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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（五）不等式与不等式组
第一部分：不等式基础
考点1：不等式及其解集
考点：理解不等式的概念，能判断一个数是否为不等式的解，并会在数轴上表示不等式的解集。
关键：区分“>”、“<”、“≥”、“≤”的含义，掌握解集在数轴上的表示方法（空心圈与实心点）。
1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下面的式子中，不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列关系式中，不含有这个解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号）
5．请写出满足下列条件的解：
（1）的正整数解有_____．
（2）的负整数解有_____．
考点2：不等式的性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
核心考点：运用性质进行变形，尤其注意性质3中不等号方向的反转，这是易错点。
1．已知，下列不等式变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，且c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容．
例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：如果，，那么；解：因为，所以．①又因为，所以．②由①②，可得．
(1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：
如果a、b、c、d都是正数，、且，那么；
(2)根据上述性质解决问题：
①若，，则的取值范围是________；
②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”）
4．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．先阅读下面的解题过程，然后解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，
∴．第一步
故．第二步
(1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________．
(2)请写出正确的解题过程．
第二部分：一元一次不等式
考点3：一元一次不等式定义及解法
去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。
熟练解不等式，并将解集表示在数轴上。去分母和系数化为1时，若乘（除）负数，必须改变不等号方向。
1．若是关于x的一元一次不等式，则k的值为_______．
2．解不等式：
3．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解不等式：．解：去分母，得 第一步去括号，得 第二步移项，得 第三步合并同类项，得 第四步两边都除以7，得 第五步所以，原不等式的解集为
任务：
(1)上述求解过程中，第一步变形的依据是___________；
(2)上述求解过程中，从第___________步发生错误，具体错误是___________；
(3)直接写出该不等式的解集___________．
4．解不等式，并写出它的负整数解．
5．解不等式，并将它的解集表示在数轴上．
6．已知、、是非负实数，且，，求的最小值．
考点4：一元一次不等式实际应用
考点：从实际问题中抽象出不等式模型（关键词如“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”的转化），求解并验证解的合理性。
1．某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省60元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为个月，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元．
(1)每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？
(2)A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？
(3)厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案．
3．2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场；
(2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球．
4．某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元．
(1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价；
(2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？
5．根据以下素材，探究完成任务．
背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题：
(1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
(2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（），
若按方式一购买，共需 元；
若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示）
(3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
6．某化工厂从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知产品的销售款比原料的进货款多20000元，产品的销售款比原料的进货款多15000元．
(1)求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共．若要增加的产品，就要再购买的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？
7．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为______个单位长度，x的值为______；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
8．解决下列与平面直角坐标系有关的知识：
(1)已知点，解答下列问题：
①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ；
②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围．
第三部分：一元一次不等式组
考点5：一元一次不等式组解法与解集
步骤：分别解出组内每个不等式，利用数轴找出公共部分（即不等式组的解集）。
四种基本解集类型（设 a < b）：
同大取大：x > a且 x > b→ 解集为 x > b
同小取小：x < a且 x < b→ 解集为 x < a
大小小大中间找：x > a且 x < b→ 解集为 a < x < b
大大小小无处找：x < a且 x > b→ 无解
核心考点：数形结合，准确确定公共部分。
1．若关于的不等式组恰好有个正整数解，则的取值范围为______．
2．已知不等式无解,则a的取值范围是__________.
3．若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________．
4．定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________．
5．解不等式组：
(1)；
(2)．
6．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解；
考点6：不等式组的应用
考点：解决涉及多个不等条件的实际问题，如分配问题、方案选择问题。通常步骤为：设未知数 → 列不等式组 → 求解集 → 取符合题意的整数解 → 作答。
1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
3．年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表：
型借阅机 型借阅机
单日最大借阅量（册天）
单台采购成本（元台）
如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案．
4．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围．
5．暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元．
(1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？
(2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案．
6．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．
居民生活用水消费明细计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31自来水费污水处理费用水量/m3单价/（元/m3）金额/元用水量/m3单价/（元/m3）金额/元阶段一：17234阶段一：17117阶段二：2.5阶段二：1本期实付金额（大写）（注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费）
已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．
(1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围；
(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；
(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．
7．为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元．
(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（五）不等式与不等式组（解析版）
第一部分：不等式基础
考点1：不等式及其解集
考点：理解不等式的概念，能判断一个数是否为不等式的解，并会在数轴上表示不等式的解集。
关键：区分“>”、“<”、“≥”、“≤”的含义，掌握解集在数轴上的表示方法（空心圈与实心点）。
1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”可得，不等式的解集在数轴上表示如D选项所示．
2．在下面的式子中，不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等．
【详解】解：①含有不等号，是不等式；
②含有不等号，是不等式；
③是等式，不含不等号，不是不等式；
④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式；
⑤含有不等号，是不等式；
所以共有3个不等式．
3．下列关系式中，不含有这个解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键．
将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解.
