资源简介

【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题6 二次函数（1）
一、中考中二次函数图象与性质
1．已知抛物线y=ax2-2ax+a-3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值小于-3 D．当x=2时，y＜0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+a-3(a为常数，a≠0)的图象与x轴有两个交点，
∴Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，
解得a>0
∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意；
∵当x=1时，y=ax2-2ax+a-3=a-2a+a-3=-3
∴二次函数的最小值为-3，所以C选项不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于轴两侧，
∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴a-3<0，
∴x=2时，y=ax2-2ax+a-3=4a-4a+a-3=a-3<0，所以D选项符合题意.
故选：D.
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，解得a>0，则可对A选项进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，当x>1时，y随x的增大而增大，从而可对B选项进行判断；由于当x=1时，y=-3，即二次函数的最小值为-3，从而可对C选项进行判断；由于抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，则可判断抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以a-3<0，由于x=2时，y=a-3，所以y<0，从而可对D选项进行判断.
2． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故答案为：A .
【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可.
3．已知二次函数 的图象顶点为 M，图象上有一点 P (x1，y1)满足 若Q (x2， y2)是函数图象(PM段)上的一点(不与 P， M重合)，令 则t的范围是(　　)
A．t<3 B．t>9 C．0【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由解析式为 可得顶点 M 的坐标为(m，k)。
已将点 P的坐标代入得 ，即 ，
又∵，
∴，
解得： ，
∴点 P 的横坐标为
∵点 是函数图象上 PM段之间的一点，并且点Q不与点 P、点M重合，
∴即 ，
点 代入函数解析式的 ，即 ，
将 代入可得 ，
∵，
∴，即0故答案选：D.
【分析】将点P的坐标代入解析式得，再根据得到，然后将Q点在PM段得到，在将点Q坐标代入解析式，借助即可得到，即可得到t的取值范围解答即可.
4．二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x=1.下列四个结论：①3a+b<0；②过点（0，c-a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a>0，关于x的不等式的解集为-1<1；④若a<0，点P（t，y1），Q（t-1，y2）在该抛物线上，当实数时，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数（）的图像与轴交于点，
对称轴为直线．
，
，则，
∵或，故①不符合题意；
对称轴为直线．
顶点坐标为：，即，
过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；
当，二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．
抛物线与轴的另一个交点为：；
把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线
（）；
如图，
而的解集为：，
的解集为：，
即关于的不等式的解集为；故③符合题意；
当，实数时，，如图，
点，中点与对称轴的距离较近，
．故④符合题意；
故答案为：B．
【分析】由二次函数轴交点和对称轴可得，即可得到，分为或判断①；根据顶点坐标可得，即可得到过点平行于轴的直线与抛物线交点个数判断②；当可得抛物线与轴的另一个交点为；然后得到平移的解析式，再借助函数图象得到关于的不等式的解集判断③；当，得到点，到对称轴的距离，根据距离远的函数值小判断④解答即可．
5．已知抛物线 (b为常数)经过点 A (2， - 3) ， B (x1， t) .
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）当 时，-4≤t≤-3，求k的最大值.
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C (x2，t)；若 求t的取值范围.
【答案】（1）解：把A (2， - 3)代入，得4+2b-3=-3，解得b=-2，∴抛物线的函数表达式为
（2）解：∵a=1>0，对称轴为直线
∴当x=1时， y最小值=-4；而当x=0或2时， y=-3，
∴由图象可得，当 0≤x1≤2时， - 4≤t≤-3，∴k的最大值为2.
（3）解：如图，
∵点和点关于对称轴为直线对称，
∴，即，
∵，
即，
∴．
∵，且当时，y随x的增大而减小，
∴当时，；时，．
∴t的取值范围是．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点A的坐标代入解析式求出b的值解答即可.
（2）根据二次函数的解析式求出对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的增减性求出最值解答即可.
（3）利用二次函数的对称性可得可得，即，代入求出，根据函数的增减性解答即可.
6．已知二次函数y=ax2+bx-3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … -1 2 4 m …
y … y1 -4 y2 y3 …
（1）当y2=-3时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②若y1＜y3，求m的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）解：①当x=0时，y=-3，当x=4时，y=y2=-3
由二次函数的对称性可知顶点坐标为(2，-4）
②∵二次函数图象的对称轴为直线x=2，且a>0，开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∴x=m对应的点比x=-1对应的点距离对称轴远，
∴|m-2|>|-1-2|，即|m-2|>3.
