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专题07 排列组合与二项式定理大题综合（8考点40题）（解析版）
8大高频考点概览
考点01 排列组合
考点02二项展开式的应用
考点03求指定项的系数
考点04 整除和余数问题
考点05 二项式系数的增减性和最值
考点06二项式的系数和
考点07二项展开式各项的系数和
考点08求系数最大（小）的项
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联盟·期中)2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种
(3)甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种
【答案】(1)2880
(2)1440
(3)2400
【分析】（1）根据排列中的特殊元素优先安排的思想先安排甲的位置，余六人全排即可得结论；
（2）根据排列中不相邻元素采用“插空法”完成计数即可得结论；
（3）根据要求分别计算甲、乙两人中间有2、3、4、5个人排法数，再根据分类加法计数原理得所求.
【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可全排种，
故共有种；
（2）先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（3）共七人排队，甲、乙两人中间有2个人的排法有种，
甲、乙两人中间有3个人的排法有种，
甲、乙两人中间有4个人的排法有种，
甲、乙两人中间有5个人的排法有种，
则共有种排法.
2．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的三位数
(2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数
【答案】(1)180
(2)105
【分析】（1）根据给定条件，任取3个数的排列数，去年百位数字是0的个数即可.
（2）按个位数字是0和2，4，6之一分类求出三位偶数的个数即可.
【详解】（1）从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个，
所以没有重复数字的三位数个数是.
（2）个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个，
所以没有重复数字的三位偶数个数是.
3．(24-25高二下·江苏南京·期中)某班一天的课表共安排6节课，上午4节，下午2节，每门学科都不重复，有7门学科可供选择，它们分别是数学、语文、物理、化学、体育、生物、历史.要求体育课必须安排进课表，且不安排在上午前3节课.
(1)共有多少种不同的课表
(2)若数学安排进课表，且安排在上午，共有多少种不同的课表
(3)若数学、语文都安排进课表，且都安排在上午，共有多少种不同的课表
【答案】(1)2160；
(2)1320；
(3)720.
【分析】（1）利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算.
（2）按数学课是否排在第4节分类，再利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算.
（3）按上午第4节是否排体育课分类，再利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算.
【详解】（1）排体育课有种方法，从余下6门学科中任取5门排入课表有种方法，
所以不同的课表种数是（种）.
（2）数学排在前3节，有种方法；数学排在第4节，有种方法，
所以不同的课表有（种）.
（3）上午不排体育课，有种方法；上午排体育课，有种方法，
所以不同的课表有（种）.
4．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品、5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.
(1)求最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现的不同情形有多少种？
(2)求最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有多少种？
【答案】(1)6种；
(2)90种.
【分析】（1）由题意3次都取到不合格产品，应用排列数求不同情形数；
（2）由题意前3次取得2个不合格产品，1个合格产品，应用排列组合数求不同情形数；
【详解】（1）最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现，即3次都取到不合格产品，所以不同情形有种；
（2）最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现，即前3次取得2个不合格产品，1个合格产品，所以不同情形有种.
5．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
(1)求一共有多少种不同的报名方法；
(2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
(3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.
【答案】(1)
(2)540
(3)230
【分析】（1）根据分步乘法原理直接求解即可.
（2）分三种情况讨论，利用分组分配问题求解即可.
（3）分4种情况，利用分组分配问题求解即可.
【详解】（1）因为每个人都有三种选择，所以一共有种；
（2）因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况：
①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种，
②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种，
③三科均2人，共有：种，
所以一共有：90+360+90=540种.
（3）因为甲乙两人都不报化学学科，
所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况：
①有1人报化学：种，
②有2人报化学：种,
③有3人报化学：种，
④有4人报化学：种，
所以一共有：120+84+24+2=230种.
