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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题7 -二次函数（2）
一、中考中二次函数与特殊图形存在性
1．如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为　 　．
2．【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
3．如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
4．已知二次函数，其中.
（1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值.
（2）在(1)的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，且.请直接写出当的值为多少时，为直角三角形.
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求的面积.
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
6．如图，抛物线 与x轴交于点A和点B (3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB.
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m.
①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N， P为x轴上一点，连接PM， PN，将 沿着MN翻折，得 ，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值.
7．如图，已知抛物线：与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当PB=2BO时，求点P的坐标；
（3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
8．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
9．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上取一点，连接，且满足．
①当时，求点的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值．
二、中考中二次函数实际应用-抛物线结构
11．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　）
A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米
B．点A的坐标为（0，12）
C．
D．当CD的最大值为10米时，
12．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕
模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点．
安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴．
任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计）
数据采集 顶点F的坐标为，，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度．
13．【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线.
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：m)的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图.
设抛物线的表达式为
x …… 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 ……
y …… 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 ……
（1）【建立模型】求出抛物线的函数表达式.
（2）【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离.
（3）【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为 a，顶点为(m-0.1， k-0.1)，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米.
14．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 ⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 ⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 ⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
15．根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：(1)距离水平地面米处有一带弹簧的装置；(2)每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1. 图1
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2. 图2
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：(1)在距离点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域I：(2)在距离点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域II. 图3
问题解决
任务1：确定弹珠路径.请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2：确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域I内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务3：灵活变通.根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整.现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板(区域I和区域II的宽度不改变)，让弹珠落入得分更高的区域II内，请计算挡板3横坐标的取值范围。
16．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 h(m) 满足关系式 ，其中 t(s) 是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度.科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）.
（1） 当 时，
① 求小球离地面的最大高度；
② 经过多少时间小球的高度达到4m？
（2） 通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为，，小球从发射到回到地面所需时间为 ，，则 的值为常数.判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明.
17．根据以下素材，探索完成任务.
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网商度为14cm.乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 25cm的点 P处.
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离∞（m）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处.以O为原点，桌面中线所在直线为∞轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）.
问题解决
任务一 研究乒乓球的 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求飞行轨迹写出自变量的取值范围）.
任务二 击球点的确定 （2）当h=20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由。
任务三 击球点的距离 （3）若h=40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围。
18．根据下列素材，探索完成任务.
如何设计跳绳的方案
素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作-条抛物线．摇绳的两名队员水平间距AB为5米，他们的手到地面的高度AC=BD=1米，绳子最高点距离地面2米.
素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在1.70-1.80米，女生身高一人为1.7米高，两人都为1.65米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少0.5米.
问题解决
任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函致表达式.
任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？
任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围.
三、中考中二次函数实际应用-销售问题
19．某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-3x+120(20（1）求日销售利润w与销售单价x之间的函数关系式.
（2）销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少元
20．综合与实践：
背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还
能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处。
排球的购买与售卖
素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元，已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元.
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个，经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个.
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？
21．某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．
22．“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元和4200元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
23．依据下面的素材，完成表格中的任务。
提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动。多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价
调研项目 调查1：“柑橘完好率”调查
采购的总质量m （kg) 50 100 200 400 500
完好柑橘的质量n（kg) 44.5 90.1 180.5 360.8 450.5
柑橘完好的频率π/ 0.89 0.901 0.903 0.902 0.901
调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元/kg：②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x（元/kg)与采购的总质量m（kg)之间的关系满足m+100x=3000（0任务一 （分析) （1）可以估计柑橘完好的概率约为 ▲ （精确到0.1)。 （2）由（1）知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为 ▲ kg（结果保留整数；损坏的柑橘不得销售)。
任务二 （决策) （3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少 kg的柑橘 售价应定为多少元/ kg
24．在乡村振兴行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的整数），求出每天的最大利润．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解∶过A作于D，过B作轴于E，
∵点、在抛物线上，、两点的横坐标分别为1和，
∴点A、B的纵坐标为、，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）
∴b的值为2，
故答案为：2．
【分析】过A作于D，过B作轴于E，求出A、B的坐标，根据即可得到，进而可得，，然后根据OE长列方程求出b值即可．
2．【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
3．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标
（3）P点坐标为、、、
解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，并配方得到顶点式即可写出顶点坐标；
（2）延长MN交x轴于E，然后求出，设，表示M点坐标为，N点坐标为，即可求出MN的长，然后求出 的函数解析式求最值和坐标即可；
（3）先根据平移求出平移后的解析式，然后求出（2）中直线MK解析式，设，则，根据勾股定理求出PK2，QK2，QP2，然后分为，和列方程求出n的值即可.
4．【答案】（1）解： ∵二次函数的图象与轴仅有一个公共点，
∴△=22-4·m`(-1)=0，
∴m=-1.