【详解】A、当时，，成立，不符合题意；
B、当时，，，不成立，符合题意；
C、当时，，，成立，不符合题意；
D、当时，，，成立，不符合题意；
故选：B．
4．已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号）
【答案】
①②⑥
【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可．
【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式．
① 是用不等号连接的式子，是不等式；
② 是用不等号连接的式子，是不等式；
③ 是用等号连接的等式，不是不等式；
④ 是代数式，不是不等式；
⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式；
⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式，
故①②⑥是不等式．
5．请写出满足下列条件的解：
（1）的正整数解有_____．
（2）的负整数解有_____．
【答案】 1，2 －3，－2，－1
【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集．
（1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数；
（2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数．
【详解】解：（1），且为正整数，
可取，，
故答案为：；
（2），且为负整数，
可取，，．
故答案为：，，．
考点2：不等式的性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
核心考点：运用性质进行变形，尤其注意性质3中不等号方向的反转，这是易错点。
1．已知，下列不等式变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、∵，不等式两边同时减2，不等号方向不变，∴，A变形错误；
B、∵，当时，，此时，B变形错误；
C、∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，C变形正确；
D、∵，不等式两边同时乘5，再加2，不等号方向不变，∴，D变形错误．
2．若，且c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：、∵，
∴或或，故A不符合题意；
B、∵，，
∴，故B符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴或或，故D不符合题意．
3．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容．
例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：如果，，那么；解：因为，所以．①又因为，所以．②由①②，可得．
(1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：
如果a、b、c、d都是正数，、且，那么；
(2)根据上述性质解决问题：
①若，，则的取值范围是________；
②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”）
【答案】(1)见详解
(2)①②
【分析】（1）由不等式的基本性质得，，即可得证；
（2）：①由（1）得，即可求解；
②由不等式的基本性质得，，即可得证．
【详解】（1）解：a、b、c、d都是正数，、且，
，，
；
（2）解：①由题意得，
；
②y是正数，且，，
，，
，
．
4．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键．
（1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可；
（2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可；
（3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可；
（4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可．
【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得，
；
（2）解：不等式两边同减去，得，
；
（3）解：不等式两边同乘以5，得，
；
（4）解：不等式两边同除以，得，
．
5．先阅读下面的解题过程，然后解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，
∴．第一步
故．第二步
(1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________．
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
(2)见解析
【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键．
（1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断；
（2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．
【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变．
故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变．
（2）解：∵，
∴．
∴．
第二部分：一元一次不等式
考点3：一元一次不等式定义及解法
去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。
熟练解不等式，并将解集表示在数轴上。去分母和系数化为1时，若乘（除）负数，必须改变不等号方向。
1．若是关于x的一元一次不等式，则k的值为_______．
【答案】2
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴．
2．解不等式：
【答案】
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
原不等式的解集为．
3．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解不等式：．解：去分母，得 第一步去括号，得 第二步移项，得 第三步合并同类项，得 第四步两边都除以7，得 第五步所以，原不等式的解集为
任务：
(1)上述求解过程中，第一步变形的依据是___________；
(2)上述求解过程中，从第___________步发生错误，具体错误是___________；
(3)直接写出该不等式的解集___________．
【答案】(1)不等式的基本性质2
(2)三，移项没有变号
(3)
【详解】（1）解：由题可知，第一步变形的依据是不等式的基本性质2；
（2）解：分析解题步骤可知，从第三步发生错误，具体错误是移项没有变号；
（3）解：．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
所以，原不等式的解集为．
4．解不等式，并写出它的负整数解．
【答案】，负整数解为
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再从解集中确定符合题意的解．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得，
所以负整数解有．
5．解不等式，并将它的解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【详解】解：，
，
，
解得：，
在数轴上表示如下：
6．已知、、是非负实数，且，，求的最小值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键．
解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值．
【详解】解：由得，
∵、、是非负实数，
∴，
解得．
∴．
∵，
，
∴，
∴的最小值为．
考点4：一元一次不等式实际应用
考点：从实际问题中抽象出不等式模型（关键词如“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”的转化），求解并验证解的合理性。
1．某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省60元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为个月，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据经费不少于500元列出不等式即可.
【详解】解：由题意，可列不等式为.