6．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)一个宿舍的6位同学被邀请参加一个晚会．
(1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
(2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种不同的去法？
(3)该晚会分，两个区，现在决定由甲，乙，丙，丁四位同学参加该晚会，每区都要有人去，且甲和乙不能去同一个区，有多少种不同去法
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分类加法计数原理求解即可；
（2）把甲乙两位同学看成一个人，根据分类加法计数原理求解即可；
（3）先安排甲乙，再安排丙丁，根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】（1）由题意，可以去的人数有共种情况，
则去法共有种；
（2）把甲乙两个人看成一个人，则去法共有种；
（3）先安排甲乙两人，去法共有种，
丙丁两人从，两个区中任选一个，去法共有种，
根据分步乘法计数原理可得有种不同去法.
7．(24-25高二下·江苏徐州·期中)结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
【答案】(1)81；
(2)36；
(3)
【分析】（1）根据分步乘法计数原理可解；
（2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可；
（3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解．
【详解】（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法；
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，
则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法；
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，
先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况．
8．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)某校高二年级有2名男生和4名女生参加“我命由我不由天”主题演讲.
(1)若6名同学站成一排合影留念，求2名男生相邻的不同排法种数；
(2)若从6名同学中随机选出3人，
（i）求恰有1名男生的概率；
（ii）求至少有1名男生的概率.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）因为男生互不相邻，故使用捆绑法求解即可；
（2）（i）先得出从2名男生和4名女生中随机选出3人参加比赛的方法数，再求所选3人恰有1名男生的方法数，用古典概型的概率求解.
（ii）先求选3人中没有男生的概率，再利用对事件的概率求所选3人中至少有1名男生的概率.
【详解】（1）分2步进行：
①将2名男生看成一个整体，考虑2人间的顺序，有种情况，
②将这个整体与4名女生全排列，有种情况，
故2名男生相邻的排法有种；
（2）（i）从6人中选3有共有种
所选3人恰有1名男生有种
所选3人恰有1名男生的概率；
（ii）所选3人中没有男生的概率为
所选3人中至少有1名男生的概率为.
9．(24-25高二下·江苏邗江中学·期中)为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者.赛后，7名同学站成一排，照相留念．
(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种 （用数字作答）
(2)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案 （用数字作答）
(3)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种 （用数字作答）
【答案】(1)576
(2)216
(3)2400
【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列.
（2）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可.
（3）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可.
【详解】（1）女生必须站在一起，先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列，
则有种站队方式.
（2）先将名女生分到三个年级，有种，再将个男生分到三个年级，有种，
所以共有种.
（3）若甲站在两端，则甲有种站法，再选一名女生与甲相邻，有种选法，
再排其他人，有排法，则甲站在两端有种；
若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法，
再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，则甲不站两端有种，
所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种.
10．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知（，且）.
(1)当时，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)42；
(2).
【分析】（1）代入直接计算即可求解；
（2）将和用组合数表达式展开，运用组合数的性质化简，可得，解方程即可.
【详解】（1）当时，.
（2）因为，所以，
即，所以，
所以，解得.
11．(24-25高二下·江苏高邮·期中)（1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答）
（2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答）
（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”（满足），这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答）
【答案】（1）720种；（2）210个；（3）126种
【分析】（1）先排学号为1，2的两人，再排中间3人，最后排剩余的2人，即可得解；
（2）结合排列数，利用缩倍法解决定序问题；
（3）先选5个数字，再根据“五位凸数”的定义利用分步乘法原理确定其排列方式即可.
【详解】（1）先排学号为1，2的两人，有种；
再在其余5人中选择3人站在学号为1，2的两人之间，有种；
再将这5人看作整体与另外2人排成一排，有种；
由分步计数原理知，共种排法；
（2）不考虑限制条件，有个七位数；
则4个奇数的位置一定，共有个七位数；
（3）先从7个数字中选出5个数字，有种；
将选出的5个数中的最大数排在最中间，有1种；
在选出的5个数中的其余4个数中，选择2个排在中间数的左边，有种；
将选出的5个数中的剩下的2个数，排在中间数的右边，有1种；
由分步计数原理知，共种排法.