（2）解：由（1）知：y=-x2+2x-1=-(x-1)2，
∴A（1，0），
∵ 直线的图象与二次函数的图象交于两点 ，且过定点（0，-1） ，，
∴B（0，-1），
∴yAB=x-1，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°或∠ABC=90°，
当∠ABC=90°时，即直线AB⊥直线 ，则KAB·K=-1，
∴k=-1，
当∠BAC=90°时，即直线AB⊥直线AC，
∴yAC =-x+1，
联立解得或，
∴C（2，-1）
∴yBC =-1，
∴k=0，
综上可知：当k=0或k=-1时，为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由二次函数的图象与轴仅有一个公共点，可得△=b2-4ac=0，据此解答即可；
（2）先求A（1，0），B（0，-1），从而求出yAB=x-1，根据题意分两种情况：当∠BAC=90°或∠ABC=90°，分别求出直线的解析式，即得结论.
5．【答案】（1）解：把A（3，0）B（0，-3）代入得
解得
所以抛物线的解析式是
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得
解得
所以直线AB的解析式是y=x-3
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
因为p在第四象限，
所以
当时，二次函数的最大值，即PM最长值为
则
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
综上所述，P点的横坐标是或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），则PM=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值公式求出当t=时，PM长最大为，然后利用分割法求出△ABM的面积即可；
（3）根据平行四边形的判定得到当PM=OB，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，；当P在第三象限：PM=OB=3，分别列方程求出t的值解答即可．
6．【答案】（1）解：把点B (3， 0) ， C (0， 3)代入
得到
解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标(1， 4)；
（2）解： ①作MG⊥x轴于G，连接BM.则∠MGB=90°，设 ，
∵DE⊥x轴， D (1， 4) ，
∴∠DEB=90°， DE=4， OE=1，
∵B (3， 0) ，
∴BE=2，
∵∠MBA=∠BDE，
当点M在x轴上方时，
解得 或3(舍弃)，
当点M在x轴下方时，
解得 或m=3(舍弃) ，
∴点
综上所述，满足条件的点M坐标 或
②或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(2)②如图中， ∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，
易证GM=GP，即|
当 时，解得
当 时，解得
∴满足条件的m的值为 或
故答案为： 或
【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)①根据，，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；
②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
7．【答案】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点，
∴；
∵抛物线扔对称轴为直线．
∴，
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线的对称轴交x轴于A点，
∴A（2，0）
设直线AC的解析式为，
把A（2，0），C（0，1）代入得，
，
解得，，
∴直线AC的解析式为，
∵PB=2BO，
∴PO=3BO，
设，过点B作BE⊥x轴于点E，过点P作BF⊥x轴于点F则OF=m，PF=m2+4m+1，
∴BE∥PF，
∴△OBE∽△OPF，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为，；
（3）（-1，3）或（1，-2）或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）∵
向左平移两个单位后抛物线的解析式为，
联立，
解得，
∴E（1，4），
∵抛物线的对称轴为直线
∴可设F（2，t），H（a，b），
①CF，EF为邻边，CE，EP为对角线时；
；EF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又CF2=EF2，
∴t2 2t+5=t 8t+17
解得，t=2
∴F（2，2），
又CE的中点坐标为即
∴，
∴a= 1，b=3，
∴H（-1，3）；
②CE，CF为邻边，EF，CP为对角线时，
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 0)2+(t 1)2=t2 2t+5，
又CE2=CF2
∴t2 2t+5=10，
解得，
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
③CE，EF为邻边，CF，EP为对角线
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又EC2=EF2，
∴t2 8t+17=10，
解得，t=1，t=7（C、E、F三点共线，不符合题意舍去），
∵F（2，1），
∴CF的中点坐标为（1，1），
∴
解得，a=1，b=-2，
∴H（1，-2），
综上，点H的坐标为（-1，3）或（1，-2）或或．
【分析】（1）由对称轴公式求出，由点代入可求出，得到二次函数的解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点得根据平行得到利用对应边成比例求出，然后求出点P的坐标即可；
（3）联立直线与抛物线的解析式求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，根据邻边相等求出的值，再利用中点坐标公式求出的值解答即可.
8．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
9．【答案】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；

（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法将已知点代入解析式中求解即可；
（2）根据相似三角形可得出，设，最后再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）通过作辅助线，如图所示可证明，则有，得出的值最大时即有最大值，再利用二次函数性质求出最值；然后再根据是直角三角形分三种情况，最后根据勾股定理分别列方程解答即可．
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
10．【答案】（1）解：∵令，得，∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解：①∵，∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同①方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）令可求出点A的坐标，将函数解析式转化为顶点式可求出抛物线L的顶点坐标.
