．展开式中系数最大的项是第5项
52．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ）

A．第行中，从左到右看第个数最大 B．第行的所有数的和为
C． D．
53．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）

A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120
B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
54．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，在数学中将这种思想方法称为“算两次”．请用此法判断下列等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
55．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________．

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专题06 排列组合与二项式定理小题综合（5考点55题）
5大高频考点概览
考点01 两个基本计数原理
考点02排列
考点03组合
考点04 二项式定理
考点05 二项式系数的性质及应用
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可.
【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种，
舍去，得(负数解舍去).
故选：C.
2．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)乘积展开后共有（ ）项.
A．10 B．24 C．30 D．45
【答案】D
【分析】由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由于每一项互不相同，展开后共有项.
故选：D.
3．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．125种 D．243种
【答案】D
【分析】应用分步乘法计数原理求不同的游览方法数.
【详解】由题设，每人都有3种选择，故5个人不同的游览方法有种.
故选：D
4．(24-25高二下·江苏高邮·期中)5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A．6 B．120 C．125 D．243
【答案】D
【分析】分析题意，考虑每名男生报名的方法数，再按分步乘法计数原理即可求得.
【详解】依题意，每名男生都可以报名参加3个运动队中的任何一个，且每人限报其中的一个，
故每名男生的报名方法都是3种，因此5名男生的不同报法种数为.
故选：D.
5．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)展开后，共有项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意展开后每一项都必须在以及两式中任取一项相乘，再结合分步乘法计数原理可解．
【详解】展开后每一项都必须在以及两式中任取一项相乘，
故有项．
故选：C．
6．(24-25高二下·江苏苏州·期中)某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求每一个同学报名的方法数，再求5个同学不同的报名总数.
【详解】每个同学报名都有4种方式可选，共有5个同学，
则有种报名方法.
故选：D.
二、填空题
7．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)集合具有如下性质：若某集合内有n个元素，则该集合共有子集的个数为2n.现有集合M内含有3个元素，则其共有八个子集，分别为.甲、乙两同学依次各取一个子集分别记为，可以相同，中元素的个数为m，则的概率为______
【答案】
【分析】根据给定条件，求出试验含有的基本事件总数，的事件含有的基本事件数，再求出古典概率.
【详解】依题意，甲、乙两同学依次各取一个子集的试验有个基本事件，
设的事件为，中的元素至少2个，
当都只有2个元素时，相同，共有3个情况；
当中一个有2个、另一个有3个元素时，共有种情况；
当都有3个元素时，有1种情况，因此事件含有的基本事件数为种，
所以.
故答案为：
8．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)除数函数（divisor function）的函数值等于的正因数的个数，例如，，则______；______.
【答案】 15
【分析】由除数函数的定义，利用分类计数求取结果.
【详解】因为的正因数有：，，，…，，共个，所以.
因为，
首先，1是的因数；
从中取1个数，可得的因数，，有2个；
从中取2个数相乘，可得的因数，，，有3个；
从中取3个数相乘，可得的因数，，，有3个；
从中取4个数相乘，可得的因数，，，有3个；
从中取5个数相乘，可得的因数，，有2个；
从中取6个数相乘，可得的因数，有1个.
所以.
故答案为：；15
一、单选题
9．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】依次排乙、甲，再将其余四位同学的名次进行排序即可，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，则乙的名次有种情况，
由于甲不是第一名，则甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四个位次之一，有种，
再将其余四位同学的名次进行排序即可，
所以，第一名到第六名的排列种数为种.
故选：B.
10．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（ ）
A．120 B．60 C．48 D．36
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理即可解题.
【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种，
再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种.
故选：C
11．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出六个数的全排列数，再根据条件出现次，出现次，列式求解.
【详解】六个数的全排列共有个，
因为出现次，出现次，
所以不同的密码有个.
故选：C.