12．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究.
(1)计算: 并与比较，你有什么发现
(2)写出（1）的一般性结论并证明；
(3)证明:
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据组合数定义进行计算，并比较即可得出结论；
（2）根据从特殊到一般的思想可得，再结合二项式定理即可得证；
（2），比较等式左右两侧的系数即可得证.
【详解】（1），，
从而，；
（2），证明如下：
，等式左侧的系数为，
等式右侧的系数为，
而等式恒成立可得左右的的系数相等，即；
（3），等式左侧的系数为，
等式右侧的系数为
，
而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证.
13．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是.
(1)求n的值；
(2)展开式中的整式项共有几项？
(3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？
【答案】(1)；
(2)7；
(3)系数最大项为第6项，系数最小项为第21项.
【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可；
（2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数；
（3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项和最小项.
【详解】（1）由题设，则，
整理得，故（负值舍）.
（2）由（1）知二项式为，展开式通项为，，
所以时，均为整式项，共有7项；
（3）由在上单调递减，
当时，当时，则，
故在上先增后减，且，
故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项.
14．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)设函数．
(1)若且，求；
(2)当时，求展开式中系数最大的项；
(3)当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：．
【答案】(1)或
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出列出方程解得，通过对赋值1求出展开式的各项系数和；
（2）利用二项展开式的通项确定各项系数，再计算系数大于零的项的系数，从而可判断系数最大项；
（3）利用已知等式求出的关系，代入不等式的左边利用二项式的展开式得到左边，将的关系代入右边得证．
【详解】（1）由题可得，
所以，则，故，
令可得各项系数之和为或；
（2）当时，，
其展开式的通项为，
设展开式的系数为，为偶数时系数为正，为奇数时系数为负，
又，
所以展开式中系数最大的项为；
（3）由可得，
即，所以，
所以，
而，
所以原不等式成立．
15．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)在二项式的展开式中.
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项.
【答案】(1)，
(2)，84
【分析】（1）根据后三项的二项式系数的和求出，再根据二项式系数最大结合通项公式求解即可；
（2）根据通项公式结合常数项得出及的范围计算求解.
【详解】（1）由，
得，显然.
二项式系数中最大的项是第5项与第6项，
其中；
（2）依题意，展开式中有常数项，则且，
则，常数项为
16．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)设.
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二项式定理，写出展开式通项，结合题意，可得答案；
（2）利用赋值法，结合题目中的等式，可得答案；
（3）对等式进行求导，利用赋值法，结合题意，可得答案.
【详解】（1）由的展开式的通项为，
因为，所以.
（2）令，则，令，则，
所以.
（3）由两边求导得：
.
由两边求导得：
.
令，则.
所以.
17．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知的展开式中共有11项．
(1)求展开式中含的项的系数；结果用数字作答
(2)求二项式系数最大的项．
【答案】(1)960；
(2)
【分析】（1）结合二项式定理通项计算，即可求解；
（2）结合（1）的通项公式以及二项式系数的增减性，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，解得，
展开式的通项为，
令，解得，
故展开式中含的项的系数为；
（2）由可得二项式系数最大的项为第六项，
即.
18．(24-25高二下·江苏南京·期中)在的展开式中，前3项的系数成等差数列.
(1)求展开式中的一次项；
(2)证明展开式中没有常数项；
(3)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据二项式定理的展开式公式及等差数列的性质先计算n的值，再利用二项式展开式的通项公式计算一次项即可；
（2）根据通项公式设出常数项计算得出矛盾，即可证明；
（3）利用二项式展开式通项待定系数求有理项即可.
【详解】（1）设该二项式展开式通项为，则，
由题意可得：或，
显然不符题意，舍去，故.
令，即含x的一次项为：；
（2）由（1）展开式通项为 ，则，
所以不满足，所以展开式中没有常数项；
（3）由（1）知二项式展开式通项，由题意知，
令得为展开式中所有的有理项.