（2）①由，可求出点H的坐标，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标；过点作轴于点，利用可表示出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，将抛物线和直线BC的函数解析式联立方程组，解方程组可求出点C的坐标；当为时，同理可得新的抛物线的解析式及直线BC的函数解析式，同理可求出点C的坐标；综上所述可得到符合题意的点C的坐标；②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式和抛物线解析式可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时；当时，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出符合题意的m的值.
（1）解：∵令，得，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或．
11．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
，
故，
解得，，
在中，，
，
，
米，故A错误；
在中，，
，
米，故，故B错误；
抛物线的函数表达式为，
将代入，
故，
化简得，
，故C正确；
设
设着陆坡所在直线的表达式为，
将代入，
，
解得，
，
，
，
则，
，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，有最大值，将代入，
即，
∵的最大值为10米，
即，
解得，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．
12．【答案】（1）解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把点代入，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题意可得与舞台平面之间的距离为，
当时，，
∴，
由题可得的长度为，
∴，
∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据对称性可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）计算时的函数值，即可得到长，根据线段的和差解答即可．
13．【答案】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
结合表格可知，顶点坐标为，
∴，，，
将点代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；
（3）解：根据题意，改进后，，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去）．
∵，
又∵，
∴，
∴．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．
【知识点】无理数的估值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据表格中数据和求出对称轴和顶点坐标，然后根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）可得最高点坐标，令，求出x的值解答即可；
（3）先得到新的函数表达式，再令，求出x的值，利用无理数的估算比较解答即可．
14．【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
⑵由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
，
；
⑶作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
即光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设点的坐标为，进而表示出，的长，根据列方程求出t的值，再根据线段的和差解答即可；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，设直线的解析式为，联立两解析式，根据求出m的值，可得点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成角，利用正弦的定义解答即可．
15．【答案】解：任务1：根据题意，得：抛物线的顶点 对称轴为直线
∴设此抛物线为 即 ，
∵此抛物线经过挡板1顶部，
∴即过点 代入
解得：
∴此抛物线的解析式为
任务2：∵该弹簧装置向上移动，
∴设
∵想让弹珠飞出后落入区域I内，且挡板
∴把 代入
解得：
∵把挡板 代入
解得：
任务3：∵装置向上移动0.3米，
∴得
∴当 时， 解得： (负值舍去)，
∵区域I和区域II的宽度不改变，
∴此时挡板1的横坐标为
不会被挡板1挡住，
∵当 时，
解得： (负值舍去)，
∵挡板2的横坐标为
.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】任务1：设此抛物线的解析式为 ，由题意得顶点 对称轴为直线 且经过 分别代入，即可求解；
任务2：设抛物线为 把 分别代入，即可求解；
任务3：根据题意，得知 可得 通过挡板2的高度 解得其横坐标为 因区域I和区域II的宽度不改变，推出挡板1的横坐标和纵坐标，得抛物线不被挡板1挡住，将挡板3的高度 代入抛物线，得横坐标，结合区域II的宽度即可求解.
16．【答案】（1）解：当时，，
①小球离地面的最大高度 (m)；
②当时，，，，经过0.4s或2s小球的高度达到4m.
（2）解：小明发现的结论正确，理由如下：
由题意，当 时，，同理，，
，值为常数.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①当时，利用关系式，求出小球离地面的最大高度；②当时，得到关于t的一元二次方程求解，求出小球的高度达到4m所需要的时间；
（2）先判断小明发现的结论正确，再利用关系式 ，分别求得，， 代入求解.
17．【答案】解：任务一：∵抛物线的顶点坐标为：（100，45），
∴设抛物线的解析式为y=a(x-100)2+45，
∵点P（0，25）在抛物线上，
∴a(x-100)2+45=25，解得：a=-，
所以抛物线的解析式为y=-(x-100)2+45；
任务二：不能实现，理由如下：
击球点为R（300，20），
球网上方点F的坐标为（140，14），
设直线RO解析式为：y=kx，
∴300k=20，
解得：k=，
∴直线RO解析式为y=x，
当x=140时，y=，14=，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，y=-(x-300)2+40，
当y=0时， -(x-300)2+40=0，
解得：x=250或x=-50，
∴点M的坐标为（250，0），
∵点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，
∴a1(250-300)2+40=0，
解得：a1=，
∴弹起后抛物线的表达式为：y=(x-300)2+40，
∵a=，
∴弹起时最大高度为40cm，
∴弹起高度范围为30≤y≤40，
当y=30时，(x-300)2+40=30，
解得：x=275或x=325，
∵ 当x=300时，y=40，275<300<325，
∴击球点与发球机水平距离 的取值范围为275【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据抛物线的顶点坐标，设出顶点式，将点P的坐标代入，求出a，得出抛物线的解析式；
任务二：先判断不能实现，再说明理由.
