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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题4 一次函数（1）
一、中考中动点问题的函数图象
1．某学习小组分到如图1所示农耕地△ABC用于劳动课种植果蔬，已知 小明(点D)从点A 出发，同时小红(点E)从点B 出发，以相同的速度按逆时针方向沿△ABC的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺(DE)保持笔直.当小明到达点B时，小红刚好到达点C；当小明到达点C时，小红到点A还差m米.在小明从点B到点 C的过程中，设BD为x米，四边形ABDE的面积为y平方米，如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点为(0，48)，最低点的纵坐标为n.下列结论正确的是(　　)
A．m=3
B．n=38
C．△ABC的面积为49平方米
D．当四边形ABDE为梯形时， y=27
2． 如图①，一动点P从Rt△ABC中的A 点出发，在三角形的内部运动（含边上)，沿直线运动至 P1点，再从 P1点沿直线运动至P2点，设点 P运动的路程为x， 如图②，是点 P运动时y随x变化关系图象，若 则△BP1P2的面积为（　　)
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2，AB=4，∠D=∠BAD=90°，点E从D点向C点运动，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连结AF，设点E运动的路程为x，△AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
5． 在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度。配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时)，单位通常为“分钟/公里”（min/km)，配速数值越高，代表运动速度越慢。小海参加了一场10公里的健身跑活动，他的配速p与已完成路程s（单位： km)之间的关系如图所示。
（1）p是关于s的函数吗 请说明理由。
（2）在s1、s2、s3三个位置中，运动速度最慢的是　 　。
（3）若点A（10，6)，求小海完成10公里健身跑的时间。
二、中考中一次函数图像与性质
6．已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（　　）
A．8 B．5 C．3 D．0
7．已知某函数的函数值和自变量的部分对应值如下表：
．．． ．．．
．．． ．．．
则这个函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．当 2≤x≤5 时，一次函数 y= 有最大值6，则实数m的值为 (　　)
A．-3或0 B．0或1 C．-5 或-3 D．-5 或1
10．已知和均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点在的图象上时，点就在的图象上，则称函数和具有性质P，以下函数和不具有性质P的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
11．已知点在一次函数都是常数，且的图像上，，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b (a（1）对于一次函数y=2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值.
（2）对于二次函数 甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说： “在0≤x≤3的范围内， M=0， m=-3.” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内， 若M-m=4， 则M=0， m=-4.”
甲、乙两位同学的说法正确吗 请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由.
13．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求一次函数的表达式．
（2）若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围．
三、中考中一次函数与方程（不等式）
14．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（　　）
A．当时，
B．当时，，
C．
D．关于x，y的方程组的解为
15．若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
16．在平面直角坐标系中，直线y1＝x，y2＝－x＋2，y3＝x＋2围成三角形的面积为　 　．
17．如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为　 　．
18．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 的解是　 　
19．如图，函数y1＝x与的图象交于A，B两点．
（1）求出点A，B的坐标．
（2）借助图象信息，解不等式．
四、中考中一次函数实际应用
20．某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地.若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进.用时少者胜.甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系如图2.
（1）求乙班返回时的速度.
（2）求DE的函数表达式.
（3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值.