二、多选题
12．(24-25高二下·江苏南京·期中)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（ ）
A．其中能被5整除的数有240个 B．其中偶数有312个
C．其中2，4相邻的数有192个 D．其中1，3不相邻的数有372个
【答案】BC
【分析】按个位是0或5分类求解判断A；按个位为0或2，4之一分类求解判断B；利用相邻问题列式求解判断C；利用排除法求解判断D.
【详解】对于A，能被5整除的整数，个位为0或5，个位为0的六位数有个；
个位为5的六位数有个，共有（个），A错误；
对于B，个位为0的六位偶数有个，个位为2，4之一的六位偶数有个，
共有（个），B正确；
对于C，视2，4为1个数，相当于5个元素的排列，0不能排首位，有（个），C正确；
对于D，由选项C知，1，3相邻的数有192个，符合条件的六位数有个，
因此1，3不相邻的数有（个），D错误.
故选：BC
13．(24-25高二下·江苏高邮·期中)满足不等式的x的值可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】ABC
【分析】根据排列不等式，求出未知数范围，运用阶乘公式计算求解后取整数即可.
【详解】由可得：，即，
由化简得：，
即，解得或，
综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7.
故选：ABC.
三、填空题
14．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是___________．
【答案】
【分析】先让11个人入坐，再把其余4人插空求任取4人两两不相邻的入坐方法数，再应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】15个人围坐在圆桌旁从中任取4人，两两互不相邻，
先让11个人入坐，再把其余4人插空，共有种不同的围坐方法，
所求概率是．
故答案为：
15．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有________种．
【答案】72
【分析】利用分类计数原理，插空法解决相间问题即可.
【详解】第一个节目是舞蹈类节目，则有种不同演出顺序；
第一个节目是独唱类节目，则有种不同演出顺序；
故一共有：种不同演出顺序，
故答案为：72.
16．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示）
【答案】
【分析】根据正难则反的思想，先求出不受限制条件下所有安排种数，然后排除三类不满足条件的所有安排种数即可得解.
【详解】在排片不受时段限制的条件下，总共有种安排方式，
不满足题意的安排方式：
第一类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》：
若五个时段都不安排《长空之王》，则有种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式；
第二类，A时段不安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：
若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式；
第三类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：共有种安排方式，
综上，满足条件的安排方式共有：种，
故答案为：
17．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知，则______.
【答案】
【分析】根据排列数公式计算可得.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：
一、单选题
18．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)从1，2，3，，10这10个数中任取5个不同的数，，，，，则存在，，，使得的取法种数为（ ）
A．176 B．225 C．246 D．252
【答案】C
【分析】由题知，从10个数中任取5个的组合数为：，又5个数均不相邻的有，用总数减去不相邻的即可.
【详解】总情况数：从10个数中任取5个的组合数为：，
不相邻组合数：要求5个数均不相邻，相当于在10个数中插入至少1个间隔，
此时问题等价于从个位置中选5个数，组合数为：，
符合条件的组合数：总情况数减去不相邻的组合数：．
故选：C．
19．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)（ ）
A．120 B．360 C．720 D．840
【答案】A
【分析】根据组合数公式直接运算即可.
【详解】因为.
故选：A.
20．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种
【答案】C
【分析】各会场的获奖者人数可能是或，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列.
【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是或，
若为，则有种不同的派出方法；
若为，则有种不同的派出方法；
综上可得一共有种不同的派出方法.
故选：C
21．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（ ）种.

A．21 B．35 C．70 D．210
【答案】B
【分析】根据组合数的计算，可得答案.
【详解】由图可知从P处运动到Q处的最短路程是向右运动次、向下运动次，共运动次，
则路程最短的不同走法有.
故选：B.
22．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由组合数的运算性质即可求解.
【详解】，
故选：B
23．(24-25高二下·江苏南京·期中)如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（ ）种不同的方案.
A．10 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案.
【详解】依题意，要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，共有个位置可以建设桥梁，
从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法，
但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意，
所以要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案.
