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啊专题09 概率大题综合（5大考点26题）
5大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02随机变量及其分布列
考点03离散型随机变量的数字特征
考点04 二项分布及超几何分布
考点05 正态分布
1．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率；
(2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据古典概型结合对立事件概率计算求解；
（2）应用对立事件及条件概率公式计算求解；
（3）应用全概率公式计算求解.
【详解】（1）记“取到红球”为事件，
则，
即取到红球的概率为.
（2）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
即所求概率为.
（3）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
即所求概率为.
2．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立．
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元，求8局后比赛终止且棋手获奖万元的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，设“两局后比赛终止”为事件，则，利用独立事件即可求解；
（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件，即可和,利用条件概率的公式求;
(3) 由局获奖励万元，说明甲共胜局，（i）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，（ii）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，即可求得“8局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率.
【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，
因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止．
（i）当棋手得分为分，则局均负，即；
（ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即．
因为、互斥，所以
．
所以两局后比赛终止的概率为．
（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为
，
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
（3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
（i）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
（ii）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“8局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率为
3．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)某校学生文艺部有男生4人，女生2人
(1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动，
①求男生甲被选中的概率；
②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
【答案】(1)480
(2)，
【分析】（1）利用插空法求解；
（2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解.
【详解】（1）先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生，
所以2名女生互不相邻得排法有种.
（2）①设事件表示“男生甲被选中”，则.
②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”，
则，，
所以.
所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为.
4．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．
(1)求客户满意的概率；
(2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？
【答案】(1)
(2)；；.
【分析】（1）利用全概率公式求解；
（2）利用条件概率求解.
【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.
所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.
（2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，
则客户满意且是甲运送的概率为：,
客户满意且是乙运送的概率为：,
客户满意且是丙运送的概率为：.
5．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
(1)合理设出事件，利用条件公式进行求解；
(2) 利用全概率公式进行求解；
(3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解；
【详解】（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件.
.
所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为.
（2）
所以第一次取到白球的概率为.
（3）
所以.
所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为.
6．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)为了能不断地传承与弘扬中国传统文化，某校高二年级各班在周班会课上进行了“中国传统文化”知识竞赛.各班竞赛形式多样，其中高二(1)(2)两班竞赛规则最具代表性，请完成以下两题：
(1)高二(1)班班委会设置如下竞赛规则：从6道题中任选2题作答，2题均答对就获得“传统文化小达人”的称号.已知6道题中同学甲能答对其中的4道题，求甲在已经答对一题的前提下 没有获得“传统文化小达人”称号的概率；
(2)高二(2)班班委会采取的竞赛规则：共设置n道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若n道题全部答对，就获得一个小礼品.已知同学乙答对每道题的概率为
（i）当时，设乙答题结束时，答题的个数为X，随机变量X的分布列及数学期望；
（ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为Y，求使得成立的n的最小值.
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)（i）答案见解析；（ii）
【分析】（1）由条件概率公式代入计算，即可得到结果；
（2）（i）由条件可得的可能取值，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列以及期望；（ii）由期望的定义列出式子，结合错位相减法代入计算，即可得到，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设事件表示甲已经答对一题，事件表示甲获得“传统文化小达人”称号，
则，
，
则.
（2）（i）的可能取值为，
则，，
，
分布列为：
则.
（ii）的可能取值为，
，，
，
由期望的公式可得，
设，
则，
两式相减可得
，
所以，
则
，
由可得，即，
即，其中，
，
则，
所以的最小值为.
7．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知某商店出售商品A，根据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：
对A的需求量 0 1 2 3
概率
若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设.
(1)求的分布列；
(2)记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向于一个定常态分布，记这个定常态分布为.
（i）求商品A的定常态分布；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求不小于供给的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）的可能取值为，，求出所对应的概率，即可求出分布列；
（2）（i）设，利用全概率公式即可得到方程，解出即可；
（ii）分析得，再利用全概率公式即可.
【详解】（1）依题意的可能取值为，，
则，，
所以的分布列如下：
1 2
（2）（i）记为商品A第周内的需求量，由题意，与的状态有关，
当时，若，则；若，则，
设，即，
由全概率公式可得，
，
由，得，解得，故.
（ii）由（i）可知，定常态分布，
所以从长远来看，，
记商品A需求不小于供给的概率为，
由全概率公式得
.
