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专题08 概率小题综合（7大考点60题）（答案版）
1．C
2．B
3．B
4．D
5．C
6．D
7．A
8．
9．
10．
11．B
12．D
13．ACD
14．ACD
15．ACD
16．/
17．0.69/
18．
19．
20．B
21．B
22．A
23．/
24．
25．
26．A
27．A
28．B
29．D
30．D
31．B
32．ABC
33．ABD
34．ABD
35．BCD
36．BC
37．ACD
38．BC
39．AC
40． 6
41． /
42． /
43． 或
44．
45．B
46．C
47．B
48．ABD
49．BC
50．0.6或者
51．C
52．B
53．B
54．A
55．D
56．B
57．BCD
58．AC
59．BD
60．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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0307766中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 概率小题综合（7大考点60题）
7大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02全概率公式
考点03随机变量及其分布列
考点04 离散型随机变量的数字特征
考点05 二项分布
考点06超几何分布
考点07正态分布
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)设，为两个随机事件，若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学·期中)为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·江苏徐州·期中)甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)小明等5名同学准备分别从竹海风景区、善卷洞、云湖这3个景点随机选择一个游玩，设事件“每个景点都有人去”，事件“小明独自去了一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)若随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)高二年级甲，乙两班进行拔河比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲班获胜的概率为，乙班获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲班获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为________.
9．(24-25高二下·江苏淮安高中校协作体·期中)已知两个随机事件，若，，，则______________.
10．(24-25高二下·江苏泰州中学·期中)小红和小梅大学毕业后，主动到山区学校参加支教活动，她们两个都决定从包括甲学校在内的所学校中随机选择一所学校去支教，设事件A为“两人至少有一人选择甲学校”，事件B为“两人选择的学校不同”，若，则______．
一、单选题
11．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球，先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)中小学每年对在校生实施健康体检.据统计，某校学生大约的人患色盲，而该校男同学人数约占总学生数的，这些人的色盲率约为.现从女同学中任选一人，则此人患色盲的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（ ）
A．连续投篮两次都投中的概率为
B．连续投篮两次都未投中的概率为
C．第二次投篮投中的概率为
D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为
14．(24-25高二下·江苏淮安九校·期中)甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B．
C． D．
15．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
三、填空题
16．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)已知，，，则______.
17．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为______．
18．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球观察后放回；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出一个球观察后放回．如此重复操作三次，其中恰有一次摸出红球的概率为________．
19．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为_______.
一、单选题
20．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若随机变量的分布如下表：
1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则的值为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85
21．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度，设它向左移动的概率为，向右移动的概率为，已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，则2秒后该质点在处的概率为（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
23．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)已知随机变量服从两点分布，且，设，那么__________.
24．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为________.
25．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望______；______．
一、单选题
26．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知随机变量的分布列如下表，若，则（ ）
X 2 3 5
P a b 2b－a
A． B． C． D．
27．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)设 随机变量X 的分布列如表所示，则E(X) （ ）
X 1 2 3
P
A．有最大值 ，最小值
B．有最大值 ，最小值
C．有最大值，没有最小值
D．无最大值，有最小值
28．(24-25高二下·江苏淮安九校·期中)为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券
A．12 B．16 C．18 D．20
a b ab
P
29．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知随机变量满足：，当时，，随机变量的取值为，，…，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
30．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知随机变量，且，，则（ ）
A． B． C． D．
31．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)投掷一枚质地均匀骰子，当出现2点或3点时，就说这次试验成功，每次试验相互独立，则在90次试验中成功次数的均值是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
二、多选题
32．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．设和互为对立事件，则
B．若随机变量，且，则
C．若，则
D．若随机变量X的分布列为，则
33．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)市教育局组织各学校举行教师团体乒乓球比赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两个学校的教师团队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为，(注：比赛结果没有平局).以下说法正确的是（ ）
A．甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是
B．甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率是
C．若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，则甲队明星队员M上场的概率是
D．若甲队明星队员M在前3局比赛中出场，则前3局比赛中甲队获胜局数X的数学期望是
34．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
35．(24-25高二下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为
D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
36．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，白球2个，黑球3个，分别从中用两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回；方式二：依次无放回，则（ ）
A．按方式一，摸出是同一种颜色球的概率为
B．按方式一，设摸出黑色球的个数为，则方差
C．按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，摸出2黑1白的概率为
D．若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出2黑1白的概率为
37．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
38．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
40．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是________，摸球次数的期望是________．
41．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的k阶矩定义为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，则________，________.
