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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题5 一次函数（2）
一、中考中一次函数与几何
1．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为．
（1）一次函数图象的“亮点”为 ；
（2）一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值；
（3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】
（1）
解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
∴一次函数的“亮点”为；
【分析】（1）由“亮点”的概念联立一次函数解析式与正比例函数，再解二元一次方程组即可；
（2）由直线上点的坐标特征可得，再把求得的n的值代入到直线中求得m即可；
（3）由于同一平面不相交的两条直线平行，即，再由直线上点的坐标特征可得，即，再由已知可得，由于点P在y轴上，再利用坐标轴上点的坐标特征求出点P的坐标即可．
（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
一次函数的“亮点”为；
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，，.
（1） 求直线CD的解析式.
（2） 点P在第三象限的直线AB上，轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.
（3） 在(2)的条件下，点F在第四象限的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，，，的面积为8，求的面积.
【答案】（1）解：. 当 时， .
当 时，，
.
.
.
. .
.
.
.
设直线 CD 的解析式为 .
把 D(4， 0)， C()代入，得
直线 CD 的解析式为.
（2）
（3）解：连接CQ，设EQ与FG的交点为R，
∵，
∴.
∵， ，
∴.
∴， ， .
∴，
∴.
∴， .
∵， ， ，
∴∠EPQ = ∠EQP = ∠EGF = ∠EFG.
∵∠ERG = ∠HRQ，
∴.
过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T.
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴.
∴， .
∵， ，
∴.
∴，.
∵，
∴，.
∴.
设
∴
∴
∴.
∴，
∴8=m2，
∴或（舍去），
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
即的面积为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（2）解：过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，
联立， .
，.
.
.
.
.
，
.
.
.
.
.
点 W 的横坐标为 1.
由题意，得 .
.
.
，点 P， W 在 P Q 上，
点 W 的纵坐标与点 P 纵坐标相同.
即 . .
∴
故答案为：
【分析】（1）令，求出y的值，令y=0，求出x的值，进而可求出A和B的坐标，即可求出OA和OB的值，然后再根据DO=2AO，可求出DO的值，即可求出D的坐标，再根据BC=0B，即可求出BC的值，可求出OC的值，进而可求出C点坐标，设直线 CD 的解析式为，将D和C的坐标打入CD的解析式，求出b和k的值，进而可确定CD的解析式。
（2）过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，联合，求出x和y的值，进而可求出E和K点坐标；，进而可求出OK和EK的值， 易证，根据，可得，进而可得，根据题意，可得，进而，又根据，点 P， W 在 P Q 上，所以， ，，从而得到，由此可得，代入数据，然后化简即可。
（3）连接CQ，设EQ与FG的交点为R，易证；又根据直角三角形互余关系，可得，易得，过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T，易证，根据， ，易得，根据，，易得，，设，分别求出PM、TG和FG，然后再根据，代入数据，求出m的值，然后再根据勾股定理，求出PH的值，进而求出PQ的值，则，求出t的值，然后再将t代入（2）中的二次函数中，即可求解。
3．在平面直角坐标系中，直线文轴于点，交轴于点，点的坐标为.
（1）求直线BC的函数表达式.
（2）点是轴上一动点，连接BD、CD，当的面积是面积的时，求点的坐标.
（3）点坐标为，连接CE，点为直线AB上一点，若，求点坐标.
【答案】（1）解：当x=0时，y=4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线BC的解析式为：
（2）解：∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
∴OA=2，OB=4，
∴，
∴，
解得：CD=3，
∴点D的坐标为：或
（3）解：过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
则∠EOC=∠ECF=∠CGF=90°，
∴∠CEO+∠OCE=∠GCF+∠OCE=90°，
∴∠CEO=∠GCF，
又∵∠CEP=45°，
∴CE=CF，
∴△COE≌△FGC，
∴FG=OC=1，CG=OE=2，
∴OG=OC+CG=3，
∴点F的坐标为(3，-1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
如图，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
同理可得点F的坐标为(-1，1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
∴点P的坐标为：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出△OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；
（3）分为两种情况，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，证明△COE≌△FGC，求出点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.
4．【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
【答案】（1）证明：对于，
当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当时，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，
，
为等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四边形为矩形，
，
当时，，
，即，
设，
，，
根据，，
可得，
解得：，即点，
设直线的解析式为
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）对于，当时，；当时，，即，又，故结论成立；
（2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解；
（3）如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解．
5．定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，，都是“等距点”.