19．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知的展开式的所有二项式系数之和为64．
(1)求该二项式及其展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)，常数项为15；
(2).
【分析】（1）由二项式系数得，即可二项式，进而写出其展开式的通项公式，即可求常数项；
（2）由组合数的性质求展开式中系数最大的项．
【详解】（1）由题意，可得，所以二项式为，
则二项式通项公式得，，
令，则，则常数项为
（2）由（1）知，当时，系数最大项为.
20．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)在的展开式中，求：
(1)求常数项、及此项的二项式系数；
(2)求奇数项的二项式系数的和；
(3)求系数绝对值最大的项．
【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为
(2)
(3)
【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值，结合二项式系数的概念可得出该项的二项式系数；
（2）利用奇数项的系数和为所有项二项式系数和的一半可得结果；
（3）令，设最大值，则，结合组合数公式可求出的取值范围，结合可得出的值，即可得解.
【详解】（1）展开式的通项公式为，
令，可得，所以，展开式中的常数项为，
其二项式系数为.
（2）奇数项的二项式系数和为.
（3）令，设最大，则，即，
即，解得，
因为，解得，所以，系数绝对值最大的项为.
21．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)在的展开式中，______．
给出下列条件：①各项系数之和为729，②第三项的二项式系数为15，③二项式系数和为64，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求n的值并求展开式中的常数项；
(2)求展开式中的系数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）若选①：写出二项式展开式的通项，利用赋值法，表示系数和以及常数项，建立方程，可得答案；若选②：写出二项式展开式的通项，表示出第三项与常数项，建立方程，可得答案；若选③：根据二项式系数之和建立方程，写出二项式展开式的通项，表示常数项，可得答案.
（2）由（1）写出二项式展开式的通项，根据多项式的乘法，表示出符合题意的项，可得答案.
【详解】（1）若选①：
由的展开式通项为，
令，则，解得，即，
令，即，则.
若选②：
由的展开式通项为，
由，则，即，
分解因式可得，解得，即，
令，即，则.
若选③：
由题意可得，解得，
由的展开式通项为，
令，即，则.
（2）由（1）可得的展开式通项为，
令，解得，令，解得
则，
所以展开式中的系数为.
22．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知函数，.
(1)当时，求的值；
(2)若能被整除，求的最小值；
(3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值.
【答案】(1)
(2)
(3)，或
【分析】（1）依题意，再代入计算可得；
（2）由，写出展开式，即可分析要能被整除，再分为偶数、奇数讨论，分别确定的最小值；
（3）写出展开式的通项，即可得到，根据组合数公式整理得到，则为完全平方数，即可确定的值，同时取出相应的.
【详解】（1）因为
，，
当时，所以；
（2）因为，，
则
，
又能被整除，所以，
又能被整除，
所以要能被整除，
当为偶数时，，此时的最小值为；
当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意，
综上可得的最小值为；
（3）因为展开式的通项为（且），
所以，，的项的系数分别为，，，
因为，，的项的系数成等差数列，
所以，整理可得，
即，为完全平方数，
又且
的最大值为，此时，则或，
解得或，
所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列，
中，，的项的系数分别为，，成等差数列；
综上可得，或.
23．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
(1)求（用数值作答）；
(2)若，求二项式的值被7除的余数．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）依题意可求得，再利用赋值法计算可得结果；
（2）易知当时，二项式为，再由二项展开式可得项式的值被7除的余数为1.
【详解】（1）根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数为，
因此可知，
令，可得；
令，可得，
即；
（2）若，则二项式为：
；
因此二项式的值被7除的余数为1.
24．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)已知展开式的各二项式系数和为512，且．
(1)求；（结果保留指数幂形式）
(2)求的值；
(3)求证：能被6整除．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法，求解系数的和；
（2）利用换元，将展开式转化为，再求前的系数；
（3）首先变形为，再根据展开式的特点，证明整除问题.