∴m-2>3或2-m>3，
解得m>5或m<-1
∴m>4，
∴m>5.
（2）证明：∵当x=2时，y=-4，
∴4a+2b-3=-4，
∴，
∵a＞0，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)①令x=0，求得对应的y值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；
②根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到x=m对应的点比x=-1对应的点距离对称轴远，列不等式|m-2|>|-1-2|，解不等式即可得解；
(2)令x=2，得到，进而表示出a-b，结合a>0即可得证.
7．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
8． 已知二次函数m为实数.
（1）若m=1，求该函数图象的对称轴.
（2）当m+2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值.
（3）若点且 试比较y1与y2大小.
【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）求出时二次函数解析式，根据对称轴公式计算解答即可；
（2）求出二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可知，然后得到上函数的增减性，得到最大值和最小值，列方程解答即可；
（3）由（2）可得对称轴为直线，且二次函数的开口向上，得到、两点的中点的横坐标为，再分为，或三种情况，根据函数的增减性解答即可．
9．设二次函数
（1）若该函数的对称轴为直线x =2.求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P(8，1-3a)， M(m，y1)和N(n，y2)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有 求m 的取值范围.
【答案】（1）解：二次函数的对称轴为直线，
，
解得：，
，
该函数的顶点坐标为；
（2）解：，
若该函数存在最大值11，
则，整理得，
，
解得：，，
即该函数存在最大值11，此时的值为或；
（3）解：点在函数图象上，
，
解得：，
，
函数图象开口向下，对称轴为直线，
，且，
和在函数图象上，且当时，都有，
或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）根据抛物线对称轴求出的值，得到抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标即可；
（2）把解析式化为顶点式，即可得到该函数有最大值，利用公式法求出x的值解答即可；
（3）将点代入函数解析式求出a的值，即可得到函数图象开口向下，对称轴为直线，然后根据离对称轴远的点的函数值大解答即可．
10．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线x=t（t>0）.
（1）当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上.若m0的取值范围；
（3）当t-2≤x≤3t+2时，函数的最大值与最小值的差为16a，求t的值.
【答案】（1）解：当时，，
∴当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴．
（2）解：当时，，
∴抛物线与y轴交点坐标为，
∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当点，点，均在对称轴的右侧时， ，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
∵，
∴，且，
解得，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
，，
∵，
∴，，
∵，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当2时，
函数的最大值为，
函数的最小值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）当时，求出y的值，可得抛物线与轴交点的坐标；然后根据二次函数的对称性求出对称轴即可；
（2）先求出抛物线与y轴的交点坐标和关于对称轴对称的点的坐标，根据二次函数的增减性，分类讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时，当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，两种情况求出t的取值范围，进而可得的取值范围解答即可；
（3）根据抛物线的对称轴为直线，可得，由二次函数的图象和性质，得出2时，函数的最大值和最小值，列方程解答即可．
二、中考中二次函数与几何变换
11．二次函数 的图象平移后经过点(1，5)，下列平移方式正确的是(　　)
A．向右平移1个单位，向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
B：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
C：平移后解析式为，当时，，符合题意；
D：平移后解析式为，当时，，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”解答即可．
12．同一平面直角坐标系中，抛物线 与 关于原点成中心对称，则代数式 的值为　 　.
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
故答案为：.
【分析】设为上任一点，根据关于原点成中心对称的点在抛物线上，得，从而求出m和n的值，然后代入计算即可．
13．已知关于x的二次函数
（1）当函数图象经过点(2，5)时.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 的图象上，求p的值.
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)是该函数图象上的两点，且. 求证：
【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
②∵，
∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为，
∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，
∴，
解得：．
（2）证明：∵，
∴，
∵点，是该函数图象上的两点，
∴，
，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入，求出的值即可；
②根据平移得到平移后的两点坐标，代入①中关系式，解关于p的一元一次方程求出p的值即可；
（2）把点M，N的坐标分别代入，利用得出，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值证明即可．
14．已知二次函数（为常数）的图象经过点.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值.
（3）已知点在二次函数的图象上，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：把点代入，得：，解得：h=4，
.
（2）解：平移后抛物线解析式为：，
将代入，
∴（1+n）2+9=0，解得：（舍去）.