（1）求反比例函数.图象上的“等距点”坐标；
（2） A、B是一次函数图象上的“等距点”，O为坐标原点，若的面积为3，求一次函数的解析式；
（3）二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为求的值或取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
当时，，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
∴，
，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
∴，
，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案；
（2）先根据函数解析式得出，，求出，，再求出直线与x轴交点C的坐标为，然后根据，求出m的值即可得出答案．
（3）先根据二次函数 的图象经过点，求出，，再根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出，，然后求出或，比较大小得出，分三种情况：当时，当时，当时，确定、，再进行求解即可．
（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
即，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
整理得：，
此时，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
整理得：，
此时，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
二、中考中一次函数与图形变换
6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
7．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
8．将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移规律"上加下减常数项”保持斜率不变，将原函数常数项加上平移单位即可．
9．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是　 　．（填写一个值即可）
【答案】6(答案不唯一)
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(1，a)代入y=-x+6得，a=5，
所以点A的坐标为(1，5).
因为
则取
所以旋转前后的直线互相垂直，
则令直线 的解析式为y=x+b，
将点A(1，5)代入y=x+b得，
b=4，
所以此时直线 的解析式为y=x+4.
因为点B(m，n)在直线 上，且m>1，
不妨取m=2，
则n=2+4=6，
所以n的值可以是6.
故答案为：6(答案不唯一).
【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为 据此得出旋转后的直线 的解析式，再结合m>1写出符合要求的n的值即可.
10．已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则　 　．
【答案】2
【知识点】正比例函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设，则把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，
∵在正比例函数的图象上，
∴，解得：，
∵
∴．
故答案为：2．
【分析】
由正比例函数图象上点的坐标特征知，可设，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，然后代入求解即可．
11．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.
（1）若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；
（3）将抛物线 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 当0≤x≤4时，抛物线 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，
（2）解：如图，
∵AA"平行于二四象限角平分线，
当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，
当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，
综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5
（3）解：
设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，
得
∴对称轴为直线x=2+a，平移距离
当 时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，
此时 由题意，
解得

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可；
(2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；
(3)得到平移后的抛物线的解析式为 则平移距离为 再据此求解即可.
12．若函数“”图象上存在一点向左平移2个单位长度，正好落在函数“”图象上，则称函数“”是函数“”的“遥感函数”，这个点称为函数“”关于函数“”的“遥感点”．
（1）点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”，求函数“”的解析式．
（2）函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“”：关于函数“”：有两个不同的“遥感点”，设它们为，．当为等边三角形时，求的面积．
（3）函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”．设抛物线与函数“”：的交点为，，抛物线顶点为．当四边形为矩形时，求函数“”的解析式．
【答案】（1）解：由题意得：点在函数“”：上，
∴
∴向左平移2个单位长度得到，正好落在函数“”的图象上，
∴
∴；
即函数“”的解析式为：.
（2）解：∵函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，
∴函数“”向左平移2个单位得到函数“”，
∴，且2+b=m，
∴，
∴函数“”：；
当时，如图，
△ABC为钝角三角形，故不可能是等腰三角形，不符合题意；
当时，如图，
∵，
∴由可得：，
设，
∵图中反比例函数 关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∵是的根，
∴，即，
∴，
∵不符合题意，
∴，
解得：或，
∴，，
∴，
解得：，
∴直线y=kx+b经过点（6，0）和（0，6），过点O作OC⊥AB于点C，
则.
∴
∴等边三角形的面积为：；
（3）解：函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”
∴向左平移两个单位后的点在上，
如图，为的顶点，则
∵抛物线，
∴顶点横坐标为，纵坐标为，
∴，
设，，
∵当时，
∴，
∴，，
而
，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，经检验符合题意；且互相平分，
∴向左平移两个单位后的点为，代入
得，，
解得：，
∴直线“”的解析式为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；一次函数图象的平移变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意，把点代入函数“”：得，，再代入函数“”：，得b的值，即可求解；
（2）由新定义可得， 且2+b=m，故函数“”：；再分两种情况进行讨论：当时，△AOB是钝角三角形，此时不符合题意；当时，联立函数再整理得，设，根据反比例函数的对称性得，结合等边三角形的性质得并整理得，把x=n代入，并整理得，可求得n的值，再代入，可求得b的值，最后再结合等腰和等边三角形的性质求解即可；
（3）如图，求解，，设，，可得，，而，，由，可得，再进一步求解即可．
（1）解：∵点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”
∴
∴向左平移2个单位长度得到，正好落在函数“”图象上，
∴
∴；
（2）解：∵函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，
∴，且向左平移2个单位得到，
∴函数“”：，即，
∴函数“”：；
如图，当时，不符合题意；
当时，如图，
∵，
∴，整理得：，
设，
∵等边三角形，反比例函数都关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∵是的根，
∴，即，
∴，
∵不符合题意，
∴，
解得：，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形的面积为：；
（3）解：函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”
∴向左平移两个单位后的点在上，
如图，为的顶点，则
∵抛物线，
∴顶点横坐标为，纵坐标为，
∴，
设，，
∵当时，
∴，
∴，，
而
，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，经检验符合题意；且互相平分，
∴向左平移两个单位后的点为，代入
得，，
解得：，
∴直线“”的解析式为．
三、中考中一次函数与动态几何
13．如图1，在中，点D是边的中点，动点E从点A出发，沿运动，设点E运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的函数图象如图2所示．有下列结论：①；②的面积为1；③当时，．其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：根据图2中的点（2，1）可得AC=2，△BCD的面积为1，
∵ D为边AB的中点，
∴ △ABC的面积=2S△BCD=2，
设图2中的后半段图形解析式为y=kx+b，将点（2，1）（4，0）代入得，
解得，，
∴，
∴ 当时， .