设直线RO解析式为：y=kx，将R点坐标代入，求出k，得到直线RO的解析式，将x=140代入，求出函数值与14比较，说明不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，取y=0，求出点M的坐标，根据点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，求出a1，从而，可得弹起高度范围，取y=30，求出x的值，得出击球点与发球机水平距离 的取值范围.
18．【答案】解：任务1：以最高点为坐标系原点，水平方向为x轴，则设
经过
任务2：由题意得：y轴上有一人，则左边2人，右边3人，(或左右互换)
则最右边1人(站在点H处)的横坐标为1.5.
当 时， ，
，
因此最矮的女生也无法顺利通过头顶.
任务3：当跳绳点距离地面1.65米，即y=-0.35时.
，
解得 ，
考虑右边第二名队员，
当 时， ，距离地面1.85米，高于最高的队员；
当 时， 即最左边队员在 横坐标位置：
当 时， 最右边队员在 横坐标位置， 则最左边队员在 横坐标位置；
所以最左边队员的横坐标为 .
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：将已知点的坐标代入函数，即可求出二次函数的表达式；
任务2：根据二次函数的性质，将已知点的横坐标代入，即可求出相应的y值，与1.65作比较即可；
任务3：已知y值，代入二次函数即可求出相应的x值；根据不同队员的位置，分别可得相应的x的值，代入二次函数可分别求出相应的y值，作比较即可.
19．【答案】（1）解：．
（2）解：，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“日销售利润=单件利润×日销售量”列函数解析式解答即可；
（2）将二次函数配方得到顶点式，根据二次函数的性质求出最值解答即可．
20．【答案】解：任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需(x+20)元.
根据题意，可列方程：35x+50(x+20)=3550
解得：x=30
所以购买一个乙品脾的排球需x+20=30+20=50（元）
答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元.
任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元.
根据题意、得：w=(36-20-y)(50+y)
=(16-y)50+5y)
=-5y2+30y+800
=-5(y-3)2 +845
所以当y=3，即售价为36-3=33元时利润w有最大值，最大值为845.
答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元。
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：由题意设甲排球为x元，则乙排球为x+20元，列出方程，求解方程即可得两者的价格；
任务2：设丙降价y元，可得利润与y的关系，配方可知当y=3时，利润取最大值，代入即可得最大利润.
21．【答案】（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）元、元、元、元、元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
【分析】
（1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程，可得到利润w是关于x的二次函数，再根据二次函数的增减性即可求解；
（3）根据利润的表达式列不等式，再求这个不等式的正整数解即可．
（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
22．【答案】（1）解：设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元；
（2）解：设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，
根据题意得：
，
，
，
当时，取最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，根据题意建立关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
23．【答案】解：（1） 0.9（2） 90
（3）解：由题意得，
当采购的总质量为m（kg)时，可销售的质量为0.9m（kg)，不妨设总利润为W
则
为获得9000元的总利润， 令 W=9000
则
整理得
解得 m =1000
又因为0则
答：为获得9000元的总利润，应采购1000kg的柑橘，售价应定位20元/kg
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可得，柑橘完好的频率稳定在0.9附近
∴柑橘完好的概率约为0.9
故答案为：0.9
（2）由题意可得：900元可采购量为900÷9=100kg
∴实际可以销售的质量约为100×0.9=90kg
故答案为：90
【分析】（1）根据频率估计概率即可求出答案.
（2）根据题意求出900元可采购的量，再乘以柑橘完好的概率即可求出答案.
（3）设总利润为W，根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元．由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）解：．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以乡村振兴中的产品生产与销售为背景，综合考查分式方程的应用、二次函数的实际应用以及二次函数在给定区间上的最值问题。
（1）设 B 原料单价为 m 元，则 A 原料单价为 1.5m 元，根据“用 900 元收购 A 原料比收购 B 原料少 100 kg”列分式方程，解得 m = 3，则 A 原料单价 4.5 元，每盒成本 = 元；
（2）设售价为 x 元，则涨价 (x - 60) 元，销售量为 500 - 10(x - 60) = 1100 - 10x 盒，利润；
（3）由 w = -10(x - 70)2 + 16000，对称轴 x = 70，开口向下。当 时，x = 70 时最大利润为 16000 元；当 60 < a < 70 时，函数在区间上递增，x = a 时利润最大，为（ ）元。注意分式方程需检验，二次函数最值需考虑对称轴与区间端点的位置关系。
（1）设原料单价为元，则原料单价为元．
由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）．
（3）抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题7 -二次函数（2）
一、中考中二次函数与特殊图形存在性
1．如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解∶过A作于D，过B作轴于E，
∵点、在抛物线上，、两点的横坐标分别为1和，
∴点A、B的纵坐标为、，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）
∴b的值为2，
故答案为：2．
【分析】过A作于D，过B作轴于E，求出A、B的坐标，根据即可得到，进而可得，，然后根据OE长列方程求出b值即可．
2．【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
3．如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标
（3）P点坐标为、、、
解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，并配方得到顶点式即可写出顶点坐标；
（2）延长MN交x轴于E，然后求出，设，表示M点坐标为，N点坐标为，即可求出MN的长，然后求出 的函数解析式求最值和坐标即可；
（3）先根据平移求出平移后的解析式，然后求出（2）中直线MK解析式，设，则，根据勾股定理求出PK2，QK2，QP2，然后分为，和列方程求出n的值即可.