8．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
(1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（ⅰ）为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列．
(2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析
(2)
【分析】（1）（ⅰ）计算两次交手记录郑钦文获胜的频率即可；
（ⅱ）按照独立事件和互斥事件的概率公式求，再利用即可求出分布列；
（2）按照独立事件和互斥事件的概率公式分别求出两种情况下的郑钦文获胜的概率，再解关于的不等式即可.
【详解】（1）（ⅰ）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为．
（ⅱ）由题知，可取值为、，
，，
所以的分布列为
2 3
0.52 0.48
（2）三局两胜制郑钦文最终获胜概率，
五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率
所以，化简得，
因为，，所以，即，所以，
所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是．
9．(23-24高二下·江苏苏州·期中)甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．
【答案】(1)答案见解析
(2)甲的得分的均值与方差分别为
【分析】（1）根据题意一轮比赛中，甲得分的可能取值为，分别求解概率即可得分布列；
（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可得结论.
【详解】（1）一轮比赛中，甲得分的可能取值为，
，
则的概率分布列为：
（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，
，
，
，
，
所以甲的得分的均值为，
甲的得分的方差为，
甲的得分的均值与方差分别为.
10．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，4所为211高校，另外3所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；
(2)若该考生选到985高校的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可；
（2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望.
【详解】（1）从10所高校中，任取4所，共有种取法，
恰有2所985高校的取法为：，
该考生恰好选到2所985高校的概率为；
（2）设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
则
0 1 2 3
.
11．(24-25高二下·江苏无锡梅村高级中学·期中)（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差.
（2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？
【答案】（1）分布列见解析，期望，方差；（2）0.1.
【分析】（1）求出的可能值，借助组合计数问题求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望、方差.
（2）根据题中给定信息，结合全概率公式列式求解.
【详解】（1）的可能值这0，1，
，，
所以的分布列为：
0 1
数学期望，
方差为.
（2）令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，
解得，
所以从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.1.
12．(24-25高二下·江苏徐州·期中)11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
【答案】(1)分布列见解析；均值为
(2)；
(3)
【分析】（1）依题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，求出X的分布列和均值；
（2）设第一局比赛甲获胜为事件B，得到则，，，利用全概率公式求解，得出即可；
（3）由（2）得，估计甲每局获胜的概率，根据五局三胜制的规则，得到比赛场数Y的所有可能取值为3，4，5，得到相应的概率，相加计算即可．
【详解】（1）依题意知，X的所有可能取值为0，1，2；
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的均值为；
（2）设第一局比赛甲获胜为事件B，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z，
则，，；
由知，，，，
由全概率公式得，
，
解得，即第一局比赛甲获胜的概率；
（3）由（2）知，所以估计甲每局获胜的概率均为，
根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y，
因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5，
所以，，；
所以该场比赛甲获胜的概率为
13．(24-25高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株（，）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：
编号位置 ① ② ③ ④
山上 5 4 4 3
山下 4 2 2 1
(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
(2)记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为，，根据样本数据估计与的大小关系；
(3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案；
（2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案；
（3）随机变量可以取，再分别求出概率，则的分布列与数学期望可求.
【详解】（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数，
则山上试验田株古茶树产茶量估算为；
（2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故方差，，
故；
（3）依题意，随机变量可以取，
随机变量的分布列为
9 8 7 6 5 4
随机变量的期望.
14．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有2个红球、2个白球，B袋中装有1个红球、2个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜游戏规则是：玩家先从袋子A中随机摸出2个球，
情况1：摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入袋子B中，然后从袋子B中随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得8分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分；
情况2：摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回袋子A中，然后从袋子A中再随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得6分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分.
(1)求玩家甲在游戏中得8分的概率；
(2)求玩家乙在游戏中获胜的概率；
(3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)；
(3)分布列见解析；.
【分析】（1）由题意明确玩家甲在游戏中得8分包括的情况，再用古典概型结合互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解；
（2）先依次求出玩家在游戏中得4、6、8分的概率，接着由题意明确玩家乙在游戏中获胜的情况，并依次求出每种情况的概率，再用互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解；
（3）由题意求出随机变量的取值，再依次求出各变量取值的概率即可求出分布列，再由期望公式直接计算即可求解.
【详解】（1）玩家甲在游戏中得8分,则包括以下两种情况：
甲从袋子A中随机摸出2个红球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个球同色；
甲从袋子A中随机摸出2个白球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个白球.