（3）解：∵点（p，m），（q，m）在二次函数y=-（x+1）2+4的图象上，
∴p+q=-2，
∴2p+2q=-4，
∵-7＜2p+3q＜2，
∴-7＜-4+q＜2，
∴-3＜q＜6，
∵当x=6时，y=-（x+1）2+4=-45，
当x=-1时，y=-（x+1）2+4=4，
∴m的取值范围是-45＜m≤4．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值；
（3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q=-2，由-7＜2p+3q＜2，得出-7＜-4+q＜2，即-3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值．
15．已知二次函数，回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点
求该函数图象与轴的交点坐标；
点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值．
（2）若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：．
【答案】（1）解：把代入得，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴与轴的交点坐标为和；
∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得，
代入得：，
∴，；
（2）证明：把、代入得：
，，
∴
，
∵图象与轴的交点和之间的距离为，
∴到和的距离均小于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】一元一次不等式组的概念；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（）首先用待定系数法求出表达式，然后令可得关于x的一元二次方程，解之求出x的值，即为该函数图象与轴的交点的横坐标；
根据点的平移规律“左减右加、上加下减”先表示出平移后的点的坐标，然后代入表达式计算即可求解；
（）首先将与点，代入表达式得到，，然后表示出b-a的值，根据函数图象与轴的两个交点到点的距离均小于可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
（1）解：把代入得，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴与轴的交点坐标为和；
∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得，
代入得：，
∴，；
（2）证明：把、代入得：
，，
∴
，
∵图象与轴的交点和之间的距离为，
∴到和的距离均小于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1．
（1）求a的值；
（2）二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．
（3）设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值；
【答案】（1）解：∵二次函数，，
∴顶点坐标为，，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；
（3）解：将代入，得，
∵，，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将两个二次函数化为顶点式，从而求得顶点坐标，进而根据两个顶点的横坐标的关系列出关于的方程，解方程即可求解；
（2）结合（1）的结论，由两个二次函数的解析式以及二次函数平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量进行求解；
（3）把点坐标代入函数解析式中得到的值，把点坐标，代入函数解析式中得到的值，整理且进行因式分解得到，于是求出的值，即可出得出结果．
（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到．
（3）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.
（1）若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；
（3）将抛物线 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 当0≤x≤4时，抛物线 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，
（2）解：如图，
∵AA"平行于二四象限角平分线，
当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，
当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，
综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5
（3）解：
设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，
得
∴对称轴为直线x=2+a，平移距离
当 时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，
此时 由题意，
解得

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可；
(2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；
(3)得到平移后的抛物线的解析式为 则平移距离为 再据此求解即可.
18．已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且 AB=10，图象顶点的横坐标为4．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求方程 的解．
（3）若a=1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y=k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当 时，求k的值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．
∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，
∵，在的左侧，
∴两点到的距离为，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴方程化简为：，
∴，
解得：；
（3）解：
，
翻折后，
如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，
，对称轴为直线，
设，则，
分别代入对应解析式，得：，
，
即，
解得：，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的对称变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）得到二次函数对称轴为直线，利用，求出A，B两点的坐标即可；
（2）利用待定系数法求出，然后代入方程，根据分解因式法解方程即可；
（3）先求出抛物线解析式，然后根据翻折得到，画出图形，设，即可得到，然后代入函数解析式，根据，求出m2的值解答即可．
三、中考中二次函数与方程（不等式）
19．已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
20． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且
（1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。
（3）若对于 都有 求m的取值范围。
【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0，
解得 m=1或m=-3(舍)，
∴，
令y=0，则，
解得x=-1或x=3，
该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标；
（2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可；
（3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可．
21．已知抛物线 (a，b，c是常数，且a≠0)，a+b+c=2.
（1）若抛物线过点(-3，2)，求a，b之间的关系.
（2）在(1)的条件下，判断抛物线与直线y=2的交点个数，并说明理由.
（3）点 在抛物线上，若a>c-2>0，当 时，求证：
【答案】（1）解：依题意得
两式相减，得b=2a.
（2）解：两个.理由如下：
由(1)知，b=2a，c=2-3a，∴y=ax2+2ax+2-3a.
联立y=2，得
解得
∴抛物线与直线 y=2有两个交点.
（3）解：∵a>c-2>0，a+b+c=2，
∴a>-a-b+2-2，
即2a>-b，
∵a>0，
即
∴点 M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线对称轴的右侧.