21．为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时与的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需　 　小时．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时1h，求的值．
22．周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程4500米）出发.10分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程（米）随时间（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程关于的函数表达式为．
（1）求与的值．
（2）爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？
23．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润．
24．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元.经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A a 48
B b 24
（1）求a，b的值；
（2）该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过 B种粽子的2倍，问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大 最大利润是多少
25．请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
⑴任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
⑵任务二 给出最节省费用的购买方案.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意，当时，，
∴的面积为平方米，故C错误；
由题意可知，，，，
如图，作于点，作于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，故A错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为，
∴，故B正确；
对于D：∵的最小值为，故D错误．
【分析】根据x=0时y=48，可得的面积为平方米，判断C选项；由题意可知，，，作于点，根据正切的定义和三线合一可得，，然后根据的面积求出AB长，求出a的值判断A选项；作于点，根据平行得到，求出，即可得到，得到最低点坐标判断B选项，D选项解答即可．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，当x=0时
∴
∴
由题意可得AP1=1
由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变
∴此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，如图
∴P1P2=1
此时
∴△BP1P2的面积为
故答案为：D
【分析】由图象可得，根据勾股定理可得BC，由题意可得AP1=1，由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变，此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，P1P2=1，再根据勾股定理可得P1B，P2B，再根据三角形面积即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴四边形是正方形，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，，
∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为，
∴C选项符合题意．
故答案为：C.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，即可得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，设，得到，根据两角对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，即可得到，，再根据三角形的面积公式求出，得到二次函数的图象解答即可．
4．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
5．【答案】（1）解：p是关于s的函数。
因为对于s的每一个确定的值，p都有唯一确定的值与之对应。
（2）s2
（3）解：10×6=60 (分钟)
答：小海完成10公里健身跑的时间为60分钟。
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（2）解：∵
∴运动速度最慢的是；
故答案为：；
【分析】（1）根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量中有两个变量x，y，给x一个值，y都有一个唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断即可；
（2）根据题意中配速越高运动速度越慢判断即可；
（3）根据配速乘以路程等于时间解答即可.
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限，
∴，即，
观察选项，只有选项D中的0满足．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象经过一、三、四象限可得，求出a的取值范围解答即可．
7．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由表格数据可知该函数为一次函数，
设该函数解析式为，
由题意可得：，解得：，
所以该函数的关系式为：，
∵，
∴该函数图象是y随x的增大而减小的一次函数，即B选项符合题意．
故选B．
【分析】
观察表格数据可发现函数是一次函数，因此可利用待定系数法确定出函数表达式，再根据一次函数图象与系数的关系判断即可．
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数图象经过A，P，
∴，且，
∴，
A、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
B、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
C、当时，则，且，
∴，故本选项正确；
D、当时，则，且，
∴，故本选项错误.
故选：C．
【分析】由点P、A在一次函数的图象上，则，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ．
9．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当 即 时，y随x的增大而增大，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
当 即 1时，y随x的增大而减小，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
综上， 当 时， 一次函数
有最大值6，则实数m的值为0或
故答案为： A.
【分析】分两种情况，利用一次函数的性质得到关于m的方程， 解方程即可.
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意；
B、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意；
C、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意；
D、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式，可设出函数图象上的一点的坐标，根据定义得到函数图象上的一点的坐标，则可求出对应的函数的解析式，看是否一致即可判断求解．
11．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：选项A、B，如果kb＜0，当k＞0、b＜0时，一次函数的图象如图，
此时y1＜0、y2＜0，即y1y2＞0，故选项A正确；
如果kb＜0，当k＜0、b＞0时，一次函数的图象如图，
此时y1＞0、y2＞0，即y1y2＞0，故选项B错误；
选项C、D，如果kb＞0，当k＞0、b＞0时，一次函数的图象如图，
此时x1和x2对应的y1y2的正负性不确定，因此不一定有y1y2＞0，因此C选项错误；
如果kb＞0，当k＜0、b＜0时，一次函数的图象如图，
此时x1和x2对应的y1y2的正负性不确定，因此不一定有y1y2＜0，因此D选项错误；
综上，说法一定正确的是A。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一次函数的图象特征。
一次函数y=kx+b，其中b是该一次函数与y轴的交点，当k＞0时，该一次函数为增函数；当k＜0时，该一次函数为减函数。据此进行分析、画图，即可得出答案。
12．【答案】（1）解：因为一次函数y=2x+1的函数值y随自变量x的增大而增大，
所以当x=3时， M=2×3+1=7；
当x=0时， m=2×0+1=1.
（2）解：甲同学说法错误；乙同学说法正确.
对“甲同学说法”的判断理由如下：
因为x=1在0≤x≤3的范围内，
所以当x=1时， m=-4.所以当x=1时， m=-4.
即甲同学说法错误.
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据一次函数的增减性得到最值即可；
(2)先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲同学的推断即可.