所以玩家甲在游戏中得8分的概率为.
（2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为，
玩家在游戏中得6分的概率为，
玩家在游戏中得4分的概率为，
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得4分，玩家乙在游戏中得6分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得4分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得6分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为；
（3）由题意可得，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14 16
P
所以.
15．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)某袋中装有大小相同质地均匀的6个球，其中4个白球和2个红球．从袋中随机一次取出3个球．
(1)求至少有一个红球的概率；
(2)记取出白球的个数为，求的概率分布、数学期望和方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2，
【分析】（1）由对立事件的概率和为1结合离散型随机变量的概率计算即可；
（2）列出的可能取值，由离散型随机变量的分步计算相应概率，列出分布列，再利用公式求出期望和方差即可.
【详解】（1）记至少有一个红球为事件，则没有红球为，
，所以至少有一个红球的概率为．
（2）依题意的可能取值为，
所以，，，
所以的分布列为：
1 2 3
所以，
.
16．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)某商场进行抽奖活动，规则如下：在一个盒中共有4个大小相同的小正四面体，其中2个类小正四面体（3面印着奇数，1面印着偶数），1个类小正四面体（4面都印着奇数），1个类小正四面体（4面都印着偶数）.顾客先从盒中随机取出1个小正四面体并投掷两次，若两次投掷向下的面都是奇数，则进入最终环节，否则退出，不获得任何消费券.最终环节是从盒中剩余的3个小正四面体中随机取出1个投掷，若投掷向下的面为奇数，则获得300元消费券；否则获得100元消费券.
(1)求第1次投掷向下的面为奇数的概率；
(2)若某顾客随机取出1个小正四面体投掷两次，向下的面均为奇数，求该小正四面体是类的概率；
(3)在某顾客进入了最终环节的条件下，求他获得的消费券金额的数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)（元）
【分析】（1）根据题意，设相关事件,分别求出，利用全概率公式计算即得；
（2）先利用全概率公式求出积事件的概率，再利用贝叶斯公式求的概率即可；
（3）根据第1次抽到的小正四面体分别为A类、类、类，依次计算对应的第2次抽到类，类，类小正四面体向下的面为奇数的概率，即可求得三次投掷小正四面体向下的面都为奇数的概率，由此列出的分布列，计算期望即得.
【详解】（1）记事件分别表示第1次抽到类，类，类小正四面体，
事件表示第1次投掷向下的面为奇数，事件表示第2次投掷向下的面为奇数，
由题知，，，
则
，
即第1次投掷向下的面为奇数的概率为.
（2）连续投掷两次向下的面均为奇数的概率为
，
故所求概率为，
则该小正四面体是类的概率为.
（3）记事件表示第3次投掷向下的面为奇数，
设第3次投掷获得的消费券为元，的可能取值为300，100.
若第1次抽到的是A类小正四面体，
记事件分别表示第2次抽到类，类，类小正四面体，
则
；
若第1次抽到的是类小正四面体，
记事件分别表示第2次抽到类，类，类小正四面体，
则
.
所以，.
所以，，
所以他获得的消费券金额的数学期望（元）.
17．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，并采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”的规则.根据以往比赛的数据分析，每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)求进行3局比赛决出胜负的概率；
(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望；
(3)在甲最终获胜的条件下，求进行了局比赛的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）的可能取值为，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望；
（3）记甲最终获胜为事件，进行了局比赛为事件，利用条件概率公式计算可得.
【详解】（1）若进行3局比赛决出胜负，则甲连胜局或乙连胜局，
所以进行3局比赛决出胜负的概率；
（2）依题意的可能取值为，，
所以，，
故的分布列为：
1 2
所以．
（3）记甲最终获胜为事件，进行了局比赛为事件，
则，
，
所以，即在甲最终获胜的条件下，进行了局比赛的概率为.