综上，正确的有①③.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象可知，点（2，1）为E点运动到点C，即可求得AC的长；再根据D为AB的中点即可求得△ABC的面积；根据待定系数法求一次函数解析式，再求x=3时的函数值即可.
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　)
A．当点A在y轴上时，点 C的坐标为（4， 2)
B．mn=4
C．OE的长始终为4
D．n的取值范围为-2≤n≤2
【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图，
∵点A是直线y＝2上的动点，
∴OA＝2，
又∵矩形的面积为8，
∴OA AC＝8，
∴AC＝4，
∴C（4，2），
故选项A正确，不合题意；
设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H，
∵矩形OACB的面积为8，
∴S△BOF＝4．
∴S△BOG≤4．
又∵S△BOH＝S△BOG＝mn，
∴mn≤4．
∴mn≤8，故B错误，符合题意．
直线CB的斜率kCB＝．
又∵xA＝ ，
∴kCB＝．
直线CB的方程为y n＝ (x m)．
点E是该直线与x轴的交点，令y＝0： n＝(xE m)，
n2＝m（xE m），
xE m＝，
xE＝m＋＝．
将m2＋n2＝4，
m代入上式：xE＝＝4，
OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4．
∴选项C是正确的．
关系式m2＋n2＝4m，可以写成m2 4m＋n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程．
为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0．
Δ＝（ 4）2 4n2≥0
16 4n2≥0
4n2≤16
n2≤4
解得 2≤n≤2．
∴选项D是正确的．
∴不正确的说法是B．
故答案为：B．
【分析】先通过动点A在直线y＝2上运动且矩形面积恒定这一条件，再结合几何变换或相似三角形性质，推导出点B的轨迹是一个圆（m 2）2＋n2＝4，再利用直接斜率的定义及计算方法以及直线与坐标轴的关系计算并逐一判定选项的正确与错误即可．
15．如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，．
（1）求点的坐标；
（2）点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？
【答案】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；一次函数中的动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，即可得到，进而求出，然后根据解直角三角形求出BE长，CE长，然后根据线段的和差求出AE长，即可得到点C的坐标；
（2）作点B关于y轴的对称点为D，连接与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，然后利用待定系数法求直线CD的解析式 ，即可得到点P的坐标．
（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
16．如图， 已知点，，的平分线交于， 一动点从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，过点且平行于的直线交轴于，作点、关于直线的对称点、．设点运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示点，的坐标，点的坐标为 ，点的坐标为 ．
（2）求点的坐标．
（3）设与重叠部分的面积为．试求关于的函数关系式．
【答案】（1），．
（2）解：过点作轴于点，轴于点，
∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，
又∵轴于点，轴于点，
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形，设正方形的边长为，
∴
轴
∴即
解得：，
∴
（3）解；当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为．
.
当时，如图3所示，点在的延长线上，
设与交于点，则重叠部分面积为．
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为
同理求得直线的解析式为：．
联立与，求得点的横坐标为．
．
综上可得，关于的函数关系式为．
【知识点】分段函数；正方形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】
（1）解：
∵点，，
∴
∵，
∴，即
∴
动点从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，
，
．
的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，．
故答案为：（2t，0），(0，t).
【分析】
（1）根据平行线分线段成比例定理“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”可得比例式，于是可得，然后可将的坐标用含t的代数式表示出来，根据轴对称的性质可得，即可求解；
（2）由题意易证四边形是正方形，设正方形的边长为，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，根据相似三角形的性质可列比例式，结合已知可得关于x的方程，解方程即可求解；
（3）所求函数关系式为分段函数，由题意可分两种情况：图2，图3表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，分别求解即可．
（1）∵点，，
∴
∵，
∴，即
∴
动点从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，
，
．
的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，．
（2）解：过点作轴于点，轴于点，
∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，
又∵轴于点，轴于点，
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形，设正方形的边长为，
∴
轴
∴即
解得：，
∴
（3）当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为．
.