2．某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元．
(1)每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？
(2)A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？
(3)厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案．
【答案】(1)A种手机壳进价30元，B种手机壳进价50元
(2)共3种进货方案．①A种手机壳40个，B种手机壳60个，②A种手机壳41个，B种手机壳59个，③A种手机壳42个，B种手机壳58个
(3)购进A种手机壳24个，B种手机壳5个
【分析】（1）设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个，根据题意列出不等式，求解即可；
（3）设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个，根据题意列出二元一次方程，结合，，且都是整数，求解即可．
【详解】（1）解：设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元，
根据题意得，
解得，
答：每个A种手机壳进价30元，每个B种手机壳进价50元；
（2）解：设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个，
由题意得，
解得，
∵，且为整数，
∴或41或42，
∴共3种进货方案．
①A种手机壳40个，B种手机壳60个；
②A种手机壳41个，B种手机壳59个；
③A种手机壳42个，B种手机壳58个；
（3）解：计算（2）中获利最大的方案：
方案1：元；
方案2：元；
方案3：元；
获得最大的方案是方案1，
节省的资金：元，
设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个，
根据题意得，化简得，
需要是5的倍数，且，，且都是整数，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上，购进A种手机壳24个，B种手机壳5个，两种手机壳数量之和最大．
3．2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场；
(2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球．
【答案】(1)胜12场
(2)4个
【分析】（1）设该班胜x场，则负y场，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个，根据题意列出不等式，解不等式，求得最小整数解，即可．
【详解】（1）解：设该班胜x场，则负y场，
由题意得．
解得
答：该班胜12场
（2）解：设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个
由题意得
解得
的最小值是4．
答：该班这场比赛中至少投中4个3分球
4．某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元．
(1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价；
(2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？
【答案】(1)请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元
(2)至少有2个组选择智能AI讲解．
【分析】（1）设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为，列方程组求解即可；
（2）设有个组选择智能AI讲解，根据“此次讲解的总费用不高于1600元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为元．
，
解得：．
答：请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元．
（2）解：设有个组选择智能AI讲解．
∵此次讲解的总费用不高于1600元，
∴，
解得，
为整数，
．
答：至少有2个组选择智能AI讲解．
5．根据以下素材，探究完成任务．
背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题：
(1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
(2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（），
若按方式一购买，共需 元；
若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示）
(3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
【答案】(1)玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元
(2)，
(3)在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算．
【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可；
（2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可；
（3）根据题意列不等式计算即可．
【详解】（1）解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
（2）解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个，
方式一购买，共需（元），
方式二购买，共需（元）；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴．
答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算．
6．某化工厂从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知产品的销售款比原料的进货款多20000元，产品的销售款比原料的进货款多15000元．
(1)求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共．若要增加的产品，就要再购买的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？
【答案】(1)每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元
(2)至少需要再购买8吨的原料
【分析】（1）设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设工厂原计划从A地购买的原料为b吨，则送往B地的产品为吨，易得．解得： ．进而得到原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．再根据题意列关于a的不等式求解即可.
【详解】（1）解：设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，依题意得：
，解得：．
答：每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元．
（2）解：设工厂原计划从A地购买的原料为b吨，则送往B地的产品为吨，
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴．解得： ．
∴原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．
∵产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，
∴，解得：．
∴．
答：至少需要再购买8吨的原料．
7．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为______个单位长度，x的值为______；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
【答案】(1)8，6
(2)点表示的数是
(3)机器人变成彩色的总时长为8秒
【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
（1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得；
（2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得；
（3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，，
∴．
∵点是的中点，
∴，
∵点表示的数为，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵，，且点在点的右侧，
∴点只能在点的右侧，位置如图所示：
∴，
∴，
∵点表示的数为，且点在点的右侧，
∴点表示的数是．
（3）解：∵点表示的数分别为，
∴，
由题意得：点从点运动到点所需时间为秒，
∴当时，点在上，点在点处，此时，即，
∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，，
∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
令，解得．
①当时，点在点的左侧，未追上点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴此时；
②当时，点与点重合，，符合题意；
③当时，点在点的右侧，超过点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴此时；
综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，，
∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色，
∴机器人变成彩色的总时长为（秒），
答：机器人变成彩色的总时长为8秒．
8．解决下列与平面直角坐标系有关的知识：
(1)已知点，解答下列问题：
①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ；
②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，割补法求面积，一元一次不等式的应用．
（1）①根据直线轴可知点P、Q的横坐标相同，求出，进而求出点P的坐标；
②根据第二象限点的坐标特征及“到x轴、y轴的距离相等”求出a的值，再代入计算即可；
（2）过点A作轴于点E，作轴于点D，根据割补法计算即可；
（3）连接，分三种情况根据割补法求出，列不等式计算即可
【详解】（1）解：①∵直线轴，
∴点P、Q的横坐标相同，
即，
解得
∴，
即点P的坐标为，
故答案为：；
②点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
，
解得，，
；
（2）如图，过点A作轴于点E，作轴于点D，
则
，
，
；
（3）连接，则，
①当时，点M与O重合，成立；
②如图1，当时，，
，
，
，解得，
；
③如图2，当时，，
，
，
，解得，
．
综上所述：m的取值范围为．
第三部分：一元一次不等式组
考点5：一元一次不等式组解法与解集
步骤：分别解出组内每个不等式，利用数轴找出公共部分（即不等式组的解集）。
四种基本解集类型（设 a < b）：
同大取大：x > a且 x > b→ 解集为 x > b
同小取小：x < a且 x < b→ 解集为 x < a
大小小大中间找：x > a且 x < b→ 解集为 a < x < b
大大小小无处找：x < a且 x > b→ 无解