∵a>0，
∴在抛物线的右侧，二次函数 y 随x的增大而增大，
∴当 时，y1>y2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把点(-3，2)代入，然后两式相减解答即可；
（2）把b=2a，c=2-3a代入解析式，令y=2，即可得到然后解方程求出x的值解答即可；
（3）根据题意得到2a>-b，即可得到对称轴根据二次函数的增减性证明即可.
22．已知二次函数y=ax2-2ax+4，其中a≠0。
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x1，y2）两个定点，其中x1（3）若a=1，当t-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值。
【答案】（1）解： 二次函数y=ax2-2ax+4 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a，
∴对称轴直线为：；
（2）解：令a分别等于，得：；，
联立两式子得：，
化简得：，
∵x1，的值与a无关
，，
；
（3）解：当 时，抛物线的解析式为，对称轴为直线x=1
∴当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；
分类讨论：
①当 时，
当x=t-1时，函数取最大值为，
当x=t时，函数取最小值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
②当t-1≥1时，即 时，当x=t-1时，函数取最小值为，
当x=t时，函数取最大值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
③当时，函数最大值为，最小值为；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
④当 时，函数最小值为，最大值为 ；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
综上所述 或 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为：，据此求解即可；
（2）令a分别等于a1、a2，代入抛物线后联立两式可得，由题意可得x1，x2的值与a无关，据此可得x(x-2)=0，求解得出x1与x2的值，再代入待求式子即可可得答案；
（3）将a=1代入抛物线的解析式并配成顶点式可得y=(x-1)2+3，可得抛物线开口向上，对称轴直线为x=1，故当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；然后分类讨论：①当t≤1时，②当t≥2时，③当1＜t≤时，④当＜t＜2时，四种情况分别根据函数的增减性表示出最大及最小值，结合 该二次函数的最大值与最小值的差为2建立方程，求解并检验可得答案.
23．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
24．已知抛物线（t为常数）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.
【答案】（1）因为（t为常数）
所以对称轴为：直线x=2.
（2）①把（0，-16）代入得，
解得：t=2或8.
②由①得：t=2或8，
顶点为（2，-18），
当t=2时，-3≤m≤2≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n，
所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5；
当t=8时，3≤m≤8≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n，
所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴，
所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24.
综上所述，d=4.5或24.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴解答；
（2）①直接将代入抛物线解析式，得到关于t的方程解答即可；
②分和8两种情况，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，然后根据n-m的 的最大值为6列方程求出d的值解答即可．
25．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数解析式和顶点坐标．
（2）坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离．
（3）在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象与轴交于两点，
∴将点A和点B的坐标代入可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为（1，-4）.
（2）解：∵ 点P满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，
∴点P在对称轴上，
设P（1，m-4），
∴点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），
∴，
解得：m=0（舍去）或m=1，
即平移的距离m=1.
（3）解：点D的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点D的坐标为或.理由如下：
∵当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
当点D在点C左侧时，二次函数的最小值为-3，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为4，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点D的坐标为；
当点D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为-4，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为5，
∴，
解得：（舍去）或（舍去），
∴点D的坐标为（4，5），
当点D在点C右侧且在对称轴左侧时，二次函数的最大值为-3，不符合题意，舍去，
综上所述：点D的坐标为或.
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入计算求解即可；
（2）先求出点P在对称轴上，再求出点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），最后解方程计算求解即可；
（3）先求出点C的坐标为（0，-3），再分类讨论，计算求解即可.
26．已知二次函数（k为常数）．
（1）用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；
（2）当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）当时，该函数有最小值，求k的值．
【答案】（1）解：
.
（2）解：，
当时，y随x的增大而减小 ，
.
（3）解：当k<0时，
当时，该函数有最小值，
当x=0时，y=k=-1；
当时，
当时，该函数有最小值，
当x=k时，，解得(舍去)；
当k>3时，
当时，该函数有最小值，
当x=3时，，解得(舍去)，
综上所述，k=或.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；数形结合
【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标.
(2)由二次函数的性质可得当时，y随x的增大而减小 ，故.
(3)利用二次函数的性质对k的取值范围进行分类讨论，当k<0时，当x=0时，y有最小值，解得k=-1；当时，当x=k时，y有最小值，解得(舍去)；当k>3时，当x=3时，y有最小值，解得(舍去)，综上所述，k=或.