【详解】（1）由题意可知，，得，
，
令，得，令，得，
所以；
（2）令，得，
则，
则；
（3），
，
其中每一项都能被整除，
所以能被6整除.
25．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知展开式的二项式系数和为512，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求被8整除的余数.
【答案】(1)672；
(2)2；
(3).
【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；
（3）根据题意，可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案.
【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为512，
所以，解得，
因为，所以；
（2）在中，
令，则，
令，可得，
所以；
（3）
所以被8整除的余数为.
26．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)函数．
(1)求的值；
(2)用二项式定理证明：能被8整除．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法对进行赋值，代入求解即可.
（2）对进行代入化简，根据二项式定理展开，即可证明被8整除.
【详解】（1）令，则，所以，
令，则，
令，则，
两式相加，得，
所以，
所以.
（2），
显然能被8整除，
且能被8整除，
所以能被8整除.
27．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知．
(1)；（该问结果可保留幂的形式）
(2)求的最大值；
(3)求被13除的余数．
【答案】(1)6305
(2)1792
(3)
【分析】（1）分别令，，即可得解；
（2）根据求出展开式的通项，再利用不等式法求解即可；
（3），再根据二项式定理即可得解.
【详解】（1）令，则，
令，则，
所以；
（2），
故展开式得通项为，，
∴，，，
令， 解得，
∴的最大值为；
（3）∵
，
令，
则，
∴被除的余数为.
【点睛】结论点睛：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
28．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为．
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）求出展开式的通项公式，根据第5项与第3项的系数之比为列式求出；
（2）根据二项式系数的特征求解；
（3）赋值法，令，求解.
【详解】（1）展开式的通项公式为，
因为第5项与第3项的系数之比为，所以，
即，解之得或（舍），所以.
（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为.
（3）由，令，所以.
29．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)若展开式前三项的二项式系数之和为22．
(1)求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据展开式的前三项的二项式系数之和求出的值，利用二项式系数的性质找出最大的二项式系数，进而求出展开式中二项式系数最大的项，最后利用求出所有二项式系数和；
（2）利用二项式展开式的通项公式即可求出其常数项.
【详解】（1）由题意可知，，即，
得或（舍），
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为.
（2），
令，得，则，
故展开式中的常数项为.
30．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)求系数的绝对值最大的项为第几项．
【答案】(1)
(2)第4项．
【分析】（1）直接利用展开式的次幂得到展开式的项数，进一步求出二项式系数的最大项；
（2）利用展开式求出系数的绝对值的最大项．
【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第6项，
所以．
（2）（2）设第项的系数的绝对值最大，
故
整理得，，解得，所以．
故系数的绝对值最大的项为第4项．
31．(24-25高二下·江苏苏州·期中)（1）求值：①；
②.
（2）求证：；
【答案】（1），，（2）证明见详解
【分析】（1）①由排列数公式运算得解，②根据二项式系数和公式求解；（2）根据组合数公式证明.
【详解】（1）①.
②由二项式系数和的特点，.
（2）
.
32．(23-24高二下·江苏镇江·期中)（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法 一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析；
（3）.
【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到；
（2）令为，为，代入即可；
（3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可.
【详解】（1）①证明：
；
②证明：
.
（2）令为，为，
由，可得.
证明：.
（3）
由（2）得，即，
原式
.
【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形.
33．(23-24高二下·江苏启东·期中)在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.
①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；
②前三项的二项式系数之和为22.
问题：在的展开式中，__________.
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)证明见解析
(2)，.
【分析】两问都是先求出，后运用通项公式解题即可.
【详解】（1）若选①，令，则所有项的系数和为；
二项式系数之和为.
因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，
所以，解得.
故.
若是常数项，则，得，
故展开式没有常数项；
若选②，因为前三项的二项式系数之和为22，
所以，
整理得，解得.
故.
若是常数项，则，得，
故展开式中没有常数项.
（2）由（1）得，.
是有理项，当且仅当为整数.
又因为，所以.