13．【答案】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由直线上点的坐标特征结合已知联立方程组并求解即可；
（2） 由直线上点的坐标特征知，则，再根据一次函数的图象经过第四象限得，由不等式的性质即可解答．
（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
14．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象得：当x＞2时，y1＞y2，A不符合题意；
B、由图象得：当x＜0时，y1＜3，y2＞3，B不符合题意；
C、由图象得：当x-2时，y1=y2，即2a+b=2m+n，
∴b-n=2（m-a），C符合题意；
D、由图象得：关于x，y的方程组的解为，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的交点坐标，结合图象，逐项分析即可求解.
15．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ 双曲线与直线的一个交点坐标为，
∴两函数的两个交点坐标关于原点对称，
∴另一个交点坐标为（1，-2），
∴ 关于x的不等式的解集或
故答案为：C.
【分析】l根据正比例函数的图象经过原点，反比例函数图象关于原点对称，可得到两函数的两个交点坐标关于原点对称，由此可求出另一个交点坐标，即可求出于x的不等式的解集.
16．【答案】2
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：设直线y1=x，y2=-x+2交于点A，直线y1=x，交于点B，直线y2=-x+2，交于点C，
联立直线y1，y2的解析式组成方程组得：，
解得：
∴点A的坐标为(1，1)，
同理：点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(0，2)，
过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，则BE=3，AF=1，如图所示，
∴S△ABC=S△OBC-S△OAC，
=3-1
=2
∴直线y1=x，y2=-x+2，围成三角形的面积为2.
故答案为：2.
【分析】设直线y1=x，y2=-x+2交于点A，直线y1=x，交于点B，直线y2=-x+2，交于点C，通过解方程组，可求出点A，B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论.
17．【答案】x＜﹣
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：函数和的图象相交于点，
，
解得：，
故点坐标为：，，
，
，
则关于的不等式的解集为：．
故答案为：．
【分析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出的值，再利用函数图象找出函数y=kx+b的图象在正比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围即可得出答案．
18．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，
∴ 方程组 的解.
故答案为：.
【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组的解.
19．【答案】（1）解：∵函数y1＝x与的图象交于A，B两点，
故，
解得x1＝7，x2＝-1；
当x＝3时，y＝1，
当x＝-1时，y＝-3，
所以点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（-1，-1）.
（2）解：不等式的解集可看成是正比例函数的图象在反比例函数图象下方部分时自变量的取值范围，
由函数图象可知，
当x＜-1或2＜x＜1时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以不等式的解集为：x＜-3或0＜x＜1.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）联立方程求一次函数与反比例函数的交点坐即可；
（2）根据函数的交点坐标结合图象求不等式的解即可.
20．【答案】（1）解：因为A（20，60），B（60，0），
所以乙班返回共用40（s）走完60（m），
所以乙班返回时的速度为：
（2）解：因为D（18，20），E（50，60），
设DE的表达式为y=kx+b，
把D（18，20），E（50，60）代入得：
解得：
所以DE的表达式为
（3）解：因为O（0，0），A（20，60），
设OA的函数表达式为y=px，则
20k=60，解得：p=3，
所以OA的函数表达式为y=3x（0≤x≤20），
由图象可得：OA和CD的交点G表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，所以y=3x=20，解得：
因为A（20，60），B（60，0），
设AB的函数表达式为y=mx+n，则
解得：
所以AB的表达式为
由图象可得：AB和DE的交点H表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
因为DE的表达式为
所以
解得：
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象中点的坐标，然后根据速度路程时间计算即可；
（2）根据待定系数法求一次函数的额解析式即可；
（3）先求出的函数解析式，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线AB和DE的解析式求出x的值解答即可．
21．【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为
将代入解析式，得
解得
因此函数解析式为
（3）方法1：由题意得分段函数ABC向右平移，使C点至，即点至，平移后的AB段与AE交于F点
AB的解析式为，
的函数解析式为
AF的函数解析式为，
令，
解得
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于．
AB段充电速度，
由题意得
解得
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从20kW·h充到100kW·h需要小时，
故答案为：.
【分析】(1)根据函数图象即可求出答案；
(2)用待定系数法求出x的函数解析式即可；
(3)方法一：先分别求出AB段、B'F段和AF段的函数解析式，进而即可求解；
方法二：先求出AB段的充电速度，进而即可求解.