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题6 二次函数（1）
一、中考中二次函数图象与性质
1．已知抛物线y=ax2-2ax+a-3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值小于-3 D．当x=2时，y＜0
2． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
3．已知二次函数 的图象顶点为 M，图象上有一点 P (x1，y1)满足 若Q (x2， y2)是函数图象(PM段)上的一点(不与 P， M重合)，令 则t的范围是(　　)
A．t<3 B．t>9 C．04．二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x=1.下列四个结论：①3a+b<0；②过点（0，c-a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a>0，关于x的不等式的解集为-1<1；④若a<0，点P（t，y1），Q（t-1，y2）在该抛物线上，当实数时，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
5．已知抛物线 (b为常数)经过点 A (2， - 3) ， B (x1， t) .
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）当 时，-4≤t≤-3，求k的最大值.
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C (x2，t)；若 求t的取值范围.
6．已知二次函数y=ax2+bx-3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … -1 2 4 m …
y … y1 -4 y2 y3 …
（1）当y2=-3时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②若y1＜y3，求m的取值范围；
（2）求证：.
7．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
8． 已知二次函数m为实数.
（1）若m=1，求该函数图象的对称轴.
（2）当m+2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值.
（3）若点且 试比较y1与y2大小.
9．设二次函数
（1）若该函数的对称轴为直线x =2.求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P(8，1-3a)， M(m，y1)和N(n，y2)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有 求m 的取值范围.
10．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线x=t（t>0）.
（1）当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上.若m0的取值范围；
（3）当t-2≤x≤3t+2时，函数的最大值与最小值的差为16a，求t的值.
二、中考中二次函数与几何变换
11．二次函数 的图象平移后经过点(1，5)，下列平移方式正确的是(　　)
A．向右平移1个单位，向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移2个单位，向上平移1个单位
12．同一平面直角坐标系中，抛物线 与 关于原点成中心对称，则代数式 的值为　 　.
13．已知关于x的二次函数
（1）当函数图象经过点(2，5)时.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 的图象上，求p的值.
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)是该函数图象上的两点，且. 求证：
14．已知二次函数（为常数）的图象经过点.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值.
（3）已知点在二次函数的图象上，且，求的取值范围.
15．已知二次函数，回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点
求该函数图象与轴的交点坐标；
点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值．
（2）若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：．
16．已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1．
（1）求a的值；
（2）二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．
（3）设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值；
17．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.
（1）若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；
（2）将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；
（3）将抛物线 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 当0≤x≤4时，抛物线 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围.
18．已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且 AB=10，图象顶点的横坐标为4．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求方程 的解．
（3）若a=1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y=k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当 时，求k的值．
三、中考中二次函数与方程（不等式）
19．已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（　　）
A． B．
C． D．
20． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且
（1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。
（3）若对于 都有 求m的取值范围。
21．已知抛物线 (a，b，c是常数，且a≠0)，a+b+c=2.
（1）若抛物线过点(-3，2)，求a，b之间的关系.
（2）在(1)的条件下，判断抛物线与直线y=2的交点个数，并说明理由.
（3）点 在抛物线上，若a>c-2>0，当 时，求证：
22．已知二次函数y=ax2-2ax+4，其中a≠0。
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x1，y2）两个定点，其中x1（3）若a=1，当t-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值。
23．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
24．已知抛物线（t为常数）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.
25．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数解析式和顶点坐标．
（2）坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离．
（3）在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标．
26．已知二次函数（k为常数）．
（1）用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；
（2）当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）当时，该函数有最小值，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+a-3(a为常数，a≠0)的图象与x轴有两个交点，
∴Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，
解得a>0
∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意；
∵当x=1时，y=ax2-2ax+a-3=a-2a+a-3=-3
∴二次函数的最小值为-3，所以C选项不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于轴两侧，
∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴a-3<0，
∴x=2时，y=ax2-2ax+a-3=4a-4a+a-3=a-3<0，所以D选项符合题意.
故选：D.
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，解得a>0，则可对A选项进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，当x>1时，y随x的增大而增大，从而可对B选项进行判断；由于当x=1时，y=-3，即二次函数的最小值为-3，从而可对C选项进行判断；由于抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，则可判断抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以a-3<0，由于x=2时，y=a-3，所以y<0，从而可对D选项进行判断.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故答案为：A .
【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由解析式为 可得顶点 M 的坐标为(m，k)。
已将点 P的坐标代入得 ，即 ，
又∵，
∴，
解得： ，
∴点 P 的横坐标为
∵点 是函数图象上 PM段之间的一点，并且点Q不与点 P、点M重合，
∴即 ，
点 代入函数解析式的 ，即 ，
将 代入可得 ，
∵，
∴，即0故答案选：D.