故展开式中有3个有理项，分别为，.
34．(24-25高二下·江苏苏州·期中)已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.
(1)求和的值；
(2)求展开式中按的降幂排列的第3项；
(3)求展开式中项的系数最大的项.
【答案】(1)，
(2)
(3)第6项
【分析】（1）根据题意，可得，化简运算得解；
（2）求出展开式的通项，进而求解；
（3）由题可得第项系数为，设第项系数最大，可得，运算得解.
【详解】（1）由题意得，即，解得，
令，则各项系数和为，解得.
所以，.
（2）由（1），展开式的通项为，
所以展开式中按降幂排列的第3项为，
（3）由（2）知，展开式的第项系数为，，
设第项系数最大，则，
解得，又，所以，
所以展开式中项的系数最大的项为第6项.
35．(24-25高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等．
(1)求含的项；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，可求得，利用二项式展开式的通项公式可求得含的项；
（2）由展开式的通项公式可得均为正，均为负，利用赋值法可求得的值.
【详解】（1）由已知得，所以，即，
其展开式的通项公式为，，
令，有.
（2），
由（1），二项式展开式的通项公式，，
可知均为正，均为负，
所以，
令，得，
又令，所以，
所以．
36．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知.
(1)若，求：
①的值，
②的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①153②78
(2)85
【分析】（1）由赋值法，分别令，，即可求解；
（2）由，得到，再通过和两类情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，所以
①令得，，
令得，，
所以，
②令得，，
由①得，，
所以；
（2）由得，，
所以，
当时，，，
当时，，
结合二次函数的性质可知当时，
所以的最小值为85
37．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)在二项式的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等．
(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用组合数的性质可得，由二项式的通项公式即可求解；
（2）由二项式通项公式有，当即可求解.
【详解】（1）有题意有，所以，
所以，
所以系数最大项为，
（2）由有，所以，
所以展开式中的有理项为，
所以有理项为：.
38．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)已知函数，其中，．
(1)若n＝8，，求的最大值；
(2)若，求；（用n表示）
(3)若，求证：．
【答案】(1)1792
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由二项式定理求得，从而求得，然后设最大，解不等式组求解；
（2）由题意可得，两边求导，令可得解；
（3）用写出等式左边的和式，然后由组合数公式化简变形后再由二项式定理可证．
【详解】（1），
，
不妨设中，则
，
中的最大值为；
（2）若，，两边求导得，
令得，.
（3）若，，
，
因为，
所以
．
【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是利用组合数公式将化简为.
39．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)在的展开式中，______．
现在有以下三个条件：
条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为；
条件②：只有第6项的二项式系数最大：
条件③：其前三项的二项式系数的和等于56．
请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)展开式中所有二项式系数的和；
(2)展开式中的系数最大项．
【答案】(1)1024
(2)
【分析】（1）选条件①得到求解；选条件②得到求解；选条件③得到求解；
（2）由（1）得到二项式为，再利用通项公式列式求解即可.
【详解】（1）解：选条件①：因为第4项和第2项的二项式系数之比为；
所以，即，
即，解得（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件②：因为只有第6项的二项式系数最大；
所以为偶数，且，解得.
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件③：因为其前三项的二项式系数的和等于56，
所以，
即，即，解得（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和；
（2）由（1）二项式为，
其通项公式为：，
可知第项的系数为，
令，解得，即，
所以第项的系数最大，最大项为，
40．(24-25高二下·江苏无锡·期中)在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项．
【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为
(2)
(3)
【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数；
（2）由二项式系数的性质可得；
（3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得.
【详解】（1）二项式的通项
．
第3项的二项式系数为，第3项的系数为；
（2）奇数项的二项式系数和；
（3）设系数绝对值最大的项为第项，
当时，
由，解得，
又，所以，此时；
当时，；
当时，；
综上可知，系数绝对值最大的项为．
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专题07 排列组合与二项式定理大题综合（8考点40题）
1．(1)2880
(2)1440
(3)2400
2．(1)180
(2)105
3．(1)2160；
(2)1320；
(3)720.