42．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，则____________，期望___________．
43．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________.
44．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大．
一、单选题
45．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的
46．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8
47．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
48．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)下列说法正确的是（ ）
A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布.
B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布.
C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布.
D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布.
49．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，满足，，则
B．若，，，则
C．若，则
D．若分布，，则
三、填空题
50．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)若随机变量，则 ______.
一、单选题
51．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
52．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（ ）
A． B． C． D．
53．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ）
A． B．
C． D．
54．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)对某市数学考试成绩的数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量，则，.
A． B． C． D．
55．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)随机变量，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
56．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)设随机变量服从正态分布，记，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
二、多选题
57．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)下列命题中，真命题有（ ）
A．若随机变量 则
B．若随机变量，且 则
C．若随机变量则
D．若事件满足且则与独立
58．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
59．(24-25高二下·江苏徐州·期中)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．当时，
B．
C．随机变量，当，都减小时，概率增大
D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变
三、填空题
60．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是 ________________ ．
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专题08 概率小题综合（7大考点60题）
7大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02全概率公式
考点03随机变量及其分布列
考点04 离散型随机变量的数字特征
考点05 二项分布
考点06超几何分布
考点07正态分布
一、单选题
1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记事件从中任取一个数，这个数能被整除，记事件从中任取一个数，这个数能被整除，利用排列计数原理求出的值，利用列举法求出的值，再利用条件概率公式可求出的值.
【详解】记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，
现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选，
4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为，
所以，
无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即，
由条件概率公式可得.
故选：C.
2．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)设，为两个随机事件，若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用条件概率公式计算即可求解.
【详解】，，，
又，．
故选：B
3．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件，利用条件概率公式计算可得.
【详解】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件，
则，，
所以，
即在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为.
故选：B
4．(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学·期中)为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式计算可得.
【详解】依题意高一、高二、高三年级参加活动的学生中女生人数均是人，
记选到的是女生为事件，该生不是高二同学为事件，
则.
故选：D
5．(24-25高二下·江苏徐州·期中)甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率知识可解．
【详解】设事件“甲命中目标”，“至少命中一次”，
则，，
则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为
故选：C
6．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)小明等5名同学准备分别从竹海风景区、善卷洞、云湖这3个景点随机选择一个游玩，设事件“每个景点都有人去”，事件“小明独自去了一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知根据古典概型的概率计算公式求解和，然后根据条件概率的计算公式求解即可.
【详解】5名同学从3个景点随机选择一个游玩，选法共有种，
小明选择一个景点的方法共有种，
将剩下的4名同学分成两组并分配到2个景点，选法共有种，
所以，
小明独自去一个景点，剩下的4名同学从剩下的2个景点中任选1个，
选法共有种，
所以，
所以.
故选：.
7．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)若随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率公式先求出，再根据求出.
【详解】已知，，根据条件概率公式，可得.
将，代入上式，可得.
已知，，根据条件概率公式，可得.
故选：A.
二、填空题
8．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)高二年级甲，乙两班进行拔河比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲班获胜的概率为，乙班获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲班获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为________.
【答案】
【分析】根据独立事件概率乘积公式及条件概率公式计算求解即可.