【分析】将点P的坐标代入解析式得，再根据得到，然后将Q点在PM段得到，在将点Q坐标代入解析式，借助即可得到，即可得到t的取值范围解答即可.
4．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数（）的图像与轴交于点，
对称轴为直线．
，
，则，
∵或，故①不符合题意；
对称轴为直线．
顶点坐标为：，即，
过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；
当，二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．
抛物线与轴的另一个交点为：；
把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线
（）；
如图，
而的解集为：，
的解集为：，
即关于的不等式的解集为；故③符合题意；
当，实数时，，如图，
点，中点与对称轴的距离较近，
．故④符合题意；
故答案为：B．
【分析】由二次函数轴交点和对称轴可得，即可得到，分为或判断①；根据顶点坐标可得，即可得到过点平行于轴的直线与抛物线交点个数判断②；当可得抛物线与轴的另一个交点为；然后得到平移的解析式，再借助函数图象得到关于的不等式的解集判断③；当，得到点，到对称轴的距离，根据距离远的函数值小判断④解答即可．
5．【答案】（1）解：把A (2， - 3)代入，得4+2b-3=-3，解得b=-2，∴抛物线的函数表达式为
（2）解：∵a=1>0，对称轴为直线
∴当x=1时， y最小值=-4；而当x=0或2时， y=-3，
∴由图象可得，当 0≤x1≤2时， - 4≤t≤-3，∴k的最大值为2.
（3）解：如图，
∵点和点关于对称轴为直线对称，
∴，即，
∵，
即，
∴．
∵，且当时，y随x的增大而减小，
∴当时，；时，．
∴t的取值范围是．

【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点A的坐标代入解析式求出b的值解答即可.
（2）根据二次函数的解析式求出对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的增减性求出最值解答即可.
（3）利用二次函数的对称性可得可得，即，代入求出，根据函数的增减性解答即可.
6．【答案】（1）解：①当x=0时，y=-3，当x=4时，y=y2=-3
由二次函数的对称性可知顶点坐标为(2，-4）
②∵二次函数图象的对称轴为直线x=2，且a>0，开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∴x=m对应的点比x=-1对应的点距离对称轴远，
∴|m-2|>|-1-2|，即|m-2|>3.
∴m-2>3或2-m>3，
解得m>5或m<-1
∴m>4，
∴m>5.
（2）证明：∵当x=2时，y=-4，
∴4a+2b-3=-4，
∴，
∵a＞0，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)①令x=0，求得对应的y值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；
②根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到x=m对应的点比x=-1对应的点距离对称轴远，列不等式|m-2|>|-1-2|，解不等式即可得解；
(2)令x=2，得到，进而表示出a-b，结合a>0即可得证.
7．【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
8．【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）求出时二次函数解析式，根据对称轴公式计算解答即可；
（2）求出二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可知，然后得到上函数的增减性，得到最大值和最小值，列方程解答即可；
（3）由（2）可得对称轴为直线，且二次函数的开口向上，得到、两点的中点的横坐标为，再分为，或三种情况，根据函数的增减性解答即可．
9．【答案】（1）解：二次函数的对称轴为直线，
，
解得：，
，
该函数的顶点坐标为；
（2）解：，
若该函数存在最大值11，
则，整理得，
，
解得：，，
即该函数存在最大值11，此时的值为或；
（3）解：点在函数图象上，
，
解得：，
，
函数图象开口向下，对称轴为直线，
，且，
和在函数图象上，且当时，都有，
或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）根据抛物线对称轴求出的值，得到抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标即可；
（2）把解析式化为顶点式，即可得到该函数有最大值，利用公式法求出x的值解答即可；
（3）将点代入函数解析式求出a的值，即可得到函数图象开口向下，对称轴为直线，然后根据离对称轴远的点的函数值大解答即可．
10．【答案】（1）解：当时，，
∴当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴．
（2）解：当时，，
∴抛物线与y轴交点坐标为，
∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当点，点，均在对称轴的右侧时， ，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
∵，
∴，且，
解得，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
，，
∵，
∴，，
∵，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当2时，
函数的最大值为，
函数的最小值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）当时，求出y的值，可得抛物线与轴交点的坐标；然后根据二次函数的对称性求出对称轴即可；
（2）先求出抛物线与y轴的交点坐标和关于对称轴对称的点的坐标，根据二次函数的增减性，分类讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时，当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，两种情况求出t的取值范围，进而可得的取值范围解答即可；
（3）根据抛物线的对称轴为直线，可得，由二次函数的图象和性质，得出2时，函数的最大值和最小值，列方程解答即可．
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
B：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
C：平移后解析式为，当时，，符合题意；
D：平移后解析式为，当时，，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”解答即可．
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
故答案为：.