22．【答案】（1）解：把（12，0）代入，得，
，
把代入，得，
．
（2）设返回时爸爸离家的路程与的函数表达式为，
把（16，2000）和（18，1200）代入，得，解得，
．
令，解得．
小瓯的骑行速度为（米／分），
小瓯此时离景区的路程为（米）．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）观察图象知，表示爸爸的函数图象经过x轴上点（12，0），因此可通过待定系数法求出k的值；此时由于a的值表示的是爸爸距家1200米时的时间，则把（a，1200）代入到爸爸的函数解析式中即可；
（2）先利用待定系数法求出爸爸返回时的函数解析式，则当爸爸回家时函数值为0，可求出爸爸到家时的时间，可计算出此时小瓯的行程，再用总路程减去小瓯的行程即可.
23．【答案】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据总价除以单价等于数量及“ 商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等 ”列出分式方程，求解得出a的值，检验后再求出a+400的值即可；
（2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据“ 购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元”列出不等式组，求出不等式组的整数解即可得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可．
（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
24．【答案】（1）解：由题意可得，
解得
即a的值为36， b的值为20；
（2）解：设购进A种粽子x盒，则购进B种粽子(200-x)盒，总利润为w元，
由题意可得， w= (48-36) x+ (24-20) (200-x) =8x+800，
∴w随x的增大而增大，
∵要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，
∴x≤2 (200-x)，解得
∵x为整数， ∴当x=133时， w取得最大值，此时w=1864， 200-x=67，
答：当购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时，可以获得最大利润，最大利润是1864元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进A种粽子盒，总利润为w元，根据总利润＝A，B两种粽子的利润和求出，得到的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可．
25．【答案】解：⑴设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：
解得：.
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
⑵设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60-m）个排球，根据题意得：w=150m+100（60-m）=50m+6000，
∵k=50>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40（个）.
答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球元，每个排球元，根据题意“ 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等 ， 买2个篮球和5个排球共需800元 ”列方程组解答即可；
（2）设购买篮球m个，费用为元，先求出的取值范围，由总费用等于两种球的费用和列函数关系式，然后根据函数的增减性得到最值即可．
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题4 一次函数（1）
一、中考中动点问题的函数图象
1．某学习小组分到如图1所示农耕地△ABC用于劳动课种植果蔬，已知 小明(点D)从点A 出发，同时小红(点E)从点B 出发，以相同的速度按逆时针方向沿△ABC的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺(DE)保持笔直.当小明到达点B时，小红刚好到达点C；当小明到达点C时，小红到点A还差m米.在小明从点B到点 C的过程中，设BD为x米，四边形ABDE的面积为y平方米，如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点为(0，48)，最低点的纵坐标为n.下列结论正确的是(　　)
A．m=3
B．n=38
C．△ABC的面积为49平方米
D．当四边形ABDE为梯形时， y=27
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意，当时，，
∴的面积为平方米，故C错误；
由题意可知，，，，
如图，作于点，作于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，故A错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为，
∴，故B正确；
对于D：∵的最小值为，故D错误．
【分析】根据x=0时y=48，可得的面积为平方米，判断C选项；由题意可知，，，作于点，根据正切的定义和三线合一可得，，然后根据的面积求出AB长，求出a的值判断A选项；作于点，根据平行得到，求出，即可得到，得到最低点坐标判断B选项，D选项解答即可．
2． 如图①，一动点P从Rt△ABC中的A 点出发，在三角形的内部运动（含边上)，沿直线运动至 P1点，再从 P1点沿直线运动至P2点，设点 P运动的路程为x， 如图②，是点 P运动时y随x变化关系图象，若 则△BP1P2的面积为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，当x=0时
∴
∴
由题意可得AP1=1
由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变
∴此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，如图
∴P1P2=1
此时
∴△BP1P2的面积为
故答案为：D
【分析】由图象可得，根据勾股定理可得BC，由题意可得AP1=1，由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变，此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，P1P2=1，再根据勾股定理可得P1B，P2B，再根据三角形面积即可求出答案.