故选：C
24．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)若，则（ ）
A．30 B．120 C．360 D．720
【答案】C
【分析】根据组合数的性质，建立方程求得参数，利用排列数的计算，可得答案.
【详解】由题意可得，解得，则.
故选：C.
二、填空题
25．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答）
【答案】120
【分析】根据题意10次搬盒子任选其中3次搬第一堆的3个盒子，应用组合数求不同的搬法数.
【详解】由题设，共需搬10次，选择其中3次搬走第一堆的3个盒子，故有，
故答案为：120
26．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______.
【答案】 39 140
【分析】根据三进制表示规则直接计算可得结果，先将3个0，2个1进行排列，再利用插空法将3个进行排列，然后除去首位为0的所有情况，即可求得结果.
【详解】易知00001110对应的十进制数为；
先将3个0，2个1进行排列，共有种，
再将3个插入到6个空隙中去，共有种，
所以能表示出的不同的三进制数个数共有种，
其中有首位为0时，共有种，
则符合题意的不同的三进制数个数共有种.
故答案为：39；140.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用插空法将将3个插入到6个符合题意的空隙中去，求得总个数，然后减去首位为0时的个数即可得出结果.
27．(24-25高二下·江苏徐州·期中)在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种．
【答案】260
【分析】根据题意可分若A和C相同，B和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可．
【详解】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，
则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类：
若A和C相同，B和D相同时，有种方法；
若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种；
若种四种花，则有种，
则不同的种植方法有种．
故答案为：.
28．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知，则_________．（用数字作答）
【答案】495
【分析】先利用组合数的性质求得的值，再将所求式，利用组合数性质化简成，代入的值计算即可.
【详解】由可得，
故.
故答案为：495.
一、单选题
29．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)若，则（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】B
【分析】根据二项式定理，写出展开式通项，结合题意，可得答案.
【详解】由，则其展开式的通项为，
令，则.
故选：B.
30．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ）
A．6或7 B．6 C．8或9 D．9
【答案】C
【分析】写出、展开式的通项，再对、分类讨论，分别确定、的值，再利用通项计算可得.
【详解】因为展开式的通项为（且），
展开式的通项为（且），
若，且，时，
则展开式中含的项为，
依题意可得，
若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去；
若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去；
若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为；
若，此时，，则无解，故舍去；
若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去），
此时，则展开式中含的项的系数为；
若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数，
由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去；
综上可得的展开式中含的项的系数是或.
故选：C
31．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)已知，则为（ ）
A． B．1 C．32 D．243
【答案】B
【分析】利用赋值法令计算可得.
【详解】因为，
令可得.
故选：B
32．(24-25高二下·江苏南京·期中)设，则的值为（ ）
A．128 B．-128 C． D．
【答案】B
【分析】求出二项式展开式的通项公式，确定各项的正负，再利用赋值法求解.
【详解】依题意，的通项公式为，
则都为负数，都为正数，
因此
，取，得，
所以.
故选：B
33．(24-25高二下·江苏苏州·期中)的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（ ）
A． B．75 C．135 D．165
【答案】D
【分析】求出展开式的通项，进而求出，再利用组合计数问题求出即可.
【详解】展开式的通项，
则，
的展开式中的项为，则，
所以.
故选：D
34．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)的值是（ ）
A． B．1 C．0 D．22024
【答案】A
【分析】利用二项式定理即可求解.
【详解】由二项式定理得
.
故选：A.
35．(24-25高三下·河南焦作·)展开式中的常数项为（ ）
A．3 B．-3 C．7 D．-7
【答案】D
【分析】求出展开式的通项公式，再分别分析与展开式相乘得到常数项的情况，最后将两部分常数项相加即可得到原式展开式中的常数项．
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）．
与展开式中项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
与展开式中常数项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为．
展开式中的常数项为．
故选：D．
二、多选题
36．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)已知则（ ）
A．的值为2 B．的值为
C．的值为 D．
【答案】ACD
【分析】对于ACD，由赋值法验算即可；对于B，由二项式定理验算即可.