4．(1)6种；
(2)90种.
5．(1)
(2)540
(3)230
6．(1)
(2)
(3)
7．(1)81；
(2)36；
(3)
8．(1)
(2)（i）；（ii）.
9．(1)576
(2)216
(3)2400
10．(1)42；
(2).
11．（1）720种；（2）210个；（3）126种
12．(1)，，
从而，；
（2），证明如下：
，等式左侧的系数为，
等式右侧的系数为，
而等式恒成立可得左右的的系数相等，即；
（3），等式左侧的系数为，
等式右侧的系数为
，
而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证.
13．(1)；
(2)7；
(3)系数最大项为第6项，系数最小项为第21项.
14．(1)或
(2)
(3)由可得，
即，所以，
所以，
而，
所以原不等式成立．
15．(1)，
(2)，84
16．(1)
(2)
(3)
17．(1)960；
(2)
18．(1)
(2)由（1）展开式通项为 ，则，
所以不满足，所以展开式中没有常数项；
(3)
19．(1)，常数项为15；
(2).
20．(1)常数项为，此项的二项式系数为
(2)
(3)
21．(1)，
(2)
22．(1)
(2)
(3)，或
23．(1)
(2)1
24．(1)
(2)
(3)，
，
其中每一项都能被整除，
所以能被6整除.
25．(1)672；
(2)2；
(3).
26．(1)0
(2)，
显然能被8整除，
且能被8整除，
所以能被8整除.
27．(1)6305
(2)1792
(3)
28．(1)
(2)
(3)1
29．(1)；
(2)
30．(1)
(2)第4项．
31．（1），
（2）
.
32．（1）①证明：
；
②证明：
.
（2）令为，为，
由，可得.
证明：；
（3）.
33．(1)若选①，令，则所有项的系数和为；
二项式系数之和为.
因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，
所以，解得.
故.
若是常数项，则，得，
故展开式没有常数项；
若选②，因为前三项的二项式系数之和为22，
所以，
整理得，解得.
故.
若是常数项，则，得，
故展开式中没有常数项.
(2)，.
34．(1)，
(2)
(3)第6项
35．(1)
(2)
36．(1)①153②78
(2)85
37．(1)
(2)
38．(1)1792
(2)
(3)若，，
，
因为，
所以
．
39．(1)1024
(2)
40．(1)二项式系数为，第3项的系数为
(2)
(3)
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专题07 排列组合与二项式定理大题综合（8考点40题）（解析版）
8大高频考点概览
考点01 排列组合
考点02二项展开式的应用
考点03求指定项的系数
考点04 整除和余数问题
考点05 二项式系数的增减性和最值
考点06二项式的系数和
考点07二项展开式各项的系数和
考点08求系数最大（小）的项
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联盟·期中)2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种
(3)甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种
2．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的三位数
(2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数
3．(24-25高二下·江苏南京·期中)某班一天的课表共安排6节课，上午4节，下午2节，每门学科都不重复，有7门学科可供选择，它们分别是数学、语文、物理、化学、体育、生物、历史.要求体育课必须安排进课表，且不安排在上午前3节课.
(1)共有多少种不同的课表
(2)若数学安排进课表，且安排在上午，共有多少种不同的课表
(3)若数学、语文都安排进课表，且都安排在上午，共有多少种不同的课表
4．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品、5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.
(1)求最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现的不同情形有多少种？
(2)求最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有多少种？
5．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
(1)求一共有多少种不同的报名方法；
(2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
(3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.
6．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)一个宿舍的6位同学被邀请参加一个晚会．
(1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
(2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种不同的去法？
(3)该晚会分，两个区，现在决定由甲，乙，丙，丁四位同学参加该晚会，每区都要有人去，且甲和乙不能去同一个区，有多少种不同去法
7．(24-25高二下·江苏徐州·期中)结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
8．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)某校高二年级有2名男生和4名女生参加“我命由我不由天”主题演讲.