3．如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2，AB=4，∠D=∠BAD=90°，点E从D点向C点运动，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连结AF，设点E运动的路程为x，△AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴四边形是正方形，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，，
∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为，
∴C选项符合题意．
故答案为：C.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，即可得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，设，得到，根据两角对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，即可得到，，再根据三角形的面积公式求出，得到二次函数的图象解答即可．
4．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
5． 在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度。配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时)，单位通常为“分钟/公里”（min/km)，配速数值越高，代表运动速度越慢。小海参加了一场10公里的健身跑活动，他的配速p与已完成路程s（单位： km)之间的关系如图所示。
（1）p是关于s的函数吗 请说明理由。
（2）在s1、s2、s3三个位置中，运动速度最慢的是　 　。
（3）若点A（10，6)，求小海完成10公里健身跑的时间。
【答案】（1）解：p是关于s的函数。
因为对于s的每一个确定的值，p都有唯一确定的值与之对应。
（2）s2
（3）解：10×6=60 (分钟)
答：小海完成10公里健身跑的时间为60分钟。
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（2）解：∵
∴运动速度最慢的是；
故答案为：；
【分析】（1）根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量中有两个变量x，y，给x一个值，y都有一个唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断即可；
（2）根据题意中配速越高运动速度越慢判断即可；
（3）根据配速乘以路程等于时间解答即可.
二、中考中一次函数图像与性质
6．已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（　　）
A．8 B．5 C．3 D．0
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限，
∴，即，
观察选项，只有选项D中的0满足．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象经过一、三、四象限可得，求出a的取值范围解答即可．
7．已知某函数的函数值和自变量的部分对应值如下表：
．．． ．．．
．．． ．．．
则这个函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由表格数据可知该函数为一次函数，
设该函数解析式为，
由题意可得：，解得：，
所以该函数的关系式为：，
∵，
∴该函数图象是y随x的增大而减小的一次函数，即B选项符合题意．
故选B．
【分析】
观察表格数据可发现函数是一次函数，因此可利用待定系数法确定出函数表达式，再根据一次函数图象与系数的关系判断即可．
8．如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数图象经过A，P，
∴，且，
∴，
A、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
B、当时，则，
当时，则，
当时，则，故本选项错误；
C、当时，则，且，
∴，故本选项正确；
D、当时，则，且，
∴，故本选项错误.
故选：C．
【分析】由点P、A在一次函数的图象上，则，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ．
9．当 2≤x≤5 时，一次函数 y= 有最大值6，则实数m的值为 (　　)
A．-3或0 B．0或1 C．-5 或-3 D．-5 或1
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当 即 时，y随x的增大而增大，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
当 即 1时，y随x的增大而减小，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
综上， 当 时， 一次函数
有最大值6，则实数m的值为0或
故答案为： A.
【分析】分两种情况，利用一次函数的性质得到关于m的方程， 解方程即可.
10．已知和均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点在的图象上时，点就在的图象上，则称函数和具有性质P，以下函数和不具有性质P的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意；
B、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意；
C、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意；
D、当时，设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，
∴的解析式为，此时和具有性质P，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式，可设出函数图象上的一点的坐标，根据定义得到函数图象上的一点的坐标，则可求出对应的函数的解析式，看是否一致即可判断求解．
11．已知点在一次函数都是常数，且的图像上，，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：选项A、B，如果kb＜0，当k＞0、b＜0时，一次函数的图象如图，
此时y1＜0、y2＜0，即y1y2＞0，故选项A正确；
如果kb＜0，当k＜0、b＞0时，一次函数的图象如图，
此时y1＞0、y2＞0，即y1y2＞0，故选项B错误；
选项C、D，如果kb＞0，当k＞0、b＞0时，一次函数的图象如图，
此时x1和x2对应的y1y2的正负性不确定，因此不一定有y1y2＞0，因此C选项错误；
如果kb＞0，当k＜0、b＜0时，一次函数的图象如图，
此时x1和x2对应的y1y2的正负性不确定，因此不一定有y1y2＜0，因此D选项错误；
综上，说法一定正确的是A。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一次函数的图象特征。
一次函数y=kx+b，其中b是该一次函数与y轴的交点，当k＞0时，该一次函数为增函数；当k＜0时，该一次函数为减函数。据此进行分析、画图，即可得出答案。
12．定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b (a（1）对于一次函数y=2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值.