【详解】选项A：令A正确.
选项B：，的二项式展开式为，
令 则 令 则 B错误.
选项C：令 则令 则
两式相加得 两式相减得 C正确.
选项D：令 两边同乘得D正确.
故选：ACD.
37．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)已知，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】应用赋值法计算判断A，C，由通项公式计算判断B，应用导函数结合赋值法判断D.
【详解】对于A，将代入，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，将代入，，
，故C不正确；
对于D，对求导，，
将代入得到，故D正确.
故选：ABD.
38．(24-25高二下·辽宁沈阳同泽高级中学·调研)已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】可先将变形为，然后根据二项式展开式的通项公式求出的值，再分别分析各个选项.
【详解】已知，根据二项式展开式的通项公式，
可得展开式的通项公式为.
因为是的系数，令，则，所以.
已知，即，根据组合数公式可得：
解得或，因为，所以.
对于选项A：由上述计算可知，所以选项A正确.
对于选项B：令，则，
即，所以选项B错误.
对于选项C：令，则，
即，所以选项C错误.
对于选项D：对两边求导，
可得：，
令，则，
即，所以选项D正确.
故选：AD.
39．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用二项式定理，结合赋值法，逐项判断即可.
【详解】对于A，，其中，，解得，A正确；
对于B，项的系数为，B错误；
对于C，令，得，令，得，
因此，C正确；
对于D，令，得，
由选项C得，D正确.
故选：ACD
40．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)若，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】应用赋值法分别判断A、B、C，令得，对等式两侧同时求导函数及赋值即可判断D.
【详解】对于A，令，则，故A错误；
对于B，令，则，故B正确；
对于C，令，则，故C正确；
对于D，令，则，
对等式两侧同时求导函数得，
令得，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
41．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共5项 B．含项的系数为40
C．无常数项 D．所有项的系数之和为
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解.
【详解】对A：因为的展开式中有6项，故A错误；
对C：因为，
由无整数解，故展开式无对常数项，故C正确；
B：展开式中，的系数为：，故B正确；
对D：令，得所有项的系数之和为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
42．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知的展开式中，的系数为80，则______________．
【答案】
【分析】求出二项展开式的通项，求出的系数，即可得出
【详解】由题意，
在中，通项为，
∵的系数为80，
∴当即时，，
∴，解得，
故答案为：.
43．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)若，则的值为______．
【答案】80
【分析】由，结合二项展开式的通项公式，得解.
【详解】由，则.
故答案为：80.
44．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)若，则展开式中二项式系数和为________ ．（结果用数字作答）
【答案】1024
【分析】先由组合数公式求出n的值，再利用二项式定理求解.
【详解】因为，
所以，且
解得或1（舍去），
所以二项式的展开式中二项式系数为：．
故答案为：
45．(24-25高二下·江苏邗江中学·期中)已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则实数a的值为______．
【答案】或2
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质及赋值法列式求解.
【详解】由的展开式的二项式系数和为64，得，解得，
由的展开式的各项系数和为729，得，解得或，
所以实数a的值为或2.
故答案为：或2
一、单选题
46．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840 B． C． D．210
【答案】A
【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故，
又二项展开式的通项公式为，
令，则，
故，
故选：A.
47．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)被5除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用二项式的展开式进行求解.
【详解】由题可知，，
则其展开式的通项公式为，
由通项公式可得，只有时，不能被5整除，
其余项均能被5整除.故被5除的余数为1，则被5除的余数为3.
故选：C.
48．(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学·期中)设，且，若能被整除，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，写出的展开式，即可得到能被整除，从而得解.
【详解】因为
，
因为能被整除，又，即能被整除，
即能被整除，
所以能被整除，又且，所以.
故选：C
49．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)若正整数，满足等式，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值.
【详解】∵
，
∴.
故选：D.