(1)若6名同学站成一排合影留念，求2名男生相邻的不同排法种数；
(2)若从6名同学中随机选出3人，
（i）求恰有1名男生的概率；
（ii）求至少有1名男生的概率.
9．(24-25高二下·江苏邗江中学·期中)为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者.赛后，7名同学站成一排，照相留念．
(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种 （用数字作答）
(2)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案 （用数字作答）
(3)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种 （用数字作答）
10．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知（，且）.
(1)当时，求的值；
(2)若，求的值.
11．(24-25高二下·江苏高邮·期中)（1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答）
（2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答）
（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”（满足），这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答）
12．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究.
(1)计算: 并与比较，你有什么发现
(2)写出（1）的一般性结论并证明；
(3)证明:
13．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是.
(1)求n的值；
(2)展开式中的整式项共有几项？
(3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？
14．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)设函数．
(1)若且，求；
(2)当时，求展开式中系数最大的项；
(3)当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：．
15．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)在二项式的展开式中.
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项.
16．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)设.
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知的展开式中共有11项．
(1)求展开式中含的项的系数；结果用数字作答
(2)求二项式系数最大的项．
18．(24-25高二下·江苏南京·期中)在的展开式中，前3项的系数成等差数列.
(1)求展开式中的一次项；
(2)证明展开式中没有常数项；
(3)求展开式中所有的有理项.
19．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知的展开式的所有二项式系数之和为64．
(1)求该二项式及其展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
20．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)在的展开式中，求：
(1)求常数项、及此项的二项式系数；
(2)求奇数项的二项式系数的和；
(3)求系数绝对值最大的项．
21．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)在的展开式中，______．
给出下列条件：①各项系数之和为729，②第三项的二项式系数为15，③二项式系数和为64，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求n的值并求展开式中的常数项；
(2)求展开式中的系数．
22．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知函数，.
(1)当时，求的值；
(2)若能被整除，求的最小值；
(3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值.
23．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
(1)求（用数值作答）；
(2)若，求二项式的值被7除的余数．
24．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)已知展开式的各二项式系数和为512，且．
(1)求；（结果保留指数幂形式）
(2)求的值；
(3)求证：能被6整除．
25．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知展开式的二项式系数和为512，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求被8整除的余数.
26．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)函数．
(1)求的值；
(2)用二项式定理证明：能被8整除．
27．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知．
(1)；（该问结果可保留幂的形式）
(2)求的最大值；
(3)求被13除的余数．
28．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为．
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)若，求的值．
29．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)若展开式前三项的二项式系数之和为22．
(1)求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项．
30．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)求系数的绝对值最大的项为第几项．
31．(24-25高二下·江苏苏州·期中)（1）求值：①；
②.
（2）求证：；
32．(23-24高二下·江苏镇江·期中)（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法 一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.
33．(23-24高二下·江苏启东·期中)在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.
①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；
②前三项的二项式系数之和为22.
问题：在的展开式中，__________.
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项.
34．(24-25高二下·江苏苏州·期中)已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.
(1)求和的值；
(2)求展开式中按的降幂排列的第3项；
(3)求展开式中项的系数最大的项.
35．(24-25高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等．
(1)求含的项；
(2)若，求的值．
36．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知.
(1)若，求：
①的值，
②的值；
(2)若，求的最小值.
37．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)在二项式的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等．
(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
38．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)已知函数，其中，．
(1)若n＝8，，求的最大值；
(2)若，求；（用n表示）
(3)若，求证：．
39．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)在的展开式中，______．
现在有以下三个条件：
条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为；
条件②：只有第6项的二项式系数最大：
条件③：其前三项的二项式系数的和等于56．
请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)展开式中所有二项式系数的和；
(2)展开式中的系数最大项．
40．(24-25高二下·江苏无锡·期中)在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项．
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