【详解】甲班获胜的总概率为P(甲胜)
比赛进行3局且甲班获胜的概率为P(3局且甲胜)
条件概率为P(3局|甲胜)
故答案为：.
9．(24-25高二下·江苏淮安高中校协作体·期中)已知两个随机事件，若，，，则______________.
【答案】
【分析】根据条件概率的性质即可求解.
【详解】由可得，故,
故答案为：,
10．(24-25高二下·江苏泰州中学·期中)小红和小梅大学毕业后，主动到山区学校参加支教活动，她们两个都决定从包括甲学校在内的所学校中随机选择一所学校去支教，设事件A为“两人至少有一人选择甲学校”，事件B为“两人选择的学校不同”，若，则______．
【答案】
【分析】先计算事件所包含的样本点个数，再利用公式计算即可.
【详解】利用间接法可得，
利用分步乘法计数原理得，
则，得
故答案为：
一、单选题
11．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球，先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设取出的球为红球为事件，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，利用全概率公式求解即可．
【详解】设取出的球为红球为事件，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，
则，
由全概率公式可得：
．
故选：B
12．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)中小学每年对在校生实施健康体检.据统计，某校学生大约的人患色盲，而该校男同学人数约占总学生数的，这些人的色盲率约为.现从女同学中任选一人，则此人患色盲的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】记随机抽一位同学是男同学为事件，随机抽一位同学是女同学为事件，患色盲为事件，根据全概率公式计算可得.
【详解】记随机抽一位同学是男同学为事件，随机抽一位同学是女同学为事件，患色盲为事件，
依题意可得，则，
又，，
所以，即，解得，
即现从女同学中任选一人，则此人患色盲的概率为.
故选：D
二、多选题
13．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（ ）
A．连续投篮两次都投中的概率为
B．连续投篮两次都未投中的概率为
C．第二次投篮投中的概率为
D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为
【答案】ACD
【分析】对A，利用全概率公式求解；对B，利用全概率公式求解；对C，利用全概率公式求解；对D，利用条件概率的公式求解.
【详解】设事件：第一次投篮投中，事件：第二次投篮投中，
则，，，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，由条件概率得，故D正确.
故选：ACD.
14．(24-25高二下·江苏淮安九校·期中)甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据条件概率及全概率公式计算即可.
【详解】由题意知，，
，，故A正确；
，，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
15．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
【答案】ACD
【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断.
【详解】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2，
“甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B．
对于A，A1与A2不能同时发生，故A正确；
对于B，因为，，但，故，故B错误；
对于C，由，，，，，，
由全概率公式得：
．故C正确；
对于D，由题意可知所求概率为；故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
16．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)已知，，，则______.
【答案】/
【分析】利用全概率公式直接列式求解.
【详解】依题意，，
因此，所以.
故答案为：0.2
17．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为______．
【答案】0.69/
【分析】利用全概率公式求值.
【详解】设事件：语音识别成功，则.
故答案为：
18．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球观察后放回；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出一个球观察后放回．如此重复操作三次，其中恰有一次摸出红球的概率为________．
【答案】
【分析】分情况讨论从甲中摸红球和从乙中摸到红球的概率，即可得每次摸到红球的概率，设事件“三次摸球中恰有一次摸出红球”，求解概率即可．
【详解】从甲中摸红球：掷到1或2的概率为，则再从甲中摸到红球的概率为，
故从甲中摸到红球的概率为；
从乙中摸到红球：掷到3，4，5，6的概率为，则再从乙中摸到红球的概率为，
故从乙中摸到红球的概率为，
综上所述：每次摸到红球的概率为，
设事件“三次摸球中恰有一次摸出红球”，
所以.
故答案为：.
19．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为_______.
【答案】
【分析】根据三个车间的产量占比和次品率，即可求出任取一个配件是次品的概率.
【详解】由题意，
3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，次品率依次为6%，5%，5%，
∴任取一个配件是次品的概率为：，
故答案为：.