【分析】设为上任一点，根据关于原点成中心对称的点在抛物线上，得，从而求出m和n的值，然后代入计算即可．
13．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
②∵，
∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为，
∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，
∴，
解得：．
（2）证明：∵，
∴，
∵点，是该函数图象上的两点，
∴，
，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入，求出的值即可；
②根据平移得到平移后的两点坐标，代入①中关系式，解关于p的一元一次方程求出p的值即可；
（2）把点M，N的坐标分别代入，利用得出，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值证明即可．
14．【答案】（1）解：把点代入，得：，解得：h=4，
.
（2）解：平移后抛物线解析式为：，
将代入，
∴（1+n）2+9=0，解得：（舍去）.
（3）解：∵点（p，m），（q，m）在二次函数y=-（x+1）2+4的图象上，
∴p+q=-2，
∴2p+2q=-4，
∵-7＜2p+3q＜2，
∴-7＜-4+q＜2，
∴-3＜q＜6，
∵当x=6时，y=-（x+1）2+4=-45，
当x=-1时，y=-（x+1）2+4=4，
∴m的取值范围是-45＜m≤4．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值；
（3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q=-2，由-7＜2p+3q＜2，得出-7＜-4+q＜2，即-3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值．
15．【答案】（1）解：把代入得，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴与轴的交点坐标为和；
∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得，
代入得：，
∴，；
（2）证明：把、代入得：
，，
∴
，
∵图象与轴的交点和之间的距离为，
∴到和的距离均小于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】一元一次不等式组的概念；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（）首先用待定系数法求出表达式，然后令可得关于x的一元二次方程，解之求出x的值，即为该函数图象与轴的交点的横坐标；
根据点的平移规律“左减右加、上加下减”先表示出平移后的点的坐标，然后代入表达式计算即可求解；
（）首先将与点，代入表达式得到，，然后表示出b-a的值，根据函数图象与轴的两个交点到点的距离均小于可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
（1）解：把代入得，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴与轴的交点坐标为和；
∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得，
代入得：，
∴，；
（2）证明：把、代入得：
，，
∴
，
∵图象与轴的交点和之间的距离为，
∴到和的距离均小于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．【答案】（1）解：∵二次函数，，
∴顶点坐标为，，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；
（3）解：将代入，得，
∵，，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将两个二次函数化为顶点式，从而求得顶点坐标，进而根据两个顶点的横坐标的关系列出关于的方程，解方程即可求解；
（2）结合（1）的结论，由两个二次函数的解析式以及二次函数平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量进行求解；
（3）把点坐标代入函数解析式中得到的值，把点坐标，代入函数解析式中得到的值，整理且进行因式分解得到，于是求出的值，即可出得出结果．
（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到．
（3）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：由题意可知，
（2）解：如图，
∵AA"平行于二四象限角平分线，
当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，
当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，
综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5
（3）解：
设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，
得
∴对称轴为直线x=2+a，平移距离
当 时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，
此时 由题意，
解得

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可；
(2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；
(3)得到平移后的抛物线的解析式为 则平移距离为 再据此求解即可.
18．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．
∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，
∵，在的左侧，
∴两点到的距离为，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴方程化简为：，
∴，
解得：；
（3）解：
，
翻折后，
如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，
，对称轴为直线，
设，则，
分别代入对应解析式，得：，
，
即，
解得：，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的对称变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）得到二次函数对称轴为直线，利用，求出A，B两点的坐标即可；
（2）利用待定系数法求出，然后代入方程，根据分解因式法解方程即可；
（3）先求出抛物线解析式，然后根据翻折得到，画出图形，设，即可得到，然后代入函数解析式，根据，求出m2的值解答即可．
19．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
20．【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0，
解得 m=1或m=-3(舍)，
∴，
令y=0，则，
解得x=-1或x=3，
该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标；
（2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可；
（3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可．
21．【答案】（1）解：依题意得
两式相减，得b=2a.