18．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证．若某人已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响．
(1)求丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率；
(2)若丁某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)的分布列见解析，
【分析】（1）设丁某参加科目二考试合格和补考为事件、，参加科目三考试合格和补考合格为事件、，设丁某不需要补考就可获得驾驶证为事件，然后根据相互独立事件的概率乘法公式可求出所求；
（2）的取值可能为2，3，4，然后根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出相应的概率，最后根据离散型随机变量的数学期望公式解之即可．
【详解】（1）设丁某参加科目二考试合格和补考为事件、，参加科目三考试合格和补考合格为事件、，
事件、、、，互为独立
设事件“丁某不需要补考就可获得驾驶证”，
则，
所以丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率为；
（2）的取值可能为2，3，4，则；
；
；
；
所以，随机变量的分布列为
2 3 4
所以．
19．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)2025年3月23日，2025南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，中国选手杨俊婷以1小时19分01秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以2小时25分53秒获得马拉松男子组亚军.为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜爱跑步，男性市民中有90%的人喜爱跑步.
(1)在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率；
(2)用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取3人，设抽取的3人中喜爱跑步的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用全概率公式计算求解；
（2）利用二项分布的概率公式求分布列以及利用二项分布的期望公式计算即可..
【详解】（1）设事件表示抽被调查的市民中任选一人为女性，事件表示抽中的此人此人喜爱跑步.
可知，
所以被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率为.
（2）因，
可取
则，，
，，
故其分布列如下表所示：
0 1 2 3
故期望.
20．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据：
男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；
女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49.
(1)在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率；
(2)时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）由数据分析并进行标记，将问题转化为“从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率”，利用古典概率公式计算即得；
（2）记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人，分析判断可得，~，~，而，根据的所有可能取值0，1，2，3，4.分别求其概率，列出分布列，利用二项分布均值公式计算即得.
【详解】（1）由数据分析知“阅读能手”有4人，“阅读后进者”有3人，我们把阅读时长为51、49、46、46小时的同学分别记为A、B、C、D；
把阅读时长为10、11、12小时的同学分别记为甲、乙、丙.
那么问题即为：从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率.
从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，则共有种情况.
记“甲被A指导”为事件E，若甲被A指导，那么只需从BCD中随机选2人指导乙丙，
则共有种情况.
则.即阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率为.
（2）由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为，随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为.
记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人，
则~，~，.于是有

的所有可能取值为0，1，2，3，4.从而
；
=；
=；
=；

的分布列为：
0 1 2 3 4
.
21．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）有放回抽样时，，求出对应概率，得到分布列，最后由二项分布方差公式可得；（2）不放回抽样时，，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列．进而期望即可.
【详解】（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3．
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，
所以，，
，，
则X分布列为：
X 0 1 2 3
P
则
（2）不放回抽样时，则
，，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
则
22．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜
(1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率；
(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可；
（2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可.
【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为,
则可能为2，3，4，
则,
由题意知，贾某轩答对的题数满足，
故,
闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道，
故共答对3首歌名的概率：.
（2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下：
X 2 3 4
P
故期望，
方差，
且，故，,
故.
所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定，
故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动
23．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动．抽奖箱中有2个蓝球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择：
初始奖池 摸球方式 奖励规则
方案A 30元 不放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获得奖池所有金额.
方案B 有放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额.
(1)若顾客选择方案A，求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望；
(2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A还是方案B？
【答案】(1)分布列见解析，80
(2)选择方案.
【分析】（1）根据题意可能取值为30，80，130，满足超几何分布，求出分布列与期望；
（2）若顾客选择B,的可能取值为30，60，120，满足二项分布，求出分布列与期望，比较大小，判断选择方案.
【详解】（1）由题意可知可能取值为30，80，130，则
，，，
所以的分布列为:
所以.
（2）设顾客选方案B，所获得的金额为，则的可能取值为30，60，120，则
，
，
，
的分布列为:
所以，
所以，所以选择方案A.
24．(24-25高二下·江苏常州·期中)某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
工作强度指数
人数 10 81 9
名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者
(1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比；
(2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且．
①若落在和落在内的概率相等，求的值；
②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)①；②分布列见解析，.
【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可.
（2）应用，由二项分布分别求出分布列及计算数学期望.
【详解】（1）由题意得：，，，，
所以，，
所以.
所以事件发生的条件下事件发生的似然比为.
（2）①已知，且，落在和落在内的概率相等，
根据正态分布的对称性，.
②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：.
所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即：
的可能取值为：
且，，
，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
且.
25．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）.
(1)现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率.
参考数据：若，则，，
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)，；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列关求出期望.
（2）根据给定条件，利用二项分布的概率公式，结合互斥事件的概率求出概率，用二项分布的方差公式求出方差.