一、单选题
20．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若随机变量的分布如下表：
1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则的值为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85
【答案】B
【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率.
【详解】，解得；
，
故选：B.
21．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度，设它向左移动的概率为，向右移动的概率为，已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，则2秒后该质点在处的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设“质点2秒后所在位置对应的实数为非负数”，“2秒后该质点在处”，求出和，由条件概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，质点2秒内移动了2次，设向右移动的次数为，
设“质点2秒后所在位置对应的实数为非负数”，“2秒后该质点在处”，
若质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，则，
则，
若2秒后该质点在处，即，其概率，
故2秒后该质点在处的概率
故选：B
22．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可.
【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1，
，
，解得：，
.
故选：A
二、填空题
23．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)已知随机变量服从两点分布，且，设，那么__________.
【答案】/
【分析】根据两点分布得基本性质即可求解.
【详解】由题意可得，.
故答案为：.
24．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为________.
【答案】
【分析】分析离散型随机变量时的情况，由古典概型的概率公式求解即可.
【详解】连续投掷两次质地均匀的正方体骰子，则总共有种情况，
时，两次投掷点数相差，共有种情况，，
故，
故答案为：
25．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望______；______．
【答案】
【分析】根据古典概率模型写出随机变量X的不同取值所对应的概率，再计算随机变量X的期望；根据全概率公式计算的值.
【详解】由题意可知，，.
所以：，
根据全概率公式得：.
故答案为：；
一、单选题
26．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知随机变量的分布列如下表，若，则（ ）
X 2 3 5
P a b 2b－a
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质及期望公式即可求解.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知：，解得.
故选：A.
27．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)设 随机变量X 的分布列如表所示，则E(X) （ ）
X 1 2 3
P
A．有最大值 ，最小值
B．有最大值 ，最小值
C．有最大值，没有最小值
D．无最大值，有最小值
【答案】A
【分析】利用分布列的性质及期望公式求得，再利用余弦函数性质求解判断.
【详解】依题意，，则，
则，
当时，，，则，
所以有最大值，最小值，A正确，BCD错误.
故选：A
28．(24-25高二下·江苏淮安九校·期中)为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解.
【详解】若摸到一红球一白球的概率，
若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率，
设可获得百元代金券为变量分布列如下，
a b ab
P
，
手气最好者获得百元代金券
即，，
又a，b均为正整数，
所以当时，有，即舍去；
当时，有，即，
此时运气最好者获得至多百元代金券；
当时，有，即舍去；
当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，可得舍去；
综上，运气最好者获得至多16百元代金券.
故选：B.
29．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知随机变量满足：，当时，，随机变量的取值为，，…，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于AB：根据期望公式分析判断；对于CD：根据方差的意义分析判断.
【详解】由题意可知：，，
可知，故AB错误；
因为，且距比距较近，
即随机变量的波动性较大，所以.
故选：D.
一、单选题
30．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知随机变量，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望、方差公式得到方程组，求出、，再由二项分布的概率公式计算可得.
【详解】因为，且，，
所以，解得，即，
所以.
故选：D
31．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)投掷一枚质地均匀骰子，当出现2点或3点时，就说这次试验成功，每次试验相互独立，则在90次试验中成功次数的均值是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】依题意可得，根据二项分布的期望公式计算可得.
【详解】依题意可知每次试验成功的概率，
所以，所以，
即在次试验中成功次数的均值是.
故选：B
二、多选题
32．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．设和互为对立事件，则
B．若随机变量，且，则
C．若，则
D．若随机变量X的分布列为，则
【答案】ABC
【分析】利用条件概率的公式可判断A，利用二项分布的期望和方差公式可判断B，利用全概率公式可判断C，由超几何分布的期望公式可判断D.