（2）对于二次函数 甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说： “在0≤x≤3的范围内， M=0， m=-3.” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内， 若M-m=4， 则M=0， m=-4.”
甲、乙两位同学的说法正确吗 请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由.
【答案】（1）解：因为一次函数y=2x+1的函数值y随自变量x的增大而增大，
所以当x=3时， M=2×3+1=7；
当x=0时， m=2×0+1=1.
（2）解：甲同学说法错误；乙同学说法正确.
对“甲同学说法”的判断理由如下：
因为x=1在0≤x≤3的范围内，
所以当x=1时， m=-4.所以当x=1时， m=-4.
即甲同学说法错误.
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据一次函数的增减性得到最值即可；
(2)先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲同学的推断即可.
13．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求一次函数的表达式．
（2）若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由直线上点的坐标特征结合已知联立方程组并求解即可；
（2） 由直线上点的坐标特征知，则，再根据一次函数的图象经过第四象限得，由不等式的性质即可解答．
（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴将点代入一次函数解析式得：，
联立得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：根据题意：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵一次函数的图象经过第四象限，且，则，
∴，
∴
∴．
三、中考中一次函数与方程（不等式）
14．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（　　）
A．当时，
B．当时，，
C．
D．关于x，y的方程组的解为
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象得：当x＞2时，y1＞y2，A不符合题意；
B、由图象得：当x＜0时，y1＜3，y2＞3，B不符合题意；
C、由图象得：当x-2时，y1=y2，即2a+b=2m+n，
∴b-n=2（m-a），C符合题意；
D、由图象得：关于x，y的方程组的解为，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的交点坐标，结合图象，逐项分析即可求解.
15．若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ 双曲线与直线的一个交点坐标为，
∴两函数的两个交点坐标关于原点对称，
∴另一个交点坐标为（1，-2），
∴ 关于x的不等式的解集或
故答案为：C.
【分析】l根据正比例函数的图象经过原点，反比例函数图象关于原点对称，可得到两函数的两个交点坐标关于原点对称，由此可求出另一个交点坐标，即可求出于x的不等式的解集.
16．在平面直角坐标系中，直线y1＝x，y2＝－x＋2，y3＝x＋2围成三角形的面积为　 　．
【答案】2
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：设直线y1=x，y2=-x+2交于点A，直线y1=x，交于点B，直线y2=-x+2，交于点C，
联立直线y1，y2的解析式组成方程组得：，
解得：
∴点A的坐标为(1，1)，
同理：点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(0，2)，
过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，则BE=3，AF=1，如图所示，
∴S△ABC=S△OBC-S△OAC，
=3-1
=2
∴直线y1=x，y2=-x+2，围成三角形的面积为2.
故答案为：2.
【分析】设直线y1=x，y2=-x+2交于点A，直线y1=x，交于点B，直线y2=-x+2，交于点C，通过解方程组，可求出点A，B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论.
17．如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为　 　．
【答案】x＜﹣
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：函数和的图象相交于点，
，
解得：，
故点坐标为：，，
，
，
则关于的不等式的解集为：．
故答案为：．
【分析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出的值，再利用函数图象找出函数y=kx+b的图象在正比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围即可得出答案．
18．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 的解是　 　
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，
∴ 方程组 的解.
故答案为：.
【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组的解.
19．如图，函数y1＝x与的图象交于A，B两点．
（1）求出点A，B的坐标．
（2）借助图象信息，解不等式．
【答案】（1）解：∵函数y1＝x与的图象交于A，B两点，
故，
解得x1＝7，x2＝-1；
当x＝3时，y＝1，
当x＝-1时，y＝-3，
所以点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（-1，-1）.
（2）解：不等式的解集可看成是正比例函数的图象在反比例函数图象下方部分时自变量的取值范围，
由函数图象可知，
当x＜-1或2＜x＜1时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以不等式的解集为：x＜-3或0＜x＜1.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）联立方程求一次函数与反比例函数的交点坐即可；
（2）根据函数的交点坐标结合图象求不等式的解即可.
四、中考中一次函数实际应用
20．某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地.若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进.用时少者胜.甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系如图2.
（1）求乙班返回时的速度.
（2）求DE的函数表达式.