当时，如图3所示，点在的延长线上，
设与交于点，则重叠部分面积为．
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为
同理求得直线的解析式为：．
联立与，求得点的横坐标为．
．
综上所述，关于的函数关系式为．
17．如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）
（1）当点N落在边上时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值．
【答案】（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）x的值为或
【知识点】一次函数中的动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
【分析】（1）延长NQ交AD于点E，由平行四边形的性质可得QE//PM//CD，则可证明，则由相似比可得，，同理可证明，则，，再根据列方程并求解即可；
（2）可分三种情况进行计算，即当点P在AC上且点N在矩形ABCD内部时，此时，则；当点P在AC上但点N在矩形ABCD外部时，此时，则，此时可证明，则利用三角函数可求出FG；当点P在CB上运动时，此时，则；
（3）由于矩形是中心对称图形，则经过对角线交点的任一条直线均可等分矩形面积，因此可连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，此时可分两种情况分别计算，即当N在BC上时，此时和N在矩形ABCD外时，此时时．
（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得；
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
18．已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，．
（1）如图1，已知经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，求证：直线与相切．
（2）如图2，已知直线分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线上的一个动点，以N为圆心，为半径画圆，当点N与点C重合时，直线与相切．
①求直线的解析式．
②设与直线相交于P、Q两点，连接、，请问是否存在这样的点N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）解：①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，
解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；切线的判定；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形，则，连接，，可知，则，得为等腰直角三角形，
则，，即可证得结论；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，由（1）可知，为等腰直角三角形，同时可知为等腰直角三角形，用勾股定理求得AC的值，则，得点的坐标为，然后用待定系数法即可求解；
②由题意，用待定系数法求得直线的解析式，当点在直线，交点下方时，
由是等腰直角三角形，且，可知，即轴，设点的横坐标为，则，，列出关于t的方程，解方程可得点N的坐标；当点在直线，交点下方时，同理可求解．
（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
四、中考中一次函数与规律问题
19．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】当x=1时，y=3，
∴点A1的坐标为（1，3），
将y=3代入，可得x=-3，
∴点A2的坐标为（-3，3），
将x=-3代入，可得y=-9，
∴点A3的坐标为（-3，-9），
将y=-9代入，可得x=9，
∴点A4的坐标为（9，-9），
同理可得：A5（9，27），A6（-27，27），A7（-27，-81）……
以此类推可得A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（-32n+1，32n+1），A4n+3（-32n+1，-32n+2），A4n+4（32n+2，-32n+2）（n为自然数），
∵2023=505×4+3，
∴点的坐标为，
故答案为：C.
【分析】先求出规律A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（-32n+1，32n+1），A4n+3（-32n+1，-32n+2），A4n+4（32n+2，-32n+2）（n为自然数），再结合2023=505×4+3，求出点的坐标为即可。
20．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：当x=0时，，
根据题意，第1个等腰直角三角形的直角边长为，
第1个等腰直角三角形的面积为，
当x=1时，y=x+1=2，
第2个等腰直角三角形的直角边长为2，
第2个等腰直角三角形的面积为，
当x=3时，，
第3个等腰直角三角形的直角边长为4，
第3个等腰直角三角形的面积为，
依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为，
故答案为：C．
【分析】先求出规律，再求出第100个等腰直角三角形的面积为即可。
21．在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上．若点的坐标为，且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；等边三角形的性质；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，
，
，
当时，，即，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，即点的纵坐标为，
同理可得：点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为（为正整数），
∴点的纵坐标为，
故答案为：．
【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求得点的纵坐标，同法可得点的纵坐标，找到规律即可求解．
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，
∴，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∴，
∴正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；
同理可证△OA2B2∽△OA3B3，
∴，
∵四边形A2 B2C2 A3是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：．
故答案为：．
【分析】先求出正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1，再将n=2021代入计算即可。
23．如图，在第一象限内的直线：上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；…，依次类推，则点的横坐标为　 　．
【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：，是等边三角形，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为1，
过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，
，
的横坐标为2，
依此类推：的横坐标为
的横坐标为，
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质结合一次函数的图象得到，进而得到的横坐标为，从而结合作图得到，再结合题意即可得到的横坐标为 ，从而代入即可求解。
24．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2， ，rn，则当r1=1时，r2022=　 　．
【答案】32021
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切，
∴O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，
∵正比例函数的解析式为y=x，
∴直线l与x轴的正半轴的夹角为30°，
在Rt△H1OO1中，OO1=2O1H1=2r1=2，
在Rt△H2OO2中，OO2=2O2H2，即3+r2=2r2，解得r2=3，
在Rt△H3OO2中，OO3=2O3H3，即3+6+r3=2r3，解得r3=9，
∵r1=30，r2=31，r3=32，

∴r2022=32021．
故答案为：32021．
【分析】过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，先求出O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，求解可得r1=30，r2=31，r3=32，再求出规律，最后求出r2022=32021即可。
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题5 一次函数（2）
一、中考中一次函数与几何
1．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为．
（1）一次函数图象的“亮点”为 ；
（2）一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值；
（3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，，.