4．已知二次函数，其中.
（1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值.
（2）在(1)的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，且.请直接写出当的值为多少时，为直角三角形.
【答案】（1）解： ∵二次函数的图象与轴仅有一个公共点，
∴△=22-4·m`(-1)=0，
∴m=-1.
（2）解：由（1）知：y=-x2+2x-1=-(x-1)2，
∴A（1，0），
∵ 直线的图象与二次函数的图象交于两点 ，且过定点（0，-1） ，，
∴B（0，-1），
∴yAB=x-1，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°或∠ABC=90°，
当∠ABC=90°时，即直线AB⊥直线 ，则KAB·K=-1，
∴k=-1，
当∠BAC=90°时，即直线AB⊥直线AC，
∴yAC =-x+1，
联立解得或，
∴C（2，-1）
∴yBC =-1，
∴k=0，
综上可知：当k=0或k=-1时，为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由二次函数的图象与轴仅有一个公共点，可得△=b2-4ac=0，据此解答即可；
（2）先求A（1，0），B（0，-1），从而求出yAB=x-1，根据题意分两种情况：当∠BAC=90°或∠ABC=90°，分别求出直线的解析式，即得结论.
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求的面积.
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把A（3，0）B（0，-3）代入得
解得
所以抛物线的解析式是
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得
解得
所以直线AB的解析式是y=x-3
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
因为p在第四象限，
所以
当时，二次函数的最大值，即PM最长值为
则
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，
解得（舍去），
所以P点的横坐标是
综上所述，P点的横坐标是或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），则PM=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值公式求出当t=时，PM长最大为，然后利用分割法求出△ABM的面积即可；
（3）根据平行四边形的判定得到当PM=OB，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，；当P在第三象限：PM=OB=3，分别列方程求出t的值解答即可．
6．如图，抛物线 与x轴交于点A和点B (3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB.
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m.
①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N， P为x轴上一点，连接PM， PN，将 沿着MN翻折，得 ，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值.
【答案】（1）解：把点B (3， 0) ， C (0， 3)代入
得到
解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标(1， 4)；
（2）解： ①作MG⊥x轴于G，连接BM.则∠MGB=90°，设 ，
∵DE⊥x轴， D (1， 4) ，
∴∠DEB=90°， DE=4， OE=1，
∵B (3， 0) ，
∴BE=2，
∵∠MBA=∠BDE，
当点M在x轴上方时，
解得 或3(舍弃)，
当点M在x轴下方时，
解得 或m=3(舍弃) ，
∴点
综上所述，满足条件的点M坐标 或
②或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(2)②如图中， ∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，
易证GM=GP，即|
当 时，解得
当 时，解得
∴满足条件的m的值为 或
故答案为： 或
【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)①根据，，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；
②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
7．如图，已知抛物线：与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当PB=2BO时，求点P的坐标；
（3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点，
∴；
∵抛物线扔对称轴为直线．
∴，
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线的对称轴交x轴于A点，
∴A（2，0）
设直线AC的解析式为，
把A（2，0），C（0，1）代入得，
，
解得，，
∴直线AC的解析式为，
∵PB=2BO，
∴PO=3BO，
设，过点B作BE⊥x轴于点E，过点P作BF⊥x轴于点F则OF=m，PF=m2+4m+1，
∴BE∥PF，
∴△OBE∽△OPF，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为，；
（3）（-1，3）或（1，-2）或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）∵
向左平移两个单位后抛物线的解析式为，
联立，
解得，
∴E（1，4），
∵抛物线的对称轴为直线
∴可设F（2，t），H（a，b），
①CF，EF为邻边，CE，EP为对角线时；
；EF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又CF2=EF2，
∴t2 2t+5=t 8t+17
解得，t=2
∴F（2，2），
又CE的中点坐标为即
∴，
∴a= 1，b=3，
∴H（-1，3）；
②CE，CF为邻边，EF，CP为对角线时，
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 0)2+(t 1)2=t2 2t+5，
又CE2=CF2
∴t2 2t+5=10，
解得，
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，
EF的中点坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
③CE，EF为邻边，CF，EP为对角线
EC2=(1 0)2+(4 1)2=10，CF2=(2 1)2+(t 4)2=t2 8t+17
又EC2=EF2，
∴t2 8t+17=10，
解得，t=1，t=7（C、E、F三点共线，不符合题意舍去），
∵F（2，1），
∴CF的中点坐标为（1，1），
∴
解得，a=1，b=-2，
∴H（1，-2），
综上，点H的坐标为（-1，3）或（1，-2）或或．
【分析】（1）由对称轴公式求出，由点代入可求出，得到二次函数的解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点得根据平行得到利用对应边成比例求出，然后求出点P的坐标即可；
（3）联立直线与抛物线的解析式求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，根据邻边相等求出的值，再利用中点坐标公式求出的值解答即可.