50．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等比数列求和公式将将六进制数转换为十进制数，再利用二项展开式可得出这个数被除所得的余数.
【详解】，
因为
，
因为能被整除，
所以，将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是.
故选：D.
二、多选题
51．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)若展开式中的常数项为60，则（ ）
A．展开式中第4项的二项式系数最大 B．实数a的值为4
C．展开式中奇数项的二项式系数和为64 D．展开式中系数最大的项是第5项
【答案】ABD
【分析】根据二项式展开式的通项公式，对四个选项进行分析.
【详解】A选项，因为展开式共7项，第4项的二项式系数最大，故A正确；
B选项， ，其中为整数，且，
令，解得，此时，所以，B正确；
C选项，展开式中奇数项的二项式系数和为，故C错误；
D选项，由得，，又，所以，
且时， ，系数为正，
所以展开式中系数最大的项为是第5项，故D正确.
故选：ABD.
52．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ）

A．第行中，从左到右看第个数最大 B．第行的所有数的和为
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用二项式系数的增减性可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；利用组合数的性质可判断CD选项.
【详解】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第行中共有个数，
从左到右看第个数最大，A对；
对于B选项，第行的所有数的和为，B错；
对于C选项，由组合数的性质可得，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
53．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）

A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120
B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用组合数性质求解判断A；确定总个数判断B；根据第行的第个数为，结合二项式定理判定C；利用的展开式的系数的关系判定D.
【详解】对于A，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确；
对于B，由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此，B错误；
对于C，第行的第个数为，
，C错误；
对于D，，
则是展开式中项的系数，
而，展开式中项的系数为，
因此，D正确.
故选：AD
54．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，在数学中将这种思想方法称为“算两次”．请用此法判断下列等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二项式定理的展开式中的系数两种求法即可判断A；根据排列数的性质结合分类、分步计算原理从两种不同的角度分析即可判断B，C；根据组合数的意义结合分步乘法原理即可判断D.
【详解】对于A，二项式的展开式中的通项为，则展开式中的系数为，
而二项式的展开式中的通项为，
所以的展开式中得系数为，
因为，所以，故A正确；
对于B，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
同时还可以分步骤考虑：
第一步：从个元素中选一个安排在首位，则安排的个数为；
第二步：剩下个位置可从其余个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为；
故从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
所以，故B正确；
对于C，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
同时还可以分类考虑：
第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为，
第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有个位置，
然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为，
综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
所以，故C不正确；
对于D，从个不同的人中选出个人组成一个团队，且选一个人做队长，可以有两种选法：
第一种，从个不同的人中选出个人组成一个团队有种选法，再从选中的个人中选一人当队长有种选法，则形成的团队方法数为；
第二种，先从从个不同的人中选出一人做队长，有种选法，再从余下的选出个人组成团员有种选法，则形成的团队方法数为；
综上，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
55．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________．

【答案】
【分析】依题意将锯齿形数列分组找出规律可知第37项是第19组的第一个数，计算可得结果.
【详解】根据题意，将锯齿形数列两个一组进行分组，可知其成如下规律：
第一组：；
第二组：；
第三组：；
第四组：；
因此第37项是第19组的第一个数，易知第19组的两个数为；
可得第37项是.
故答案为：
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专题06 排列组合与二项式定理小题综合（5考点55题）
1．C
2．D
3．D
4．D
5．C
6．D
7．
8． 15
9．B
10．C
11．C
12．BC
13．ABC
14．
15．72
16．
17．
18．C
19．A
20．C
21．B
22．B
23．C
24．C
25．120
26． 39 140
27．260
28．495
29．B
30．C
31．B
32．B
33．D
34．A
35．D
36．ACD
37．ABD
38．AD
39．ACD
40．BCD
41．BCD
42．
43．80
44．1024
45．或2
46．A
47．C
48．C
49．D
50．D
51．ABD
52．ACD
53．AD
54．ABD
55．
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