（1） 求直线CD的解析式.
（2） 点P在第三象限的直线AB上，轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.
（3） 在(2)的条件下，点F在第四象限的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，，，的面积为8，求的面积.
3．在平面直角坐标系中，直线文轴于点，交轴于点，点的坐标为.
（1）求直线BC的函数表达式.
（2）点是轴上一动点，连接BD、CD，当的面积是面积的时，求点的坐标.
（3）点坐标为，连接CE，点为直线AB上一点，若，求点坐标.
4．【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
5．定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，，都是“等距点”.
（1）求反比例函数.图象上的“等距点”坐标；
（2） A、B是一次函数图象上的“等距点”，O为坐标原点，若的面积为3，求一次函数的解析式；
（3）二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为求的值或取值范围.
二、中考中一次函数与图形变换
6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是　 　（写出一个即可）．
8．将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为　 　．
9．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是　 　．（填写一个值即可）
10．已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则　 　．
11．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.
（1）若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；
（3）将抛物线 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 当0≤x≤4时，抛物线 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围.
12．若函数“”图象上存在一点向左平移2个单位长度，正好落在函数“”图象上，则称函数“”是函数“”的“遥感函数”，这个点称为函数“”关于函数“”的“遥感点”．
（1）点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”，求函数“”的解析式．
（2）函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“”：关于函数“”：有两个不同的“遥感点”，设它们为，．当为等边三角形时，求的面积．
（3）函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”．设抛物线与函数“”：的交点为，，抛物线顶点为．当四边形为矩形时，求函数“”的解析式．
三、中考中一次函数与动态几何
13．如图1，在中，点D是边的中点，动点E从点A出发，沿运动，设点E运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的函数图象如图2所示．有下列结论：①；②的面积为1；③当时，．其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（　　)
A．当点A在y轴上时，点 C的坐标为（4， 2)
B．mn=4
C．OE的长始终为4
D．n的取值范围为-2≤n≤2
15．如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，．
（1）求点的坐标；
（2）点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？
16．如图， 已知点，，的平分线交于， 一动点从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，过点且平行于的直线交轴于，作点、关于直线的对称点、．设点运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示点，的坐标，点的坐标为 ，点的坐标为 ．
（2）求点的坐标．
（3）设与重叠部分的面积为．试求关于的函数关系式．
17．如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）
（1）当点N落在边上时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值．
18．已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，．
（1）如图1，已知经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，求证：直线与相切．
（2）如图2，已知直线分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线上的一个动点，以N为圆心，为半径画圆，当点N与点C重合时，直线与相切．
①求直线的解析式．
②设与直线相交于P、Q两点，连接、，请问是否存在这样的点N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
四、中考中一次函数与规律问题
19．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（　　）．
A． B．
C． D．
20．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
21．在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上．若点的坐标为，且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为　 　．
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为　 　．
23．如图，在第一象限内的直线：上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；…，依次类推，则点的横坐标为　 　．
24．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2， ，rn，则当r1=1时，r2022=　 　．
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】
（1）
解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
∴一次函数的“亮点”为；
【分析】（1）由“亮点”的概念联立一次函数解析式与正比例函数，再解二元一次方程组即可；
（2）由直线上点的坐标特征可得，再把求得的n的值代入到直线中求得m即可；
（3）由于同一平面不相交的两条直线平行，即，再由直线上点的坐标特征可得，即，再由已知可得，由于点P在y轴上，再利用坐标轴上点的坐标特征求出点P的坐标即可．
（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
一次函数的“亮点”为；
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
2．【答案】（1）解：. 当 时， .
当 时，，
.
.
.
. .
.
.
.
设直线 CD 的解析式为 .
把 D(4， 0)， C()代入，得
直线 CD 的解析式为.
（2）
（3）解：连接CQ，设EQ与FG的交点为R，
∵，
∴.
∵， ，
∴.
∴， ， .
∴，
∴.
∴， .
∵， ， ，
∴∠EPQ = ∠EQP = ∠EGF = ∠EFG.
∵∠ERG = ∠HRQ，
∴.
过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T.
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴.
∴， .
∵， ，
∴.
∴，.
∵，
∴，.
∴.
设
∴
∴
∴.
∴，
∴8=m2，
∴或（舍去），
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
即的面积为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（2）解：过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，
联立， .
，.
.
.
.
.
，
.
.
.
.
.
点 W 的横坐标为 1.
由题意，得 .
.
.
，点 P， W 在 P Q 上，
点 W 的纵坐标与点 P 纵坐标相同.
即 . .