【详解】对于A，由条件概率的公式可知，故A正确
对于B，因为，所以，
则，所以，
所以，故B正确
对于C，根据全概率公式，，
故，故C正确
对于D，由题意知，服从，，的超几何分布，所以，故D错误．
故选：ABC
33．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)市教育局组织各学校举行教师团体乒乓球比赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两个学校的教师团队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为，(注：比赛结果没有平局).以下说法正确的是（ ）
A．甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是
B．甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率是
C．若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，则甲队明星队员M上场的概率是
D．若甲队明星队员M在前3局比赛中出场，则前3局比赛中甲队获胜局数X的数学期望是
【答案】ABD
【分析】由甲队按获胜，即前3局，甲队输1局，应用独立乘法公式求概率判断A；甲队3局获胜的事件记为，前3局比赛，甲队明星队员M出场的事件记为，应用排列组合数及古典概型的概率求法、全概率公式求判断B；根据B分析应用条件概率公式判断C；根据题设直接确定甲获胜的期望即可判断D.
【详解】甲队明星队员M不出场，甲乙两队比赛4局甲队获胜，
则甲队按获胜，即前3局，甲队输1局，
所以甲队获胜的概率为，A对；
甲队3局获胜的事件记为，前3局比赛，甲队明星队员M出场的事件记为，
依题意，则，，，
所以，B对；
由B知，甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，
则甲队明星队员M上场的概率是，C错；
由题设，M出场且甲获胜的期望为，其它两局甲获胜的期望均为，
所以甲获胜的总期望为，D对.
故选：ABD
34．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由题意，根据组合数与分步乘法原则，结合古典概型，求得概率，写出分布列，利用数学期望与方差计算，可得答案.
【详解】对于A，由小球下落次中选次右侧，则此时，即，故A正确；
对于B，由，，，，
则，故B正确；
对于C，由的分布列如下：
则，故C错误；
对于D，由，
则，故D正确.
故选：ABD.
35．(24-25高二下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为
D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
【答案】BCD
【分析】利用条件概率公式求出概率判断AD；利用二项分布的方差公式计算判断B；利用全概率公式求出概率判断C得解.
【详解】对于A，设所选的2个球中至少有1个是红球为事件，所选的2个球都是红球为事件，
则所求的概率为，故A错误；
对于B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，则每次取到红球的概率为，
则取到红球的次数，因此取到红球次数的方差为，故B正确；
对于C，记第次摸到红球的事件为，第1次摸到白球的事件为，
则，
由全概率公式得第二次取到红球的概率为：
，故C正确；
对于D，从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，此时袋中只有3个红球和2个白球，
因此第二次再次取到红球的概率为，故D正确.
故选：BCD.
36．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，白球2个，黑球3个，分别从中用两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回；方式二：依次无放回，则（ ）
A．按方式一，摸出是同一种颜色球的概率为
B．按方式一，设摸出黑色球的个数为，则方差
C．按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，摸出2黑1白的概率为
D．若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出2黑1白的概率为
【答案】BC
【分析】分三种情况，利用乘法公式计算后再相加可得A错误；由二项分布的方差公式可得B正确；由条件概率的公式可得C正确；由全概率公式可得D错误.
【详解】对于A：按方式一，摸球一次，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，
则三次全摸黑球的概率为，三次全摸白球的概率为，
三次全摸红球的概率为；
所以摸出是同一种颜色球的概率为，故A错误；
对于B：由题意可得按方式一摸出黑球的个数，
则，故B正确；
对于C：按方式二，2黑1白的概率为，
按方式二，已知共有两种不同颜色的球的概率为，
由条件概率的公式可得，按方式二，已知共有两种不同颜色的球的条件下，则2黑1白的概率为，故C正确；
对于D：若按方式一、二等可能，抽签决定，
则按方式一摸出2黑1白的概率为；
按方式二摸出2黑1白的概率为，
所以最终摸出2黑1白的概率为，故D错误；
故选：BC.
37．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】应用二项分布期望、方差的求法求、，再应用期望、方差的性质求、即可.