8．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
9．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；

（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法将已知点代入解析式中求解即可；
（2）根据相似三角形可得出，设，最后再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）通过作辅助线，如图所示可证明，则有，得出的值最大时即有最大值，再利用二次函数性质求出最值；然后再根据是直角三角形分三种情况，最后根据勾股定理分别列方程解答即可．
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
10．如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上取一点，连接，且满足．
①当时，求点的坐标；
②定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值．
【答案】（1）解：∵令，得，∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）解：①∵，∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同①方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）令可求出点A的坐标，将函数解析式转化为顶点式可求出抛物线L的顶点坐标.
（2）①由，可求出点H的坐标，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标；过点作轴于点，利用可表示出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，将抛物线和直线BC的函数解析式联立方程组，解方程组可求出点C的坐标；当为时，同理可得新的抛物线的解析式及直线BC的函数解析式，同理可求出点C的坐标；综上所述可得到符合题意的点C的坐标；②由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式和抛物线解析式可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时；当时，分别可得到关于m的方程，分别解方程求出符合题意的m的值.
（1）解：∵令，得，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
当为时，如图，
设新的抛物线的解析式为，
抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
则，
∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称，
∴，
解得：，
∴新的抛物线的解析式为，
∵如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴设，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴；
当为时，如图，
同理可得新的抛物线的解析式为，
如图，过点作轴于点，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
综上所述，或；
由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，
∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，
同方法可得新的抛物线的解析式为，
设交轴于点，
∵，
∴，且点在轴负半轴，
∴，
设直线解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，
当时，
得，
解得：；
当时，
得，
解得：或（大于，舍）；
综上所述，或．
二、中考中二次函数实际应用-抛物线结构
11．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　）
A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米
B．点A的坐标为（0，12）
C．
D．当CD的最大值为10米时，
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
，
故，
解得，，
在中，，
，
，
米，故A错误；
在中，，
，
米，故，故B错误；
抛物线的函数表达式为，
将代入，
故，
化简得，
，故C正确；
设
设着陆坡所在直线的表达式为，
将代入，
，
解得，
，
，
，
则，
，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，有最大值，将代入，
即，
∵的最大值为10米，
即，
解得，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．
12．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕
模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点．
安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴．
任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计）
数据采集 顶点F的坐标为，，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度．
【答案】（1）解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把点代入，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题意可得与舞台平面之间的距离为，
当时，，
∴，
由题可得的长度为，
∴，
∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据对称性可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）计算时的函数值，即可得到长，根据线段的和差解答即可．
13．【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线.
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：m)的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图.
设抛物线的表达式为
x …… 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 ……
y …… 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 ……
（1）【建立模型】求出抛物线的函数表达式.
（2）【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离.
（3）【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为 a，顶点为(m-0.1， k-0.1)，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米.
【答案】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
结合表格可知，顶点坐标为，
∴，，，
将点代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；
（3）解：根据题意，改进后，，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去）．
∵，
又∵，
∴，
∴．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．
【知识点】无理数的估值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据表格中数据和求出对称轴和顶点坐标，然后根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）可得最高点坐标，令，求出x的值解答即可；
（3）先得到新的函数表达式，再令，求出x的值，利用无理数的估算比较解答即可．
14．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 ⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 ⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 ⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
⑵由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
，
；
⑶作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
即光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设点的坐标为，进而表示出，的长，根据列方程求出t的值，再根据线段的和差解答即可；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，设直线的解析式为，联立两解析式，根据求出m的值，可得点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成角，利用正弦的定义解答即可．
15．根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：(1)距离水平地面米处有一带弹簧的装置；(2)每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1. 图1
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2. 图2
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：(1)在距离点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域I：(2)在距离点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域II. 图3
问题解决
任务1：确定弹珠路径.请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2：确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域I内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务3：灵活变通.根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整.现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板(区域I和区域II的宽度不改变)，让弹珠落入得分更高的区域II内，请计算挡板3横坐标的取值范围。
【答案】解：任务1：根据题意，得：抛物线的顶点 对称轴为直线
∴设此抛物线为 即 ，
∵此抛物线经过挡板1顶部，
∴即过点 代入
解得：
∴此抛物线的解析式为
任务2：∵该弹簧装置向上移动，
∴设
∵想让弹珠飞出后落入区域I内，且挡板
∴把 代入
解得：
∵把挡板 代入
解得：
任务3：∵装置向上移动0.3米，
∴得
∴当 时， 解得： (负值舍去)，
∵区域I和区域II的宽度不改变，
∴此时挡板1的横坐标为
不会被挡板1挡住，
∵当 时，
解得： (负值舍去)，
∵挡板2的横坐标为
.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】任务1：设此抛物线的解析式为 ，由题意得顶点 对称轴为直线 且经过 分别代入，即可求解；
任务2：设抛物线为 把 分别代入，即可求解；
任务3：根据题意，得知 可得 通过挡板2的高度 解得其横坐标为 因区域I和区域II的宽度不改变，推出挡板1的横坐标和纵坐标，得抛物线不被挡板1挡住，将挡板3的高度 代入抛物线，得横坐标，结合区域II的宽度即可求解.