∴
故答案为：
【分析】（1）令，求出y的值，令y=0，求出x的值，进而可求出A和B的坐标，即可求出OA和OB的值，然后再根据DO=2AO，可求出DO的值，即可求出D的坐标，再根据BC=0B，即可求出BC的值，可求出OC的值，进而可求出C点坐标，设直线 CD 的解析式为，将D和C的坐标打入CD的解析式，求出b和k的值，进而可确定CD的解析式。
（2）过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，联合，求出x和y的值，进而可求出E和K点坐标；，进而可求出OK和EK的值， 易证，根据，可得，进而可得，根据题意，可得，进而，又根据，点 P， W 在 P Q 上，所以， ，，从而得到，由此可得，代入数据，然后化简即可。
（3）连接CQ，设EQ与FG的交点为R，易证；又根据直角三角形互余关系，可得，易得，过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T，易证，根据， ，易得，根据，，易得，，设，分别求出PM、TG和FG，然后再根据，代入数据，求出m的值，然后再根据勾股定理，求出PH的值，进而求出PQ的值，则，求出t的值，然后再将t代入（2）中的二次函数中，即可求解。
3．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线BC的解析式为：
（2）解：∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
∴OA=2，OB=4，
∴，
∴，
解得：CD=3，
∴点D的坐标为：或
（3）解：过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
则∠EOC=∠ECF=∠CGF=90°，
∴∠CEO+∠OCE=∠GCF+∠OCE=90°，
∴∠CEO=∠GCF，
又∵∠CEP=45°，
∴CE=CF，
∴△COE≌△FGC，
∴FG=OC=1，CG=OE=2，
∴OG=OC+CG=3，
∴点F的坐标为(3，-1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
如图，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
同理可得点F的坐标为(-1，1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
∴点P的坐标为：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出△OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；
（3）分为两种情况，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，证明△COE≌△FGC，求出点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.
4．【答案】（1）证明：对于，
当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当时，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，
，
为等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四边形为矩形，
，
当时，，
，即，
设，
，，
根据，，
可得，
解得：，即点，
设直线的解析式为
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）对于，当时，；当时，，即，又，故结论成立；
（2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解；
（3）如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解．
5．【答案】（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
当时，，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
∴，
，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
∴，
，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案；
（2）先根据函数解析式得出，，求出，，再求出直线与x轴交点C的坐标为，然后根据，求出m的值即可得出答案．
（3）先根据二次函数 的图象经过点，求出，，再根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出，，然后求出或，比较大小得出，分三种情况：当时，当时，当时，确定、，再进行求解即可．
（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
即，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
整理得：，
此时，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
整理得：，
此时，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
6．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
7．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移规律"上加下减常数项”保持斜率不变，将原函数常数项加上平移单位即可．
9．【答案】6(答案不唯一)
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(1，a)代入y=-x+6得，a=5，
所以点A的坐标为(1，5).
因为
则取
所以旋转前后的直线互相垂直，
则令直线 的解析式为y=x+b，
将点A(1，5)代入y=x+b得，
b=4，
所以此时直线 的解析式为y=x+4.
因为点B(m，n)在直线 上，且m>1，
不妨取m=2，
则n=2+4=6，
所以n的值可以是6.
故答案为：6(答案不唯一).
【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为 据此得出旋转后的直线 的解析式，再结合m>1写出符合要求的n的值即可.
10．【答案】2
【知识点】正比例函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设，则把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，
∵在正比例函数的图象上，
∴，解得：，
∵
∴．
故答案为：2．
【分析】
由正比例函数图象上点的坐标特征知，可设，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，然后代入求解即可．
11．【答案】（1）解：由题意可知，
（2）解：如图，
∵AA"平行于二四象限角平分线，
当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，
当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，
综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5
（3）解：
设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，
得
∴对称轴为直线x=2+a，平移距离
当 时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，
此时 由题意，
解得

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可；
(2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；
(3)得到平移后的抛物线的解析式为 则平移距离为 再据此求解即可.
12．【答案】（1）解：由题意得：点在函数“”：上，
∴
∴向左平移2个单位长度得到，正好落在函数“”的图象上，
∴
∴；
即函数“”的解析式为：.
（2）解：∵函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，
∴函数“”向左平移2个单位得到函数“”，
∴，且2+b=m，
∴，
∴函数“”：；
当时，如图，
△ABC为钝角三角形，故不可能是等腰三角形，不符合题意；
当时，如图，
∵，
∴由可得：，
设，
∵图中反比例函数 关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∵是的根，
∴，即，
∴，
∵不符合题意，
∴，
解得：或，
∴，，
∴，
解得：，
∴直线y=kx+b经过点（6，0）和（0，6），过点O作OC⊥AB于点C，
则.