（2）解：两个.理由如下：
由(1)知，b=2a，c=2-3a，∴y=ax2+2ax+2-3a.
联立y=2，得
解得
∴抛物线与直线 y=2有两个交点.
（3）解：∵a>c-2>0，a+b+c=2，
∴a>-a-b+2-2，
即2a>-b，
∵a>0，
即
∴点 M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线对称轴的右侧.
∵a>0，
∴在抛物线的右侧，二次函数 y 随x的增大而增大，
∴当 时，y1>y2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把点(-3，2)代入，然后两式相减解答即可；
（2）把b=2a，c=2-3a代入解析式，令y=2，即可得到然后解方程求出x的值解答即可；
（3）根据题意得到2a>-b，即可得到对称轴根据二次函数的增减性证明即可.
22．【答案】（1）解： 二次函数y=ax2-2ax+4 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a，
∴对称轴直线为：；
（2）解：令a分别等于，得：；，
联立两式子得：，
化简得：，
∵x1，的值与a无关
，，
；
（3）解：当 时，抛物线的解析式为，对称轴为直线x=1
∴当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；
分类讨论：
①当 时，
当x=t-1时，函数取最大值为，
当x=t时，函数取最小值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
②当t-1≥1时，即 时，当x=t-1时，函数取最小值为，
当x=t时，函数取最大值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
③当时，函数最大值为，最小值为；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
④当 时，函数最小值为，最大值为 ；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
综上所述 或 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为：，据此求解即可；
（2）令a分别等于a1、a2，代入抛物线后联立两式可得，由题意可得x1，x2的值与a无关，据此可得x(x-2)=0，求解得出x1与x2的值，再代入待求式子即可可得答案；
（3）将a=1代入抛物线的解析式并配成顶点式可得y=(x-1)2+3，可得抛物线开口向上，对称轴直线为x=1，故当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；然后分类讨论：①当t≤1时，②当t≥2时，③当1＜t≤时，④当＜t＜2时，四种情况分别根据函数的增减性表示出最大及最小值，结合 该二次函数的最大值与最小值的差为2建立方程，求解并检验可得答案.
23．【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
24．【答案】（1）因为（t为常数）
所以对称轴为：直线x=2.
（2）①把（0，-16）代入得，
解得：t=2或8.
②由①得：t=2或8，
顶点为（2，-18），
当t=2时，-3≤m≤2≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n，
所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5；
当t=8时，3≤m≤8≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n，
所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴，
所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24.
综上所述，d=4.5或24.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴解答；
（2）①直接将代入抛物线解析式，得到关于t的方程解答即可；
②分和8两种情况，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，然后根据n-m的 的最大值为6列方程求出d的值解答即可．
25．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象与轴交于两点，
∴将点A和点B的坐标代入可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为（1，-4）.
（2）解：∵ 点P满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，
∴点P在对称轴上，
设P（1，m-4），
∴点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），
∴，
解得：m=0（舍去）或m=1，
即平移的距离m=1.
（3）解：点D的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点D的坐标为或.理由如下：
∵当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
当点D在点C左侧时，二次函数的最小值为-3，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为4，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点D的坐标为；
当点D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为-4，
∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，
∴点D的纵坐标为5，
∴，
解得：（舍去）或（舍去），
∴点D的坐标为（4，5），
当点D在点C右侧且在对称轴左侧时，二次函数的最大值为-3，不符合题意，舍去，
综上所述：点D的坐标为或.
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入计算求解即可；
（2）先求出点P在对称轴上，再求出点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），最后解方程计算求解即可；
（3）先求出点C的坐标为（0，-3），再分类讨论，计算求解即可.
26．【答案】（1）解：
.
（2）解：，
当时，y随x的增大而减小 ，
.
（3）解：当k<0时，
当时，该函数有最小值，
当x=0时，y=k=-1；
当时，
当时，该函数有最小值，
当x=k时，，解得(舍去)；
当k>3时，
当时，该函数有最小值，
当x=3时，，解得(舍去)，
综上所述，k=或.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；数形结合
【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标.
(2)由二次函数的性质可得当时，y随x的增大而减小 ，故.
(3)利用二次函数的性质对k的取值范围进行分类讨论，当k<0时，当x=0时，y有最小值，解得k=-1；当时，当x=k时，y有最小值，解得(舍去)；当k>3时，当x=3时，y有最小值，解得(舍去)，综上所述，k=或.
1 / 1

展开更多......

收起↑