（3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值.
【答案】（1）解：因为A（20，60），B（60，0），
所以乙班返回共用40（s）走完60（m），
所以乙班返回时的速度为：
（2）解：因为D（18，20），E（50，60），
设DE的表达式为y=kx+b，
把D（18，20），E（50，60）代入得：
解得：
所以DE的表达式为
（3）解：因为O（0，0），A（20，60），
设OA的函数表达式为y=px，则
20k=60，解得：p=3，
所以OA的函数表达式为y=3x（0≤x≤20），
由图象可得：OA和CD的交点G表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，所以y=3x=20，解得：
因为A（20，60），B（60，0），
设AB的函数表达式为y=mx+n，则
解得：
所以AB的表达式为
由图象可得：AB和DE的交点H表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
因为DE的表达式为
所以
解得：
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象中点的坐标，然后根据速度路程时间计算即可；
（2）根据待定系数法求一次函数的额解析式即可；
（3）先求出的函数解析式，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线AB和DE的解析式求出x的值解答即可．
21．为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时与的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需　 　小时．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时1h，求的值．
【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为
将代入解析式，得
解得
因此函数解析式为
（3）方法1：由题意得分段函数ABC向右平移，使C点至，即点至，平移后的AB段与AE交于F点
AB的解析式为，
的函数解析式为
AF的函数解析式为，
令，
解得
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于．
AB段充电速度，
由题意得
解得
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从20kW·h充到100kW·h需要小时，
故答案为：.
【分析】(1)根据函数图象即可求出答案；
(2)用待定系数法求出x的函数解析式即可；
(3)方法一：先分别求出AB段、B'F段和AF段的函数解析式，进而即可求解；
方法二：先求出AB段的充电速度，进而即可求解.
22．周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程4500米）出发.10分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程（米）随时间（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程关于的函数表达式为．
（1）求与的值．
（2）爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？
【答案】（1）解：把（12，0）代入，得，
，
把代入，得，
．
（2）设返回时爸爸离家的路程与的函数表达式为，
把（16，2000）和（18，1200）代入，得，解得，
．
令，解得．
小瓯的骑行速度为（米／分），
小瓯此时离景区的路程为（米）．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）观察图象知，表示爸爸的函数图象经过x轴上点（12，0），因此可通过待定系数法求出k的值；此时由于a的值表示的是爸爸距家1200米时的时间，则把（a，1200）代入到爸爸的函数解析式中即可；
（2）先利用待定系数法求出爸爸返回时的函数解析式，则当爸爸回家时函数值为0，可求出爸爸到家时的时间，可计算出此时小瓯的行程，再用总路程减去小瓯的行程即可.
23．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润．
【答案】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据总价除以单价等于数量及“ 商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等 ”列出分式方程，求解得出a的值，检验后再求出a+400的值即可；
（2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据“ 购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元”列出不等式组，求出不等式组的整数解即可得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可．
（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
24．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元.经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A a 48
B b 24
（1）求a，b的值；
（2）该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过 B种粽子的2倍，问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意可得，
解得
即a的值为36， b的值为20；
（2）解：设购进A种粽子x盒，则购进B种粽子(200-x)盒，总利润为w元，
由题意可得， w= (48-36) x+ (24-20) (200-x) =8x+800，
∴w随x的增大而增大，
∵要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，
∴x≤2 (200-x)，解得
∵x为整数， ∴当x=133时， w取得最大值，此时w=1864， 200-x=67，
答：当购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时，可以获得最大利润，最大利润是1864元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进A种粽子盒，总利润为w元，根据总利润＝A，B两种粽子的利润和求出，得到的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可．
25．请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
⑴任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
⑵任务二 给出最节省费用的购买方案.
【答案】解：⑴设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：
解得：.
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
⑵设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60-m）个排球，根据题意得：w=150m+100（60-m）=50m+6000，
∵k=50>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40（个）.
答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球元，每个排球元，根据题意“ 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等 ， 买2个篮球和5个排球共需800元 ”列方程组解答即可；
（2）设购买篮球m个，费用为元，先求出的取值范围，由总费用等于两种球的费用和列函数关系式，然后根据函数的增减性得到最值即可．
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