∴
∴等边三角形的面积为：；
（3）解：函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”
∴向左平移两个单位后的点在上，
如图，为的顶点，则
∵抛物线，
∴顶点横坐标为，纵坐标为，
∴，
设，，
∵当时，
∴，
∴，，
而
，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，经检验符合题意；且互相平分，
∴向左平移两个单位后的点为，代入
得，，
解得：，
∴直线“”的解析式为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；一次函数图象的平移变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意，把点代入函数“”：得，，再代入函数“”：，得b的值，即可求解；
（2）由新定义可得， 且2+b=m，故函数“”：；再分两种情况进行讨论：当时，△AOB是钝角三角形，此时不符合题意；当时，联立函数再整理得，设，根据反比例函数的对称性得，结合等边三角形的性质得并整理得，把x=n代入，并整理得，可求得n的值，再代入，可求得b的值，最后再结合等腰和等边三角形的性质求解即可；
（3）如图，求解，，设，，可得，，而，，由，可得，再进一步求解即可．
（1）解：∵点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”
∴
∴向左平移2个单位长度得到，正好落在函数“”图象上，
∴
∴；
（2）解：∵函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，
∴，且向左平移2个单位得到，
∴函数“”：，即，
∴函数“”：；
如图，当时，不符合题意；
当时，如图，
∵，
∴，整理得：，
设，
∵等边三角形，反比例函数都关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∵是的根，
∴，即，
∴，
∵不符合题意，
∴，
解得：，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形的面积为：；
（3）解：函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”
∴向左平移两个单位后的点在上，
如图，为的顶点，则
∵抛物线，
∴顶点横坐标为，纵坐标为，
∴，
设，，
∵当时，
∴，
∴，，
而
，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，经检验符合题意；且互相平分，
∴向左平移两个单位后的点为，代入
得，，
解得：，
∴直线“”的解析式为．
13．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：根据图2中的点（2，1）可得AC=2，△BCD的面积为1，
∵ D为边AB的中点，
∴ △ABC的面积=2S△BCD=2，
设图2中的后半段图形解析式为y=kx+b，将点（2，1）（4，0）代入得，
解得，，
∴，
∴ 当时， .
综上，正确的有①③.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象可知，点（2，1）为E点运动到点C，即可求得AC的长；再根据D为AB的中点即可求得△ABC的面积；根据待定系数法求一次函数解析式，再求x=3时的函数值即可.
14．【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图，
∵点A是直线y＝2上的动点，
∴OA＝2，
又∵矩形的面积为8，
∴OA AC＝8，
∴AC＝4，
∴C（4，2），
故选项A正确，不合题意；
设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H，
∵矩形OACB的面积为8，
∴S△BOF＝4．
∴S△BOG≤4．
又∵S△BOH＝S△BOG＝mn，
∴mn≤4．
∴mn≤8，故B错误，符合题意．
直线CB的斜率kCB＝．
又∵xA＝ ，
∴kCB＝．
直线CB的方程为y n＝ (x m)．
点E是该直线与x轴的交点，令y＝0： n＝(xE m)，
n2＝m（xE m），
xE m＝，
xE＝m＋＝．
将m2＋n2＝4，
m代入上式：xE＝＝4，
OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4．
∴选项C是正确的．
关系式m2＋n2＝4m，可以写成m2 4m＋n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程．
为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0．
Δ＝（ 4）2 4n2≥0
16 4n2≥0
4n2≤16
n2≤4
解得 2≤n≤2．
∴选项D是正确的．
∴不正确的说法是B．
故答案为：B．
【分析】先通过动点A在直线y＝2上运动且矩形面积恒定这一条件，再结合几何变换或相似三角形性质，推导出点B的轨迹是一个圆（m 2）2＋n2＝4，再利用直接斜率的定义及计算方法以及直线与坐标轴的关系计算并逐一判定选项的正确与错误即可．
15．【答案】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；一次函数中的动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，即可得到，进而求出，然后根据解直角三角形求出BE长，CE长，然后根据线段的和差求出AE长，即可得到点C的坐标；
（2）作点B关于y轴的对称点为D，连接与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，然后利用待定系数法求直线CD的解析式 ，即可得到点P的坐标．
（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
16．【答案】（1），．
（2）解：过点作轴于点，轴于点，
∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，
又∵轴于点，轴于点，
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形，设正方形的边长为，
∴
轴
∴即
解得：，
∴
（3）解；当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为．
.
当时，如图3所示，点在的延长线上，
设与交于点，则重叠部分面积为．
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为
同理求得直线的解析式为：．
联立与，求得点的横坐标为．
．
综上可得，关于的函数关系式为．
【知识点】分段函数；正方形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】
（1）解：
∵点，，
∴
∵，
∴，即
∴
动点从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，
，
．
的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，．
故答案为：（2t，0），(0，t).