（3）利用正态分布的对称性和对立事件的概率公式计算即可.
【详解】（1）由题意，可知可取0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
从而的数学期望.
（2）可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然，
，，
.
所以技术攻坚成功的概率，
所以的方差.
（3）由，得，由，得，
则，
于是，则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件，
则.
所以至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为.
【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数.
26．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
(1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，
(3)0.2056．
【分析】（1）由题意服从超几何分布，求出对应的概率即可得到分布列以及数学期望；
（2）由二项分布的概率公式以及方差公式即可得解；
（3）由正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】（1）由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
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专题09 概率大题综合（5大考点26题）（答案版）
1．(1)
(2)
(3)
2．(1)
(2)
(3)
3．(1)480
(2)，
4．(1)
(2)；；.
5．(1)
(2)
(3)
6．(1)
(2)（i）的可能取值为，
则，，
，
分布列为：
则.
（ii）
7．(1)依题意的可能取值为，，
则，，
所以的分布列如下：
1 2
(2)（i）；（ii）.
8．(1)（ⅰ）；
（ⅱ）由题知，可取值为、，
，，
所以的分布列为
2 3
0.52 0.48
(2)
9．(1)一轮比赛中，甲得分的可能取值为，
，
则的概率分布列为：
(2)甲的得分的均值与方差分别为
10．(1)
(2)设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
则
0 1 2 3
期望．
11．（1）的可能值这0，1，
，，
所以的分布列为：
0 1
期望，方差；
（2）0.1.
12．(1)依题意知，X的所有可能取值为0，1，2；
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
均值为
(2)；
(3)
13．(1)
(2)
(3)依题意，随机变量可以取，
随机变量的分布列为
9 8 7 6 5 4
随机变量的期望.
14．(1)；
(2)；
(3)由题意可得，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14 16
P
所以.
15．(1)
(2)依题意的可能取值为，
所以，，，
所以的分布列为：
1 2 3
所以，
.
16．(1)
(2)
(3)（元）
17．(1)
(2)依题意的可能取值为，，
所以，，
故的分布列为：
1 2
所以．
(3)
18．(1)
(2)的取值可能为2，3，4，则；
；
；
；
所以，随机变量的分布列为
2 3 4
所以．
19．(1)
(2)因，
可取
则，，
，，
故其分布列如下表所示：
0 1 2 3
故期望.
20．(1)
(2)由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为，随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为.
记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人，
则~，~，.于是有

的所有可能取值为0，1，2，3，4.从而
；
=；
=；
=；

的分布列为：
0 1 2 3 4
.
21．(1)有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3．
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，
所以，，
，，
则X分布列为：
X 0 1 2 3
P
则
（2）不放回抽样时，则
，，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
则
22．(1)
(2)由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下：
X 2 3 4
P
故期望，
方差，
且，故，,
故.
所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定，
故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动
23．(1)由题意可知可能取值为30，80，130，则
，，，
所以的分布列为:
所以.
(2)选择方案.
24．(1)
①；
②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：.
所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即：
的可能取值为：
且，，
，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
且.
25．(1)由题意，可知可取0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
从而的数学期望.
(2)，；
(3).
26．(1)由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
(2)，
(3)0.2056．
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专题09 概率大题综合（5大考点26题）
5大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02随机变量及其分布列
考点03离散型随机变量的数字特征
考点04 二项分布及超几何分布
考点05 正态分布
1．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率；
(2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
2．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立．
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元，求8局后比赛终止且棋手获奖万元的概率．
3．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)某校学生文艺部有男生4人，女生2人
(1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动，
①求男生甲被选中的概率；
②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
4．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．
(1)求客户满意的概率；
(2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？
5．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
6．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)为了能不断地传承与弘扬中国传统文化，某校高二年级各班在周班会课上进行了“中国传统文化”知识竞赛.各班竞赛形式多样，其中高二(1)(2)两班竞赛规则最具代表性，请完成以下两题：
(1)高二(1)班班委会设置如下竞赛规则：从6道题中任选2题作答，2题均答对就获得“传统文化小达人”的称号.已知6道题中同学甲能答对其中的4道题，求甲在已经答对一题的前提下 没有获得“传统文化小达人”称号的概率；
(2)高二(2)班班委会采取的竞赛规则：共设置n道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若n道题全部答对，就获得一个小礼品.已知同学乙答对每道题的概率为
（i）当时，设乙答题结束时，答题的个数为X，随机变量X的分布列及数学期望；
（ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为Y，求使得成立的n的最小值.