16．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 h(m) 满足关系式 ，其中 t(s) 是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度.科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）.
（1） 当 时，
① 求小球离地面的最大高度；
② 经过多少时间小球的高度达到4m？
（2） 通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为，，小球从发射到回到地面所需时间为 ，，则 的值为常数.判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明.
【答案】（1）解：当时，，
①小球离地面的最大高度 (m)；
②当时，，，，经过0.4s或2s小球的高度达到4m.
（2）解：小明发现的结论正确，理由如下：
由题意，当 时，，同理，，
，值为常数.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①当时，利用关系式，求出小球离地面的最大高度；②当时，得到关于t的一元二次方程求解，求出小球的高度达到4m所需要的时间；
（2）先判断小明发现的结论正确，再利用关系式 ，分别求得，， 代入求解.
17．根据以下素材，探索完成任务.
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网商度为14cm.乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 25cm的点 P处.
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离∞（m）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处.以O为原点，桌面中线所在直线为∞轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）.
问题解决
任务一 研究乒乓球的 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求飞行轨迹写出自变量的取值范围）.
任务二 击球点的确定 （2）当h=20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由。
任务三 击球点的距离 （3）若h=40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围。
【答案】解：任务一：∵抛物线的顶点坐标为：（100，45），
∴设抛物线的解析式为y=a(x-100)2+45，
∵点P（0，25）在抛物线上，
∴a(x-100)2+45=25，解得：a=-，
所以抛物线的解析式为y=-(x-100)2+45；
任务二：不能实现，理由如下：
击球点为R（300，20），
球网上方点F的坐标为（140，14），
设直线RO解析式为：y=kx，
∴300k=20，
解得：k=，
∴直线RO解析式为y=x，
当x=140时，y=，14=，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，y=-(x-300)2+40，
当y=0时， -(x-300)2+40=0，
解得：x=250或x=-50，
∴点M的坐标为（250，0），
∵点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，
∴a1(250-300)2+40=0，
解得：a1=，
∴弹起后抛物线的表达式为：y=(x-300)2+40，
∵a=，
∴弹起时最大高度为40cm，
∴弹起高度范围为30≤y≤40，
当y=30时，(x-300)2+40=30，
解得：x=275或x=325，
∵ 当x=300时，y=40，275<300<325，
∴击球点与发球机水平距离 的取值范围为275【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据抛物线的顶点坐标，设出顶点式，将点P的坐标代入，求出a，得出抛物线的解析式；
任务二：先判断不能实现，再说明理由.
设直线RO解析式为：y=kx，将R点坐标代入，求出k，得到直线RO的解析式，将x=140代入，求出函数值与14比较，说明不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，取y=0，求出点M的坐标，根据点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，求出a1，从而，可得弹起高度范围，取y=30，求出x的值，得出击球点与发球机水平距离 的取值范围.
18．根据下列素材，探索完成任务.
如何设计跳绳的方案
素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作-条抛物线．摇绳的两名队员水平间距AB为5米，他们的手到地面的高度AC=BD=1米，绳子最高点距离地面2米.
素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在1.70-1.80米，女生身高一人为1.7米高，两人都为1.65米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少0.5米.
问题解决
任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函致表达式.
任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？
任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围.
【答案】解：任务1：以最高点为坐标系原点，水平方向为x轴，则设
经过
任务2：由题意得：y轴上有一人，则左边2人，右边3人，(或左右互换)
则最右边1人(站在点H处)的横坐标为1.5.
当 时， ，
，
因此最矮的女生也无法顺利通过头顶.
任务3：当跳绳点距离地面1.65米，即y=-0.35时.