【分析】
（1）根据平行线分线段成比例定理“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”可得比例式，于是可得，然后可将的坐标用含t的代数式表示出来，根据轴对称的性质可得，即可求解；
（2）由题意易证四边形是正方形，设正方形的边长为，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，根据相似三角形的性质可列比例式，结合已知可得关于x的方程，解方程即可求解；
（3）所求函数关系式为分段函数，由题意可分两种情况：图2，图3表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，分别求解即可．
（1）∵点，，
∴
∵，
∴，即
∴
动点从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，
，
．
的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，．
（2）解：过点作轴于点，轴于点，
∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，
又∵轴于点，轴于点，
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形，设正方形的边长为，
∴
轴
∴即
解得：，
∴
（3）当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为．
.
当时，如图3所示，点在的延长线上，
设与交于点，则重叠部分面积为．
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为
同理求得直线的解析式为：．
联立与，求得点的横坐标为．
．
综上所述，关于的函数关系式为．
17．【答案】（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）x的值为或
【知识点】一次函数中的动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
【分析】（1）延长NQ交AD于点E，由平行四边形的性质可得QE//PM//CD，则可证明，则由相似比可得，，同理可证明，则，，再根据列方程并求解即可；
（2）可分三种情况进行计算，即当点P在AC上且点N在矩形ABCD内部时，此时，则；当点P在AC上但点N在矩形ABCD外部时，此时，则，此时可证明，则利用三角函数可求出FG；当点P在CB上运动时，此时，则；
（3）由于矩形是中心对称图形，则经过对角线交点的任一条直线均可等分矩形面积，因此可连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，此时可分两种情况分别计算，即当N在BC上时，此时和N在矩形ABCD外时，此时时．
（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得；
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）解：①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，
解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；切线的判定；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形，则，连接，，可知，则，得为等腰直角三角形，
则，，即可证得结论；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，由（1）可知，为等腰直角三角形，同时可知为等腰直角三角形，用勾股定理求得AC的值，则，得点的坐标为，然后用待定系数法即可求解；
②由题意，用待定系数法求得直线的解析式，当点在直线，交点下方时，
由是等腰直角三角形，且，可知，即轴，设点的横坐标为，则，，列出关于t的方程，解方程可得点N的坐标；当点在直线，交点下方时，同理可求解．
（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
19．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】当x=1时，y=3，
∴点A1的坐标为（1，3），
将y=3代入，可得x=-3，
∴点A2的坐标为（-3，3），
将x=-3代入，可得y=-9，
∴点A3的坐标为（-3，-9），
将y=-9代入，可得x=9，
∴点A4的坐标为（9，-9），
同理可得：A5（9，27），A6（-27，27），A7（-27，-81）……
以此类推可得A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（-32n+1，32n+1），A4n+3（-32n+1，-32n+2），A4n+4（32n+2，-32n+2）（n为自然数），
∵2023=505×4+3，
∴点的坐标为，
故答案为：C.
【分析】先求出规律A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（-32n+1，32n+1），A4n+3（-32n+1，-32n+2），A4n+4（32n+2，-32n+2）（n为自然数），再结合2023=505×4+3，求出点的坐标为即可。
20．【答案】C
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：当x=0时，，
根据题意，第1个等腰直角三角形的直角边长为，
第1个等腰直角三角形的面积为，
当x=1时，y=x+1=2，
第2个等腰直角三角形的直角边长为2，
第2个等腰直角三角形的面积为，
当x=3时，，
第3个等腰直角三角形的直角边长为4，
第3个等腰直角三角形的面积为，
依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为，
故答案为：C．
【分析】先求出规律，再求出第100个等腰直角三角形的面积为即可。
21．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；等边三角形的性质；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，
，
，
当时，，即，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，即点的纵坐标为，
同理可得：点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为（为正整数），
∴点的纵坐标为，
故答案为：．
【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求得点的纵坐标，同法可得点的纵坐标，找到规律即可求解．
22．【答案】
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，
∴，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∴，
∴正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；
同理可证△OA2B2∽△OA3B3，
∴，
∵四边形A2 B2C2 A3是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：．
故答案为：．
【分析】先求出正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1，再将n=2021代入计算即可。
23．【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：，是等边三角形，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为1，
过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，
，
的横坐标为2，
依此类推：的横坐标为
的横坐标为，
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质结合一次函数的图象得到，进而得到的横坐标为，从而结合作图得到，再结合题意即可得到的横坐标为 ，从而代入即可求解。
24．【答案】32021
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切，
∴O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，
∵正比例函数的解析式为y=x，
∴直线l与x轴的正半轴的夹角为30°，
在Rt△H1OO1中，OO1=2O1H1=2r1=2，
在Rt△H2OO2中，OO2=2O2H2，即3+r2=2r2，解得r2=3，
在Rt△H3OO2中，OO3=2O3H3，即3+6+r3=2r3，解得r3=9，
∵r1=30，r2=31，r3=32，

∴r2022=32021．
故答案为：32021．
【分析】过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，先求出O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，求解可得r1=30，r2=31，r3=32，再求出规律，最后求出r2022=32021即可。
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