（参考数据：）
7．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知某商店出售商品A，根据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：
对A的需求量 0 1 2 3
概率
若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设.
(1)求的分布列；
(2)记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向于一个定常态分布，记这个定常态分布为.
（i）求商品A的定常态分布；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求不小于供给的概率.
1 2
8．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
(1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（ⅰ）为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列．
(2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？
2 3
0.52 0.48
9．(23-24高二下·江苏苏州·期中)甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．
10．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，4所为211高校，另外3所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；
(2)若该考生选到985高校的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
0 1 2 3
11．(24-25高二下·江苏无锡梅村高级中学·期中)（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差.
（2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？
0 1
12．(24-25高二下·江苏徐州·期中)11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
X 0 1 2
P
13．(24-25高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株（，）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：
编号位置 ① ② ③ ④
山上 5 4 4 3
山下 4 2 2 1
(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
(2)记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为，，根据样本数据估计与的大小关系；
(3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.
9 8 7 6 5 4
14．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有2个红球、2个白球，B袋中装有1个红球、2个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜游戏规则是：玩家先从袋子A中随机摸出2个球，
情况1：摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入袋子B中，然后从袋子B中随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得8分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分；
情况2：摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回袋子A中，然后从袋子A中再随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得6分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分.
(1)求玩家甲在游戏中得8分的概率；
(2)求玩家乙在游戏中获胜的概率；
(3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为X，求X的分布列和数学期望.
X 8 10 12 14 16
P
15．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)某袋中装有大小相同质地均匀的6个球，其中4个白球和2个红球．从袋中随机一次取出3个球．
(1)求至少有一个红球的概率；
(2)记取出白球的个数为，求的概率分布、数学期望和方差．
1 2 3
16．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)某商场进行抽奖活动，规则如下：在一个盒中共有4个大小相同的小正四面体，其中2个类小正四面体（3面印着奇数，1面印着偶数），1个类小正四面体（4面都印着奇数），1个类小正四面体（4面都印着偶数）.顾客先从盒中随机取出1个小正四面体并投掷两次，若两次投掷向下的面都是奇数，则进入最终环节，否则退出，不获得任何消费券.最终环节是从盒中剩余的3个小正四面体中随机取出1个投掷，若投掷向下的面为奇数，则获得300元消费券；否则获得100元消费券.
(1)求第1次投掷向下的面为奇数的概率；
(2)若某顾客随机取出1个小正四面体投掷两次，向下的面均为奇数，求该小正四面体是类的概率；
(3)在某顾客进入了最终环节的条件下，求他获得的消费券金额的数学期望.
17．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，并采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”的规则.根据以往比赛的数据分析，每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)求进行3局比赛决出胜负的概率；
(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望；
(3)在甲最终获胜的条件下，求进行了局比赛的概率.
1 2
18．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证．若某人已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响．
(1)求丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率；
(2)若丁某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望．
2 3 4
19．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)2025年3月23日，2025南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，中国选手杨俊婷以1小时19分01秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以2小时25分53秒获得马拉松男子组亚军.为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民占40%，女性市民中有65%的人喜爱跑步，男性市民中有90%的人喜爱跑步.
(1)在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率；
(2)用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取3人，设抽取的3人中喜爱跑步的人数为X，求X的分布列及数学期望.
0 1 2 3
20．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据：
男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；
女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49.
(1)在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率；
(2)时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望.
0 1 2 3 4
21．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
X 0 1 2 3
P
Y 0 1 2
P
22．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜
(1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率；
(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？
X 2 3 4
P
23．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动．抽奖箱中有2个蓝球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择：
初始奖池 摸球方式 奖励规则
方案A 30元 不放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获得奖池所有金额.
方案B 有放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额.
(1)若顾客选择方案A，求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望；
(2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A还是方案B？
24．(24-25高二下·江苏常州·期中)某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
工作强度指数
人数 10 81 9
名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者
(1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比；
(2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且．
①若落在和落在内的概率相等，求的值；
②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望．
0 1 2 3
25．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）.
(1)现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率.
参考数据：若，则，，
0 1 2 3
26．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
(1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
0 1 2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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