核心考点：数形结合，准确确定公共部分。
1．若关于的不等式组恰好有个正整数解，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再结合恰好有2个正整数解的条件，确定参数的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∵该不等式组恰好有个正整数解，
∴不等式组的个正整数解为，，
∴，
解得．
2．已知不等式无解,则a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：
∵不等式无解,
∴
∴．
3．若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】观察方程的特征，可以把两个方程相减后，用含k的式子表示出，再代入到求解k的取值范围即可．
【详解】解：
①②得：，
∴，
∵
∴
解得：
4．定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围．
【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为：
，
解不等式①可得：，
解不等式②移项可得：，
因为该不等式组的解集为，
根据同大取大的解集确定法则，可得，
解得：．
5．解不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
6．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解；
【答案】，数轴见解析，不等式组的所有整数解为：0，1，2
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后可得不等式组的解集，再根据在数轴上表示解集的方法进行解答即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以不等式组的解集为，
把解集在数轴上表示出来如图所示：
考点6：不等式组的应用
考点：解决涉及多个不等条件的实际问题，如分配问题、方案选择问题。通常步骤为：设未知数 → 列不等式组 → 求解集 → 取符合题意的整数解 → 作答。
1．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组．
【详解】解：∵苹果总数为，
前个小朋友分得个苹果，
∴最后一个小朋友分得的苹果数为，
由题意，，
即不等式组为
故选：C．
2．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
【答案】(1)①M，N；②
(2)①，②或
【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间；
①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①依题意，，，，
，
甲车从A地出发，始终以的速度行驶，
甲车2小时共行驶了，
甲车出发2小时，行至M处，
乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶，
乙车共行驶了，
乙车行至N处，
故答案为：M，N；
②甲车行至的中点时，所用时间为：，
此时乙车行驶所用时间：，
故答案为：；
（2）①两车在P处相遇，P与N重合，
甲车所用时间为，
此时乙车所用时间为，
乙车的速度为；
②P在非施工道路上不与M，N重合，
若P在上，设甲的行驶时间为t，则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
若P在上，设甲的行驶时间为t，，
则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
综上所述或．
3．年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表：
型借阅机 型借阅机
单日最大借阅量（册天）
单台采购成本（元台）
如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案．
【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台．
【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可．
【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，
根据题意得，
解第一个不等式得；
解第二个不等式得，
∴不等式组的解集为，
因为为正整数，
所以的取值为或，
当时，；
当时，，
答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台．
4．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元
(2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩；
(3)
【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案；
（3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围．
【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得：
，
解得：；
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得：
，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，23，
∴共有4种建造方案，
方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；
方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；
方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩；
（3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为；
选择方案4时新建充电桩的总占地面积为．
∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积．
5．暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元．
(1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？
(2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案．
【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元
(2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件
【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元．
（2）解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，
由题意得，
解得，
∵m为整数，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
答：一共有三种方案：
方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；
方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；
方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件．
6．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．
居民生活用水消费明细计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31自来水费污水处理费用水量/m3单价/（元/m3）金额/元用水量/m3单价/（元/m3）金额/元阶段一：17234阶段一：17117阶段二：2.5阶段二：1本期实付金额（大写）（注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费）
已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．
(1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围；
(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；
(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．
【答案】(1)
(2)89.5元
(3)
【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围；
（2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可；
（3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，
根据题意得：，
解得：．
答：x的取值范围为；
（2）解：根据题意得：
（元）．
答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元；
（3）解：当时，水费差为，
令
解得：，不符合题意，舍去；
当时，，
解得：．
答：该居民7月份的用水量为．
7．为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元．
(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？
【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元
(2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本
【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价；
（2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案．
【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元．
根据题意得
解得
答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元．
（2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本．
∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元，
∴
解不等式，得．
解不等式，得，即．
解不等式得，．
∴不等式组的解集为．
∵为正整数，
∴的取值为．
答：学校共有6种购买方案，分别是：
方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本；
方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本；
方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本；
方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本；
方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本；
方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本．
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