，
解得 ，
考虑右边第二名队员，
当 时， ，距离地面1.85米，高于最高的队员；
当 时， 即最左边队员在 横坐标位置：
当 时， 最右边队员在 横坐标位置， 则最左边队员在 横坐标位置；
所以最左边队员的横坐标为 .
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：将已知点的坐标代入函数，即可求出二次函数的表达式；
任务2：根据二次函数的性质，将已知点的横坐标代入，即可求出相应的y值，与1.65作比较即可；
任务3：已知y值，代入二次函数即可求出相应的x值；根据不同队员的位置，分别可得相应的x的值，代入二次函数可分别求出相应的y值，作比较即可.
三、中考中二次函数实际应用-销售问题
19．某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-3x+120(20（1）求日销售利润w与销售单价x之间的函数关系式.
（2）销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：．
（2）解：，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“日销售利润=单件利润×日销售量”列函数解析式解答即可；
（2）将二次函数配方得到顶点式，根据二次函数的性质求出最值解答即可．
20．综合与实践：
背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还
能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处。
排球的购买与售卖
素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元，已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元.
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个，经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个.
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？
【答案】解：任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需(x+20)元.
根据题意，可列方程：35x+50(x+20)=3550
解得：x=30
所以购买一个乙品脾的排球需x+20=30+20=50（元）
答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元.
任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元.
根据题意、得：w=(36-20-y)(50+y)
=(16-y)50+5y)
=-5y2+30y+800
=-5(y-3)2 +845
所以当y=3，即售价为36-3=33元时利润w有最大值，最大值为845.
答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元。
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：由题意设甲排球为x元，则乙排球为x+20元，列出方程，求解方程即可得两者的价格；
任务2：设丙降价y元，可得利润与y的关系，配方可知当y=3时，利润取最大值，代入即可得最大利润.
21．某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．
【答案】（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）元、元、元、元、元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
【分析】
（1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程，可得到利润w是关于x的二次函数，再根据二次函数的增减性即可求解；
（3）根据利润的表达式列不等式，再求这个不等式的正整数解即可．
（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
22．“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元和4200元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
【答案】（1）解：设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元；
（2）解：设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，
根据题意得：
，
，
，
当时，取最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，根据题意建立关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
23．依据下面的素材，完成表格中的任务。
提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动。多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价
调研项目 调查1：“柑橘完好率”调查
采购的总质量m （kg) 50 100 200 400 500
完好柑橘的质量n（kg) 44.5 90.1 180.5 360.8 450.5
柑橘完好的频率π/ 0.89 0.901 0.903 0.902 0.901
调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元/kg：②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x（元/kg)与采购的总质量m（kg)之间的关系满足m+100x=3000（0任务一 （分析) （1）可以估计柑橘完好的概率约为 ▲ （精确到0.1)。 （2）由（1）知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为 ▲ kg（结果保留整数；损坏的柑橘不得销售)。
任务二 （决策) （3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少 kg的柑橘 售价应定为多少元/ kg
【答案】解：（1） 0.9（2） 90
（3）解：由题意得，
当采购的总质量为m（kg)时，可销售的质量为0.9m（kg)，不妨设总利润为W
则
为获得9000元的总利润， 令 W=9000
则
整理得
解得 m =1000
又因为0则
答：为获得9000元的总利润，应采购1000kg的柑橘，售价应定位20元/kg
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可得，柑橘完好的频率稳定在0.9附近
∴柑橘完好的概率约为0.9
故答案为：0.9
（2）由题意可得：900元可采购量为900÷9=100kg
∴实际可以销售的质量约为100×0.9=90kg
故答案为：90
【分析】（1）根据频率估计概率即可求出答案.
（2）根据题意求出900元可采购的量，再乘以柑橘完好的概率即可求出答案.
（3）设总利润为W，根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程即可求出答案.
24．在乡村振兴行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的整数），求出每天的最大利润．
【答案】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元．由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）解：．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以乡村振兴中的产品生产与销售为背景，综合考查分式方程的应用、二次函数的实际应用以及二次函数在给定区间上的最值问题。
（1）设 B 原料单价为 m 元，则 A 原料单价为 1.5m 元，根据“用 900 元收购 A 原料比收购 B 原料少 100 kg”列分式方程，解得 m = 3，则 A 原料单价 4.5 元，每盒成本 = 元；
（2）设售价为 x 元，则涨价 (x - 60) 元，销售量为 500 - 10(x - 60) = 1100 - 10x 盒，利润；
（3）由 w = -10(x - 70)2 + 16000，对称轴 x = 70，开口向下。当 时，x = 70 时最大利润为 16000 元；当 60 < a < 70 时，函数在区间上递增，x = a 时利润最大，为（ ）元。注意分式方程需检验，二次函数最值需考虑对称轴与区间端点的位置关系。
（1）设原料单价为元，则原料单价为元．
由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）．
（3）抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
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