【详解】由题设，，A、C对；
，，B错，D对.
故选：ACD
38．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题设知，，从而得到，，，，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】由题知，则，，，
又相互独立，则，易知，
则，
对于选项A，因为，
当时，，所以选项A错误，
对于选项B，因为，，所以，故选项B正确，
对于选项C，因为，，
所以，故C正确；
对于选项D，因为，，
所以，故选项D错误，
故选：BC.
39．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先判断出，，服从二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式分别求出期望和方差，最后逐个选项判断即可.
【详解】对于A，由题意得事件：“甲射击一次，命中目标”，，
事件：“乙射击一次，命中目标”，，
则，，
由二项分布的期望公式得，，
则，，
即，故A正确，
对于B，由二项分布的方差公式得，，
则，，
则不一定相等，故B错误，
对于C，由题意得假定甲、乙互不影响，
则，相互独立，由独立事件概率公式得，
则，由二项分布的期望公式得，
由二项分布的方差公式得，
由已知得，得到，故C正确，
对于D，由已知得，
，则，故D错误.
故选：AC
三、填空题
40．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是________，摸球次数的期望是________．
【答案】 6
【分析】答题空1：摸球3次停止，把摸球看成排列问题，总有种，最后一次摸红球，符合题意的有种，再用古典概型公式可求.
答题空2：根据题意摸球次数可能取2，3，4，5，6，7，8，求出对应概率，再利用分布列期望公式可求.
【详解】摸球次数为3的概率为.
由题知摸球次数可取2，3，4，5，6，7，8，
，，，
，，
，，
，
故答案为：①② 6
41．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的k阶矩定义为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，则________，________.
【答案】 /
【分析】应用独立事件乘法公式求，根据有，应用独立事件乘法公式求出对应概率，并由全概率公式求得，结合已知定义求.
【详解】由题意，，
当，则，而，所以，
由题设，.
故答案为：，
42．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，则____________，期望___________．
【答案】 /
【分析】利用组合知识求出从口袋中任取5个小球，共有情况数，再求出编号的最小值为2的情况数，相除求出概率；再求出的可能取值和对应的概率，利用数学期望公式进行求解.
【详解】从口袋中任取5个小球，共有种情况，
其中编号的最小值为2，则不含有1，从剩余8个数中选择4个，共有种情况，
故；
的可能取值为1,2,3,4,5,6，
其中，，，
，，，
所以
故答案为：，
43．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________.
【答案】 或
【分析】（1）先计算得分和得分的概率，再利用独立事件的概率公式列出分布列；
（2）记得1分的次数为，则，利用求二项分布的概率最值解出，再根据得出或，则可求的值.
【详解】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为，
因的可能取值为2，4，6，
则，，，
则随机变量的期望值．
（2）记得1分的次数为，则得3分的次数为，
所得总分为，
拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则，
若取最大值，则，，
则，解得，
又，，则或，
当时，；
当时，．
故答案为：；或
44．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大．
【答案】
【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可.
【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学，
由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率，
则，
设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大，
则，
即，
即，
解得，
又，所以，
所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.
故答案为：.
一、单选题
45．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的
【答案】B
【分析】应用超几何分布的概率公式计算各个选项即可.
【详解】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下：
选项A（恰有1个坏的）：；
选项B（4个全是好的）：；
选项C（恰有2个坏的）：；
选项D（至多2个坏的）：；
综上，只有选项B的概率为，
故选：B.
46．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8
【答案】C
【分析】设为从甲袋中摸出的红球数，为从乙袋中摸出的红球数，则与都服从超几何分布，根据超几何分布期望的求法即可求解.
【详解】设为从甲袋中摸出的红球数，为从乙袋中摸出的红球数，
则服从超几何分布，故，同理，
故，
故选：C．
47．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：，
从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：，
.
故选：B
二、多选题
48．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)下列说法正确的是（ ）
A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布.
B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布.
C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布.
D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布.
【答案】ABD
【分析】根据二项分布和超几何分别的特征逐项分析判断即可.
【详解】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验，
所以随机变量服从二项分布，故B正确；
对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验，
所以随机变量X服从二项分布，故C错误；
对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X表示抽取4名样本中某类样本被抽取的人数，
所以随机变量X服从超几何分布，故D正确；
故选：ABD.
49．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，满足，，则
B．若，，，则
C．若，则
D．若分布，，则
【答案】BC
【分析】根据方差的性质判断A选项；利用贝叶斯公式判断B选项；根据超几何分布判断C选项；根据两点分布的期望与方差判断D选项．
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：因为，所以，
所以，故B正确；
对于C：若，则，故C正确；
对于D：若分布，，则，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
50．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)若随机变量，则 ______.
【答案】0.6或者
【分析】根据超几何分布的概率公式计算可得答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
一、单选题
51．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】运用正态分布对称性和概率性质计算即可.
【详解】解：对于，，故A错误；
对于，因为，
所以 ，故B错误；
对于C，显然，
所以，
所以，故C正确；
对于，因为，
所以，故D错误．
故选：C．
52．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正态曲线的特点求得，然后再求恰有名学生的成绩不低于的概率即可.
【详解】因为学生成绩服从正态分布，且，
所以，，，
所以从参加这次考试的学生中任意选取名学生，其成绩不低于的概率是，
则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是，
故选：B.
53．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用正态分布的对称性有，进而有，则有，应用二项分布求概率、期望、方差判断各项正误.
【详解】因为，所以，
所以，故A错误；
在的概率为，则，
所以，故B正确；
由，所以，故C错误；
由，所以，故D错误．
故选：B
54．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)对某市数学考试成绩的数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量，则，.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为，所以，，
所以
，
即这名学生数学成绩在分之间的概率约为.
故选：A
55．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)随机变量，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对立事件的概率公式可求出的值，再利用正态分布密度曲线的对称性可求得的值.
【详解】因为，，
因为，解得，
因为，，
所以，，
故.
故选：D.
56．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)设随机变量服从正态分布，记，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【分析】根据正态曲线的对称性，可得，即可由求得答案.
【详解】因，则，
由和正态曲线的对称性，可得，
故.
故选：B.
二、多选题
57．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)下列命题中，真命题有（ ）
A．若随机变量 则
B．若随机变量，且 则
C．若随机变量则
D．若事件满足且则与独立
【答案】BCD
【分析】对于A：利用二项分布的方差公式求解；对于B：通过分布概率公式计算即可；对于C：利用正态分布的对称性计算；对于D：利用独立事件的概念判断.
【详解】选项A：因为，
所以，
故A错误；
选项B：因为随机变量且，
所以，所以，
故B选项正确；
选项C：因为，
所以，
故C选项正确；
选项D：因为，
所以与相互独立，则 A 与 独立.
故选项D正确；
故选：BCD.
58．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】AC
【分析】由期望的性质求判断A；由已知及正态分布的对称性有判断B；利用正态分布的对称性得，即可求判断C；令判断D.
【详解】由题设，则，A对；
由及正态分布的对称性，有，可得，B错；
由，结合对称性，则，
所以，C对；
当，有，D错.
故选：AC
59．(24-25高二下·江苏徐州·期中)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．当时，
B．
C．随机变量，当，都减小时，概率增大
D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变
【答案】BD
【分析】由定义即可判断A；根据结合正态曲线的对称性，可判断B；根据正态分布的准则可判断CD.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确；
对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴，
根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误．
故选：BD.
三、填空题
60．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是 ________________ ．
【答案】
【分析】先利用正态分布曲线的对称性求出，再利用独立事件的概率乘法公式求解．
【详解】因为学生成绩X服从正态分布，且，
所以，
所以从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是．
故答案为：．
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